幾個(gè)典型的代數(shù)系統(tǒng)

幾個(gè)典型的代數(shù)系統(tǒng)6.1半群與群

半群與群都是具有一個(gè)二元運(yùn)算的代數(shù)系統(tǒng)，群是半群的特殊例子。事實(shí)上，群是歷史上最早研究的代數(shù)系統(tǒng)，它比半群復(fù)雜一些，而半群概念是在群的理論發(fā)展之后才引進(jìn)的。邏輯關(guān)系見(jiàn)圖。圖6.1.1群半群

定義6.1.1設(shè)〈S，*〉是代數(shù)系統(tǒng)，*是二元運(yùn)算，如果*運(yùn)算滿足結(jié)合律，則稱它為半群（semigroups）。換言之，x,y,z∈S,若*是S上的封閉運(yùn)算且滿足(x*y）*z=x*（y*z），則〈S，*〉是半群。許多代數(shù)系統(tǒng)都是半群。例如，〈N,+〉，〈Z,×〉,〈P(S),,〈SS,〉（SS={f|f:S→S},是復(fù)合運(yùn)算）均是半群。但〈Z,-〉不是半群。

再如，設(shè)Σ是有限字母表，Σ+是Σ中的字母串Σ*={λ}∪Σ+，其中λ是不含字母的空串，運(yùn)算τ是字母串的“連接”運(yùn)算，則〈Σ*,τ〉是半群。如Com∈Σ*,puter∈Σ*,經(jīng)τ運(yùn)算后，得Computer仍是字母串?！纠?.1.1】,則〈S,·〉是半群。這里·代表普通的矩陣乘法運(yùn)算。證明對(duì)任意的因?yàn)榍襛1a2≠0,所以,因此·運(yùn)算封閉?！?/p>

【例6.1.2】,則〈S,+〉不是半群。這里+代表普通的矩陣加法運(yùn)算。證明對(duì)任意的取a2=-a1,則且a1+a2=0，所以因此*運(yùn)算不封閉。所以〈S,+〉不是半群?！纠?.1.3】,則〈S,·〉不是半群。這里·代表普通的矩陣乘法運(yùn)算。證明取則所以,因此*運(yùn)算不封閉。所以〈S,·〉不是半群。

對(duì)于半群中的元素，我們有一種簡(jiǎn)便的記法。設(shè)半群〈S,*〉中元素a（簡(jiǎn)記為a∈S）的n次冪記為an，遞歸定義如下：

a1=a

an+1=an*a1

n∈Z+

即半群中的元素有時(shí)可用某些元素的冪表示出來(lái)。因?yàn)榘肴簼M足結(jié)合律，所以可用數(shù)學(xué)歸納法證明

am*an=amn，(am)n=amn。普通乘法的冪、關(guān)系的冪、矩陣乘法的冪等具體的代數(shù)系統(tǒng)都滿足這個(gè)冪運(yùn)算規(guī)則。如果有a2=a，則稱a為半群中的冪等元。

定理

若〈S,*〉是半群，S是有限集合，則S中必含有冪等元。證明因?yàn)椤碨,*〉是半群，a∈S,有a2,a3,…,∈S。因?yàn)镾是有限集合，所以必定存在j＞i,使得ai=aj。令p=j-i,便有ai=aj=ap*ai，所以aq=ap*aq(q≥i)。因?yàn)閜≥1,所以可找到k≥1,使得kp≥i

akp=ap*akp=ap*(ap*akp)=a2p*akp=a2p*(ap*akp)=…=akp*akp

即在S中存在元素b=akp,使得b*b=b。

下面介紹一些特殊半群。定義6.1.2如果半群〈S,*〉中二元運(yùn)算*是可交換的，則稱〈S,*〉是可交換半群(commutativesemigroups)。如〈Z,+〉,〈Z,×〉,〈P(S),〉均是可交換半群。但〈SS,〉,〈Σ*,τ〉不是可交換半群。定義6.1.3含有關(guān)于*運(yùn)算的幺元的半群〈S，*〉，稱它為獨(dú)異點(diǎn)（monoid），或含幺半群，常記為〈S,*,e〉(e是幺元)。【例6.1.4】〈Z,+〉是獨(dú)異點(diǎn)，幺元是0，〈Z,+,0〉;〈Z,×〉是獨(dú)異點(diǎn)，幺元是1，〈Z,×,1〉；〈P(S),〉是獨(dú)異點(diǎn)，幺元是，〈P(S),,〉；〈Σ*,τ〉是獨(dú)異點(diǎn)，幺元是λ(空串)，〈Σ*,τ,λ〉；〈SS,〉是獨(dú)異點(diǎn)，幺元是IA，〈SS,,IA〉；但〈ZE,×〉不是獨(dú)異點(diǎn)，因?yàn)闊o(wú)幺元，（1ZE，ZE：偶數(shù)集）。

定義6.1.4(1)設(shè)〈S，*〉為一半群,若T

S,*在T中封閉，則〈T，*〉稱為子半群。（2）設(shè)〈S，*〉為一獨(dú)異點(diǎn),若T

S,*在T中封閉，且幺元e∈T,則〈T，*,e〉稱為子獨(dú)異點(diǎn)。我們前面提過(guò)，對(duì)于有窮集合的二元運(yùn)算，可用運(yùn)算表來(lái)給出。

定理6.1.2一個(gè)有限獨(dú)異點(diǎn)，〈S,*,e〉的運(yùn)算表中不會(huì)有任何兩行或兩列元素相同。證明設(shè)S中關(guān)于運(yùn)算*的幺元是e。因?yàn)閷?duì)于任意的a，b∈S且a≠b時(shí)，總有

e*a=a≠b=e*b和a*e=a≠b=b*e。所以，在*的運(yùn)算表中不可能有兩行或兩列是相同的。該定理容易理解，因?yàn)殓墼诘男?、列均與表頭相同，所以不會(huì)出現(xiàn)兩行（列）元素完全相同的情況。【例6.1.5】S={a,b,c},*運(yùn)算的定義如表所示，判斷〈S,*〉的代數(shù)結(jié)構(gòu)？解（1）*是S上的二元運(yùn)算，因?yàn)?運(yùn)算關(guān)于S集合封閉。（2）從運(yùn)算表中可看出a,b,c均為左幺元（3）x,y,z∈S,有

x*(y*z)=x*z=z(x*y)*z=x*z=z

表6.1.1【例6.1.6】〈Z4,+4〉,Z4={［0］，［1］，［2］，［3］}=Z/R(R是Z上的模4同余關(guān)系)，Z4上運(yùn)算+4，定義為［m］，［n］∈Z4，［m］+4［n］=［(m+n)(mod4)］，它由表給出。判斷〈Z4,+4〉的代數(shù)結(jié)構(gòu)。

解（1）+4運(yùn)算顯然封閉。（2）由+4的定義可知+4可結(jié)合。（3）從運(yùn)算表中可知［0］是幺元，所以〈Z4,+4〉是獨(dú)異點(diǎn)。但在該表中沒(méi)有任意兩行（列）元素完全相同。半群及獨(dú)異點(diǎn)的下列性質(zhì)是明顯的。表6.1.2

定理6.1.3設(shè)〈S，*〉,〈T，?！凳前肴?f為S到T的同態(tài),這時(shí)稱f為半群同態(tài)。對(duì)半群同態(tài)有（1）同態(tài)象〈f(S)，〉為一半群。（2）當(dāng)〈S，*〉為獨(dú)異點(diǎn)時(shí)，則〈f(S)，?！禐橐华?dú)異點(diǎn)。利用上一章的知識(shí)立刻可以得到這些結(jié)論。獨(dú)異點(diǎn)中含有幺元。前面曾提到，對(duì)于含有幺元的運(yùn)算可考慮元素的逆元，并不是每個(gè)元素均有逆元的，這一點(diǎn)引出了一個(gè)特殊的獨(dú)異點(diǎn)——群。

定義6.1.5如果代數(shù)系統(tǒng)〈G，*〉滿足（1）〈G，*〉為一半群；（2）〈G，*〉中有幺元e；（3）〈G，*〉中每一元素x∈G都有逆元x-1，則稱代數(shù)系統(tǒng)〈G，*〉為群（groups）。或者說(shuō)，群是每個(gè)元素都可逆的獨(dú)異點(diǎn)。群的基集常用字母G表示，因而字母G也常用于表示群。【例6.1.7】

（1）

〈Z,+〉（整數(shù)集與數(shù)加運(yùn)算）為一群（加群）,數(shù)0為其幺元。〈Z,×〉不是群。因?yàn)槌墼?外所有整數(shù)都沒(méi)有逆元。（2）〈N4,＋4〉為一4階群,數(shù)0為其么元。（3）A≠,〈P(A),∪〉是半群，幺元為，非空集合無(wú)逆元，所以不是群。

(4)A≠,〈P(A),∩〉是半群，幺元為A，非空集合無(wú)逆元，所以不是群。(5)A≠,〈P(A),〉的幺元為，S∈P(A),S的逆元是S，所以是群。

(6)〈Q+,·〉（正有理數(shù)與數(shù)乘）為一群，1為其么元?！碤,·〉不是群，因?yàn)閿?shù)0無(wú)逆元。因?yàn)榱阍獰o(wú)逆元，所以含有零元的代數(shù)系統(tǒng)就不會(huì)是群?！纠?.1.8】設(shè)g={a,b,c,d},*為G上的二元運(yùn)算，它由表給出,不難證明G是一個(gè)群。且e是G中的幺元；G中任何元素的逆元就是它自己，在a,b,c三個(gè)元素中，任何兩個(gè)元素運(yùn)算的結(jié)果都等于另一個(gè)元素，這個(gè)群稱為klein四元群。表6.1.3【例6.1.9】設(shè)〈G,*〉是一個(gè)獨(dú)異點(diǎn),并且每個(gè)元素都有右逆元,證明〈G,*〉為群。證明設(shè)e是〈G,*〉中的幺元。每個(gè)元素都有右逆元，即x∈G，y∈G使得x*y=e，而對(duì)于此y，又z∈G使得y*z=e。由于x∈G均有x*e=e*x=e，因此

z=e*z=x*y*z=x*e=x

即

x*y=e=y*z=y*x=e

y既是x的右逆元，又是x的左逆元，故x∈G均有逆元，〈G,*〉為群。對(duì)群〈G，*〉的任意元素a,我們可以同半群一樣來(lái)定義它的冪：a0=e，對(duì)任何正整數(shù)n，an+1=an*a，群的冪運(yùn)算有下列性質(zhì)：

定理6.1.4對(duì)群〈G，*〉的任意元素a,b，有（1）(a-1)-1＝a（2）(a*b)-1＝b-1*a-1（3）(an)-1=(a-1)n（記為a-n）（n為整數(shù)）

證明（1）因?yàn)閍-1的逆元是a，即a*a-1=a-1*a=e，所以

(a-1)-1＝a。（2）因?yàn)?/p>

(a*b)*(b-1*a-1)=a*(b*b-1)*a-1=e(b-1*a-1)*(a*b)=b-1*(a-1*a)*b=e

所以a*b的逆元為b-1*a-1，即(a*b)-1＝b-1*a-1。

（3）對(duì)n進(jìn)行歸納。群首先是獨(dú)異點(diǎn)，所以

an+1=an*a。n=1時(shí)命題顯然真。設(shè)n=k時(shí)(a-1)k是ak的逆元為真,即(ak)-1=(a-1)k，那么

ak+1*(a-1)k+1=ak*(a*a-1)*(a-1)k

＝ak*(a-1)k=e(a-1)k+1*ak+1=(a-1)k*(a-1*a)*ak

＝(a-1)k*ak=e

故ak+1的逆元為(a-1)k+1，即(ak+1)-1=(a-1)k+1。歸納完成,得證。

定理6.1.5對(duì)群〈G，*〉的任意元素a,b，及任何整數(shù)m，n,有

（1）am*an=am+n

（2）(am）n=amn

證明留給讀者。群的下列性質(zhì)是明顯的。

定理6.1.6設(shè)〈G，*〉為群，則（1）G有唯一的幺元，G的每個(gè)元素恰有一個(gè)逆元。（2）方程a*x＝b，y*a＝b都有解且有唯一解。（3）當(dāng)G≠{e}時(shí),G無(wú)零元。

（1）結(jié)論是十分明顯的。

(2)先證a-1*b是方程a*x＝b的解。將a-1*b代入方程左邊的x，得

a*(a-1*b)=(a*a-1)*b=e*b=b

所以a-1*b是該方程的解。下面證明唯一性。假設(shè)c是方程a*x＝b的解，必有a*c=b,從而有

c=e*c=(a-1*a)*c=a-1*(a*c)=a-1*b

唯一性得證。同理可證b-1*a是方程y*a＝b的唯一解。（3）若G有零元,那么由定理知它沒(méi)有逆元，與G為群矛盾。（注意，G={e}時(shí),e既是幺元，又是零元。）

定理6.1.7設(shè)〈G，*〉為群，則G的所有元素都是可約的。因此，群中適合消去律，即對(duì)任意a,x,y∈S

a*x=a*y蘊(yùn)涵x=y

x*a=y*a蘊(yùn)涵x=y

定義6.1.6設(shè)G為有限集合時(shí)，稱G為有限群（finitegroup）,此時(shí)G的元素個(gè)數(shù)也稱G的階數(shù)（order）；否則，稱G為無(wú)限群（infinitegroup）。由定理可知，特別地，當(dāng)G為有限群時(shí)，*運(yùn)算的運(yùn)算表的每一行（列）都是G中元素的一個(gè)全排列。對(duì)于有限群，運(yùn)算可用表給出,稱為群表。從而有限群〈G，*〉的運(yùn)算表中沒(méi)有一行（列）上有兩個(gè)元素是相同的。因此，當(dāng)G分別為1，2，3階群時(shí),*運(yùn)算都只有一個(gè)定義方式(即不計(jì)元素記號(hào)的不同,只有一張定義*運(yùn)算的運(yùn)算表,分別如表、和所示),于是可以說(shuō),1,2,3階的群都只有一個(gè)。表6.1.4*eee

表6.1.5*eaeaeaae表6.1.6【例6.1.10】設(shè)〈G,*〉為有限獨(dú)異點(diǎn),適合消去律,證明〈G,*〉為群。證明設(shè)e是〈G,*〉中的幺元。由〈G,*〉適合消去律，即a，b，c∈G均有

a*b=a*c

b=c

b*a=c*a

b=c

又由于〈G,*〉為有限獨(dú)異點(diǎn)，所以a∈G，n∈I+使得

an=e

a*an-1=e=an-1*a

故a∈G，an-1∈G是a的逆元，故〈G,*〉為群。

定理6.1.8設(shè)〈G，*〉為群，則幺元是G的唯一的冪等元素。證明設(shè)G中有冪等元x，那么x*x=x，又x=x*e，所以x*x=x*e。由定理得x=e。故得證。設(shè)〈G，*〉為群,如果我們用aG和Ga分別表示下列集合

aG={a*g|g∈G}Ga={g*a|g∈G}

那么我們有以下定理。

定理6.1.9設(shè)〈G，*〉為一群,a為G中任意元素，那么aG=G=Ga。特別地，當(dāng)G為有限群時(shí)，*運(yùn)算的運(yùn)算表的每一行（列）都是G中元素的一個(gè)全排列。證明aG

G是顯然的。設(shè)g∈G，那么a-1*g∈G，從而a*(a-1*g)∈aG，即g

aG。因此G

Ga。aG=G得證。Ga=G同理可證?！纠?.1.11】設(shè)g={a,b,c,d},*為G上的二元運(yùn)算，它由表給出,不難證明G是一個(gè)群，且e是G中的幺元；G中元素b的逆元就是它自己，a與c互逆。在a,b,c三個(gè)元素中，任何兩個(gè)元素運(yùn)算的結(jié)果都等于另一個(gè)元素，這是除了klein四元群外的另一個(gè)四階群。對(duì)群還可以引入元素的階的概念。

利用上一章的知識(shí)立刻可以得到這些結(jié)論。am=apk+q=apk*aq=aq【例6.因此*在G1×G2上有幺元〈e1,e2〉?，F(xiàn)對(duì)任一g∈G,證明gK=Kg。（其中〈G1×G2,。3循環(huán)群和置換群（1）若對(duì)任意x∈G有x2=e，則G為阿貝爾群。（1）〈R,+〉是阿貝爾群（或加群）;設(shè)am為H中任一元素．令m＝pk+q，其中p為k除m的商，q為余數(shù)，0≤q＜k。am(a1)-1=ama-1=am-l∈〈a〉(2)同一置換中任何不相交輪換可交換，因?yàn)椴煌襛1a2≠0,所以關(guān)于元素的階有以下性質(zhì)。an+1=an*a。表6.1.7

定義6.1.7設(shè)〈G，*〉為群，a∈G，滿足等式an=e的最小正整數(shù)n稱為a的階(order)，記作|a|=n。若不存在這樣的正整數(shù)n,稱a是無(wú)限階。

【例6.1.12】(1)任何群G的幺元e的階為1,且只有幺元e的階為1。

(2)〈Z,+〉中幺元0的階為1，而整數(shù)a=10時(shí),a有無(wú)限階。

(3)〈Z4,+4〉中［1］的階是4,［2］的階是2,［3］的階是4。關(guān)于元素的階有以下性質(zhì)。

定理6.1.10有限群G的每個(gè)元素都有有限階,且其階數(shù)不超過(guò)群G的階數(shù)|G|。證明設(shè)a為G的任一元素,考慮e=a0,a1,a2,…,a|G|這|G|+1個(gè)G中元素，由于G中只有|G|個(gè)元素,由鴿巢原理，它們中至少有兩個(gè)是同一元素,不妨設(shè)

as=at0≤s＜t≤|G|

于是at-s=e,因此a有有限階,且其階數(shù)至多是t-s,不超過(guò)群G的階數(shù)|G|。

定理6.1.11設(shè)〈G，*〉為群,G中元素a的階為r,那么,an=e當(dāng)且僅當(dāng)r整除n。證明先證充分性。設(shè)ar＝e，r整除n，那么設(shè)n=kr（k為整數(shù)），因?yàn)閍r＝e，所以an=akr=(ar)k=er=e。再證必要性。設(shè)an＝e，n=mr＋k，其中m為n除以r的商，k為余數(shù)，因此0≤k＜r。于是

e＝an＝amr+k＝amr*ak＝ak

因此,由r的最小性得k=0，r整除n。

理6.1.12設(shè)〈G，*〉為群，a為G中任一元素，那么|a|=|a-1|。證明設(shè)a的階為n,由(a-1)n=(an)-1=e-1=e,可知a-1的階是存在的。只要證a具有階n當(dāng)且僅當(dāng)a-1具有階n。由于逆元是相互的，即(a-1)-1＝a，因此只需證：當(dāng)a具有階n時(shí)，a-1也具有階n。設(shè)a的階是n，a-1的階是t。由于

(a-1)n＝(an)-1＝e-1＝e，故t≤n。又因?yàn)?/p>

at＝((a-1)t)-1＝e-1＝e，故n≤t。因此，

n＝t,即|a|=|a-1|。【例6.1.13】設(shè)G是n階有限群，證明：（1）G中階大于2的元素個(gè)數(shù)一定是偶數(shù)；（2）若n是偶數(shù)，則G中階等于2的元素個(gè)數(shù)一定是奇數(shù)。證明（1）設(shè)A={x|x∈G，x的階大于2}，則a∈A，

a-1≠a，否則a2=e與a∈A矛盾。因?yàn)閍與a-1的階相同，且a-1相對(duì)于a是唯一的，所以a∈A，a-1與a成對(duì)出現(xiàn)，故G中階大于2的元素個(gè)數(shù)一定是偶數(shù)。

（2）當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，因?yàn)镚中階大于2的元素個(gè)數(shù)一定是偶數(shù)，所以G中階小于等于2的元素個(gè)數(shù)是偶數(shù)，由于階為1的元素是唯一的幺元e，因此G中階等于2的元素一定是奇數(shù)。

定義6.1.8設(shè)〈G，*〉為一群。若*運(yùn)算滿足交換律，則稱G為交換群或阿貝爾群（Abelgroup）。阿貝爾群又稱加群，常表示為〈G，+〉（這里的+不是數(shù)加，而泛指可交換二元運(yùn)算，*常被稱為乘）。加群的幺元常用0來(lái)表示，常用-x來(lái)表示x的逆元。如

〈I,+〉（整數(shù)集與數(shù)加運(yùn)算）為一阿貝爾群（加群）。

〈Q,+〉，〈R,+〉〈C,+〉均為交換群?！碤+,·〉（正有理數(shù)與數(shù)乘）為一阿貝爾群，1為其幺元?！碞4,＋4〉為一4階阿貝爾群。

定理6.1.13設(shè)〈G，*〉為一個(gè)群，〈G，*〉為阿貝爾群的充分必要條件是對(duì)任意x,y∈G,有（x*y）*(x*y)=(x*x)*(y*y)。證明先證必要性。設(shè)〈G，*〉為阿貝爾群，這對(duì)于任意的x,y∈G，有（x*y）=(y*x)，所以

(x*x)*(y*y)=x*（x*y)*y=x*（y*x)*y=（x*y）*(x*y)

再證充分性。

設(shè)對(duì)于任意的x,y∈G，有（x*y）*(x*y)=(x*x)*(y*y)。因?yàn)?/p>

x*（x*y)*y=(x*x)*(y*y)=（x*y）*(x*y)=x*（y*x)*y

由消去律可得（x*y）=(y*x)

所以〈G，*〉為阿貝爾群。6.2子群

定義6.2.1設(shè)〈G，*〉為群，H≠,如果〈H，*〉為G的子代數(shù)，且〈H，*〉為一群，則稱〈H，*〉為G的子群(subgroups)，記作H≤G?！纠?.2.1】

〈Z,+〉是〈Q,+〉的子群；〈Q,+〉是〈R,+〉的子群；〈R,+〉是〈C,+〉的子群。

【例6.2.2】E

I,E為偶數(shù)集。那么〈E,+〉為〈I,+〉的子群；MI,M為奇數(shù)集,但〈M,+〉不是〈I,+〉的子群。顯然,對(duì)任何群G,〈{e}，*〉及〈G，*〉均為其子群,它們被稱為平凡子群,其它子群則稱為非平凡子群或真子群。

子群有下列特性定理6.2.1設(shè)〈G，*〉為群，那么〈H，*〉為

〈G，*〉的子群的充分必要條件是（1）G的幺元e∈H。（2）若a，b∈H，則a*b∈H。（3）若a∈H，則a-1∈H。

證明先證必要性。設(shè)H為子群。（1）設(shè)〈H，*〉的幺元為e′,對(duì)于任意x∈S

G,那么e′*x=x=e*x。由于在G中滿足消去律,故e′=e,e∈H得證。（2）是顯然的（因H為子代數(shù)）。（3）設(shè)〈H，*〉中任一元素a在H中逆元為b,那么a*b=b*a=e,因?yàn)镠∈G,所以a,b∈G由逆元的唯一性,b就是a在G中的逆元,即b=a-1∈H。

充分性是明顯的。事實(shí)上只要條件（2）、（3）便可使〈H，*〉為〈G，*〉的子群,因?yàn)镠不空時(shí)條件（2）、（3）蘊(yùn)涵條件（1），因此，可用（2）、（3）來(lái)判別非空子集H是否構(gòu)成G的子群〈H，*〉。對(duì)于有限群,子群的判別更為簡(jiǎn)單。

定理6.2.2設(shè)〈G，*〉為群,H為G的非空有限子集，且H對(duì)*運(yùn)算封閉,那么〈H，*〉為〈G，*〉的子群。證明由于H為有限集,設(shè)|H|=k,a∈H?？紤]

a1,a2,…,ak+1,…

它們都在H中(H對(duì)*運(yùn)算封閉),由鴿巢原理，因此必定有ai=aj(0≤i＜j≤k+1),從而aj-i=e,故e∈H。

若H={e},〈H，*〉為G的子群得證。若H≠{e},設(shè)a為H中任意一個(gè)不同于e的元素。同上可證,有r≥2使ar=e,從而有

ar=a*ar-1=ar-1*a=e

因此,a-1=ar-1∈H。據(jù)定理6.2.1,〈H，*〉為G的子群得證。

定理6.2.3設(shè)〈G，*〉為群，H是G的非空子集，那么〈H，*〉為〈G，*〉的子群的充分必要條件是a，b∈H有a*b-1∈H。證明先證必要性。任取a,b∈H,由于H是G的子群，必有b-1∈H,所以a*b-1∈H。

再證充分性。因?yàn)镠非空，必存在a∈H(取b=a)，由已知條件有a*a-1∈H，即e∈H。任取a∈H,由e,a∈H有e*a-1∈H,即a-1∈H。任取a,b∈H,則b-1∈H,由已知條件有a*(b-1)-1∈H，即ab∈H。據(jù)定理6.2.1,〈H，*〉為G的子群得證?！纠?.2.3】Klein四元群，〈{e},*〉,〈{e,a},*〉,〈{e,b},*〉,〈{e,c},*〉均是其子群。

【例6.2.4】設(shè)G為群，a∈G,令H={ak|k∈Z},即a的所有的冪構(gòu)成的集合，則H是G的子群，稱為由a生成的子群，記作〈a〉。a稱為生成元(generater)。證明因?yàn)閍∈〈a〉，所以〈a〉≠。任取

am,a1∈〈a〉,有

am(a1)-1=ama-1=am-l∈〈a〉

由定理可知〈a〉≤G?！纠?.2.5】

〈Z,+〉除〈0〉={0}外，子群都是無(wú)限階。

〈1〉={0,1,-1,2,-2,…}=Z,稱1是

Z的生成元。

〈2〉={0,2,-2,4,-4,…}={2k|k∈Z}=2Z

【例6.2.6】設(shè)〈G,*〉是群，對(duì)任一個(gè)a∈G，令C是與G中所有的元素都可交換的元素構(gòu)成的集合，即

C={y|y*a=a*y，y∈G}

則〈C,*〉是G的子群，稱為G的中心。

證明由e與G中所有元素可交換可知e∈C。C是G的非空子集。由y*a=a*y可得y=a*y*a-1，因此x，y∈C，因?yàn)?/p>

x*y-1=（a*x*a-1）*（a*y-1*a-1）=a*x*y-1*a-1

因此x*y-1*a=a*x*y-1

所以x*y-1∈H，故〈C,*〉是G的子群。6.3循環(huán)群和置換群

在這一節(jié)里我們要介紹兩種重要的群——循環(huán)群和置換群。定義6.3.1如果G為群，且G中存在元素a,使G以a為生成元，稱〈G，*〉為循環(huán)群(cyclicgroup)，即G的任何元素都可表示為a的冪（約定e=a0）。【例6.3.1】

（1）〈Z,+〉為循環(huán)群，1或（－l）為其生成元。（2）令A(yù)={2i|i∈I}，那么〈A,·〉(·為普通的數(shù)乘)是循環(huán)群，2是生成元。（3）〈Z8,+8〉為循環(huán)群，1，3都可以是生成元。（4）·〉(·為矩陣乘法)，幺元為因?yàn)?所以逆元為，生成元為

定理6.3.1設(shè)〈G，*〉為循環(huán)群，a為生成元，則G為阿貝爾群。

證明對(duì)于任意的x,y∈G,必有s,t∈Z使得x=as,y=at，所以

x*y=as*at=as+t=at+s=at*as=y*x

所以，〈G，*〉為阿貝爾群。定理6.3.2G為由a生成的有限循環(huán)群，則有

G={e，a，a2,…，an-1}

其中n=|G|，也是a的階．從而n階循環(huán)群必同構(gòu)于〈Zn,＋n〉。

證明由于G為有限群,a有有限階，設(shè)為k，k≤|G|=n。易證{e，a，a2,…，ak-1}為G的子群（只要證其每一元素ai有逆元ak-i）。現(xiàn)證

G{e，a，a2,…，ak-1}

從而知n=k，G={e，a，a2,…，an-1}。

設(shè)有am∈G，但am{e，a，a2,…，ak-1}。令m=pk+q，其中p為k除m的商,q為余數(shù)，0≤q＜k，于是

am=apk+q=apk*aq=aq

這就是說(shuō)aq{e，a，a2,…，ak-1}，0≤q＜k，產(chǎn)生矛盾。因此G={e，a，a2,…，ak-1},命題得證。

定理6.3.3設(shè)〈G，*〉為無(wú)限循環(huán)群且G=〈a〉，則G只有兩個(gè)生成元a和a-1,且〈G，*〉同構(gòu)于〈Z,+〉。證明首先證明a-1是其生成元，因?yàn)?/p>

〈a-1〉G,須證G〈a-1〉，設(shè)ak∈G,因?yàn)?/p>

ak=（a-1）-k，G=〈a-1〉。

再證明G只有兩個(gè)生成元a和a-1。假設(shè)b是G的生成元，則G=〈b〉,由a∈G可知存在整數(shù)s使得a=bs,又由b∈G可知存在整數(shù)t使得b=at,有

a=bs=(at)s=ats

由消去律得

ats-1=e

因?yàn)椤碐，*〉為無(wú)限循環(huán)群，所以ts-1=0,從而有t=s=1或t=s=-1。因此b=a或b=a-1。

上面定理和定理告訴我們，循環(huán)群本質(zhì)上只有兩種，一種同構(gòu)于〈Z,+〉，另一種同構(gòu)于〈Zn,+〉，弄清了〈Z,+〉與〈Zn,+〉，也就弄清了所有無(wú)限的和有限的循環(huán)群。

定理6.3.4循環(huán)群的子群都是循環(huán)群。證明設(shè)〈G，*〉為a生成的循環(huán)群，〈H，*〉為其子群。當(dāng)然，H中元素均可表示為ar形。（1）若H＝{e}=〈e〉,顯然H為循環(huán)群。（2）若H≠{e}，那么H中有ak(k≠0)。由于H為子群，H中必還有a-k，因此，不失一般性，可設(shè)k為正整數(shù)，并且它是H中元素的最小正整數(shù)指數(shù)。現(xiàn)證H為ak生成的循環(huán)群。

設(shè)am為H中任一元素．令m＝pk+q，其中p為k除m的商，q為余數(shù)，0≤q＜k。于是

am=apk+q＝apk*aqaq=a-pk*am

由于am,a-pk∈H（因apk∈H），故aq∈H，根據(jù)k的最小性，q＝0，從而am=gpk=(ak)p，H為循環(huán)群得證。根據(jù)上述定理，立即可以推得以下定理。

定理6.3.5設(shè)〈G，*〉為a生成的循環(huán)群。（1）若G為無(wú)限群，則G有無(wú)限多個(gè)子群，它們分別由a0,a1,a2,a3,…生成。（2）若G為有限群，|G|＝n，且n有因子k1,k2,k3,…,kr，那么G有r個(gè)循環(huán)子群，它們分別由ak1,ak2,ak3,…生成。【例6.3.2】〈Z，＋〉有循環(huán)子群：

〈{0},＋〉，〈2Z,＋〉，〈3Z,＋〉，

〈4Z,＋〉,…，〈Z，＋〉

下面考慮置換群。定義6.3.2任意集合A上的雙射函數(shù)稱為變換。對(duì)任意集合A定義集合G，即A≠,G={f|f是A上的變換}，。為函數(shù)的復(fù)合運(yùn)算，〈G,?！凳侨?，稱為A的全變換群，記作SA,SA的子群稱為A的變換群。【例6.3.3】平面上全體平移組成一個(gè)變換群。解設(shè)σ1：α→α+β1（一個(gè)雙射函數(shù)），

σ2：α→α+β2，則σ2。σ1：α→α+（β1+β2）,。封閉。

σe：α→α是幺元。σ1的逆元為σ-11：α→α-β1。所以平面上全體平移組成一個(gè)變換群。

定理6.3.6每個(gè)群均同構(gòu)于一個(gè)變換群。證明設(shè)〈G，*〉為任一群,對(duì)G中每一元素a，定義雙射函數(shù)fa:

G→G如下:

fa（x）＝a*x

顯然fa為雙射，令

F={fa|a∈G}

下證〈F,?！禐槿海ā楹瘮?shù)復(fù)合運(yùn)算）。（1）F對(duì)。運(yùn)算封閉。設(shè)fa∈F，fb∈F,那么a∈G，b∈G?？紤]fa。fb：對(duì)任意x∈G，有

fa。fb（x）＝fa(fb(x))＝a*b*x＝fa≠b（x）即fa。fb＝fa≠b。由于a*b∈G，fa≠b∈F,故fa。fb∈F。

（2）。運(yùn)算顯然滿足結(jié)合律。（3）。運(yùn)算有幺元fe∈F。e為群G的幺元。（4）F中每一元素fa均有逆元fa-1。【例6.3.4】設(shè)A={1,2,3},A上有6個(gè)置換：

一般地，A={a1，a2，…，an}時(shí)，A上有n!個(gè)置換。置換σ滿足σ(ai)＝aji時(shí)，可表示為反之，當(dāng)p為素?cái)?shù)時(shí)，只需證Zp中所有非零元素都有×p運(yùn)算的逆元，從而Zp是含幺交換環(huán)，〈Zp,+p,×p〉為域。15．設(shè)〈H1，*〉，〈H2，*〉都是群〈G，*〉的子群。φ(g*1k*1g-1)=φ(g)*2φ（e1）*2φ(g-1)定義6.顯然，任何群都有正規(guī)子群，因?yàn)镚的兩個(gè)平凡子群即G和{e}是G的兩個(gè)正規(guī)子群。［g1］⊙［g2］=［g1*g2］但〈N8,+8,×8〉不是域，它甚至不是整環(huán)，因?yàn)樗辛阋蜃樱纾?，它們沒(méi)有乘法逆元?！碼1,b1〉*〈a-11,b-11〉=〈a1。ak+1*(a-1)k+1=ak*(a*a-1)*(a-1)k6．設(shè)〈S，*〉為一半群，且對(duì)任意x,y∈S，若x≠y則x*y≠y*x。推論3：設(shè)〈G，*〉是群且∣G∣=4,則G同構(gòu)于4階循環(huán)群C4或Klein四元群D2。因?yàn)椤碦，+〉是交換群，所以x+x的逆元是-（x+x），故為此先討論同態(tài)核的性質(zhì)。a=bs=(at)s=ats定理6.

置換的合成運(yùn)算通常用記號(hào)。表示之，對(duì)置換的獨(dú)特表示形式計(jì)算它們的合成時(shí)，可像計(jì)算兩個(gè)關(guān)系的合成那樣來(lái)進(jìn)行。例如：因此,應(yīng)當(dāng)注意(σi。σj)(x)=σj(σi(x))

對(duì)于置換的復(fù)合運(yùn)算而言，A上的全體置換中有幺元——恒等函數(shù),又稱幺置換，且每一置換都有逆置換，因此置換全體構(gòu)成一個(gè)群。定義6.3.4將n個(gè)元素的集合A上的置換全體記為Sn，那么稱群〈Sn,?！禐閚次對(duì)稱群（symmetricgroup），它的子群又稱為n次置換群（permutationgroup）?！纠?.3.5】令A(yù)={1,2,3,4},S4=｛σ|σ為A上置換｝，因此，〈S4,?！禐樗拇螌?duì)稱群。解

表6.3.1

定義6.3.5設(shè)σ是S={1,2,…,n}上的n元置換。若σ(i1)=i2,σ(i2)=i3,…,σ(ik-1)=ik,σ(ik)=i1且保持S中的其它元素不變，則稱σ為S上的k階輪換，記作（i1,i2,…,ik）。若k=2,這時(shí)也稱σ為S上的對(duì)換。下面介紹置換的輪換表示。設(shè)置換為其輪換表示為

σ=（1357）（26）（4）（8）

輪換有下面性質(zhì)：

(1)每個(gè)置換均可寫(xiě)成一些輪換的乘積，使得不同輪換中沒(méi)有公共元素。例如，

長(zhǎng)度為1的輪換往往忽略不寫(xiě)，即上式通常記為（23）（456）。

(2)同一置換中任何不相交輪換可交換，因?yàn)椴煌啌Q中沒(méi)有公共元素，這些輪換的次序可任意改變。如上式（23）（456）=（456）（23）。(3)如果不計(jì)這種次序，每個(gè)置換可唯一表成沒(méi)有公共元素的一些輪換之積。

(4)每個(gè)輪換可表成一些對(duì)換之積。例如（1，2，3，…，n）=(1n)(1n-1)…(13)(12),所以每個(gè)置換中可表成有限個(gè)對(duì)換之積。這種表達(dá)式（甚至對(duì)換的個(gè)數(shù)）顯然不唯一。但是，同一個(gè)置換以多種方式表成對(duì)換之積時(shí)，其所含對(duì)換個(gè)數(shù)的奇偶性是不變的。表成奇（偶）數(shù)個(gè)對(duì)換之積的置換叫做奇（偶）置換。顯然，兩個(gè)奇置換或兩個(gè)偶置換之積是偶置換，一個(gè)奇置換與一個(gè)偶置換之積是奇置換。6.4陪集與拉格朗日定理

定義6.4.1設(shè)〈G，*〉為群，A,B

G,且A,B非空，則AB={a*ba∈A,b∈B}稱為A,B的乘積。

【例6.4.1】設(shè)S3={(1),(12),(13),(23),(123),(132)},A={(1),(12)},B={(123),(13)},求AB,BA。解AB={（123），（13），（12）（123），（12）（13）}={（123），（13）}

BA={（123），（13），（123）(12），（13）（12）}={（123），（13）,(23),(132)}

一般地，|AB|≠|(zhì)A||B|,當(dāng)G可交換，則AB=BA。當(dāng)A={a}時(shí)，{a}B=aB。乘積的性質(zhì)：設(shè)〈G，*〉為群，A,B,C

G,且A,B,C非空,則

（1）（AB）C=A(BC)（因?yàn)槿褐兴性囟紳M足結(jié)合律）。（2）eA=Ae=A（因?yàn)槿褐兴性爻艘荤墼嫉扔谠乇旧恚?。定義6.4.2設(shè)〈H，*〉為〈G，*〉的子群，那么對(duì)任一g∈G，稱gH為H的左陪集(leftcoset)稱Hg為H的右陪集(rightcoset)。這里

gH={g*h|h∈H}，Hg={h*g|h∈H}【例6.4.2】在S3中，H={(1),(12)},則

(13）H={(13)(1),(13)(12)}={(13),(132)}(123)H={(123)(1),(123)(12)}={(123),(23)}關(guān)于左（右）陪集我們有以下定理。

定理6.4.1設(shè)〈H，*〉為〈G，*〉的子群，那么（1）對(duì)任意g∈G，|gH|=|H|（|Hg|=|H|）。（2）當(dāng)g∈H時(shí)，gH=H（Hg=H）。證明（1）只要證H與gH之間存在雙射即可。定義函數(shù)f:H→gH如下:對(duì)任何一h∈H，有

f（h）=g*h

設(shè)h1≠h2，則f（h1）=g*h1,f（h2）=g*h2，若

f（h1）=f（h2），那么由消去律即得h1=h2，與h1≠h2矛盾。

f為單射得證。f為滿射是顯然的。因此f為雙射。|gH|=|H|得證。同理可證|Hg|=|H|。所以一個(gè)元素乘以集合使該集合的基數(shù)保持不變。（2）由定理立即可得。

下面幾個(gè)定理討論陪集的性質(zhì)。定理6.4.2設(shè)〈H，*〉為〈G，*〉的子群，有（1）a∈aH。（2）若b∈aH,則bH=aH。

證明（1）因?yàn)椤碒，*〉為〈G，*〉的子群，所以G中的幺元e一定在子群H中,所以a=a*e∈aH,因此a∈aH，得證。

(2)若b∈aH,則存在h∈H,使b=ah,bH=(ah)H=a(hH),由定理之（2）可知hH=H,因此bH=a(hH)=aH。

·〉(·為矩陣乘法)，幺元為定理6.定理6.即（x+x）+（x+x）=x+x其中k為不同左（右）陪集的數(shù)目。19．無(wú)限循環(huán)群的子群除{e}外均為無(wú)限循環(huán)群。2．設(shè)〈S，*〉為一半群，z∈S為左（右）零元。因?yàn)?2=7，53=17，54=13,55=11,56=1，所以5是一個(gè)生成元，故，(4)A≠,〈P(A),∩〉是半群，幺元為A，非空集合無(wú)逆元，所以不是群。這是因?yàn)閷?duì)于（xK）中的任意代表元xk，有〈1〉={0,1,-1,2,-2,…}=Z,稱1是Z的生成元。=（a·（b+c））（modk）證明（2）若a，b∈H，則a*b∈H。普通乘法的冪、關(guān)系的冪、矩陣乘法的冪等具體的代數(shù)系統(tǒng)都滿足這個(gè)冪運(yùn)算規(guī)則。

定理6.4.3任意兩陪集或相同或不相交。即設(shè)

〈H，*〉為〈G，*〉的子群，a，b∈G，則或者aH=bH（Ha=Hb），或者aH∩bH=（Ha∩Hb=）。證明我們用否定一個(gè)推出另一個(gè)的方法。只需證明若相交則相同。

設(shè)aH∩bH≠，那么有c∈aH∩bH,因此存在h1,h2∈H使得a*h1=b*h2。于是a＝b*h2*h-11。

為證aH

bH，設(shè)x∈aH，那么有h3∈H，使得x=a*h3=b*(h2*h-11*h3)∈bH。aH

bH得證。同理可證bH

aH。于是aH=bH得證。對(duì)于右陪集Ha，Hb，同上可證平行的命題。

定理6.4.4設(shè)〈H，*〉為〈G，*〉的子群，

a，b∈G有a,b屬于H的同一左陪集a-1*b∈H。證明設(shè)a,b屬于H的同一左陪集，則有g(shù)∈G，使

a，b∈gH，因而有h1,h2∈H,使得a=g*h1，b＝g*h2。于是

a-1*b=(g*h1)-1*(g*h2)=h-11*h2∈H

反之，設(shè)a-1*b∈H,即有h∈H使a-1*b=h。因而b=a*h∈aH。而a∈aH顯然，故a，b在同一左陪集aH中。利用陪集還可定義陪集等價(jià)關(guān)系。

定理6.4.5設(shè)〈H，*〉為群〈G，*〉的子群,則R={〈a,b〉|a,b∈G,a-1*b∈H}是G上的一個(gè)等價(jià)關(guān)系，且［a］R=aH，稱R為群G上H的左陪集等價(jià)關(guān)系。證明首先證明R是一個(gè)等價(jià)關(guān)系。（1）a∈G,a-1∈G,有a-1*a=e∈H,所以〈a,a〉∈R，因此R是自反的。

（2）若〈a,b〉∈R,有a-1*b∈H，（a-1*b）-1=

b-1*a,因?yàn)镠群G的子群，所以（a-1*b）-1∈H，即

b-1*a∈R,所以〈b,a〉∈R,因此R是對(duì)稱的。（3）若〈a,b〉,〈b,c〉∈R,則有a-1*b∈H和

b-1*c∈H,所以(a-1*b)*(b-1*c)∈H，而

(a-1

b)*(b-1*c)=a-1*c∈H,所以〈a,c〉∈H,因此R是傳遞的。

定理6.4.6設(shè)〈G，*〉為有限群，H是G的子群，那么|H||G|（H的階整除G的階）。

證明設(shè)R是G中的等價(jià)關(guān)系，將G分成不同等價(jià)類，由以上討論知由于這k個(gè)左陪集是兩兩不相交的，所以有|G|=|a1H|+|a2H|+…+|akH|

(6.4.1)

由定理可知|aiH|=|H|(i=1,2,…,k),將這些式子代入式(6.4.1)得

|G|=k|H|

其中k為不同左（右）陪集的數(shù)目。定理得證。

推論1：有限群〈G，*〉中任何元素的階均為G的階的因子。證明設(shè)a為G中任一元素,a的階為r．那么令H=〈a〉={e,a,a2，…，ar-1},則H必為G的r階子群，由定理6.4.6,因此r整除|G|。推論2:質(zhì)數(shù)階的群沒(méi)有非平凡子群。

證明如果有非平凡子群，則該子群的階必是原來(lái)群的階的一個(gè)因子，則與原來(lái)群的階是質(zhì)數(shù)相矛盾。推論3：設(shè)〈G，*〉是群且∣G∣=4,則G同構(gòu)于4階循環(huán)群C4或Klein四元群D2。證明設(shè)G={e,a,b,c},其中e是幺元。因?yàn)樵仉A只可能是1，2，4。若有4階元a，則

|a|=4,〈a〉={e,a,a2,a3}≌C4(≌表示同構(gòu))。

若G中無(wú)4階元素，則G中有一個(gè)幺元，剩余的3個(gè)均是2階元，a2=b2=c2=e。a*b不可能等于a,b或e，否則將導(dǎo)致b=e,a=e或a=b的矛盾。所以a*b=c,同樣地有b*a=c及a*c=c*a=b,b*c=c*b=a。因此這個(gè)群是Klein四元群D2。6.5正規(guī)子群、商群和同態(tài)基本定理

定義6.5.1設(shè)〈H，*〉為群〈G，*〉的子群，如果對(duì)任一g∈G,有

gH＝Hg

則稱H為正規(guī)子群（normalsubgroup）。顯然，任何群都有正規(guī)子群，因?yàn)镚的兩個(gè)平凡子群即G和{e}是G的兩個(gè)正規(guī)子群。當(dāng)G為阿貝爾群時(shí)，G的任何子群都是正規(guī)子群。

定理6.5.1設(shè)〈H，*〉是群〈G，*〉的子群，

〈H，*〉是群〈G，*〉的正規(guī)子群當(dāng)且僅當(dāng)g∈G，h∈H有g(shù)*h*g-1∈H。證明先證充分性，即需證明g∈G，有g(shù)H=Hg。任取g*h∈gH,由g*h*g-1∈H可知，存在h1∈H使得g*h*g-1=h1,從而得g*h=h1*g∈Hg,所以gH

Hg。

反之，h*g∈Hg,由g-1∈G,(g-1)*h*(g-1)-1∈H即

g-1*h*g∈H，所以存在h1∈H使得g-1*h*g=h1,從而得h*g=g*h1∈gH,所以Hg

gH。因此，g∈G有g(shù)H=Hg。再證必要性。任取g∈G,h∈H,由gH=Hg，可知存在h1∈H使得g*h=h1*g。因此有

g*h*g-1=h1*g*g-1=h1∈H

我們知道，G的子群H的左（右）陪集全體構(gòu)成G的劃分,從而導(dǎo)出G上的一個(gè)等價(jià)關(guān)系。那么當(dāng)H為正規(guī)子群時(shí)情況將如何呢？此時(shí)正規(guī)子群的左陪集或右陪集均可稱為陪集。利用群的正規(guī)子群能夠按如下方式誘導(dǎo)出一個(gè)新的群，這個(gè)群比原來(lái)的群簡(jiǎn)單卻又保留了原來(lái)群的許多重要性質(zhì)。

設(shè)〈H，*〉是群〈G，*〉的正規(guī)子群，H在G中的所有陪集形成一個(gè)集合，即G/H={gH|g∈G}(或{Hg|g∈G}),⊙運(yùn)算定義如下:對(duì)任意g1,g2∈G，有［g1］⊙［g2］=［g1*g2］亦即

g1H⊙g2H=(g1*g2)H

或Hg1⊙Hg2=H(g1*g2)

定理6.5.2設(shè)〈H，*〉是群〈G，*〉的正規(guī)子群，群G的商代數(shù)系統(tǒng)〈G/H,⊙〉構(gòu)成群。證明（1）⊙運(yùn)算滿足結(jié)合律。x,y,z∈G，有

((xH)⊙(yH))⊙(zH)

=((x*y)H)⊙(zH)=((x*y)*z)H

=x*(y*z)H=(xH)⊙((y*z)H)=(xH)⊙((yH)⊙(zH))