湖南省名校聯(lián)考聯(lián)合體2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期第四次聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷（含答案）

1PAGE第15頁名校聯(lián)考聯(lián)合體2025屆高三第四次聯(lián)考 數(shù)學(xué) 注意事項：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.）1.設(shè)全集，集合，則（）A. B. C. D.2.（）A. B. C. D.3.已知向量，滿足，，且，則（）A. B. C. D.4.已知正四棱錐的頂點都在球上，且棱錐的高和球的半徑均為，則正四棱錐的體積為（）A. B. C. D.5.已知函數(shù)，則的解集為（）A. B.C. D.6.已知函數(shù)，其中，，若圖象上的點與之相鄰的一條對稱軸為直線，則的值是（）A. B. C. D.7.設(shè)雙曲線的左、右焦點分別為，，過坐標(biāo)原點的直線與C交于A，B兩點，，的面積為，且為鈍角，，則雙曲線C的方程為（）A. B.C. D.8.已知函數(shù)，若方程恰有5個不同的解，則實數(shù)a的取值范圍是（）A. B. C. D.二、選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.）9.設(shè)等差數(shù)列前項和為，公差為，已知，.則（）A. B.C.時，的最小值為 D.最小時，10.如圖，在直三棱柱中，，，E，F(xiàn)，G，H分別為，，，的中點，則下列說法正確的是（）A. B.，，三線不共點C.與平面所成角為 D.設(shè)，則多面體的體積為111.已知拋物線和的焦點分別為，動直線與交于兩點，與交于兩點，其中，且當(dāng)過點時，，則下列說法中正確的是（）A.的方程為 B.已知點，則MA+MF1的最小值為C. D.若，則與的面積相等三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分.）12.曲線在點1,f1處的切線方程為______.13.已知數(shù)列的通項公式為，則__________.14.將2個“0”、2個“1”和2個“2”這6個數(shù)，按從左到右的順序排成一排，則能構(gòu)成__________個自然數(shù)，在所有構(gòu)成的自然數(shù)中，第一位數(shù)為1的所有自然數(shù)之和為__________.四、解答題（本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）15.記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知.（1）求A；（2）若，，，求.16已知函數(shù).（1）證明：；（2）設(shè)函數(shù)，證明：函數(shù)有唯一的極值點.17.如圖，在直角梯形中，，，，點E是的中點，將沿對折至，使得，點F是的中點.（1）求證：；（2）求二面角的正弦值.18.電動車的安全問題越來越引起廣大消費者的關(guān)注，目前電動車的電池有石墨烯電池與鉛酸電池兩種.某公司為了了解消費者對兩種電池的電動車的偏好，在社會上隨機調(diào)查了500名市民，其中被調(diào)查的女性市民中偏好鉛酸電池電動車的占，得到以下的2－2列聯(lián)表：偏好石墨烯電池電動車偏好鉛酸電池電動車合計男性市民200100女性市民合計500（1）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，完成2×2列聯(lián)表，依據(jù)小概率的獨立性檢驗，能否認(rèn)為市民對這兩種電池的電動車的偏好與性別有關(guān)；（2）采用分層抽樣的方法從偏好石墨烯電池電動車的市民中隨機抽取7人，再從這7名市民中抽取2人進行座談，求在有女性市民參加座談的條件下，恰有一名女性市民參加座談的概率；（3）用頻率估計概率，在所有參加調(diào)查的市民中按男性和女性進行分層抽樣，隨機抽取5名市民，再從這5名市民中隨機抽取2人進行座談，記2名參加座談的市民中來自偏好石墨烯電池電動車的男性市民的人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.參考公式：，其中.參考數(shù)據(jù)：0.1000.05000250.0100.0050.0012.70638415.0246.6357.8791082819.“工藝折紙”是一種把紙張折成各種不同形狀物品的藝術(shù)活動，在我國源遠(yuǎn)流長，某些折紙活動蘊含豐富的數(shù)學(xué)內(nèi)容，例如：用一張紙片，按如下步驟折紙：步驟1：在紙上畫一個圓A，并在圓外取一定點B；步驟2：把紙片折疊，使得點B折疊后與圓A上某一點重合；步驟.3：把紙片展開，并得到一條折痕；步驟4：不斷重復(fù)步驟2和3，得到越來越多的折痕.你會發(fā)現(xiàn)，當(dāng)折痕足夠密時，這些折痕會呈現(xiàn)出一個雙曲線的輪廓.若取一張足夠大的紙，畫一個半徑為2的圓A，并在圓外取一定點B，，按照上述方法折紙，點B折疊后與圓A上的點W重合，折痕與直線交于點E，E的軌跡為曲線T.（1）以所在直線為x軸建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求曲線T的方程；（2）設(shè)曲線T的左、右頂點分別為E，H，點P在曲線T上，過點P作曲線T的切線l與圓交于M，N兩點（點M在點N的左側(cè)），記，的斜率分別為，，證明：為定值；（3）F是T的右焦點，若直線n過點F，與曲線T交于C，D兩點，是否存在x軸上的點，使得直線n繞點F無論怎么轉(zhuǎn)動，都有成立?若存在，求出T的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.名校聯(lián)考聯(lián)合體2025屆高三第四次聯(lián)考 數(shù)學(xué) 一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.）1.【答案】B2.【答案】D3.【答案】D4.【答案】B5.【答案】A6.【答案】C7.【答案】B8.【答案】B二、選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.）9.【答案】BC10.【答案】AC11.【答案】BCD三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分.）12.【答案】13.【答案】14.【答案】①.60②.3333330四、解答題（本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）15.【解析】【分析】（1）由已知，利用正弦定理可得，利用余弦定理可求得，即可求得A；（2）由，可得，利用三角形的面積公式可求得，再利用余弦定理即可求得.【小問1詳解】在中，由及正弦定理得，整理得，又由余弦定理得，，因為，所以.【小問2詳解】由，，得，即，解得，由余弦定理可得，，則.16.【解析】【分析】（1）求導(dǎo)分析單調(diào)性，判斷極值即可；（2）構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)分析單調(diào)性，從而得到，即可；【小問1詳解】因為，定義域為0,+∞，所以，由于函數(shù)，在0,+∞上均為單調(diào)遞增函數(shù)，所以在0,+∞上單調(diào)遞增，因為，所以x∈0,1，f'x<0，x∈所以在0,1上單調(diào)遞減，在1,+∞上單調(diào)遞增，所以在處取得極小值，也是最小值，所以.【小問2詳解】因為，的定義域為0,+∞，所以.設(shè)，則，當(dāng)時，h'x>0，所以hx所以，即，所以.又，且在0,+∞上單調(diào)遞增，所以存在唯一的，使得，即，當(dāng)x∈0,x0時，，當(dāng)x∈x0,+∞時，所以函數(shù)Fx有唯一的極值點17.【解析】【分析】（1）根據(jù)幾何關(guān)系，得到，，利用線面垂直的判定得平面，從而得到，根據(jù)題設(shè)有，從而可證得平面，再利用線面垂直的性質(zhì)，即可證明結(jié)果；（2）根據(jù)題設(shè)建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面和平面的法向量，再利用面面角的向量法，即可求解.【小問1詳解】因為，，點E是的中點，所以，，所以四邊形是平行四邊形，又，，所以四邊形是正方形，所以，且，所以，且，即，因為，，平面，所以平面，因為平面，所以，因為F是的中點，，所以，因為，，平面，所以平面，因為平面，所以.【小問2詳解】由（1）知，平面，因為平面，所以.因為，.所以.又，由余弦定理得，因為，所以，所以，以D為坐標(biāo)原點，所在直線為x軸，所在直線為y軸，作平面為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，A2,0,0，，，.因為F是的中點，所以.所以，，，由（1）知，，又，面所以平面，所以為平面的法向量，設(shè)平面一個法向量為n=x,y,z，則，所以，取，則，，所以，所以，設(shè)二面角的平面角為，所以，所以二面角的正弦值為.18.【解析】【分析】（1）由題意直接確定列聯(lián)表，計算，對比數(shù)據(jù)即可判斷；（2）由條件概率計算公式即可求解；（3）記“3名被抽取的男性市民中，恰好抽到k人參加座談”記為事件，求得，再由條件概率乘法公式和互斥事件加法公式計算隨機變量取每一個值對應(yīng)的概率，即可求解；【小問1詳解】被調(diào)查的女性市民人數(shù)為，其中偏好鉛酸電池電動車的女性市民人數(shù)為.偏好石墨烯電池電動車的女性市民人數(shù)為，所以2×2列聯(lián)表為：

偏好石墨烯電池電動車偏好鉛酸電池電動車合計男性市民200100300女性市民80120200合計280220500零假設(shè)：市民對這兩種電池的電動車的偏好與市民的性別無關(guān)，根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)可以求得，由于，根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，我們推斷不成立，即認(rèn)為市民對這兩種電池的電動車的偏好與市民的性別有關(guān).【小問2詳解】因為偏好石墨烯電池電動車的市民中，男性市民與女性市民的比為，所以采用分層抽樣的方法抽取7的人中，男性市民有5人，女性市民有2人，設(shè)“有女性市民參加座談”為事件A，“恰有一名女性市民參加座談”為事件B，則，，所以.【小問3詳解】因為所有參加調(diào)查的市民中，男性市民和女性市民的比為，所以由分層抽樣知，隨機抽取的5名市民中，男性市民有3人，女性市民有2人.根據(jù)頻率估計概率知，男性市民偏好石墨烯電池電動車的概率為，偏好鉛酸電池電動車的概率為，從選出的5名市民中隨機抽取2人進行座談，則X可能的取值為0，1，2.“3名被抽取的男性市民中，恰好抽到k人參加座談”記為事件，則.“參加座談的2名市民中是偏好石墨烯電池電動車的男性市民的人數(shù)恰好為m人”記為事件，則，，，，，，所以，，，故X的分布列如下：X012P.19.“【解析】【分析】（1）以所在直線為x軸，以為x軸的正方向，以的中點為原點建立平面直角坐標(biāo)系，根據(jù)雙曲線定義求出方程即可；（2）直曲聯(lián)立，借助韋達定理，運用斜率公式計算求解即可；（3）直曲聯(lián)立，借助韋達定理和數(shù)量積坐標(biāo)運算公式計算即可.【小問1詳解】以所在直線為x軸，以為x軸的正方向，以的中點為原點建立平面直角坐標(biāo)系，則，，由折紙方法知，，則，根據(jù)雙曲線的定義，曲線T是以A，B為焦點，實軸長為2的雙曲線，設(shè)其方程，則，，所以，.故曲線T的方程為.【小問2詳解】易知直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方