專題49 直線與橢圓、雙曲線原卷版-2025版高中數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義知識梳理、考點突破和分層檢測

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁Page專題49直線與橢圓、雙曲線（新高考專用）目錄目錄【真題自測】 2【考點突破】 3【考點1】直線與橢圓、雙曲線的位置關(guān)系 3【考點2】中點弦及弦長問題 5【考點3】直線與橢圓、雙曲線的綜合問題 7【分層檢測】 9【基礎(chǔ)篇】 9【能力篇】 12【培優(yōu)篇】 12真題自測真題自測一、解答題1．（2024·全國·高考真題）已知橢圓的右焦點為，點在上，且軸．(1)求的方程；(2)過點的直線交于兩點，為線段的中點，直線交直線于點，證明：軸．2．（2024·全國·高考真題）已知雙曲線，點在上，為常數(shù)，．按照如下方式依次構(gòu)造點：過作斜率為的直線與的左支交于點，令為關(guān)于軸的對稱點，記的坐標(biāo)為.(1)若，求；(2)證明：數(shù)列是公比為的等比數(shù)列；(3)設(shè)為的面積，證明：對任意正整數(shù)，.3．（2023·全國·高考真題）已知橢圓的離心率是，點在上．(1)求的方程；(2)過點的直線交于兩點，直線與軸的交點分別為，證明：線段的中點為定點．4．（2023·全國·高考真題）已知雙曲線C的中心為坐標(biāo)原點，左焦點為，離心率為．(1)求C的方程；(2)記C的左、右頂點分別為，，過點的直線與C的左支交于M，N兩點，M在第二象限，直線與交于點P．證明:點在定直線上.5．（2022·全國·高考真題）已知雙曲線的右焦點為，漸近線方程為．(1)求C的方程；(2)過F的直線與C的兩條漸近線分別交于A，B兩點，點在C上，且．過P且斜率為的直線與過Q且斜率為的直線交于點M.從下面①②③中選取兩個作為條件，證明另外一個成立：①M在上；②；③．注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個解答計分.6．（2022·全國·高考真題）已知橢圓E的中心為坐標(biāo)原點，對稱軸為x軸、y軸，且過兩點．(1)求E的方程；(2)設(shè)過點的直線交E于M，N兩點，過M且平行于x軸的直線與線段AB交于點T，點H滿足．證明：直線HN過定點．考點突破考點突破【考點1】直線與橢圓、雙曲線的位置關(guān)系一、解答題1．（2024·安徽·三模）已知橢圓的右焦點為F，C在點處的切線l分別交直線和直線于兩點．(1)求證：直線與C相切；(2)探究：是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由．2．（2024·遼寧沈陽·模擬預(yù)測）橢圓的焦點為和，短軸長為.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)橢圓上、下頂點分別為、，過點的直線與橢圓交于、兩點（不與、兩點重合）.①求證：與的交點的縱坐標(biāo)為定值；②已知直線，求直線、、圍成的三角形面積最小值.3．（2025·廣東·一模）設(shè)兩點的坐標(biāo)分別為.直線相交于點，且它們的斜率之積是.設(shè)點的軌跡方程為.(1)求;(2)不經(jīng)過點的直線與曲線相交于、兩點，且直線與直線的斜率之積是，求證：直線恒過定點.4．（2024·內(nèi)蒙古赤峰·三模）已知點為圓上任意一點，，線段的垂直平分線交直線于點，設(shè)點的軌跡為曲線.(1)求曲線的方程；(2)若過點的直線與曲線的兩條漸近線交于，兩點，且為線段ST的中點.（i）證明：直線與曲線有且僅有一個交點；（ii）求證：是定值.5．（2024·安徽·一模）已知雙曲線C：的離心率為2.且經(jīng)過點.(1)求C的方程；(2)若直線l與C交于A，B兩點，且（點O為坐標(biāo)原點），求的取值范圍.6．（2024·上海浦東新·三模）已知雙曲線，點、分別為雙曲線的左、右焦點，Ax1,y1、B(1)求右焦點到雙曲線的漸近線的距離；(2)若，求直線的方程；(3)若，其中A、B兩點均在x軸上方，且分別位于雙曲線的左、右兩支，求四邊形的面積的取值范圍.反思提升：1.判斷直線l與圓錐曲線C的位置關(guān)系時，通常將直線l的方程Ax＋By＋C＝0(A、B不同時為0)代入圓錐曲線C的方程F(x，y)＝0.消去y(或x)得到一個關(guān)于變量x(或y)的方程ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0).(1)當(dāng)a≠0時，則Δ＞0時，直線l與曲線C相交；Δ＝0時，直線l與曲線C相切；Δ＜0時，直線l與曲線C相離.(2)當(dāng)a＝0時，即得到一個一次方程，則l與C相交，且只有一個交點，此時，若C為雙曲線，則直線l與雙曲線的漸近線平行；若C為拋物線，則直線l與拋物線的對稱軸平行或重合.2.對于過定點的直線，也可以通過定點在橢圓內(nèi)部或橢圓上判定直線和橢圓有交點.【考點2】中點弦及弦長問題一、解答題1．（2024·河南新鄉(xiāng)·模擬預(yù)測）已知橢圓的左、右焦點分別為，且，過點作兩條直線，直線與交于兩點，的周長為．(1)求的方程；(2)若的面積為，求的方程；(3)若與交于兩點，且的斜率是的斜率的2倍，求的最大值．2．（2024·河北滄州·模擬預(yù)測）已知直線與橢圓相交于兩點，為弦的中點，為坐標(biāo)原點，直線的斜率記為.(1)證明：；(2)若，焦距為.①求橢圓的方程；②若點為橢圓的右頂點，，且直線與軸圍成底邊在軸上的等腰三角形，求直線的方程.3．（2024·廣東廣州·三模）一般地，當(dāng)且時，方程表示的橢圓稱為橢圓的相似橢圓．已知橢圓，橢圓（且）是橢圓C的相似橢圓，點P為橢圓上異于其左，右頂點M，N的任意一點．(1)當(dāng)時，直線與橢圓C，自上而下依次交于R，Q，S，T四點，探究，的大小關(guān)系，并說明理由．(2)當(dāng)（e為橢圓C的離心率）時，設(shè)直線與橢圓C交于點A，B，直線與橢圓C交于點D，E，求的值．4．（2025·廣東廣州·模擬預(yù)測）在平面直角坐標(biāo)系中，點到點的距離與到直線的距離之比為，記的軌跡為曲線，直線交右支于，兩點，直線交右支于，兩點，．(1)求的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)證明：；(3)若直線過點，直線過點，記，的中點分別為，，過點作兩條漸近線的垂線，垂足分別為，，求四邊形面積的取值范圍．5．（2024·安徽池州·二模）已知雙曲線的右焦點，離心率為，過F的直線交于點兩點，過與垂直的直線交于兩點.(1)當(dāng)直線的傾斜角為時，求由四點圍成的四邊形的面積；(2)直線分別交于點，若為的中點，證明：為的中點.6．（2023·廣西南寧·模擬預(yù)測）已知雙曲線()經(jīng)過點，其漸近線方程為．(1)求雙曲線C的方程；(2)過點的直線l與雙曲線C相交于A，B兩點，P能否是線段AB的中點？請說明理由．反思提升：1.弦及弦中點問題的解決方法(1)根與系數(shù)的關(guān)系：直線與橢圓或雙曲線方程聯(lián)立，消元，利用根與系數(shù)關(guān)系表示中點；(2)點差法：利用弦兩端點適合橢圓或雙曲線方程，作差構(gòu)造中點、斜率間的關(guān)系.若已知弦的中點坐標(biāo)，可求弦所在直線的斜率.2.弦長的求解方法(1)當(dāng)弦的兩端點坐標(biāo)易求時，可直接利用兩點間的距離公式求解.(2)當(dāng)直線的斜率存在時，斜率為k的直線l與橢圓或雙曲線相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩個不同的點，則弦長公式的常見形式有如下幾種：①|(zhì)AB|＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|＝eq\r(（1＋k2）[（x1＋x2）2－4x1x2])；②|AB|＝eq\r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|(k≠0)＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,k2)))[（y1＋y2）2－4y1y2]).【考點3】直線與橢圓、雙曲線的綜合問題一、解答題1．（2024·上?！じ呖颊骖}）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點為橢圓上一點，、分別為橢圓的左、右焦點.(1)若點的橫坐標(biāo)為2，求的長;(2)設(shè)的上、下頂點分別為、，記的面積為的面積為，若，求的取值范圍(3)若點在軸上方，設(shè)直線與交于點，與軸交于點延長線與交于點，是否存在軸上方的點，使得成立?若存在，請求出點的坐標(biāo);若不存在，請說明理由.2．（2023·四川綿陽·三模）在平面直角坐標(biāo)系?中：①已知點?，直線?，動點?滿足到點?的距離與到直線?的距離之比?；②已知點?分別在?軸，?軸上運動，且?，動點?滿?；③已知圓?的方程為?，直線?為圓?的切線，記點?到直線?的距離分別為?，動點?滿足?．(1)在①，②，③這三個條件中任選一個，求動點?的軌跡方程；(2)記（1）中動點?的軌跡為?，經(jīng)過點?的直線?交?于?兩點，若線段?的垂直平分線與?軸相交于點?，求點?縱坐標(biāo)的取值范圍．3．（2023·江蘇連云港·模擬預(yù)測）已知橢圓的離心率為，拋物線的焦點為點F，過點F作y軸的垂線交橢圓于P，Q兩點，．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過拋物線上一點A作拋物線的切線l交橢圓于B，C兩點，設(shè)l與x軸的交點為D，BC的中點為E，BC的中垂線交x軸于點G，若，的面積分別記為，，且，點A在第一象限，求點A的坐標(biāo)．4．（2025·黑龍江大慶·一模）已知雙曲線的中心為坐標(biāo)原點，左焦點為，漸近線方程為.(1)求的方程；(2)若互相垂直的兩條直線均過點，且，直線交于兩點，直線交于兩點，分別為弦和的中點，直線交軸于點，設(shè).①求；②記，，求.5．（2025·寧夏·模擬預(yù)測）在平面直角坐標(biāo)系中，點T到點的距離與到直線的距離之比為，記T的軌跡為曲線E，直線交E右支于A，B兩點，直線交右支于C，D兩點，.(1)求E的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線過點，直線過點，記AB，CD的中點分別為P，Q，過點Q作E兩條漸近線的垂線，垂足分別為M，N，求四邊形面積的取值范圍.6．（2024·重慶沙坪壩·模擬預(yù)測）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線的上下焦點分別為，.已知點和都在雙曲線上，其中為雙曲線的離心率.(1)求雙曲線的方程;(2)設(shè)是雙曲線上位于軸右方的兩點，且直線與直線平行，與交于點.(i)若，求直線的斜率；(ii)求證：是定值.反思提升：1.求解直線與橢圓的綜合問題的基本思想是方程思想，即根據(jù)題意，列出有關(guān)的方程，利用代數(shù)的方法求解.為減少計算量，在代數(shù)運算中，經(jīng)常運用設(shè)而不求的方法.2.直線方程的設(shè)法，根據(jù)題意，如果需要討論斜率不存在的情況，則設(shè)直線方程為x＝ty＋m避免討論；若所研究的直線的斜率存在，則可設(shè)直線方程為y＝kx＋b的形式；若包含平行于坐標(biāo)軸的直線，則不要忘記斜率不存在的情況的討論.分層分層檢測【基礎(chǔ)篇】一、單選題1．（23-24高三下·廣東廣州·階段練習(xí)）已知正實數(shù)滿足，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．2．（2023·江西·模擬預(yù)測）已知直線過橢圓C；的一個焦點，與C交于A，B兩點，與平行的直線與C交于M，N兩點，若AB的中點為P，MN的中點為Q，且PQ的斜率為，則C的方程為（）A． B．C． D．3．（2024·山東泰安·三模）已知為雙曲線（，）的右焦點，直線與的兩條漸近線分別交于，兩點，為坐標(biāo)原點，是面積為4的直角三角形，則的方程為（

）A． B． C． D．4．（2022·全國·模擬預(yù)測）已知雙曲線C的中心在坐標(biāo)原點，其中一個焦點為，過F的直線l與雙曲線C交于A、B兩點，且AB的中點為，則C的離心率為(

)A． B． C． D．二、多選題5．（2024·四川·一模）已知橢圓的左頂點為，左、右焦點分別為，過點的直線與橢圓相交于兩點，則（

）A．B．C．當(dāng)不共線時，的周長為D．設(shè)點到直線的距離為，則6．（22-23高二下·廣西·期中）已知雙曲線的左、右焦點分別為，拋物線的焦點與雙曲線C的一個焦點重合，點P是這兩條曲線的一個公共點，則下列說法正確的是（

）A． B．的周長為16C．的面積為 D．7．（2022·福建泉州·模擬預(yù)測）已知，分別是雙曲線：的左、右焦點，點是該雙曲線的一條漸近線上的一點，并且以線段為直徑的圓經(jīng)過點，則（

）A．的面積為 B．點的橫坐標(biāo)為2或C．的漸近線方程為 D．以線段為直徑的圓的方程為三、填空題8．（2024·北京·高考真題）若直線與雙曲線只有一個公共點，則的一個取值為．9．（2022·安徽蚌埠·三模）已知橢圓的離心率為,直線與橢圓交于,兩點,當(dāng)?shù)闹悬c為時,直線的方程為.10．（2024·黑龍江吉林·二模）橢圓的左，右焦點分別為，，過焦點的直線交橢圓于A，B兩點，設(shè)，，若的面積是4，則.四、解答題11．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測）已知橢圓的一個焦點與拋物線的焦點重合，離心率為.(1)求橢圓的方程；(2)過點作斜率為的直線交橢圓于兩點，求弦中點坐標(biāo).12．（2023·云南昆明·模擬預(yù)測）已知雙曲線C：上任意一點Q（異于頂點）與雙曲線兩頂點連線的斜率之積為，E在雙曲線C上，F(xiàn)為雙曲線C的右焦點，|EF|的最小值為.(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過橢圓上任意一點P（P不在C的漸近線上）分別作平行于雙曲線兩條漸近線的直線，交兩漸近線于M，N兩點，且，是否存在m，n使得橢圓的離心率為？若存在，求出橢圓的方程，若不存在，說明理由.【能力篇】一、單選題1．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知雙曲線的左、右焦點分別為，直線過點且與雙曲線交于兩點，若，則下列說法不正確的是（

）A．雙曲線的離心率為B．雙曲線的漸近線方程為C．過點的直線與雙曲線交于兩點且為的中點，則直線的方程為D．的面積為二、多選題2．（2024·新疆烏魯木齊·三模）已知雙曲線的右焦點為F，過原點O作斜率為k的直線交雙曲線于A，B兩點，且，則的可