2024-2025學(xué)年北京三十五中九年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年北京三十五中九年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題2分，共16分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.二次函數(shù)y=?2(x+1)2?3圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為A.(1,3) B.(1,?3) C.(?1,3) D.(?1,?3)2.云紋是我國的傳統(tǒng)紋樣，象征著吉祥如意.其以流動(dòng)飄逸的曲線和回轉(zhuǎn)交錯(cuò)的結(jié)構(gòu)體現(xiàn)了流動(dòng)之美.以下云紋圖案都是由朵云通過不同的變換形式構(gòu)造出的，請(qǐng)你選出其中的中心對(duì)稱圖形(

)A.雙分朵云 B.三合云

C.四合云 D.五福云3.若x=3是關(guān)于x的方程x2?2x?m=0的一個(gè)根，則m的值是(

)A.?15 B.?3 C.3 D.154.二次函數(shù)y=x2+4x+a的圖象與x軸沒有交點(diǎn)，則a的值可以是A.?2 B.2 C.4 D.65.在如圖所示的正方形網(wǎng)格中，四邊形ABCD繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)某一角度得到四邊形A′B′C′D′(所有頂點(diǎn)都是網(wǎng)格線交點(diǎn))，在網(wǎng)格線交點(diǎn)M，N，P，Q中，可能是旋轉(zhuǎn)中心的是(

)A.點(diǎn)M

B.點(diǎn)N

C.點(diǎn)P

D.點(diǎn)Q6.如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，連接OA，OB，∠ABO=40°，則∠C的度數(shù)是(

)A.100°

B.80°

C.50°

D.40°7.定點(diǎn)投籃是同學(xué)們喜愛的體育項(xiàng)目之一，某位同學(xué)投出籃球的飛行路線可以看作是拋物線的一部分，籃球飛行的豎直高度y(單位：m)與水平距離x(單位：m)近似滿足函數(shù)關(guān)系y=ax2+bx+c(a≠0).下表記錄了該同學(xué)將籃球投出后的x與yx(單位：m)024y(單位：m)2.253.453.05A.1.5m B.2m C.2.5m D.3m8.如圖，⊙O的直徑AB=12，AM和BN是它的兩條切線，DE與⊙O相切于點(diǎn)E，并與AM，BN分別相交于D，C兩點(diǎn)．設(shè)AD=x，BC=y，則y關(guān)于x的函數(shù)圖象大致是(

)A.B.

C.D.二、填空題：本題共8小題，每小題2分，共16分。9.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P(1,?2)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是______．10.寫出一個(gè)開口向上，且與y軸交點(diǎn)在x軸下方的拋物線的表達(dá)式：______．11.若多項(xiàng)式x2+ax+b可以寫成(x+m)2的形式，且ab≠0，則a的值可以是

，b的值可以是12.在2022年北京冬奧會(huì)開幕式和閉幕式中，一片“雪花”的故事展現(xiàn)了“世界大同，天下一家”的主題，讓世界觀眾感受了中國人的浪漫.如圖，作出“雪花”圖案(正六邊形ABCDEF)的外接圓，已知正六邊形ABCDEF的邊長是4，則BC長為______．13.蜂巢結(jié)構(gòu)精巧，其巢房橫截面的形狀均為正六邊形.如圖是部分巢房的橫截面圖，圖中7個(gè)全等的正六邊形不重疊且無縫隙，將其放在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P，Q，M均為正六邊形的頂點(diǎn).若點(diǎn)P，Q的坐標(biāo)分別為(?23,3)，(0,?3)，則點(diǎn)M的坐標(biāo)為

14.某商品原來每件的售價(jià)為60元，經(jīng)過兩次降價(jià)后每件的售價(jià)為48.6元，并且每次降價(jià)的百分率相同.設(shè)該商品每次降價(jià)的百分率為x，則根據(jù)關(guān)系可列方程為______．15.如圖，正方形ABCD邊長為4，E、F分別是邊AB、BC上的點(diǎn)，CE、DF交于點(diǎn)P，當(dāng)CE=DF時(shí)，BP的最小值為______．16.已知⊙O的半徑為4，B，C是⊙O上兩定點(diǎn)，點(diǎn)A是⊙O上一動(dòng)點(diǎn)，且∠BAC=60°，∠BAC的平分線交⊙O于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作BC的平行線交AB的延長線于點(diǎn)F.下列說法中正確的是______．

①AD的最大值是8；

②點(diǎn)D為BC上一定點(diǎn)；

③S△ABC的最大值是163；

④DF與⊙O相交；

⑤若△ABC為銳角三角形，則2三、計(jì)算題：本大題共1小題，共5分。17.解方程：x2+2x?1=0．四、解答題：本題共11小題，共63分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。18.(本小題5分)

已知x2?2x?5=0，求代數(shù)式3x(x?2)+(x?1)19.(本小題6分)

數(shù)學(xué)課上，王老師提出如下問題：

已知：如圖，AB是⊙O的直徑，射線AC交⊙O于點(diǎn)C．

求作：BC的中點(diǎn)D．

同學(xué)們分享了如下四種方案：

方案一，連接BC，作BC的垂直平分線，交⊙O于點(diǎn)D．

方案二，過點(diǎn)O作AC的平行線，交⊙O于點(diǎn)D．

方案三，作∠BAC的平分線，交⊙O于點(diǎn)D．

方案四，在射線AC上截取AE，使AE=AB，連接BE，交⊙O于點(diǎn)D．

你選擇的方案是______，畫出相應(yīng)圖形并證明．20.(本小題6分)

已知關(guān)于x的一元二次方程x2?(m?1)x+m?2=0．

(1)求證：對(duì)于任意實(shí)數(shù)m(2)m何值時(shí)，方程有負(fù)數(shù)根．21.(本小題5分)

在我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中記載了這樣一個(gè)問題：“今有圓材，埋在壁中，不知大小，以鋸鋸之，深一寸，鋸道長一尺，問徑幾何？”用現(xiàn)代語言表述為：如圖，AB為⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點(diǎn)E，AE=1寸，CD=10寸，求直徑AB的長．

請(qǐng)你解答這個(gè)問題．22.(本小題5分)

已知二次函數(shù)y=ax2+bx+3(a≠0)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A(1,0)，B(3,0)．

(1)求該函數(shù)的解析式；

(2)當(dāng)x>3時(shí)，對(duì)于x的每一個(gè)值，函數(shù)y=x+n的值小于二次函數(shù)y=ax223.(本小題5分)

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(1,2)，B(5,5)，C(5,2)，將△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△AB′C′．

(1)畫出旋轉(zhuǎn)后的△AB′C′；

(2)直接寫出點(diǎn)B′的坐標(biāo)；

(3)直接寫出線段AB在變換到AB′的過程中掃過的區(qū)域的面積.(結(jié)果保留π)24.(本小題5分)

如圖，⊙O是△ABC的外接圓，∠ABC=45°，連接OC交AB于點(diǎn)E，過點(diǎn)A作OC的行線交BC延長線于點(diǎn)D．

(1)求證：AD是⊙O的切線；

(2)若⊙O的半徑為4，AD=6，求線段CD的長．25.(本小題6分)

如圖，AB是直徑AB所對(duì)的半圓弧，C是AB上一定點(diǎn)，D是AB上一動(dòng)點(diǎn)，連接DA，DB，DC.已知AB=5cm，設(shè)D，A兩點(diǎn)間的距離為xcm，D，B兩點(diǎn)間的距離為y1cm，D，C兩點(diǎn)間的距離為y2cm．

小騰根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)．分別對(duì)函數(shù)y1，y2隨自變量x的變化而變化的規(guī)律進(jìn)行了探究．下面是小騰的探究過程，請(qǐng)補(bǔ)充完整：

(1)按照表中自變量x的值進(jìn)行取點(diǎn)、畫圖、測(cè)量，分別得到了x/cm012345y54.9430y43.322.471.403(2)在同一平面直角坐標(biāo)系xOy中，描出補(bǔ)全后的表中各組數(shù)位所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)(x,y1)，(x,y2)并畫出函數(shù)y1，y2的圖象；

(3)結(jié)合函數(shù)圖象，解決問題：連接BC，當(dāng)△BCD是以26.(本小題6分)

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的對(duì)稱軸為x=t．

(1)若3a+2b=0，求t的值；

(2)已知點(diǎn)(?1,y1)，(2,y2)，(3,y3)在該拋物線上.若27.(本小題7分)

等邊△ABC中，點(diǎn)D是邊AB上一點(diǎn)，點(diǎn)E是直線BC上一點(diǎn)，連接DE.將線段DE繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°至DF，連接EF，CF．

(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)A重合，點(diǎn)E在線段BC上時(shí)．

①按照要求補(bǔ)全圖形；

②過BC中點(diǎn)M作AC的垂線交AC于G，交EF于H，判斷EH與FH的數(shù)量關(guān)系，并證明．

(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)A、點(diǎn)B不重合時(shí)，若AD=BE，判斷CF與AD的數(shù)量關(guān)系并說明理由．

28.(本小題7分)

對(duì)于平面直角坐標(biāo)系xOy內(nèi)的點(diǎn)P和圖形M，給出如下定義：如果點(diǎn)P繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到點(diǎn)P′，點(diǎn)P′落在圖形M上或圖形M圍成的區(qū)域內(nèi)，那么稱點(diǎn)P是圖形M關(guān)于原點(diǎn)O的“伴隨點(diǎn)”.已知點(diǎn)A(1,1)，B(3,1)，C(3,2)．

(1)在點(diǎn)P1(?2,0)，P2(?1,1)，P3(?1,2)中，點(diǎn)______是線段AB關(guān)于原點(diǎn)O的“伴隨點(diǎn)”；

(2)如果點(diǎn)D(m,2)是△ABC關(guān)于原點(diǎn)O的“伴隨點(diǎn)”，直接寫出m的取值范圍；

(3)已知拋物線y=x2+bx+c的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(?1,n)

參考答案1.D

2.C

3.C

4.D

5.A

6.C

7.C

8.A

9.(?1,2)

10.y=x2?1(11.?44

12.4313.(314.60(1?x)15.216.①②⑤

17.解：方程變形得：x2+2x=1，

配方得：x2+2x+1=2，即(x+1)2=2，

開方得：x+1=±18.解：3x(x?2)+(x?1)2

=3x2?6x+x2?2x+1

=4x2?8x+1，

∵x19.20.(1)證明：由一元二次方程得：

a=1，b=?(m?1)，c=m?2，

∴Δ=[?(m?1)]2?4(m?2)=(m?3)2≥0，

∴該方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；

(2)解：由一元二次方程得：

x1+x2=?ba=m?1，x1?x2=ca=m?2，21.解：如圖所示，連接OC．

∵弦CD⊥AB，AB為圓O的直徑，

∴E為CD的中點(diǎn)，

又∵CD=10寸，

∴CE=DE=12CD=5寸，

設(shè)OC=OA=x寸，則AB=2x寸，OE=(x?1)寸，

由勾股定理得：OE2+CE2=OC2，

即(x?1)2+5222.解：(1)∵y=ax2+bx+3(a≠0)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A(1,0)，B(3,0)，

∴a+b+3=09a+3b+3=0，

解得a=1b=?4，

∴二次函數(shù)解析式為y=x2?4x+3；

(2)當(dāng)直線y=x+n經(jīng)過點(diǎn)(3,0)時(shí)，3+n=0，解得n=?3，

此時(shí)函數(shù)y=x+n的值等于二次函數(shù)y=ax2+bx+3(a≠0)的值，

所以當(dāng)n≤?323.解：(1)如圖，△AB′C′為所作；

(2)點(diǎn)B′的坐標(biāo)為(4,?2)；

(3)∵AB=42+32=5，

24.(1)證明：連接OA，如圖，

∵∠COA=2∠ABC，∠ABC=45°，

∴∠COA=90°．

∵CO//DA，

∴∠COA+∠OAD=180°，

∴∠OAD=90°，

∴OA⊥DA，

∵OA為⊙O的半徑，

∴AD是⊙O的切線；

(2)解：過點(diǎn)C作CH⊥AD于點(diǎn)H，

∵∠COA=∠OAH=∠CHA=90°，

∴四邊形OAHC是矩形，

∵OA=OC=4，

∴四邊形OAHC是正方形，

∴AH=HC=OA=4，

∵AD=6，

∴∠=DH=AD?AH=6?4=2，

∴CD=DH25.解：(1)∵AB是直徑AB所對(duì)的半圓弧，C是AB上一定點(diǎn)，

∴∠ACB=90°，

∵DA=2cm，AB=5cm，

∴DB=AB2?DA2=52?22=21≈4.58(cm)，

即當(dāng)D、A兩點(diǎn)間的距離為2cm時(shí)y1=4.58cm；

如下表所示：26.解：(1)由題意，∵3a+2b=0，

∴b=?3a2．

∴t=?b2a=34．

∴t=34．

(2)由題意，∵3a+2b+c=0，

∴b=?3a+c2．

∴t=?b2a=3a+c4a=34+c4a．

又∵a>c>0，

∴0<c4a<14，

∴34<t<1．

27.解：(1)①按照要求補(bǔ)全圖形如下：

②EH=FH，理由如下：

過F作FH⊥AC于H，交BC于K，如上圖，

∵將線段DE繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°至DF，

∴DE=DF，∠EDF=60°，

∵△ABC是等邊三角形，

∴AB=AC，∠BAC=60°，

∴∠BAC=∠EDF，

∴∠BAE=∠CAF，

∴△BAE≌△CAF(SAS)，

∴BE=CF，∠B=∠ACF=60°，

∴∠CFH=180°?∠CHF?∠ACF=30°，

∵∠CKH=180°?∠CHK?∠ACB=30°，

∴∠CFH=∠CKH，

∴CF=CK，

∴BE=CK，

∵M(jìn)為BC中點(diǎn)，

∴BM=CM，

∴EM=KM，

∵M(jìn)G⊥AC，

∴MG//FH，

∴MH是△EKF的中位線，

∴EH=FH；

(2)當(dāng)E在線段BC上時(shí)，設(shè)DF交AC于T，如圖：

∵將線段DE繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°至DF，

∴∠EDT=60°，DE=DF，△DEF是等邊三角形，

∴∠ADT=120°?∠BDE=∠BED，

∵∠A=∠B=60°，AD=BE，

∴△ADT≌△BED(ASA)，

∴DT=DE，

∵DE=DF，

∴T與F重合，

∴F在邊AC上，

∵△DEF是等邊三角形，

∴∠DFE=60°，

∴∠AFD=120°?∠EFC=∠FEC，

∵∠A=∠C，DF=EF，

∴△ADF≌△C