2024新題型01 新高考新結(jié)構(gòu)二十一大考點（解析版）

新題型01新高考新結(jié)構(gòu)二十一大考點匯總

命題趨勢

高考數(shù)學全國卷的考查內(nèi)容、考查范圍和考查要求層次與比例均與課程標準保持致注重考查內(nèi)容的全面

性的同時，突出主干、重點內(nèi)容的考查，通過依標施考，引導中學教學依標施教。

調(diào)整布局，打破固化模式。高考數(shù)學堅持穩(wěn)中有變，通過調(diào)整試卷結(jié)構(gòu)，改變相對固化的試題布局優(yōu)化

試題設(shè)計，減少學生反復刷題、機械訓練的收益，竭力破除復習備考中題海戰(zhàn)術(shù)和題型套路，發(fā)揮引導作

用。

熱考題型解讀

【題型1集合新考點】

【例I】(2024.浙江溫州.高三期末)設(shè)集合U=R.A={耳2屹-2]<i}B=3y=in(l-x)),則圖中陰

影部分表示的集合為()

13A.{.中卻B.Ml<r<2}C.{x|0<x<l)

l"D.{AiA<0}

【答案】D

【分析】先求出集合A,B,再由弱可知阻影部分表示(Q4)nB,從而可求得答案

【詳解】因為2x(x-2)<1等價于武工-2)<0,解得0<x<2f

所以A={x|0<x<2],所以={x\x<0或x>2},

要使得函數(shù)y=ln(l-x)有意義，只需1一%>0,解得x<1,

所以B=[x\x<1}

則由韋恩圖可知陰影部分表示(CM)CB=(x\x<0}.

故選：D.

【變式I1】(2024.安徽省.高三模擬)(多選)下列選項中的兩個集合相等的有().

A.P={xIx=2n,n^Z},Q={xI%=2(n+l),nEZ]

B.P=[xIx=2〃/,n￡N+},Q={xIx=2n+l,neN+)

2K(n

C.P=[xIX-X=0],Q=Ix=2,nEZj

D.P={xIy=%+l},Q={Qv,y)Iy=x+\}

【答案】AC

【分析】分析各對集合元素的特征，即可判斷.

【詳解】解：對于A：集合P={x%=2九,n￡Z}表示偶數(shù)集，集合Q={xI%=2(n+1),九￡Z}也表示偶數(shù)集，所

以「二。，故A正確；

對于B：P=(xIx=2n-l,neN+}={l,3,5,7,---),

Q=\xIx=2n+l,neN+M3,5,7,9,-),所以P#2,故B錯誤；

l,n為偶數(shù)

對于C：P={xIx2-x=0}={0J},又(-1)71。

?1.,為奇數(shù)

所叱竽J'為偶數(shù)

,即Q={xIx=嗒,n￡Z卜{0,1},所以P=Q,故C正確；

(0,九為奇數(shù)

對于D：集合P={xIyr+l}=R為數(shù)集，集合Q={Q,y)|產(chǎn)X+1}為點集，所以PrQ,故D錯誤；

故選：AC

【變式1-2](2024.江蘇四校聯(lián)合高三期末)設(shè)全集為U定義集合力與B的運算：4*B={x|xC力U8且

x^AC\B],則(A*8)*4=()

A.AB.BC.AClQBD.BClQA

【答案】B

【解析】根據(jù)定義用交并補依次化簡集合，即得結(jié)果.

【詳解】；A*8={x\xwAuB且xcnnB}=(BnQ力)uG4nQB)

(4*B)*4=HnCu(A*B)]U[(A*B)nCu川=(An8)u(BnQA)=B

故選：B

【點睛】本題考查集合新定義、集合交并補概念，考查基本分析轉(zhuǎn)化能力，屬中檔題.

【變式1-3](2024.江蘇南通高三期末)定義集合運算4OB=[z\z=xy(x+y\xeA.yeB},集合A=

{0,1},8={2,3},則集合力OB所有元素之和為

【答案】18

【分析】由題意可得z=0,6,12,進而可得結(jié)果.

【詳解】當X=0,y=2,z=0

當x=l,y=2,二z=6

當x=0,y=3,二2=0

當x=l,y=3,二z=12

和為0+6+12=18

故答案為：18

【變式1-4](2024.江蘇南通高三期末)已知X為包含v個元素的集合(ueN'/N3).設(shè)力為由X的一

些三元子集(含有三個元素的子集)組成的集合，使得X中的任意兩個不同的元素，都恰好同時包含在唯

一的一個三元子集中，則稱區(qū)力)組成一個V階的Steiner三元系.若(X,A)為一個7階的Steiner三元系,則

集合A中元素的個數(shù)為.

【答案】7

【分析】令X=｛a,瓦c,d,e,fg｝,列舉出所有三元子集，結(jié)合(X,/1)組成丫階的Steiner三元系定義，確定人中

元素個數(shù).

【詳解】由題設(shè),令集合X=｛a,b,c,d,e,f,g｝,共有7個元素，

所以X的三元子集，如下共有35個：

｛a,b,c｝、｛a,b,d｝.｛a,b,e｝x｛a,b.f｝.｛a,b,g｝、｛a,c,d｝、｛a,c,e｝、｛a,c,f｝、｛a,c,g｝、｛a,d,e｝、｛a,d,f｝、

｛a,d,g｝、｛a,ej｝、｛a,e,g｝、｛aj,g｝、｛瓦c,d｝、｛b,c,e｝、｛瓦c,f｝、｛b,c,g｝、｛b,d,e｝、｛b,d,/｝、｛b,d,g｝、

｛b,e,f],｛b,e,g｝、｛b,fg｝、｛c,d,e〕、｛c,dJ｝、(c,d,g｝、｛c,e,/｝、｛c,e,g｝、｛c,fg｝、｛d,e,/｝、｛d,e,g｝、｛d/g｝、

｛e，f，g｝,

因為4中集合滿足X中的任意兩個不同的元素，都恰好同時包含在唯一的一個三元子集，所以A中元素滿足

要求的有：

｛a,b,c｝、｛a,d,e｝、｛aj，。｝、｛dd,f｝、｛b,e,g｝、｛c,d,g｝、共有7個;

｛a,b,c｝、｛a,d,/｝、｛Q，e，。｝、｛8,d,e｝、｛"g｝、｛c,d,g｝、共有7個；

｛a,b,c｝、｛a,d,g｝、｛a,e,f｝、｛b,d,e｝、｛"g｝、｛c,d,f｝、｛c,e,g],共有7個；

｛a,仇叫、｛a,c,e｝、｛"g｝、｛b，af｝、｛b，e,g｝、｛c,d,g｝、｛d,e,f｝，共有7個；

｛a,b,d｝、｛a,c,g｝、｛a，e,f｝、｛b,c,e｝、｛"g｝、｛c,dj｝、｛d,e,g｝,共有7個;

｛a,b,d｝、｛a,c,f｝、｛a，e,g｝、｛b,c.e｝、｛"g｝、｛c,d,g｝、｛d,e,f｝,共有7個；

｛a,①e｝、｛u,c,"｝、w，/■，辦—｝、吃辦｛d.e.f｝，共有7個；

｛a,b,e｝、｛a，G/｝、｛a,d,g｝、｛瓦c,d｝、也f，g｝、｛c,e,g｝、共有7個；

｛a,b,e｝、｛a，c，g｝、｛a.d.fY｛仇ad｝、｛瓦/⑼、｛c，e，/｝、｛d.e.g｝，共有7個；

｛。，匕力、｛a,c,d｝、｛a，e，g｝、｛b,c,e).(b.d.g).｛c/g｝、｛d,e,f｝,共有7個;

｛皿｝、｛a,c,e｝、?d,g｝、也加嗎、｛瓦e,g｝、｛c/g｝、｛d,e,f｝,共有7個;

｛a，b,f｝、｛a，c,g｝、｛a,d,e｝、｛瓦ad｝、(瓦巴辦｛c,e,f｝、[d,f,3｝，共有7個；

｛a,b,g｝、｛a,c,d｝、｛a,e,f｝、｛瓦c,e｝、｛b,d,f｝、｛c/g｝、｛d,e,g｝,共有7個;

｛a,b,g｝、｛a,c,e｝、｛a,d,f｝、［b,c,d｝x｛瓦e,f｝、｛c,/,g｝、｛d,e,g｝,共有7個；

｛a,b,g｝、｛a,c,/｝、｛a,d,e｝,｛b,c,d｝、｛瓦e,f｝、｛c,e,g｝、｛d,/,g｝,共有7個；

共有15種滿足要求的集合A，但都只有7個元素.

故答案為：7

【題型2復數(shù)新考點】

［例2］（2023?全國?統(tǒng)考模擬預測）已知復數(shù)z=Q+爭）"，neN?且z>0,則n的最小值為（）

A.1B.3C.6D.9

c

計算出C+,i）n（n=234,5,6）的值，即可得解.

9

+V3

/1一

一2

\2

/19

一+V3T

\2

斤

當

，n=6時,z>0.故n的最小值為6.

故選：C.

?2023

【變式2-1］（多選）（2024上云南高三校聯(lián)考階段練習）若復數(shù)z=%，則（）

A.z的共期復數(shù)2=三2B.|z|=y

C.復數(shù)z的虛部為.iD.復數(shù)是復平面內(nèi)對應的點在第四象限

【答案】ABD

【分析】首先化簡復數(shù)z,再根據(jù)復數(shù)的相關(guān)概念，即可判斷選項.

【詳解匕，=昌瑞=|七，則人等，故A正確；

0=J（|）2+（-T,故B正確；復數(shù)Z的虛部為一】故C錯誤；

復數(shù)Z在復平面內(nèi)對應的點為（I,-0,在第四象限，故D正確.

故選：ABD

【變式2-2X多選I2024上?江西宜春高三上高二中校考階段練習股z為復數(shù)，則下列命題中正確的是：）

A.|z|2=zzB.若z=（1-2i）2,則復平面內(nèi)5對應的點位于第二象限

C.z2=|z|2D.若|z|=1,則|z+i|的最大值為2

【答案】ABD

【分析】利用復數(shù)的四則運算，復數(shù)模的性質(zhì)逐個選項分析即可.

22

【詳解】對于A，設(shè)z=a+b\/故2=a-bi,則|zF=a+b,zz=（a4-bi）（a-bi）=Q?+/,故=zz

成立，故A正確，

對于B,z=(1-2i)2=-4i-3,z=4i-3,顯然復平面內(nèi)建t應的點位于第二象限，故B正確，

22

對于C,易知口2=小+匕2,z2=+匕2+2ab\,當Q/)H0時,ZH\z\,故C錯誤,

對于D,若|z|=1,則小+b2=1,而|z+i|=J。？+3+1)2=>12b+2,易得當b=1時，|z+i|最大,

此時|z+i|=2,故D正確.

故選：ABD

【變式2-3](多選X2024上云南德宏?高三統(tǒng)考期末)已知之是復數(shù)z的共軌復數(shù)，則下列說法正確的是()

A.z-z=z2B.若|z|=1,則z=±1

C.|z-z|=|z|?\z\D.若憶十1|=1,則憶-1|的最小值為1

【答案】CD

【分析】結(jié)合復數(shù)的四則運算，共甄復數(shù)的定義及復數(shù)模長的公式可判斷A；結(jié)合特殊值法可判斷B；結(jié)合

復數(shù)模長的性質(zhì)可判斷C；結(jié)合復數(shù)的幾何意義可判斷D.

【詳解】對于A,設(shè)z=a+bi(a,bGR),則z-z=(a+bi)(a-bi)=a2+b2=\z\2,但z?=(a+bi)2=

(a+bi)(a+bi)=a2+2abi-b?,故A錯誤;

對于B,令2=i,滿足|z|=|i|=1,故B錯誤；

對于C,設(shè)z=a+bi(a,bGR)，則5=a-歷所以z-z=(a+bi)(a-bi)=a2+b2,則|z-z\=\a2+b2\=

a2+b2\z\?\z\=Va2+b2-Va2+b2=a2+b2,所以|z?z\=|z|?|2|,故C正確；

對于D,設(shè)z=a+bi(a,bWR),則|z+1|=|a+1+bi|=7(a+l)2+b2=1,

即(a+I/+中=1,表示以(一1,0)為圓心，半徑為1的圓,

\z-l\=J(a-I]+爐表示圓上的點至1(」1,0)的距離,故|z-1|的最小值為舊一1=1,故D正確.

故選：CD

【變式2-4](多選)(2024上?河南南陽?高三統(tǒng)考期末)設(shè)復數(shù)z=-苧i的共匏復數(shù)為2,則下列結(jié)論正

確的有()

A.z=cos—+isin—R.-=-

C.HI=1D.z24-z2=2

【答案】AC

【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合共輪復數(shù)的概念，以及復數(shù)代數(shù)形式的乘除法運算法則，即可求解.

【詳解】對于A,z=-1+yi=cosy+isiny,故A正確；

對于8,套=蔚=署=1,故B錯誤;

2J+爭(一1豹1V3.

,所以用=1，故C正確；

2

對于D/2=(十爭)+z=(-1+yi)=-?爭，所以z2+%2=—l,故D錯誤.

故選：AC

【題型3函數(shù)選圖題新考點】

【例312024.浙江.高三期末圮知函數(shù)對任意的xeR有/'(%)+/(-x)==0月當3>0時f(x)=ln(x+1),

則函數(shù)f(x)的圖象大致為()

【答案】D

【解析】由/⑶+f(r)=0得f(r)=~fW，得到函數(shù)是奇函數(shù)，根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性之間的關(guān)系

即可得到結(jié)論.

【詳解】由f(幻+/(-%)=0得/(t)=-/(x),則函數(shù)是奇函數(shù),排除A、C

???當＞0時，f(x)=ln(x+1),，對應的圖象為D,

古煙：D.

C.D.

【答案】C

【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性，結(jié)合特殊值，即可排除選項.

【詳解】首先/'(T)=-/(X),所以函數(shù)是奇函數(shù)，故排除DJ(2TT)=27r,故排除B,

當x6(0?)時，/(%)>0,故排除A,只有C滿足條件.

故選：C

【變式3-2](2024.安徽省.高三博以)函數(shù)f(%)=aln|x|+:的圖象不可能是()

【答案】D

【分析】分Q=0,Q>0和a<0三種情況討論，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性及函數(shù)的零點即可得出答案.

【詳解】①當Q=0時，/(外=]此時A選項符合；

1(alnx+-,x>0

②當Q>0時，/'a)=aln|x|+!=1、,

Ialn(-x)+-,x<0

當x<0時,fM=aln(-x)+：,

因為由數(shù)y=aln(-x),y=:在(一8,0)上都是減函數(shù)，

所以函數(shù)f(x)在在(-8,0)上是減函數(shù),

如圖，作出函數(shù)y=aln(-x),y=一;在(一8,0)上的圖象，

由圖可知,函數(shù)y=aln(-x),y=一§的圖象在(-8,0)上有一個交點，

即函數(shù)“外在在(-8,0)上有一個零點，

當x>0時，/'(%)=alnx+：,則/(%)=?-妥QX-1

由，(x)>0,得x>［由/''a)<0,得0<xV)

所以函數(shù)人外在(0,J上單調(diào)遞減，在(9+8)上單調(diào)遞增，

當a=1時，f(，)=alnj+a=1,故B選項符合；

alnx+-,x>0

③當a<0時，/1(x)=aln|x|+：=

aln(—x)+<0

當x>0時,/(x)=a\nx+1,

因為函數(shù)y=alnxfy=:在(0,+8)上都是減函數(shù),

所以函數(shù)人外在(0,+8)上是減函數(shù)，

-紙(0,+8)上的圖象,

由圖可知,函數(shù)y=a\nx,y=一:的圖象在(0,+<?)上有一個交點，

即函數(shù)/(X)在在(0,+8)上有一個零點,

當x<0時，f(x)=aln(-x)+:,則/(無)=￡一妥二等,

由廠(工)>0,得％V?,由/(%)<0,得5VxV0,

所以函數(shù)f(x)在(，0)上單調(diào)遞減，在(-8,￡)上單調(diào)遞增，

當a=-1時，/弓)=Qin(—：)+Q=-1,故C選項符合，D選項不可能.

故選：D.

【變式3-312024.安徽.高三期末若將Iny=Inx+ln(y-%)確定的兩個變量y與x之間的關(guān)系看成y=/(x),

)

【答案】C

【分析】利用對數(shù)的運算及排除法即可求解.

【詳解】由Iny=Inx+ln(y-%)得y=x(y-x)=xy-x2

顯然所以、=三

由x>0,y>0得％>1,

所以/(%)=^―(x>1),排除AB,

X—1

由/(%)=M=%-1+止7+222+2=4,當且僅當％=2時取等號,可排除D.

故選：C.

【變式3-4](2023上湖北?高三校聯(lián)考階段練習)已知函數(shù)/(x)的定義域為(-8,0)u(0,+8),滿足八⑶)=

/W.當x＜。時/'(%)=Q-x)Inx2,則/(外的大致圖象為()

【答案】D

【分析】利用函數(shù)的奇偶性，及特殊位置結(jié)合排除法即可判定選項.

【詳解】因為函數(shù)FG)的定義域為(-8,0)u(0,+8),滿足/TM)=/(%),

所以/(%)是偶函數(shù)，所以八外的圖象關(guān)于y軸對稱，故排除A;

當一1VxV0時,x<0,Inx2<0，所以f(x)=(^-x)Inx2>0,故排除B,C.

故選:D

【題型4比較大小新考點】

[例4](2024.遼寧重點高中?模擬預測)設(shè)Q=cosO.l,b=lOsinO.l,c=—^―，則()

lutonu.i

A..a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.a<c<b

【答案】D

【分析】先根據(jù)sin。V6<tan。，0G(0,9，得到b>a,cAa,再構(gòu)造函數(shù),比較出c<黑黑

\Z//JYbUloUU

得到結(jié)論.

【詳解】a=cosO.l1OsinO.1>0,c=——-——>0；

>0,b=lOtanO.l

3=lOtanO.l,/=lOtanO.l-cosO.l=lOsinO.l,

下證9G(°片)時，tan?>0>sin?,

>1

設(shè)/A08=8W(0,9,射線OB與單位圓。相交于點C,過點C作C/)_Lx軸于點D,

單位圓與%軸正半軸交于點力，過點>1作軸，交射線0B于點B,連接4c,

貝卜。=sin0,AR=tan。,

設(shè)扇形40C的面積為S,因為SAAOC<S<SXAOB，

所以CD<^0<^OA-AB,即sing<8<tan6?,

故tanO.l>0.1>sinO.l,所以￡=lOtanO.l>10x0.1=1,=lOsinO.l<10x0.1=1,

所以b>a,c>a,

因為b=1OsinO.1,令f(x)=sinx-%+高，xG(。j)，

則/'(X)=COSX-1+y,其中尸(0)=0,

令g(x)=fix'),則g'(x)=-sinx+x,g'(0)=0,

令/i(x)=g'M,則“(%)=-cosx+1>0在x€(o,：)上恒成立，

則Mx)=g'(x)在xw(o,9上單調(diào)遞增，又g'(o)=o,

故/;(r)=g'M=-sinr+r>。在YF上恒成立，

所以g(x)=f(x)=cos%-1+4生”G(0,9上單調(diào)遞增，又/(0)=0,

故g(%)=fix')=COSX-1+y>0在Xe(0,：)上恒成立,

所以f(x)=sinx-x+?在％6(0,上單調(diào)遞增，又/XO)=0,

所以sinO.l-0,1+^->0,BPsinO.l>0,1一等二2一氤=贏，

則b=1OsinO.1>7—

cosO.l

因為c=砒而=永而

令q(x)=COSX-l+y-^-,XG(0,；),

4/睛\LJ

33

貝！Jq'(無)=—sinx+x――,令w(x)=q'(x)=-sinx+x——

66

則w'(%)=—cosx4-1—y,令e(x)=w'(x)=-cosx+1-y

貝!Je'(x)=sinx—x,令r(x)=e'(x)=sinx—x,

則y(x)=cosx-1<。在x€(0,3上恒成立，

所以r(x)=e'(x)=sinx-x在x€(0,；)單調(diào)遞減,

又r(0)=0,故r(x)=ez(x)=sinx-x<0在xW(0,：)上恒成立,

所以e(x)=w'(%)=—cosx+1-yffixe(0弓)上單調(diào)遞減,

又e(0)=0,故e(x)=w'(x)=-cosx+1-y<0在xG(0,：)上恒成立，

所以w(x)=q'(x)=-sinx+x-器在無E(0,])上單調(diào)遞減,

又w(0)=0,故w(x)=qrw=-sinx+x-<。在xG(04)上恒成立,

故q(x)=cosx-1+y-盤在xw(o,上單調(diào)遞減,

又q(0)=0,故q(0.1)<0,即cosO.lv1-等+等=瑞黑

238801

的_]_COS0.14240000_238801乂600_238801

必一lOtanO.l-lOsinO.l'%一240000乂599—239600

600

,238801599,,

其中CV-----<一<b,

239600600

則aVcVb,D正確.

故選：D

【點睛】麥克勞林展開式常常用于放縮法進行比較大小，常用的麥克勞林展開式如下：

e”二1十X十第十…十5十”才")，sinx=%一片十差一…十(-l)n十八1+2),

2丫4寸6丫2n

cosx=1---v-+-----+???+(-l)n---+o(x2n),

2!4!6!''(271)!'''

ln(l+幻=無一?+?—…+(-1尸三+。(￡吐1),

=1+x+x24----Fxn+o(xr),(1+x)n=1+nx++。(/)

【變式4-1】(2024?江蘇四校聯(lián)合?高三期末)設(shè)0=：,匕=21rl(sing+cosJ,c=訕：，則()

A..a<b<cB.b<a<c

C.c<b<aD.a<c<b

【答案】B

【分析】利用%>sinx和％>ln(x+1)以及InQ4-1)>,再進行合理賦值即可.

【詳解】b=In(sin+cos=ln(l+sin》,c=(1+In(1+,

設(shè)Mx)=x-sinx,%G(0,4-oo),則1(%)=1-cosx>0,

則/i(x)在(0,+s)上單調(diào)遞增，則h(x)>/i(0)=0，則3>sinx在［0,+8)上恒成立，則；>sin：，即a>sin；,

444

設(shè)g(%)=x-ln(x+1),x6(0,4-co),貝!Jg'O)=1-W=W>。在(°，+8)上恒成立,

則g(x)>g(0)=0,貝>ln(x+1)在(0,+8)上恒成立，

令x=sin：,則In(1+sin；)<sin：<：,則a>b,

設(shè)/⑺=ma+1)一喜，(出=W一卷=品>°在(。川上恒成立，

則/(%)在(0,1］上單調(diào)遞增，則f(x)>/-(0)=0,即ln(x+1)>W在(0,1］上恒成立,

令X=；,則足>：,則:后>；，即c>a,故c>a>匕，

445444

故選：B.

【變式4-2】(2024.吉林.高三期末)已知a=sin1,b=^cos^,c=ln|，則()

A.c<a<bB.c<b<a

C.b<c<aD.b<a<c

【答案】D

【分析】構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，從而比較大小.

【詳解】設(shè)/(%)=sinx-xcosx,xG(0,^),則，-xsinx,

在x6(0j)時，/'(%)>0,所以/(%)在(04)上單調(diào)遞增，

所以/(%)>/(0)=0,則居)=sin|-|cos|>0,

即sin：>^cos1,則a>b,

設(shè)g(x)=lnx+［則g<%)=受,%>0/

則當x6(0,1),g<x)<0,所以g(x)為減函數(shù),

則當x6(1,+8),g，(x)>0,所以g(%)為增函數(shù)，

所以弱)=嗎+：>。⑴=1,則叫冶；

設(shè)A(x)=x-sinx,xe(0,0,則//(%)=1-cosx>0,

所以h(外在(0,3為增函數(shù)，則/I?)=^-sini>h(0)=0,

BP^>sin|,則嗎,sing,所以c>Q；

所以c>a>b.

故選：D.

【點睛】思路點睛：兩個常用不等式

(1)x>sinx,xe

(2)sinx>xcosx,x6(0,：)

【變式4-3](2024.全國.模擬預測)已知Q=,b=1+sin^,c=l.l6,則a,b，。的大小關(guān)系為()

A..a>b>cB.a>c>bC.c>a>bD.c>b>a

【答案】C

【分析】先利用常見不等式放縮得到Q,b的大小關(guān)系，再利用黑函數(shù)的單調(diào)性比較Q,C的大小關(guān)系即可得

到答案.

【詳解】令f(%)=cx-X-1(%>0),則廣(x)=cx-1>0恒成立，

所以八外在(0,+8)單調(diào)遞增，

所以當尢>。時,/(A.)>/(0)=0,即c*>x+l(x>0)；

令g(x)=x-sinx(x>0),則g，(x)=1-cosx>0恒成立，

所以g(x)在(0,+8)單調(diào)遞增，

所以當x>0時，g(x)>g(0)=0,即sinx<x(x>0)；

由誘導公式得匕=1+sin^=1+sin^,

所以b=1+si咤V1+卜Ve石,因此a>b；

因為a=eio<eio=e04,c=l.l6=(l.l15)0,4,

故只需比較。與1.M5的大小，

1512

由二項式定理得，Ll】s=(1+0.1)>1+c}5x(0.1)+C?5x(0.1)>3>e,

所以c>a.

綜上，c>a>b.

故選：C

【點睛】方法點睛：本題考查比較大小問題，此類問題常見的處理方法為：

(1)中間值法：通過與特殊的中間值比較大小，進而判斷兩個數(shù)的大小關(guān)系；

(2)構(gòu)造函數(shù)法：通過觀察兩個數(shù)形式的相似之處，構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性與極值等性質(zhì)進

而比較大小；

(3)放縮法：利用常見的不等式進行數(shù)的放縮進而快速比較大小.

【變式4-4】(2023?山東臨沂?統(tǒng)考一模)已知無=Jogiy=Vx,x=logxz，則()

A.x<y<zB.y<x<zC.z<x<yD.z<y<x

【答案】B

【分析】構(gòu)造f(x)=X-C)',由零點存在定理求得零點X的范圍,即可結(jié)合指數(shù)函數(shù)、導函數(shù)的性質(zhì)比

較x=G)*，y=00，z=好的大小.

【詳解】令/'(X)=X(；)',則f(x)在R上單調(diào)遞增，

由/(I)>0,fC)<0,則XeQ,1)時TO)=0,即％=G)x,[filogiy=a=y=04,

?：X<Vx,

???x-y=G)x-G)">0=>x>y.

=x

X=logxZ=Z=X*>G)-

綜上：yvxvz.

故選：B.

【題型5數(shù)列小題新考點】

【例5X2024上?北京房山?高三統(tǒng)考期末威學家祖沖之曾給出圓周率"的兩個近似值：，約率,弓與“密率”篙.

它們可用.調(diào)日法'得到稱小于3.1415926的近似值為弱率大于3.1415927的近似值為強率.由于:V兀<"

取3為弱率，4為強率，計算得4=擊=[故的為強率,與上一次的弱率3計算得a2=震=?,故Q2為

強率，繼續(xù)計算，.…若某次得到的近似值為強率，與上一次的弱率繼續(xù)計算得到新的近似值，:若某次得到

的近似值為弱率，與上一次的強率繼續(xù)計算得到新的近似值，依此類推.已知=得，則m=()

A.8B.7C.6D.5

【答案】B

【分析】根據(jù)題意不斷計算即可解出.

【詳解】因為。2為強率，由:<兀<—可得，的=篝=號,3.1415927,即th為強率；

由兀V,可得，4=富=3.1415927,即明為強率；

由：V兀V4可得,。5=~7TT=白>3.1415927,即g為強率；

由兀<?可得，Q6=鱉=一,3.1415927,即。6為強率；

1ol+o/

由:V兀V-可得，劭=等=日=3.125<3.1415926,即a?為弱率，所以m=7,

171+7o

故選：B.

【變式5-1】(2023?山東煙臺?統(tǒng)考二模)給定數(shù)列A,定義A上的加密算法力：當i為奇數(shù)時，將A中各奇

數(shù)項的值均增加i,各偶數(shù)項的值均減去1；當i為偶數(shù)時，將A中各偶數(shù)項的值均增加2i,各奇數(shù)項的值

均減去2，并記新得到的數(shù)列為力⑷(iWN*).設(shè)數(shù)列無：2,0,2,3,5,7,數(shù)列%=差(%),(nWAT),

則數(shù)列%為；數(shù)列82rl的所有項的和為

【答案】1,3,1,6,4,109n2-3n+19

【分析】由題意求出數(shù)列當，即可求解數(shù)列當；對于偶數(shù)項可得當”-B2n_2=4n-l,為等差數(shù)列，寫出

第2,4,6項.對于奇數(shù)項可得-B2n_2=2n-3,為等差數(shù)列，寫出第1,3,5項，相加即可求解.

【詳解】由題意，

B1=A(B0),1為奇數(shù)，所以無:3,-1,326,6,

B2=僅當),2為偶數(shù),所以2:1,3,1,6,4,10.

因為82n=f2n(82n-l)=An(/2n-l(^2n-2))12n為偶數(shù),2n—1為奇數(shù),

所以對于偶數(shù)項，-B2n.2=-1,B2n-/n-i=4n,得々n-B2n_2=4n-1z

則｛4n-％-2｝為等差數(shù)列，得數(shù)列B2n中：

⑶(4

第2項為：0+(3+7+…+4n—3+4n—1)=丁加=(2n+l)n,

第4項為：3+(3+7+…+4/7-3+4/—1)=(2n+1)九+3,

第6項為：7+(3+7+…+471-3十4九-1)二(2n十l)n+7；

對于奇數(shù)項t^2n-l~B2n-2=2/1—1,B271—^2n-l=-2，得為口-B2n-2=2M—3,

則｛B2n-々n-2｝為等差數(shù)列，得數(shù)列B2n中：

第I項為：2+(—1+…+2九-5+2n-3)=2+[-1+(2；-3-=(n-2)n+2,

第3項為：2+(—1+…+2〃-5+-3)=2+…歹))"=(n―2)幾+2,

第5項為：5+(—1+…+2n—5+2九-3)=(n—2)九+5,

所以4八所有的項的和為

(2n+l)n+(2n+l)n+3+(2n+l)n+7+n(n-2)+2+n(n—2)4-24-n(n—2)+5=9n2—3n+

19.

故答案為：1,3,1,6,4,10；9n2—3n+19.

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題解決的關(guān)鍵是理解新定義“數(shù)列A”的算法，以學習過的數(shù)列相關(guān)的知識為基礎(chǔ)，

通過一類問題共同特征的''數(shù)學抽象”，引出新的概念，然后在快速理解的基礎(chǔ)上，解決新問題.

【變式5-2](2024江西省九師聯(lián)盟)在1,3中間插入二者的乘積，得到1,3,3,稱數(shù)列1,3,3為數(shù)列

1,3的第一次擴展數(shù)列，數(shù)列1,3,3,9,3為數(shù)列1,3的第二次擴展數(shù)列，重復上述規(guī)則，可得1,必，

%2，…，x2n_1,3為數(shù)列1,3的第n次擴展數(shù)列，令On=log3（lX%]xx2x???xx2n-iX3）,QI擻列｛Q?J的

通項公式為.

【答案】冊=嬰

【分析】根據(jù)數(shù)列的定義找到即+1與冊的關(guān)系，然后^用構(gòu)造法結(jié)合等比數(shù)列的定義求解即可.

【詳解】因為即=10g3（lX勺X。X…XX2n_iX3）,

23a

所以Q〃+l=IOg3[l?（1?無1）%（￥62）%2?3）?3]=l0g3（l.婢球…機2機1°=n-

1,

所以Q》+1-：=3（冊一，

又臼=log3（lx3x3）=2,所以%-》

所以｛斯-目是以|為首項，3為公比的等比數(shù)列，

所以Q”一；|X3"T=y,所以冊二號

故答案為：“=等

【變式5-3】(2023上廣東深圳.)若系列橢圓的:冊/+V=1(0<an<1,nGN*)的離心率en=g)",

則/=()

A.i-erc1nD1n

B.D-J-G)-J-G)

【答案】A

【分析】先化為標準方程，直接求出離心率列方程即可求解.

【詳解】橢圓c，可化為：￥+?=L

-1

an

n

,解得：an=1-Q)

因為0<an<l,所以離心率分=￡=

故選：A

【變式5-4](2024上?浙江溫州?高三)漢諾塔(又稱河內(nèi)塔)I'巨題是源于印度一個古老傳說的益智玩具.如

圖所示目標柱起始柱輔助柱的漢諾塔模型，有三根高度相同的柱子和一些大小及顏色各不相同的圓盤，三

根柱子分別為起始柱、輔助柱及目標柱.已知起始柱上套有幾個圓盤，較大的圓盤都在較小的圓盤下面.現(xiàn)把

圓盤從起始柱全部移到目標柱上，規(guī)則如下：每次只能移動一個圓盤，且每次移動后，每根柱上較大的圓

盤不能放在較小的圓盤上面.規(guī)定一個圓盤從任一根柱上移動到另一根柱上為一次移動.若將九個圓盤從起始

柱移動到目標柱上最少需要移動的次數(shù)記為p(n),則p(3)=￡與1p(i)=.

目標柱起始柱輔助柱

【答案】72n+1-n-2

【分析】根據(jù)題意可得p(l)=1,當n(n>2)時,求p(析分三步,從而可得p(n)=2p(n-1)+l(n>2),

則可求出PS),進而可求得答案.

【詳解】顯然p(l)=1.

當有/5>2)個圓盤時，求pQ)分三步：

第一步，先將上面的n-1個圓盤移到輔助柱，至少需要p(〃-1)次；

第二步，將起始柱上最大的一個圓盤移動到目標柱子，需1次；

第二步，將輔助柱上的九-1個圓盤移動到目標柱至少需要p(n-1)次，

因此p(n)=2p(n-1)+l(n>2),

所以p(zi)4-1=2[p(n-1)+l](n>2)

因為P⑴=1,

所以數(shù)列｛pS)+1｝是以2為公比，2為首項的等比數(shù)列，

所以p(?i)+1=2x2n-1=271

所以p(n)=2n-1,所以「⑶=7,

fn+1

洋1P(i)=2-=1(2-1)=-^=2-n-2,

故答案為：7,2〃+】一九一2.

【變式5-5](2024上上海)已知等差數(shù)列｛Q,J(公差不為0)和等差數(shù)列｛九｝的前幾項和分別為Sn、Tn,如

果關(guān)于％的實系數(shù)方程1003/-Sioo3X+Aoo3=0有實數(shù)解，那么以下1003個方程/—口/+仇=

0(i=1,2,…1003)中,有實數(shù)解的方程至少有()個.

A.499B.50CC.501D.502

【答案】D

2

【分析】依題意，由等差數(shù)列的性質(zhì)及求和公式得到Q52-4b5”>0,要想無實根，需滿足a：-4bi<0,

結(jié)合根的判別式與基本不等式得到Ai<0,A1003<0至多一個成立，同理可證：&<0,A1002<0至多一個成

立r，，，△501<。，ASO3<。至多一個成立，且%02—0，從而得到結(jié)論.

【詳解】由題意得：S：003-4x1003T1003>o,其中S1003=1。。3(2+%。。3)=1003a502,

71003=幽竽32=1003壇02，代入上式得：磋02-也02>。，

要方程―-atx+瓦-0(i-1,2,3,…,1003)無支數(shù)解，則方-4bt<0,

顯然第502個方程有解.

設(shè)方程/一axx+瓦=0與方程/一a1003x+d()03=0的判別式分別為△I，AIOO3，

則4+“003=(al-4瓦)+@oo3-4瓦003)=向+說)03-4(瓦+b1003)

之(%：ioos，4X2/)502=8b502=2(碎02—4^502)-0I

等號成立的條件是a1=a1003/所以A]<0,A1003<0至多一個成立，

同理可證：MV。泊1002<。至多一個成AZIA501VA503V。至多一個成AZ,且A502—。，

綜上，在所給的1003個方程中，無實數(shù)根的方程最多502個，

故選：D.

【點睛】解決本題關(guān)鍵是靈活運用二次方程根的判別式，等差數(shù)列性質(zhì)及基本不等式進行求解.

【題型6排列組合小題新考點】

[例6](2023?貴州?校聯(lián)考模擬預測)公元五世紀，數(shù)學家祖沖之估計圓周率冗的值的范圍：3.1415926<兀<

3.1415927,為紀念祖沖之在圓周率的成就，把3.1415926稱為，,祖率”，這是中國數(shù)學的偉大成就.某小學教

師為幫助同學們了解，祖率”，讓同學們把小數(shù)點后的7位數(shù)字1,4,1,5,9,2,6進行隨機排列，整數(shù)部分3不變，

那么可以得到小于3.14的不同數(shù)字的個數(shù)有()

A.240B.36。C.60()D.720

【答案】A

【分析】分為3.11開頭的以及3.12開頭的，分別計算得出結(jié)果，根據(jù)分類加法計數(shù)原理加起來,即可得出

答案.

【詳解】小于3.14的不同數(shù)字的個數(shù)有兩類：

第一類：3.11開頭的,剩余5個數(shù)字全排列有Ag=120種；

第二類：3.12開頭的，剩余5個數(shù)字全俳列有Ag=120種.

根據(jù)分類加法計數(shù)原理可知，共120+120=240種.

故選：A.

【變式6-1](2023.寧夏銀川?銀川一中?？家荒?圖為一個開關(guān)陣列，每個開關(guān)只有“開討「關(guān)’兩種狀態(tài)，

按其中一個開關(guān)1次)隆導致自身和所有相鄰的開關(guān)改變狀態(tài)例如按(2,2)將導致(1,2),(2,1),(2,2),(2,3),

(3,2)改變狀態(tài).如果要求只改變(1,1)的狀態(tài),則需按開關(guān)的最少次數(shù)為()

(1,1)(1,2)(1,3)

(2,1)(2,2)(2,3)

(3,1)(3,2)(3,3)

A.5B.6C.7D.8

【答案】A

【分析】分析可知，要只改變(L1)的狀態(tài)，則只有在(1,1)及周邊按動開關(guān)才可以實現(xiàn)開關(guān)的次數(shù)最少，利

用表格分析即可.

【詳解】根據(jù)題意可知：只有在(L1)及周邊按動開關(guān)，才可以使按開關(guān)的次數(shù)最少，具體原因如下：

假設(shè)開始按動前所有開關(guān)均為閉合狀態(tài)，要只改變(1,1)的狀態(tài)，在按動(1,1)后，(1,2),(2,1)也改變，

下一步可同時恢復或逐一恢復，同時恢復需按動(2,2)，但會導致周邊的(2,3),(3,2)也改變，因此會按動開

關(guān)更多的次數(shù)；所以接下來逐一恢復，至少需按開關(guān)3次；

這樣沿著周邊的開關(guān)再按動，可以實現(xiàn)最少的開關(guān)次數(shù)，即按動5次可以滿足要求.

如下表所示：(按順時針方向開關(guān)，逆時針也可以)

(14)(1,2)(1,3)(2,1)(2,2)(2,3)(3,1)(3,2)(3,3)

按動(1,1)開開關(guān)開關(guān)關(guān)關(guān)關(guān)關(guān)

按動(1,3)開關(guān)開開關(guān)開關(guān)關(guān)關(guān)

按動(2,3)開關(guān)關(guān)開開關(guān)關(guān)關(guān)開

按動(3,2)開關(guān)關(guān)開開