2024-2025學(xué)年上海交大二附中八年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)拓展試卷（含解析）

-2025學(xué)年上海交大二附中八年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)拓展試卷一.填空題（每題3分，共30分）.1．（3分）已知方程和方程的根完全相同，則．2．（3分）如果是二次根式，求的取值范圍．3．（3分）若，化簡(jiǎn)．4．（3分）多項(xiàng)式的最小值為．5．（3分）設(shè)方程的一個(gè)根的3倍少7為另一個(gè)根，則．6．（3分）已知實(shí)數(shù)滿足，那么等于．7．（3分）已知實(shí)數(shù)、滿足，，則．8．（3分）如圖，在△中，平分，于點(diǎn)，，，，，則．9．（3分）已知：△是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，點(diǎn)、點(diǎn)分別在邊，上，點(diǎn)為邊的三等分點(diǎn)，將△沿著直線翻折，點(diǎn)恰好與點(diǎn)重合，則△的周長(zhǎng)為．10．（3分）如圖，△中，，把△繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到△．連結(jié)、、，測(cè)量得．若△為等腰三角形，則的度數(shù)是．二.解答題（第11題3分，第12題7分，第13題10分，總分20分）11．（3分）在《代數(shù)學(xué)》中記載了求方程．正數(shù)解的幾何方法：如圖1，先構(gòu)造一個(gè)面積為的正方形，再以正方形的邊為一邊向外構(gòu)造四個(gè)面積為的矩形，得到大正方形的面積為，則該方程的正數(shù)解為．小明嘗試用此方法解關(guān)于的方程時(shí)，構(gòu)造出如圖2所示正方形．已知圖2中陰影部分的面積和為39．該方程的正數(shù)解為．12．（7分）小明用的練習(xí)本可在甲、乙兩個(gè)商店內(nèi)買到，已知兩個(gè)商店的標(biāo)價(jià)都是每個(gè)練習(xí)本1元，但甲商店的優(yōu)惠條件是：購(gòu)買10本以上，從第11本開始按標(biāo)價(jià)的賣；乙商店的優(yōu)惠條件是：從第1本開始就按標(biāo)價(jià)的賣．（1）小明要買20個(gè)練習(xí)本，到哪個(gè)商店購(gòu)買較省錢？（2）寫出甲、乙兩個(gè)商店中，收款（元關(guān)于購(gòu)買本數(shù)（本的關(guān)系式．（3）小明現(xiàn)有24元錢，最多可買多少個(gè)本子？13．（10分）已知：如圖，等邊三角形，點(diǎn)和分別從和兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，它們的速度相同．點(diǎn)沿射線運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)沿邊的延長(zhǎng)線運(yùn)動(dòng)，設(shè)與直線相交于點(diǎn)，作于．（1）當(dāng)△為等腰三角形時(shí)，過(guò)點(diǎn)作的平行線，交于，試探究線段與的大小關(guān)系，并加以證明．（2）①當(dāng)點(diǎn)在邊上時(shí)，直接寫出與的數(shù)量關(guān)系（不需要證明）；②當(dāng)點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上時(shí)，①中的結(jié)論還成立嗎？若成立在圖中畫出圖形并證明．如不成立，指出與的關(guān)系并說(shuō)明理由．

參考答案一.填空題（每題3分，共30分）1．（3分）已知方程和方程的根完全相同，則．解：，，，把代入方程得，解得，解方程方程，解得，，，．故答案為．2．（3分）如果是二次根式，求的取值范圍．解：依題意得，解得．3．（3分）若，化簡(jiǎn)．解：原式．4．（3分）多項(xiàng)式的最小值為．解：原式，，，當(dāng)時(shí)，多項(xiàng)式的最小值為．故答案為：．5．（3分）設(shè)方程的一個(gè)根的3倍少7為另一個(gè)根，則．解：設(shè)方程另一個(gè)根為，方程的一個(gè)根的3倍少7為另一個(gè)根，一個(gè)根為，則，解得，因此．故答案為：．6．（3分）已知實(shí)數(shù)滿足，那么等于．解：討論的范圍如果，，得，符合；如果，，得，不符合；如果，得，不符合；所以得出的范圍為．所以．所以本題的答案為．7．（3分）已知實(shí)數(shù)、滿足，，則或2．解：實(shí)數(shù)、滿足，，實(shí)數(shù)、是一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，當(dāng)時(shí)，，滿足，，，當(dāng)時(shí)，，故答案為：或2．8．（3分）如圖，在△中，平分，于點(diǎn)，，，，，則54．解：延長(zhǎng)交于點(diǎn)，如圖所示：，，平分，，在△和△中，，△△，，，，，，，，，，，，，，．故答案為：．9．（3分）已知：△是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，點(diǎn)、點(diǎn)分別在邊，上，點(diǎn)為邊的三等分點(diǎn)，將△沿著直線翻折，點(diǎn)恰好與點(diǎn)重合，則△的周長(zhǎng)為20或25．解：△是等邊三角形，，①如圖①，點(diǎn)為邊的三等分點(diǎn)，且點(diǎn)靠近點(diǎn)時(shí)，，，△的周長(zhǎng)②如圖②，點(diǎn)為邊的三等分點(diǎn)，且點(diǎn)靠近點(diǎn)時(shí)，由折疊的性質(zhì)得，，△的周長(zhǎng)綜上，△的周長(zhǎng)為或．故答案為：20或25．10．（3分）如圖，△中，，把△繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到△．連結(jié)、、，測(cè)量得．若△為等腰三角形，則的度數(shù)是或或．解：△繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到△，，，，△和△都是等邊三角形；，而，，△為等腰三角形，下面分三種情況討論：①當(dāng)時(shí)，，解得；②當(dāng)時(shí)，，解得；③當(dāng)時(shí)，，解得．綜上所述，若△為等腰三角形，則，，．故答案為：或或．二.解答題（第11題3分，第12題7分，第13題10分，總分20分）11．（3分）在《代數(shù)學(xué)》中記載了求方程．正數(shù)解的幾何方法：如圖1，先構(gòu)造一個(gè)面積為的正方形，再以正方形的邊為一邊向外構(gòu)造四個(gè)面積為的矩形，得到大正方形的面積為，則該方程的正數(shù)解為．小明嘗試用此方法解關(guān)于的方程時(shí)，構(gòu)造出如圖2所示正方形．已知圖2中陰影部分的面積和為39．該方程的正數(shù)解為3．解：如圖2，先構(gòu)造一個(gè)面積為的正方形，再以正方形的邊長(zhǎng)為一邊向外構(gòu)造四個(gè)面積為的矩形，得到大正方形的面積為：，該方程的正數(shù)解為．故答案為：3．12．（7分）小明用的練習(xí)本可在甲、乙兩個(gè)商店內(nèi)買到，已知兩個(gè)商店的標(biāo)價(jià)都是每個(gè)練習(xí)本1元，但甲商店的優(yōu)惠條件是：購(gòu)買10本以上，從第11本開始按標(biāo)價(jià)的賣；乙商店的優(yōu)惠條件是：從第1本開始就按標(biāo)價(jià)的賣．（1）小明要買20個(gè)練習(xí)本，到哪個(gè)商店購(gòu)買較省錢？（2）寫出甲、乙兩個(gè)商店中，收款（元關(guān)于購(gòu)買本數(shù)（本的關(guān)系式．（3）小明現(xiàn)有24元錢，最多可買多少個(gè)本子？解：（1）甲商店．理由如下：已知兩個(gè)商店的標(biāo)價(jià)都是每個(gè)練習(xí)本1元，但甲商店的優(yōu)惠條件是：購(gòu)買10本以上，從第11本開始按標(biāo)價(jià)的賣；乙商店的優(yōu)惠條件是：從第1本開始就按標(biāo)價(jià)的賣．依題意得：甲店收款為：（元，乙店收款為：（元，，買20本時(shí)，到甲店購(gòu)買省錢；（2）甲商店：時(shí)，，即；乙商店：時(shí)，，即；（3）將代入得：，所以24元錢最多在甲商店可買28本，將代入得：，所以24元錢最多在乙商店可買26本，答：小明用24元最多可買28本．13．（10分）已知：如圖，等邊三角形，點(diǎn)和分別從和兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，它們的速度相同．點(diǎn)沿射線運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)沿邊的延長(zhǎng)線運(yùn)動(dòng)，設(shè)與直線相交于點(diǎn)，作于．（1）當(dāng)△為等腰三角形時(shí)，過(guò)點(diǎn)作的平行線，交于，試探究線段與的大小關(guān)系，并加以證明．（2）①當(dāng)點(diǎn)在邊上時(shí)，直接寫出與的數(shù)量關(guān)系（不需要證明）；②當(dāng)點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上時(shí)，①中的結(jié)論還成立嗎？若成立在圖中畫出圖形并證明．如不成立，指出與的關(guān)系并說(shuō)明理由．解：（1）；理由如下：如圖1，△是等邊三角形，，，，，，，△為等腰三角形，，，，點(diǎn)和分別從和兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，它們的速度相