《機械CAD-CAM》課件第4章

第4章三維建模技術4.1概述4.2線框建模4.3曲面建模

4.4實體建模

4.5特征建模

4.1概述

1．幾何建模

拓撲信息是指一個物體的拓撲元素（頂點、邊和表面）的數(shù)量、類型以及相互之間的鄰接關系。拓撲元素之間可以采用九種拓撲關系表示，如圖4-1所示。圖4-1拓撲關系

2．幾何建模技術的發(fā)展

在三維造型階段，幾何建模技術經(jīng)歷了三次技術革命。20世紀60年代，在二維造型基礎上引入三維造型，CAD系統(tǒng)只是極為簡單的線框造型系統(tǒng)。這種初期的線框造型系統(tǒng)只能表達基本的幾何信息，不能有效地表達幾何數(shù)據(jù)間的拓撲關系。由于缺乏形體的表面信息，CAE及CAM均無法實現(xiàn)。4.2線框建模

1．線框建模原理

線框建模是CAD/CAM發(fā)展中應用得最早的三維建模方法。線框模型通過點、線（直線、曲線）描述物體的外形、交線和棱線，并在計算機內生成二維和三維圖像，如圖4-2所示。線框模型在計算機內存儲的數(shù)據(jù)結構共有兩個表：一為頂點表（如表4-1所示），記錄各點坐標值；另一個為棱線表（如表4-2所示），記錄每條棱線所連接的兩頂點。圖4-2物體的線框模型

表4-1頂點表

表4-2棱線表

2．線框建模的優(yōu)缺點

三維線框建模在計算機內部以邊表、點表來描述和表達物體，因而線框模型的數(shù)據(jù)量較少，數(shù)據(jù)結構簡單，占用CPU時間短，存儲方面開銷低；同時構造模型時操作簡便，用戶幾乎無需培訓，系統(tǒng)的使用猶如人工繪圖的延伸。由于線框建模缺少面的信息，因而有以下缺點：

（1）存在二義性（如圖4-3所示），即使用一種數(shù)據(jù)表示的一種圖形，有時也可能看成另外一種圖形。圖4-3線框模型的二義性（2）由于沒有面的信息，不能消除隱藏線和隱藏面。（3）線框模型給出的不是連續(xù)的幾何信息（只有頂點和棱邊），不能明確地定義給定的點與形體之間的關系（點在形體內部、外部和表面上）。因此，不能用線框模型處理計算機圖形學和CAD中的多數(shù)問題，如剖切、消隱、渲染、物性分析、干涉檢查、加工處理等。

4.3曲面建模

1．曲面建模原理

曲面建模是通過對物體的各個表面或曲面進行描述而構

成曲面的一種建模方法。如果說線框模型是用“鐵絲”構造物體的話，則曲面建模就是拿一張張的表皮對這些“鐵絲”進行

蒙皮。建模時，先將復雜的外表面分解成若干個基本曲面元素，再通過這些基本曲面元素的拼接構成所要的曲面。圖

4-4所示為曲面的拼接過程。圖4-4曲面的拼接過程中常用曲面生成方法可以分為以下幾種類型：

(1)基本曲面。一般有圓柱面、圓錐面、球面、環(huán)面等，有些造型系統(tǒng)提供這些基本曲面，有些造型系統(tǒng)則不提供，而是通過拉伸、回轉、掃描等造型方法生成這些基本

曲面。

(2)規(guī)則曲面。常見的有平面、直紋面、回轉面、柱狀面等。平面常用三點定義，常用來作剖切平面。直紋面如圖4-5所示，它的導線是兩條不同的空間曲線，母線是直線，其端點必須沿著導線移動，可表示非扭曲的曲面。造型系統(tǒng)中用專門的命令生成直紋面?；剞D面如圖4-6所示，先繪制一平面線框圖，再繞一軸線旋轉生成。柱狀面如圖4-7所示，先繪制一平面曲線，然后沿垂直于該面的方向拉伸而成。柱狀面具有相同的截面。圖4-5直紋面圖4-6回轉面圖4-7柱狀面

(3)自由曲面。常見的自由曲面有Bézier曲面、B樣條曲面、Coons曲面等。Bézier曲面如圖4-8所示，它是一組空間輸入點的近似曲面，但并不通過給定的點，不具備局部控制功能。B樣條曲面如圖4-9所示，它也是一組輸入點的近似曲面，但可局部控制。Coons曲面如圖4-10所示，它由封閉的邊界曲線構成。圖4-8Bézier曲面圖4-9B樣條曲面圖4-10Coons曲面

(4)派生曲面。派生曲面包括圓角曲面(如圖4-11所示)、等距曲面(如圖4-12所示)、過渡曲面等。派生曲面是在已經(jīng)存在的曲面或實體上生成的曲面，在造型系統(tǒng)中由專門的命令生成這些曲面。圖4-11圓角曲面圖4-12等距曲面

2．曲面建模特點

表面模型是在線框模型的基礎上，增加有關面邊（環(huán)邊）信息以及表面特征、棱邊的連接方向等內容，從而可以滿足面面求交，線、面消隱，明暗色彩圖，數(shù)控加工等應用問

題的需要。

表面建?？捎糜诙S工程圖的表達形式、三維實體或曲面的草圖輸入記錄，或者作為某些線框網(wǎng)格的輸出記錄。圖4-13所示為表面模型的一個例子。圖4-13表面模型應用舉例曲面模型與線框模型相比，多了一個面表，記錄了邊與面之間的拓撲關系，但仍舊缺乏面與體之間的拓撲關系，無法區(qū)別面的哪一側是體內還是體外。它的缺點是只能表示物體的表面及其邊界，還不是實體模型。因此，曲面模型不能實行剖切，不能計算物性，不能檢查物體間的碰撞和干涉等。

3．常見的曲線、曲面模型

1）Bézier曲線與曲面

1971年，法國雷諾（Renault）汽車公司的貝塞爾（Bézier）發(fā)表了一種用控制多邊形定義曲線和曲面的方法。同期，法國雪鐵龍（Citroen）汽車公司的德·卡斯特里奧（deCastelijau）

也獨立地研究出與Bézier類似的方法。（1）Bézier曲線的定義。

Bézier曲線的構造方法是：用兩個端點和若干個不在曲線上但能夠決定曲線形狀的點來定義曲線。給定空間n+1個點的位置矢量Pi（i=0，1，2，

…，n），則Bézier參數(shù)曲線上

各點坐標的插值公式是（4-1）其中，Pi構成該Bézier曲線的特征多邊形，Bi，n(t)是n次Bernstein基函數(shù)：

（4-2）Bézier曲線實例如圖4-14所示。圖4-14三次Bézier曲線（2）Bézier曲線的性質。

①端點性質：Bézier曲線的起點、終點與相應的特征多邊形的起點、終點重合。Bézier曲線的起點和終點處的切線方向和特征多邊形的第一條邊及最后一條邊的走向一致。

②對稱性：Bézier曲線在起點處有什么幾何性質，在終點處也有相同的性質。

③凸包性：Bézier曲線的形狀由特征多邊形確定，它總落在由特征多邊形的各控制點形成的凸包內，如圖4-15所示。圖4-15Bézier曲線的凸包性④幾何不變性:Bézier曲線的位置與形狀與其特征多邊形頂點Pi(i=0，1，…，n)的位置有關，它不依賴坐標系的選擇。⑤不具有局部控制能力：修改特征多邊形一個頂點或改變頂點數(shù)量時，將影響整條曲線，對曲線要全部重新計算。（3）Bézier曲面。

基于Bézier曲線的討論可以方便地給出Bézier曲面的定義和性質，Bézier曲線的一些算法也可以很容易地擴展到Bézier曲面的情況。

給定(n+1)×(m+1)個排成網(wǎng)格的控制頂點Pij（i=0，1，…，n;j=0，1，…，m），利用基函數(shù)Bi，n(u)、

Bj，m(v)可構造一張曲面片：（4-3）式中:稱該曲面為n×m次Bézier曲面。當n=m=3時，雙三次Bézier曲面由16個控制網(wǎng)格點構造（如圖4-16所示）：(4-4)

Bézier曲線的其它性質可推廣到Bézier曲面：

①Bézier曲面特征網(wǎng)格的四個角點正好是Bézier曲面的四個角點，即

②Bézier曲面特征網(wǎng)格最外一圈頂點定義Bézier曲面的四條邊界。

③幾何不變性。

④對稱性。

⑤凸包性。圖4-16雙三次Bézier曲面及邊界信息

2）B樣條曲線與曲面

（1）B樣條曲線的定義。

B樣條曲線是在Bézier曲線基礎上發(fā)展起來的樣條曲線。樣條曲線是指由多項式曲線段連接而成的曲線，在每段的邊界處滿足特定連續(xù)條件。該類曲線在汽車車身設計、飛機表面設計以及船殼設計中有著廣泛的應用。

B樣條曲線采用特征多邊形及權函數(shù)定義曲線。權函數(shù)是B樣條基函數(shù)，局部可方便修改。已知n+1個控制點Pi(i=0，1，…，n)（也稱為特征多邊形的頂點），k階B樣條曲線的表達式是

（4-5）式中，Ni,k(u)是調和函數(shù)，也稱為基函數(shù)，按照遞歸公式可定義為式中,ti是節(jié)點值，T=［t0,t1,…,tL+2k－1］構成了k階B樣條函數(shù)的節(jié)點矢量。

B樣條曲線具有下列特點：

①B樣條曲線形狀比Bézier曲線更接近于它的控制多邊形?？刂贫噙呅蔚母黜旤c構成的凸包區(qū)域比同一組頂點定義的Bézier曲線凸包區(qū)域要小，具有更強的凸包性。B樣條曲線恒位于它的凸包內。②B樣條曲線的首尾端點不通過控制多邊形的首末兩個

端點。

③局部調整性。k次B樣條曲線上一點只被相鄰的k個頂點所控制，與其它控制點無關；一個控制點的移動只會影響該曲線的k個節(jié)點區(qū)間，對整個曲線的其它部分沒有影響。（2）B樣條曲面。

B樣條曲面也可視為由B樣條曲線網(wǎng)格繪制而成。通用B樣條曲面方程為

雙三次B樣條曲面方程為（4-6）（4-7）

3）NURBS曲線與曲面

（1）NURBS方法的提出及其特點。

NURBS即非均勻有理B樣條（NonUniformRationalBSpline），這種方法的提出是為了找到與描述自由型曲線與曲面的B樣條方法相統(tǒng)一的、又能精確表示二次曲線弧與二次

曲面的數(shù)學方法。NURBS方法主要有以下四個特點：①NURBS不僅可以表示自由曲線和曲面，還可以精確地表示圓錐曲線和規(guī)則曲線。所以,NURBS為計算機輔助幾何設計（CAGD）提供了統(tǒng)一的數(shù)學描述方法。

②NURBS具有影響曲線、曲面形狀的權因子，故可以設計相當復雜的曲線和曲面形狀，若運用恰當，更便于設計者實現(xiàn)自己的設計意圖。③NURBS方法是非有理B樣條方法在四維空間的直接推廣，多數(shù)非有理B樣條曲線和曲面的性質及其相應的計算方法可直接推廣到NURBS曲線和曲面。

④計算穩(wěn)定且快速。

（2）NURBS曲線的定義。

一條k次NURBS曲線定義為（4-8）其中,ωi(i=0,1,…,n)稱為權，與控制頂點di(i=0,1,…,n)相關聯(lián)。

ω0、ωn>0,ωi≥0(i=1,2,…,n－1)可防止分母為零、保留凸包性質及曲線不致退化。di(i=0,1,…,n)為控制頂點。Ni,k(u)是由節(jié)點U=［u0,u1,…,un+k+1］決定的k次B樣條基函數(shù)。對于非周期NURBS曲線，兩端點的重復度可取為k+1，即u0=u1=…=uk,un+1=un+2=…=un+k+1，且在大多數(shù)實際應用中，節(jié)點值分別取為0與1，因此，有曲線定義域u∈［uk,un+1］=［0,1］。（3）NURBS曲面的定義。

由雙參數(shù)變量分段有理多項式定義的NURBS曲面為（4-9）這里控制頂點dij(i=0,1,…,m;j=0,1,…,n)呈拓撲矩形陣列，形成一個控制網(wǎng)格。

4.4實體建模

1．實體建模原理

實體建模技術是20世紀70年代后期、80年代初期逐漸發(fā)展完善并推向市場的。實體建模是利用一些基本體素，如長方體、圓柱體、球體、錐體、圓環(huán)體以及掃描體、放樣體、

旋轉體、拉伸體等，通過集合運算（拼合或布爾運算，如求和、求差、求交）生成復雜形體的一種建模技術。

2．三維實體表示方法

1）實體幾何構造法（CSG，ConstructiveSolidGeometry）CSG法是一種用體素拼合構成物體的方法，是目前最常見、最重要的方法之一。用CSG法表示一個物體可用二叉樹的形式加以表達，如圖4-17所示。圖4-17中，CSG樹的樹葉分為兩種：一種是基本體素，如長方體、圓柱等；另一種是體素作運動變換時的參數(shù)，如平移參數(shù)Δx等。圖中節(jié)點表示某種運算。有兩類運算子：一類是運動運算子，如平移、旋轉等；另一類是集合運算子，指并、交及差，分別用記號∪*、∩*、-*表示。圖4-17定義形體的CSG樹

CSG表示的優(yōu)點有：

（1）數(shù)據(jù)結構比較簡單，數(shù)據(jù)量比較小，內部數(shù)據(jù)的管理比較容易。

（2）CSG表示可方便地轉換成邊界（Brep）表示。

（3）CSG方法表示的形體的形狀比較容易修改。

CSG表示的缺點有：

（1）對形體的表示受體素的種類和對體素操作種類的限制，也就是說，CSG方法表示形體的覆蓋域有較大的局限性。（2）對形體的局部操作不易實現(xiàn)，例如，不能對基本體素的交線倒圓角。

（3）由于形體的邊界幾何元素（點、邊、面）是隱含地表示在CSG中的，故顯示與繪制CSG表示的形體需要較長的時間。

2）邊界表示法（BRep，BoundaryRepresentation）

邊界表示也稱為BR表示或B-Rep表示，是幾何造型中最

成熟、無二義的表示法。一個物體可以表達為它的有限數(shù)量的邊界表面的集合，表面可能是平面，也可能是曲面，每個表面又可用它邊界的邊及頂點加以表示，如圖4-18所示。圖4-18邊界表示法模型

B-Rep法的主要優(yōu)點是：

（1）對形體的點、邊、面等幾何元素是顯式表示的，使得繪制B-Rep表示的形體的速度較快，而且比較容易確定幾何元素間的連接關系。

（2）容易支持對物體的各種局部操作，比如進行倒角時，不必修改形體的整體數(shù)據(jù)結構，而只需提取被倒角的邊和與它相鄰兩面的有關信息，即可進行倒角運算。

（3）便于在數(shù)據(jù)結構上附加各種非幾何信息，如精度、表面粗糙度等。

B-Rep法的缺點是：

（1）B-Rep數(shù)據(jù)結構復雜，需要大量的存儲空間，維護內部數(shù)據(jù)結構的程序比較復雜。

（2）修改形體的操作與CSG表示法相比難以實現(xiàn)。

（3）B-Rep表示不一定對應一個有效形體，需要有專門的程序來保證B-Rep形體的有效性和正則性。

3）CSG與B-Rep混合表示模型

通過上面的介紹可知，上述實體構造方法各有優(yōu)缺點：形體表示以特征表示和構造的實體幾何表示（CSG）最為方便，但是從計算機對形體的管理和操作運算角度看，以邊

界表示（B-Rep）最為實用。所以，近年來大型CAD系統(tǒng)都采用多種模型表示的方法。圖4-19所示為一混合模型的典型架構。圖4-19混合表示模型的典型架構

4）掃描表示法

圖4-20給出了用平移掃描產(chǎn)生實體的例子。圖4-20（a）所示的是一圓環(huán)，通過平移操作產(chǎn)生如圖4-20（b）所示的空心管。使用這種方法，用戶建立任意的二維圖形以后，可用

平移掃描產(chǎn)生各種等截面的物體。圖4-20平移掃描圖4-21所示是用旋轉掃描產(chǎn)生一實體的例子。可以先定義一個平面圖形，然后令此圖形繞旋轉軸旋轉形成一個新的物體。用旋轉掃描可以產(chǎn)生旋轉對稱體。圖4-21旋轉掃描圖4-22廣義掃描廣義掃描將一個平面區(qū)域（該區(qū)域可以在運動過程中按一定的規(guī)則變化）沿任意的空間軌跡線移動，生成一個三維物體，如圖4-22所示。廣義掃描的造型能力很強，它完全包

含平移掃描和旋轉掃描，但由于廣義掃描的集合構造算法非常復雜，因此仍把平移掃描和旋轉掃描從廣義掃描中獨立出來，單獨處理。

4.5特征建模

1．特征建模的特點

與傳統(tǒng)的幾何造型相比，它有著十分顯著的優(yōu)點：

（1）特征建模著眼于更好地表達產(chǎn)品的完整技術和生產(chǎn)信息，為建立產(chǎn)品的集成信息模型服務。（2）它使產(chǎn)品設計工作在更高的層次上進行，設計人員操作的對象是產(chǎn)品的功能要素，其可以將更多的精力用于創(chuàng)造性構思上。

（3）特征建模有助于加強產(chǎn)品設計、分析、工藝準備、加工、檢驗各部門之間的聯(lián)系，為開發(fā)新一代的基于統(tǒng)一產(chǎn)品信息模型的CAD/CAPP/CAM集成系統(tǒng)創(chuàng)造條件。

2．特征定義

隨著特征技術由工藝規(guī)劃向設計、檢驗和工程分析方面拓展，特征定義趨向于更一般化，例如：用于描述零件和裝配體的語義組，它將功能、設計和制造信息組合在一起；一個幾何形狀或形體要素，它至少具有一種CIM功能；產(chǎn)品信息的載體，它可以在設計和制造或者其它工程任務之間輔助設計或進行通信；任何用于設計、工程分析和制造的推理的客觀對象等。

3．特征的構成體系

（1）造型特征：零件上有一定拓撲關系的一組幾何元素所構成的一個特定形狀，具有特定的功能及特定的加工方法集。形狀特征可以分為基本特征和附加特征。其中基本特征用于構造零件的主體形狀（如圓柱體、圓錐體等），附加特征用于對基本特征進行局部修飾（如倒角、鍵槽、退刀槽、中心孔等）。（2）精度特征：用于表達零件各要素尺寸公差、形狀公差、位置公差和表面粗糙度等精度要求信息。需特別指出的是，一般形位公差除公差項目名、公差值、基準外，還應包含公差檢測原則（如包容原則、最大實體原則等）。精度特征是形成零件質量指標的主要依據(jù)。（3）管理特征：用于描述零件的管理信息，如標題欄中的設計者、批量、件數(shù)、零件編碼及與其它產(chǎn)品的借用與通用關系、日期、零件生產(chǎn)管理中MRPⅡ所需信息，設計過程管理(包括版本管理，使用者權限設定與管理，審定等)，并為PDM提供所需的信息。（4）技術要求特征：用于描述零件的性能、功能等相關信息，說明外觀要求、搬運要求等無法在圖紙上標注的要求，零件運行過程中的工況條件（常規(guī)、極限），載荷與約束條件，為CAE提供模擬信息，為性能實驗、分析計算、優(yōu)化、有限元前處理提供條件。（5）材料特征：用于描述零件材料的類型、理化指標及熱處理等特殊要求、表面處理的信息集合。

（6）裝配特征：用于表達零件在裝配過程中所需用的信息，如與其它零件之配合、配作等關系，裝配尺寸鏈信息、父項子項的信息。例如，組成產(chǎn)品的零部件之間在裝配中的關系可分為層次關系和裝配關系。

4．特征建模系統(tǒng)實現(xiàn)模式

特征識別：首先建立一個幾何模型，然后用程序處理這個幾何模型，自動地發(fā)現(xiàn)并提取特征。

基于特征的設計：直接用特征來定義零件的幾何結構，幾何模型可以由特征生成。圖4-23所示為兩種方法的示意圖。圖4-23特征建模方法示意圖

1）特征識別

許多應用程序(如工藝規(guī)劃、NC編程、成組技術編碼等)所要求的輸入信息包含幾何構造和特征兩方面?，F(xiàn)已開發(fā)出各種技術方法，可以直接從幾何模型數(shù)據(jù)庫中獲得這些輸入信息。這些方法常被看做特征識別，它將幾何模型的某部分與預定義的特征相比較，進而識別出相匹配的特征實例。特征識別常包含以下幾個過程：

（1）搜尋特征庫，以匹配拓撲/幾何模式。

（2）從數(shù)據(jù)庫中提取已識別的特征。

（3）確定特征參數(shù)（如孔直徑、槽深度等）。

（4）完成特征的幾何模型（如邊/面延展、封閉等）。（5）將簡單的特征組合，以獲得高層特征。2）基于特征的設計

在基于特征的設計方法中，特征從一開始就加入在產(chǎn)品模型中，特征的定義被放入一個庫中，通過定義尺寸、位置參數(shù)和各種屬性值可以建立特征實例。

兩種主要的基于特征的設計方法是特征分割造型和特征合成法。

5．基于特征的參數(shù)化建模系統(tǒng)

基于上述應用背景，國內外對參數(shù)化設計做了大量的研究。目前，參數(shù)化技術大致可分為如下三種方法：①基于幾何約束的數(shù)學方法；②基于幾何原理的人工智能方法；③基

于特征模型的建模方法。

6．變量化設計

變量化設計是一種設計方法，該方法采用約束驅動方式來改變由幾何約束和工程約束混合構成的幾何模型。變量化設計可以用于公差分析、運動機構協(xié)調、設計優(yōu)