2024學(xué)年溫州市高三數(shù)學(xué)上學(xué)期第一次考試卷附答案解析

學(xué)年溫州市高三數(shù)學(xué)上學(xué)期第一次考試卷一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B.C. D.2.若，則復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第（）象限A.一 B.二 C.三 D.四3已知平面向量，滿足，，則（）A.1 B. C.2 D.4.若方向向量為的直線與圓相切，則直線的方程可以是（）A. B.C. D.5已知，，則（）A. B.5 C. D.6.已知函數(shù)的值域?yàn)?，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B.C. D.7.已知數(shù)列通項(xiàng)公式，在其相鄰兩項(xiàng)，之間插入個(gè)，得到新的數(shù)列，記的前項(xiàng)和為，則使成立的的最小值為（）A.28 B.29 C.30 D.318.飛行棋是一種家喻戶曉的競(jìng)技游戲，玩家根據(jù)骰子（骰子為均勻的正六面體）正面朝上的點(diǎn)數(shù)確定飛機(jī)往前走的步數(shù)，剛好走到終點(diǎn)處算“到達(dá)”，如果玩家投擲的骰子點(diǎn)數(shù)超出到達(dá)終點(diǎn)所需的步數(shù)，則飛機(jī)須往回走超出點(diǎn)數(shù)對(duì)應(yīng)的步數(shù).在一次游戲中，飛機(jī)距終點(diǎn)只剩3步（如圖所示），設(shè)該玩家到達(dá)終點(diǎn)時(shí)投擲骰子的次數(shù)為，則（）A.3 B.4 C.5 D.6二、選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，微信公眾號(hào)：浙江省高中數(shù)學(xué)部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.觀察下列散點(diǎn)圖的分布規(guī)律和特點(diǎn)，其中兩個(gè)變量存在相關(guān)關(guān)系的有（）A B.C. D.10.已知，，，，其中，點(diǎn)為平面內(nèi)一點(diǎn)，記點(diǎn)到，的距離分別為，，則下列條件中能使點(diǎn)的軌跡為橢圓的是（）A. B.C. D.11.已知函數(shù)，則（）A. B.當(dāng)時(shí)，C.當(dāng)時(shí)， D.當(dāng)時(shí)，三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.把答案填在題中的橫線上.12.已知橢圓和雙曲線的焦點(diǎn)相同，則______.13.如圖所示的五面體為《九章算術(shù)》中記載的羨除，它指的是墓道或隧道.其中，四邊形，，均為等腰梯形，平面平面，，，，和間的距離為2，和間的距離為4，則該羨除的體積為_(kāi)_____.14.已知正項(xiàng)數(shù)列滿足，且，則______.四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.記的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，已知.（1）求；（2）若為中點(diǎn)，，，求的周長(zhǎng).16.點(diǎn)在拋物線上，且到拋物線的焦點(diǎn)的距離為.（1）求拋物線的方程；（2）過(guò)點(diǎn)的直線交拋物線于，兩點(diǎn)，且，求直線的方程.17.如圖，在三棱柱中，平面平面，平面.（1）求證：；（2）若二面角的正弦值為，且，求.18.已知函數(shù)，.（1）當(dāng)時(shí)，求的最小值；（2）若與在原點(diǎn)處的切線重合，且函數(shù)有且僅有三個(gè)極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.19.已知集合.（1）集合，且中的任意三個(gè)不同的元素，，都有.（i）當(dāng)時(shí)，寫出一個(gè)滿足條件的恰有四個(gè)元素的集合；（ii）對(duì)于任意給定，求集合中的元素個(gè)數(shù)的最大值.（2）已知集合，，且同時(shí)滿足以下條件：①，，都有（其中，，）；②，，使得（其中）.求集合中的元素個(gè)數(shù).【答案解析】1.C【解析】【分析】將集合用列舉法寫出具體元素，由集合的表達(dá)式可知集合的元素，即可得到的結(jié)果.【詳解】將集合用列舉法寫出得：，對(duì)于集合，由可知：，所以.故選：C.2.D【解析】【分析】先進(jìn)行復(fù)數(shù)化簡(jiǎn)，再根據(jù)幾何意義得解.【詳解】，化簡(jiǎn)，即,即.根據(jù)復(fù)數(shù)幾何意義知道，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，在第四象限.故選：D.3.D【解析】【分析】由題意，結(jié)合計(jì)算即可求解.【詳解】由題意知，，，所以.故選：D4.B【解析】【分析】根據(jù)直線的方向向量得出斜率，設(shè)點(diǎn)斜式方程，再由圓心到直線距離等于半徑求解.【詳解】由直線的方向向量為知，直線的斜率，設(shè)直線方程為，則由直線與圓相切知，圓心到直線的距離，解得或，所以直線的方程為或，即或，故選：B5.B【解析】【分析】運(yùn)用兩角和與差的正弦公式展開(kāi)，然后兩式相減、兩式相加各得一個(gè)等式，再讓這兩個(gè)等式相除并化簡(jiǎn)即可求解.【詳解】,兩式相減得,兩式相加得,所以,即,故選：B.6.A【解析】【分析】分析可知當(dāng)時(shí)，的取值范圍是，當(dāng)時(shí)，的最大值為，且注意到趨于負(fù)無(wú)窮時(shí)，也會(huì)趨于負(fù)無(wú)窮，由此即可列出不等式求解.【詳解】當(dāng)時(shí)，的取值范圍是，注意到，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，的最大值為，且注意到趨于負(fù)無(wú)窮時(shí)，也會(huì)趨于負(fù)無(wú)窮，若函數(shù)的值域?yàn)?，則當(dāng)且僅當(dāng)，解得.故選：A.7.B【解析】【分析】根據(jù)題意分析得的項(xiàng)的情況，從而求得，，進(jìn)而得解.【詳解】由題意，數(shù)列元素依次為，，在到之間3的個(gè)數(shù)為，故到處共有35個(gè)元素，所以前30項(xiàng)中含，，及26個(gè)3，故，而，故成立的最小的為29.故選：B8.D【解析】【分析】先確定分布列，再結(jié)合錯(cuò)位相減法及無(wú)窮數(shù)列的和求期望.【詳解】玩家投擲1次即可到達(dá)終點(diǎn)的方法是擲出3點(diǎn)，故.玩家投擲2次即可到達(dá)終點(diǎn)的方法是擲出，，，，，故.玩家投擲3次即可到達(dá)終點(diǎn)的方法是擲出，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，故.設(shè)玩家投擲次即可到達(dá)終點(diǎn)，那么第次擲得的點(diǎn)數(shù)可以為，分別記作，，，，，則玩家投擲次的基本事件是投擲次的倍，能到達(dá)終點(diǎn)的擲法：之前的對(duì)應(yīng)，，，，；對(duì)應(yīng)，，，，；對(duì)應(yīng)，，，，；對(duì)應(yīng)，，，，；對(duì)應(yīng)，，，，.是投擲次即可到達(dá)終點(diǎn)的倍.所以是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列.所以.所以即兩邊同乘以得：兩式相減得：.故選：D【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：若數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，當(dāng)且時(shí)，數(shù)列的所有項(xiàng)的和為：.9.ABC【解析】【分析】由相關(guān)關(guān)系對(duì)應(yīng)的圖形是散點(diǎn)圖，能反映兩個(gè)變量的變化規(guī)律才具有相關(guān)關(guān)系直接可以判斷.【詳解】相關(guān)關(guān)系對(duì)應(yīng)的圖形是散點(diǎn)圖，ABC都能反映兩個(gè)變量的變化規(guī)律，它們都具有相關(guān)關(guān)系；D中的點(diǎn)散亂地分布在坐標(biāo)平面內(nèi)，不能反映兩個(gè)變量的變化規(guī)律，不具有相關(guān)關(guān)系．故選：ABC.10.AD【解析】【分析】根據(jù)橢圓的定義可判斷A的真假；求點(diǎn)的軌跡方程，判斷BCD的真假.【詳解】對(duì)A：根據(jù)橢圓的定義，，所以點(diǎn)軌跡為橢圓，故A正確；對(duì)B：設(shè)Px,y，則由，所以點(diǎn)軌跡為圓，故B錯(cuò)誤；對(duì)C：由，分情況去掉絕對(duì)值符號(hào)，可知點(diǎn)的軌跡為4條線段，不是橢圓，故C錯(cuò)誤；對(duì)D：由，因?yàn)?，所以點(diǎn)軌跡為橢圓，故D正確.故選：AD11.ACD【解析】【分析】對(duì)于A，用和差化積公式及二倍角公式化簡(jiǎn)可以判斷；對(duì)于B，利用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性，進(jìn)而可求的最值；對(duì)于C，利用B的單調(diào)性比較自變量的大小即可比較函數(shù)值的大??；對(duì)于D，運(yùn)用分析法，多次使用和差化積、積化和差公式即可推導(dǎo).【詳解】對(duì)于A，，由和差化積公式:得：,其中，故所以即A正確；對(duì)于B，對(duì)求導(dǎo),，在上，令f'x<0得令f'所以在和單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增,故在區(qū)間上的最大值為,且,故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)單調(diào)遞增,故在上單調(diào)遞增,而當(dāng)時(shí),，且,故正確；對(duì)于D，，由和差化積公式:得因?yàn)椋?，所以，所以?,由積化和差得,其中,上述不等式顯然成立，故D正確,故選：ACD【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：和差化積與積化和差公式和差化積公式：.積化和差公式：，，，.12.【解析】【分析】根據(jù)雙曲線方程可得，且焦點(diǎn)在x軸上，再結(jié)合橢圓方程列式求解即可.【詳解】對(duì)于雙曲線，可知其半焦距，且焦點(diǎn)在x軸上，對(duì)于橢圓可得，且，解得.故答案為：.13.12【解析】【分析】結(jié)合錐體體積體積公式，采用切割法求幾何體體積.【詳解】如圖：連接、則，，所以該羨除的體積為：.故答案為：1214.6069【解析】【分析】首先由遞推關(guān)系式得出是以為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)列，再代入，結(jié)合即可求出，最后利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求得答案.【詳解】因?yàn)闉檎?xiàng)數(shù)列且，①所以，②得，即，所以是以為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)列，令可得，又，，所以，解得，.故答案為：6069.15.（1）2（2）【解析】【分析】（1）解法1：邊化角之后，再利用兩角和的正弦公式及，得到，得1分，再得出的值.解法2：利用余弦定理，將角化邊，得出，消去，得出結(jié)果.解法3：整理成射影定理的結(jié)構(gòu)，化簡(jiǎn)得出結(jié)果.（2）解法1：利用已知條件和余弦定理，得出，題干已知條件有轉(zhuǎn)化成，利用余弦定理，得出，解方程得出或者的值，再計(jì)算得出周長(zhǎng).解法2：利用，得出，由，得出，解方程得出或者，的值，再計(jì)算得出周長(zhǎng).解法3：利用平行四邊形長(zhǎng)度，得出，由，得出，解方程得出或者，的值，再計(jì)算得出周長(zhǎng).解法4：利用向量關(guān)系，得出，由，得出，解方程得出或者，的值，再計(jì)算得出周長(zhǎng).解法5：在和分別利用余弦定理，得出，由，得出，解方程得出或者，的值，再計(jì)算得出周長(zhǎng).【小問(wèn)1詳解】解法1：由題意，得則所以因?yàn)樵谥?，，所?解法2：由題意，得，所以，因此因?yàn)?，所?解法3：由題意，得所以由射影定理，得因，所以.【小問(wèn)2詳解】解法1：由已知條件，得.在利用余弦定理，得.所以由余弦定理，得，所以.因此所以的周長(zhǎng)為.解法2：因?yàn)椋?因此，所以又由余弦定理，得，所以因此，所以的周長(zhǎng)為.解法3：以的邊，為鄰邊將補(bǔ)成平行四邊形，利用平行四邊形長(zhǎng)度關(guān)系可得，，所以.又由余弦定理，得，所以因此，所以的周長(zhǎng)為.解法4：利用向量關(guān)系，可得CD因此又由余弦定理，得，所以因此，所以的周長(zhǎng)為.解法5：在和分別利用余弦定理，可得.所以又由余弦定理，得，所以因此所以的周長(zhǎng)為.16.（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)焦半徑公式及點(diǎn)在拋物線上，列方程組，可求的值.（2）法1：設(shè)出直線的方程：，與拋物線方程聯(lián)立，得到，，再根據(jù)，得求的值.法2：設(shè)直線的方程：，與拋物線方程聯(lián)立，得到，，再根據(jù)，得得的關(guān)系，從而說(shuō)明直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，再結(jié)合直線過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，可得直線方程.法3：設(shè)，，則直線可寫成，根據(jù)及可求出的值，得直線的方程.法4：設(shè)，，根據(jù)直線與垂直，可分別設(shè)兩直線方程為，，分別與拋物線方程聯(lián)立，把、坐標(biāo)用表示出來(lái)，再結(jié)合求的值，進(jìn)而求出點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合直線過(guò)點(diǎn)，可求直線方程.法5：設(shè)，，設(shè)直線：與拋物線方程聯(lián)立，可得，再根據(jù)，結(jié)合直線過(guò)點(diǎn)，可求的值，得直線的方程.【小問(wèn)1詳解】根據(jù)焦半徑公式可得，所以，又，所以，解得或（舍去），故所求拋物線方程為.【小問(wèn)2詳解】法1：，，設(shè)，，，，所以，，，（舍去），所以即.法2：設(shè)，，，，所以，，，，所以過(guò)定點(diǎn)，又因?yàn)檫^(guò)，所以；法3：，，設(shè)，，，，.，，所以.法4：設(shè)，，不妨設(shè)，，，，同理，，，，又因?yàn)檫^(guò)，所以.法5：設(shè)，，，，，，，.又因?yàn)檫^(guò)，所以，解得，，所以.17.（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）過(guò)作于點(diǎn)，然后根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理得面，然后再利用線面垂直的性質(zhì)定理得，同理，然后再利用線面垂直的判定定理得面，然后用線面垂直的性質(zhì)定理得；（2）以為原點(diǎn)，，分別為，軸建立空間直角坐標(biāo)系，然后利用坐標(biāo)計(jì)算確定位置，計(jì)算的長(zhǎng)度即可.【小問(wèn)1詳解】過(guò)作于點(diǎn)，因?yàn)槠矫嫫矫?，所以面，因?yàn)槊嫠裕忠驗(yàn)槠矫?，所以，而面，所以面，因?yàn)槊嫠浴拘?wèn)2詳解】如圖，以為原點(diǎn)，，分別為，軸建立空間直角坐標(biāo)系，二面角的平面角與二面角的平面角互補(bǔ)，記為，設(shè)，有，，，，設(shè)面的法向量為，有，即，令，得，又面的法向量為，所以，解得，所以.18.（1）（2）【解析】【分析】（1）求導(dǎo)，分析函數(shù)的單調(diào)性，可求的最小值.（2）先根據(jù)確定的關(guān)系，再把函數(shù)有且僅有三個(gè)極值點(diǎn)轉(zhuǎn)化成有且僅有三個(gè)變號(hào)零點(diǎn).求導(dǎo)，分析函數(shù)Fx的單調(diào)性，結(jié)合該函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)求參數(shù)的取值范圍.【小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，，，令得：，當(dāng)時(shí)，f'x<0，時(shí)，f所以在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增所以時(shí)，.【小問(wèn)2詳解】，，由得：，所以，問(wèn)題即：有且僅有三個(gè)變號(hào)零點(diǎn)當(dāng)時(shí)，，故Fx在單調(diào)遞減，又，所以故此時(shí)Fx在有且僅有一個(gè)變號(hào)零點(diǎn)0，不合題意；當(dāng)時(shí)，所以在有唯一零點(diǎn).Fx在遞增，遞減，故此時(shí)Fx在至多有兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，不合題意；當(dāng)時(shí)，，，，所以在有兩個(gè)零點(diǎn)：，且時(shí)，，時(shí)，，時(shí)，，所以Fx在遞減，遞增，遞減，又，故，，又時(shí)，，因?yàn)榈脑鲩L(zhǎng)速度大于的增長(zhǎng)速度，故，，于是，又，，所以，令，則，因?yàn)榈脑鲩L(zhǎng)速度大于的增長(zhǎng)速度，故，，于是，所以Fx在，各有一個(gè)零點(diǎn)，，故此時(shí)Fx有三個(gè)零點(diǎn)：，0，，合題意：所以.【點(diǎn)睛】方法定睛：對(duì)于函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)的相關(guān)問(wèn)題，利用導(dǎo)數(shù)和數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想來(lái)求解．這類問(wèn)題求解的通法是：(1)構(gòu)造函數(shù)，這是解決此類題的關(guān)鍵點(diǎn)和難點(diǎn)，并求其定義域；(2)求導(dǎo)數(shù)，得單調(diào)區(qū)間和極值點(diǎn)；(3)數(shù)形結(jié)合，挖掘隱含條件，確定函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)情況進(jìn)而求解．19.（1）（i）或或或或或；（ii）（2）【解析】【分析】（1）（i）由，所以，再列出滿足題意的集合B即可；（ii）記集合，設(shè)滿足條件的集合，其中，，，，，，，，且，，則集合中的元素個(gè)數(shù)等于，證明即可得答案；（2）先用反證法證明，再證明，則可得.【小問(wèn)1詳解】（i）由，所以，可得：四元素的集合可以是：或或或或或；（ii）對(duì)于任意給定的，集合中的元素個(gè)數(shù)的最大值為，其證明過(guò)程如下：記集合，設(shè)滿足條件的集合，其中，，，，，，，，且，，則集合中的元素個(gè)數(shù)等于，根據(jù)條件對(duì)任意的，，都有（否則，就有，不合題意）又因?yàn)?，，其中，，?/p>