《物理光學(xué)與應(yīng)用光學(xué)》課件第9章

第9章光學(xué)系統(tǒng)像差基礎(chǔ)和光路計(jì)算9.1光學(xué)系統(tǒng)中的光闌9.2光學(xué)系統(tǒng)光闌對(duì)成像的影響9.3像差基本概念9.4光學(xué)系統(tǒng)中一般光路計(jì)算9.5光學(xué)系統(tǒng)設(shè)計(jì)軟件——ZEMAX簡(jiǎn)介例題9.1光學(xué)系統(tǒng)中的光闌9.1.1光闌及其分類在光學(xué)系統(tǒng)中，把可以限制光束的光學(xué)元件的邊框或者特別設(shè)計(jì)的一些帶孔的金屬薄片，通稱為光闌。光闌的內(nèi)孔邊緣就是限制光束的光孔，這個(gè)光孔對(duì)光學(xué)元件來(lái)說(shuō)稱為通光孔徑。光闌的通光孔一般是圓形的，其中心和光軸重合，光闌平面與光軸垂直。實(shí)際光學(xué)系統(tǒng)中的光闌，按其作用可分為以下三種。

(1)孔徑光闌它是限制軸上物點(diǎn)成像光束立體角的光闌，有時(shí)也稱為有效光闌。如果在過(guò)光軸的平面上進(jìn)行考察，這種光闌決定了軸上點(diǎn)發(fā)出成像光束的孔徑角。照相機(jī)中的光闌(俗稱光圈)就是這種光闌。在光學(xué)系統(tǒng)中，合理地選取孔徑光闌的位置可以改善軸外點(diǎn)的成像質(zhì)量。因?yàn)閷?duì)于軸外點(diǎn)發(fā)出的寬光束而言，孔徑光闌的位置不同，就等于在該物點(diǎn)發(fā)出的光束中選擇不同部分的光束參與成像，一般設(shè)置孔徑光闌總是希望選擇成像質(zhì)量較好的那部分光束，而把成像質(zhì)量較差的那部分光束攔掉。但是在有些光學(xué)系統(tǒng)中，孔徑光闌的位置是有特定要求的。例如放大鏡、望遠(yuǎn)鏡等目視光學(xué)系統(tǒng)，孔徑光闌或它的像一定要在光學(xué)系統(tǒng)的外邊，使之與眼睛的瞳孔相重合，以達(dá)到良好的觀察效果。又如在光學(xué)計(jì)量?jī)x器中，通常將孔徑光闌設(shè)置在物鏡的焦平面上，以達(dá)到精確測(cè)量的目的。

(2)視場(chǎng)光闌它是限制物平面上或物空間中成像范圍的光闌。如照相機(jī)中的底片框就是視場(chǎng)光闌?？讖焦怅@和視場(chǎng)光闌是光學(xué)系統(tǒng)中的主要光闌，一般光學(xué)系統(tǒng)中都有這兩種光闌。

(3)消雜光光闌光學(xué)系統(tǒng)中將那些非成像物體射來(lái)的光、光學(xué)系統(tǒng)各折射面反射的光和儀器內(nèi)壁反射的光等，通稱為雜光。雜光進(jìn)入光學(xué)系統(tǒng)，將使像面產(chǎn)生明亮背景，使像的對(duì)比度降低，有損于成像質(zhì)量。消雜光光闌不限制通過(guò)光學(xué)系統(tǒng)的成像光束，主要是攔掉一部分雜光。一些光學(xué)系統(tǒng)，如天文望遠(yuǎn)鏡、長(zhǎng)焦距平行光管等，都專門設(shè)置消雜光光闌，而且在有些光學(xué)系統(tǒng)中可以有多個(gè)消雜光光闌。有時(shí)在光學(xué)系統(tǒng)中，常把鏡管內(nèi)壁加工成內(nèi)螺紋，并涂以黑色無(wú)光漆或煮黑來(lái)達(dá)到消雜光的目的。9.1.2孔徑光闌和入/出瞳在光學(xué)系統(tǒng)中，無(wú)論有多少個(gè)光闌，一般來(lái)說(shuō)，總有一個(gè)光闌主要限制給定物面上物點(diǎn)進(jìn)入光學(xué)系統(tǒng)光束的大小，或者說(shuō)它控制進(jìn)入光學(xué)系統(tǒng)光能量的強(qiáng)弱，該光闌稱為光學(xué)系統(tǒng)的孔徑光闌。如圖9-1所示的系統(tǒng)中，存在光闌Q1QQ2和透鏡框M1M2兩個(gè)光闌，為了確定孔徑光闌，就要看光闌Q1QQ2和透鏡框M1M2究竟是哪一個(gè)起限制成像光束的作用。為此，只需比較兩者各自對(duì)軸上已知物點(diǎn)A所發(fā)出的光線的限制情況即可，即在不考慮別的光闌的情況下，看從A發(fā)出的多大范圍的光束可以通過(guò)光闌。圖9-1孔徑光闌的確定因?yàn)楣怅@Q1QQ2前面有透鏡存在，光闌處于透鏡的像空間，物體在透鏡的物空間，所以物體與光闌不直接發(fā)生關(guān)系，不能直接從軸上物點(diǎn)A引一條到光闌邊緣Q1的光線來(lái)確定光闌Q1QQ2對(duì)A點(diǎn)發(fā)出的光束的限制。但可根據(jù)光闌的位置和大小，及它被它前面的光組所成像的位置和大小，因該像位于透鏡的物空間，就可以與物體直接發(fā)生關(guān)系。如圖9-1所示，P1PP2是光闌Q1QQ2被其前面的透鏡在其物空間所成的像，若從軸上A引一條到P1的光線，則經(jīng)過(guò)透鏡折射后，正好沿光闌邊緣Q1通過(guò)，它給出了受到Q1QQ2限制A點(diǎn)發(fā)出所能夠成像的最邊緣的光線。而透鏡框M1M2前面再?zèng)]有透鏡，本身位于透鏡的物空間，它的邊緣M1和A點(diǎn)確定了受到M1M2限制A點(diǎn)發(fā)出所能夠成像的最邊緣的光線。由圖9-1可以看出，∠P1AP小于∠M1AP，即光闌的像對(duì)軸上物點(diǎn)A的張角最小，或者說(shuō)光闌Q1QQ2限制了A點(diǎn)成像光束的范圍。因此，該例中光闌Q1QQ2就是孔徑光闌。根據(jù)光路可逆，將所有光闌和物點(diǎn)A被它后面的光組在系統(tǒng)像空間成像，這時(shí)像點(diǎn)A′對(duì)所有光闌在像空間的像的張角中，對(duì)孔徑光闌在像空間的像的張角也應(yīng)該最小，所以在像空間也可以確定光學(xué)系統(tǒng)的孔徑光闌。由此可知，要在光學(xué)系統(tǒng)中的多個(gè)光闌中找出哪一個(gè)是限制光束的孔徑光闌，只要求出所有光闌被它前(后)面的光組在系統(tǒng)物(像)空間所成像的位置和大小，及它們對(duì)軸上物點(diǎn)A(像點(diǎn)A′)的張角，其中張角最小的光闌像所對(duì)應(yīng)的實(shí)際光闌，就是系統(tǒng)的孔徑光闌。再譬如圖9-2所示的光學(xué)系統(tǒng)有三個(gè)光闌，各光闌在系統(tǒng)物空間的像如圖9-3所示。透鏡L1成像到物空間，就是它本身；光闌Q1QQ2的像為P1PP2；透鏡L2的像為L(zhǎng)2′。由物點(diǎn)A對(duì)各個(gè)像的邊緣引連線，可以看出張角P1AP最小。所以，P1PP2對(duì)應(yīng)的光闌Q1QQ2實(shí)際上起著限制光軸上物點(diǎn)A的光束的作用，即為孔徑光闌?？讖焦怅@在物空間的像P1PP2，稱為入射光瞳，簡(jiǎn)稱入瞳。由物點(diǎn)A發(fā)出經(jīng)過(guò)入瞳邊緣的光線與光軸的夾角，即圖中角U，稱為光學(xué)系統(tǒng)的物方孔徑角。此角即為軸上點(diǎn)作邊緣光線光路計(jì)算所取的孔徑角。圖9-2三光闌系統(tǒng)圖9-3三光闌系統(tǒng)中各闌在物空間的像同理，把所有光闌通過(guò)其后面的光組成像到系統(tǒng)的像空間去，如圖9-4所示。L1′是透鏡L1的像；P1′PP2′是孔徑光闌Q1QQ2的像；透鏡L2在像空間的像就是它本身?？讖焦怅@在系統(tǒng)像空間的像P1′PP2′稱為出射光瞳，簡(jiǎn)稱出瞳。軸上物點(diǎn)A的共軛像點(diǎn)為A′。顯然，所有光闌在像空間的像中，出瞳對(duì)像面中心點(diǎn)A′所張的角為最小，將經(jīng)過(guò)出瞳邊緣的光線與光軸的夾角，即圖中角U′，稱為光學(xué)系統(tǒng)的像方孔徑角。圖9-4三光闌系統(tǒng)中各闌在像空間的像顯然，對(duì)一定位置的物體，入射光瞳決定了能進(jìn)入系統(tǒng)成像的最大光束孔徑，并且是物面上各點(diǎn)發(fā)出并進(jìn)入系統(tǒng)成像光束的公共入口。出射光瞳是物面上各點(diǎn)的成像光束經(jīng)過(guò)系統(tǒng)后射出系統(tǒng)的公共出口。入射光瞳通過(guò)整個(gè)光學(xué)系統(tǒng)所成的像就是出射光瞳，二者對(duì)整個(gè)光學(xué)系統(tǒng)是共軛的。如果孔徑光闌在整個(gè)光學(xué)系統(tǒng)的像空間，它本身也就是出射光瞳。反之，在物空間，就是入射光瞳。由物面上物點(diǎn)發(fā)出的通過(guò)入瞳中心的光線稱為該物點(diǎn)的主光線。由于共軛的關(guān)系，對(duì)于理想光學(xué)系統(tǒng)，主光線也必然通過(guò)孔徑光闌中心和出瞳中心。顯然，各物點(diǎn)的主光線是物點(diǎn)發(fā)出的成像光束的光束軸線。光學(xué)系統(tǒng)的孔徑光闌是對(duì)一定位置的物面而言的，如果物面位置發(fā)生變化，所有光闌在物空間的像對(duì)于物面上各物點(diǎn)的張角將發(fā)生變化，這時(shí)對(duì)光軸上物點(diǎn)起主要限制作用的光闌也將發(fā)生變化，即孔徑光闌和物面位置有關(guān)。當(dāng)物體位于物方無(wú)限遠(yuǎn)時(shí)，只須比較各光闌通過(guò)其前面光組在整個(gè)系統(tǒng)的物空間所成像的大小，以直徑最小者為入瞳。入瞳的大小是由光學(xué)系統(tǒng)對(duì)成像光能量的要求或者對(duì)物體細(xì)節(jié)的分辨能力的要求來(lái)確定的。常以入瞳直徑和系統(tǒng)的像方焦距之比D/f′來(lái)表示，稱為相對(duì)孔徑。它是光學(xué)系統(tǒng)的一個(gè)重要成像性能指標(biāo)。相對(duì)孔徑的倒數(shù)稱為F數(shù)。對(duì)照相物鏡來(lái)說(shuō)，有時(shí)稱F數(shù)為光圈數(shù)。9.1.3視場(chǎng)光闌和入/出窗在一個(gè)實(shí)際的光學(xué)系統(tǒng)中，除孔徑光闌外，還有其它的光闌。在大多數(shù)情況下，軸外點(diǎn)發(fā)出并充滿入瞳的光束，會(huì)被這些光闌所遮攔。在圖9-5中，由軸外點(diǎn)B發(fā)出充滿入瞳的光束，其下面有一部分被透鏡L1攔掉，其上面有一部分被透鏡L2攔掉，只有中間一部分(圖中陰影區(qū))可以通過(guò)光學(xué)系統(tǒng)成像，這樣軸外點(diǎn)的成像光束小于軸上點(diǎn)的成像光束，使像面邊緣的光照度有所下降。圖9-5光闌對(duì)通過(guò)入瞳的光束的影響顯然，物點(diǎn)離光軸愈遠(yuǎn)，其成像光束的孔徑角較軸上點(diǎn)成像光束的孔徑角小得愈多，當(dāng)物點(diǎn)距離光軸足夠遠(yuǎn)時(shí)，將不會(huì)有物點(diǎn)發(fā)出的光線通過(guò)系統(tǒng)所有光闌到達(dá)像面，這時(shí)物點(diǎn)就不能成像，也就是說(shuō)，光學(xué)系統(tǒng)中由于光闌的存在，物面有一定的成像范圍，它由光學(xué)系統(tǒng)中除了孔徑光闌外，別的光闌的位置和大小來(lái)決定。其中有一個(gè)光闌主要決定了物平面上或物空間中的成像范圍，該光闌稱為系統(tǒng)的視場(chǎng)光闌。

軸外物點(diǎn)發(fā)出的充滿入瞳的光束被遮攔情況，與光學(xué)系統(tǒng)中除了孔徑光闌外，別的光闌的位置和大小有關(guān)，同時(shí)還與入瞳的大小有關(guān)。為了簡(jiǎn)單起見(jiàn)，先討論孔徑光闌或入瞳為無(wú)限小的情況。此時(shí)只有主光線附近的一束非常細(xì)的光束可能通過(guò)光學(xué)系統(tǒng)。因此，光學(xué)系統(tǒng)的成像范圍，便由對(duì)主光線發(fā)生限制的光闌所決定。圖9-6為圖9-5在孔徑光闌、入瞳和出瞳均為無(wú)限小時(shí)的原理圖，其中透鏡L2經(jīng)過(guò)它前面的光學(xué)系統(tǒng)在物空間成的像為L(zhǎng)2′。過(guò)物平面上不同高度的兩點(diǎn)B和C作主光線BP和CP，它們與光軸的夾角不同，并分別經(jīng)過(guò)光組L1的下邊緣和L2的上邊緣(在系統(tǒng)物空間為L(zhǎng)2′的下邊緣)。由圖9-6可見(jiàn)，主光線CP雖能通過(guò)光組L1，但被光組L2的邊框攔掉，在系統(tǒng)的物空間被L2′攔掉；主光線BP能通過(guò)L1，也恰好能通過(guò)L2，在系統(tǒng)的物空間也能通過(guò)L2′。圖9-6孔徑光闌為無(wú)限小時(shí)視場(chǎng)光闌的確定顯然，物面上一點(diǎn)要成像，在它發(fā)出的主光線在物空間應(yīng)該通過(guò)所有光闌在物空間的像，所以物面上的成像范圍就由所有光闌在物空間的像中對(duì)入瞳中心的最小者決定。在圖9-6中，L2′對(duì)入瞳中心的張角比L1對(duì)入瞳中心的張角小，由它所決定的物面上AB范圍以內(nèi)的物點(diǎn)都可以被系統(tǒng)成像，而B(niǎo)點(diǎn)以外的點(diǎn)，如C點(diǎn)，已不能通過(guò)系統(tǒng)成像。因此，光組L2的邊框是決定物面上成像范圍的光闌，是視場(chǎng)光闌。根據(jù)光路可逆，類似孔徑光闌一樣，也可以在系統(tǒng)的像空間確定。由此可知，要在光學(xué)系統(tǒng)中的多個(gè)光闌中找出哪個(gè)是限制光束的視場(chǎng)光闌，只要求出所有光闌被它前(后)面的光組在系統(tǒng)物(像)空間所成像的位置和大小，及它們對(duì)入(出)瞳中心的張角，其中張角最小的光闌像所對(duì)應(yīng)的實(shí)際光闌，就是系統(tǒng)的視場(chǎng)光闌。視場(chǎng)光闌通過(guò)它前面的光學(xué)系統(tǒng)在整個(gè)光學(xué)系統(tǒng)的物空間的像稱為入射窗，簡(jiǎn)稱入窗；通過(guò)后面的光學(xué)系統(tǒng)在整個(gè)光學(xué)系統(tǒng)的像空間的像稱為出射窗，簡(jiǎn)稱為出窗。在物空間，入瞳中心與入窗邊緣連線的夾角，或經(jīng)過(guò)入窗邊緣的主光線之間的夾角稱為系統(tǒng)的物方視場(chǎng)角，表示為2ω;它的一半，稱為物方半視場(chǎng)角。在像空間，出瞳中心與出窗邊緣連線的夾角，或經(jīng)過(guò)出窗邊緣的主光線之間的夾角，稱為系統(tǒng)的像方視場(chǎng)角，表示為2ω′；它的一半，稱為像方半視場(chǎng)角。當(dāng)物體在有限距離時(shí)，習(xí)慣用入瞳(或出瞳)中心與入窗(或出窗)邊緣連線和物面(像面)交點(diǎn)之間的線距離來(lái)表示視場(chǎng)，稱線視場(chǎng)2y(或2y′)。9.2光學(xué)系統(tǒng)光闌對(duì)成像的影響9.2.1漸暈在圖9-7中僅畫(huà)出物平面、入瞳面和入窗平面，來(lái)分析物空間的光束被限制的情況。當(dāng)入瞳為無(wú)限小時(shí)，物面上能成像的范圍應(yīng)該是由入瞳中心與入窗邊緣連線所決定的AB2區(qū)域。但是當(dāng)入瞳有一定大小時(shí)，B2點(diǎn)以外的一些點(diǎn)，雖然其主光線不能通過(guò)入窗，但光束中還有主光線以上一小部分光線可以通過(guò)入窗被系統(tǒng)成像，圖中為入瞳上邊緣和入窗下邊緣連線與物面的交點(diǎn)，它才是被系統(tǒng)成像的最邊緣點(diǎn)。由此可見(jiàn)，考慮到入瞳的大小后，物面的成像范圍擴(kuò)大了。但是在物面上B2B3點(diǎn)段的物點(diǎn)發(fā)出充滿入瞳的光束，會(huì)有一部分被視場(chǎng)光闌遮擋。這種軸外物點(diǎn)發(fā)出的充滿入瞳的光束被別的光闌部分遮擋的現(xiàn)象，稱為軸外點(diǎn)光束的漸暈。圖9-7孔徑光闌為有限大小時(shí)漸暈現(xiàn)象由于漸暈現(xiàn)象，物面上不同區(qū)域的物點(diǎn)成像光束的孔徑角是不同的，物面成像部分可以分為三個(gè)區(qū)域。①以B1A為半徑的圓形區(qū)，其中每個(gè)點(diǎn)均以充滿入瞳的全部光束成像。此區(qū)域之邊緣點(diǎn)B1由入射光瞳下邊緣P2和入射窗下邊緣點(diǎn)M2的連線所確定。在入射光瞳平面上的成像光束截面如圖9-7(a)所示，其中小圓為入瞳，大圓為入窗相對(duì)A點(diǎn)在入瞳所在平面上的投影。②以B1B2繞光軸旋轉(zhuǎn)一周所形成的環(huán)形區(qū)域。在此區(qū)域內(nèi)，每一點(diǎn)已不能用充滿入瞳的光束成像。在子午面內(nèi)看光束，由B1點(diǎn)到B2點(diǎn)，其能通過(guò)入射光瞳的光束，逐漸變窄，這就是軸外點(diǎn)漸暈。此區(qū)域的邊緣點(diǎn)B2由入射光瞳中心P和入射窗下邊緣M2的連線確定。B2點(diǎn)發(fā)出的光束在入射光瞳面上的截面如圖9-7(b)所示。③以B2B3繞光軸旋轉(zhuǎn)一周所得到的環(huán)形區(qū)域。在此區(qū)域內(nèi)各點(diǎn)的光束漸暈更嚴(yán)重，由B2點(diǎn)到B3點(diǎn)時(shí)，幾乎沒(méi)有光線通過(guò)光學(xué)系統(tǒng)，B3點(diǎn)是可見(jiàn)視場(chǎng)最邊緣點(diǎn)，它由入射光瞳上邊緣點(diǎn)P1和入射窗下邊緣點(diǎn)M2的連線決定。B3點(diǎn)發(fā)出的光束在入射光瞳面上的截面如圖9-7(c)所示。為了描述光學(xué)系統(tǒng)物面上各點(diǎn)的漸暈程度，定義漸暈系數(shù)。軸外物點(diǎn)發(fā)出的成像光束在入瞳面上光束的截面(即圖9-7中陰影區(qū)域)與入瞳截面的比值，稱為面漸暈系數(shù)，表示為Ks。在子午面上，軸外物點(diǎn)發(fā)出的成像光束在入瞳面上光束的寬度(即圖中陰影區(qū)域在子午面上的長(zhǎng)度)與入瞳直徑的比值，稱為線漸暈系數(shù)，表示為KD。在圖9-7中，AB1段的線漸暈系數(shù)為1，B2點(diǎn)的線漸暈系數(shù)為50％，B3點(diǎn)的線漸暈系數(shù)為0。以上三個(gè)區(qū)域只是大致的劃分，實(shí)際在物平面上，由B1到B3點(diǎn)的線漸暈系數(shù)由100%到0是漸變的，并沒(méi)有明顯的界限。由于光束是光能量的載體，通過(guò)的光束越寬，其所攜帶的光能就越多。因此，物平面上第一個(gè)區(qū)域所成的像，光照度最大，并且均勻，從第二個(gè)區(qū)域開(kāi)始，像的光照度逐漸下降一直到零，整個(gè)視場(chǎng)并無(wú)明顯界限。光學(xué)系統(tǒng)的入瞳具有一定大小時(shí)，也可以不存在漸暈。如圖9-8所示，令入射光瞳直徑為2a，以入瞳面作為軸線線度的參考面，用p表示物平面相對(duì)入瞳的線度，q表示入窗相對(duì)入瞳面的線度，圖中p和q均為負(fù)值。由圖可得圖9-8入瞳為有限大小時(shí)不存在漸暈的條件由上式可見(jiàn)，要使物面消漸暈，有兩種情況:①B1B3=0，即p=q時(shí)，入窗和物平面重合，這時(shí)視場(chǎng)為有限的范圍。②AB1→∞，即入窗和入瞳重合時(shí)，視場(chǎng)為無(wú)限大，這種情況只有在光學(xué)系統(tǒng)中僅有一個(gè)光闌時(shí)才存在。在投影儀器的光學(xué)系統(tǒng)中，視場(chǎng)光闌就設(shè)置在物平面上，此時(shí)其出射窗恰好落在像平面上，像平面內(nèi)視場(chǎng)邊緣清晰，沒(méi)有漸暈。在照相機(jī)中，顯然不便于把視場(chǎng)光闌放在物平面上，這時(shí)可把視場(chǎng)光闌放在像平面上，其入射窗恰好落在物平面上，也沒(méi)有漸暈。應(yīng)該指出的是，并不是所有情況下物平面與入窗重合時(shí)，都可使?jié)u暈為零。在上面討論中，主要考慮了系統(tǒng)的孔徑光闌和視場(chǎng)光闌，當(dāng)光學(xué)系統(tǒng)中透鏡較多且孔徑都不太大時(shí)，有些光線即使不被孔徑光闌和視場(chǎng)光闌遮擋，也會(huì)被別的光闌遮擋而造成漸暈。9.2.2景深和焦深

1.景深前面我們所討論的只是在垂直于光軸的平面上點(diǎn)的成像問(wèn)題，屬于這一類成像的光學(xué)儀器有生物顯微鏡、照相制版物鏡和電影放映物鏡等。實(shí)際上還有很多光學(xué)儀器要求對(duì)整個(gè)空間或部分空間的物點(diǎn)成像在一個(gè)像平面上，例如，普通的照相機(jī)物鏡和望遠(yuǎn)鏡就是這一類。對(duì)一定深度的空間在同一像平面上要求所成的像足夠清晰，這就是光學(xué)系統(tǒng)的景深問(wèn)題。圖9-9中，P為入瞳中心，P′為出射光瞳中心，A′所在的平面就是要求成像的平面，譬如照相機(jī)膠卷所在的平面，稱為景像平面，在物空間與景像平面共軛的平面，即A所在的平面稱為對(duì)準(zhǔn)平面。現(xiàn)在分析在距光學(xué)系統(tǒng)入瞳面不同的距離的兩個(gè)物面上的兩個(gè)物點(diǎn)B1、B2的成像。圖9-9光學(xué)系統(tǒng)的景深考慮入瞳有一定大小，由于B1和B2不在對(duì)準(zhǔn)平面上，因而它們發(fā)出并充滿入瞳的光束在景像平面前后形成兩個(gè)像點(diǎn)B1′和B2′，而在景像平面上形成兩個(gè)彌散斑Z1′和Z2′。實(shí)際中，物體經(jīng)過(guò)光學(xué)系統(tǒng)所成的像是用探測(cè)器或眼睛來(lái)接收的，而探測(cè)器或眼睛都有一定的分辨率，例如，人眼角分辨率約為1′，因此，并不需要物點(diǎn)必須在景像平面上成一個(gè)像點(diǎn)，只要物點(diǎn)在景像平面上成像得到的彌散斑的大小不大于探測(cè)器或眼睛在景像平面上要求的線分辨率，就可以認(rèn)為物點(diǎn)在景像平面上成了一個(gè)清晰的像。由此可見(jiàn)，考慮到像的探測(cè)或觀察的實(shí)際情況，允許在景像平面上成像為一個(gè)有限大小的彌散斑，這時(shí)對(duì)準(zhǔn)平面前后一定范圍內(nèi)的物體均可以在景像平面成清晰像。這種能夠在像平面上獲得足夠清晰像的物空間的深度，稱為光學(xué)系統(tǒng)的景深。其中能成足夠清晰像的最遠(yuǎn)平面(如物點(diǎn)B1所在的平面)稱為遠(yuǎn)景，能成清晰像的最近平面(如物點(diǎn)B2所在的平面)稱為近景。它們離對(duì)準(zhǔn)平面的距離以Δ1和Δ2表示，稱為遠(yuǎn)景深度和近景深度。光學(xué)系統(tǒng)的景深就是遠(yuǎn)景深度與近景深度之和，即Δ=Δ1+Δ2。下面推導(dǎo)景深的解析表達(dá)式。如圖9-9所示，在物方和像方分別以入瞳面和出瞳面作為參考面度量軸向線度。物方的對(duì)準(zhǔn)平面、遠(yuǎn)景和近景相對(duì)入瞳面的線度分別表示為p、p1和p2，它們的像面相對(duì)出瞳面的線度分別表示為p′、p1′和p2′。景像平面上的彌散斑Z1′和Z2′可以看做對(duì)準(zhǔn)平面上彌散斑Z1和Z2在像空間的共軛像，設(shè)對(duì)準(zhǔn)平面和景像平面間的垂軸放大率為β，則有Z1′=|β|Z1,

Z2′=|β|Z2對(duì)于給定像面的接收系統(tǒng)，它有一定的空間分辨率，設(shè)在像面上允許的彌散斑的直徑為Z0′，則在物面上允許的彌散斑為Z0＝Z0′/β。設(shè)入瞳和出瞳的直徑分別為D和D′，從圖9-9中相似三角形關(guān)系可得用對(duì)準(zhǔn)平面上的彌散斑作為變量，遠(yuǎn)景和近景位置可以表示為(9.2-1)遠(yuǎn)景深度和近景深度可以表示為(9.2-2)光學(xué)系統(tǒng)的景深為(9.2-3)由上式可見(jiàn)，光學(xué)系統(tǒng)的景深與入瞳大小D，入瞳相對(duì)對(duì)準(zhǔn)平面的距離p以及對(duì)準(zhǔn)平面上允許的彌散斑的大小Z0有關(guān)。在Z0和p一定的條件下，光學(xué)系統(tǒng)的入瞳直徑越小，這時(shí)的景深越大。

2.照相機(jī)物鏡的景深對(duì)準(zhǔn)平面上允許的彌散斑的大小Z0決定于景像平面上允許的彌散斑的直徑Z0′，Z0′的允許值為多少，要視光學(xué)系統(tǒng)的用途而定。下面分析照相機(jī)的景深。一個(gè)普通的照相物鏡，當(dāng)照片上各點(diǎn)的彌散斑對(duì)人眼的張角小于人眼的最小分辨角(1′)時(shí)，看起來(lái)好像是點(diǎn)像，可認(rèn)為圖像是清晰的。用ε表示人眼的角分辨率，當(dāng)ε確定之后，照片上允許的彌散斑大小與眼睛到照片的觀察距離有關(guān)，因此須要確定這一距離。在用眼晴觀察照片時(shí)，為了得到正確的空間感覺(jué)而不發(fā)生景像彎曲，就要求照片上圖像各點(diǎn)對(duì)眼晴的張角與直接觀察空間時(shí)各對(duì)應(yīng)點(diǎn)對(duì)眼睛的張角相等。符合這一條件的距離，稱為正確透視距離。如圖9-10所示，眼睛在R處，d為正確透視距離，這時(shí)景像平面上的像A′B′(即y′)對(duì)R點(diǎn)的張角應(yīng)與物空間的共軛線段AB(即y)對(duì)入瞳中心p的張角相等，由此得(9.2-4)因此，正確透視距離為圖9-10正確透視距離所以景像平面上或照片上彌散斑直徑的允許值為Z0′=dε=－|β|pε對(duì)應(yīng)于對(duì)準(zhǔn)平面上彌散斑的允許值為(9.2-5)將上式代入(9.2-2)式求得遠(yuǎn)景深度Δ1和近景深度Δ2為(9.2-6)可見(jiàn)，當(dāng)照相物鏡的入瞳大小D和對(duì)準(zhǔn)平面的位置p以及眼睛的角分辨率ε一定時(shí)，遠(yuǎn)景深度Δ1較近景深度Δ2大，總的成像空間深度即景深Δ為(9.2-7)如果用物方孔徑角U代替入瞳直徑，由圖9-10可見(jiàn)，它們有以下關(guān)系：D=2ptanU這樣，光學(xué)系統(tǒng)的景深(9.2-7)式變?yōu)?9.2-8)由(9.2-7)和(9.2-8)式可知，入瞳直徑愈小，即孔徑角愈小，景深就愈大。在天氣比較晴朗時(shí)，在保證一定的曝光量的前提條件下，可以選擇比較大的光圈數(shù)，得到比較小的入瞳直徑，拍攝的照片可以獲得大的空間深度的清晰像就是這個(gè)道理。①如果要使對(duì)準(zhǔn)平面以后的整個(gè)物空間都能在景像平面上成清晰像，即遠(yuǎn)景深度Δ1=∞，對(duì)準(zhǔn)平面應(yīng)位于何處?由(9.2-6)式可知，當(dāng)Δ1=∞時(shí)，分母應(yīng)等于零，故(9.2-9)即從對(duì)準(zhǔn)平面中心看入瞳時(shí)，其對(duì)眼睛的張角應(yīng)等于極限角ε。當(dāng)p=－D/ε時(shí)，近景位置p2為(9.2-10)因此，把照相機(jī)物鏡調(diào)焦于p=－D/ε的距離時(shí)，在景像平面上可以得到從入射光瞳前距離為的平面起到無(wú)限遠(yuǎn)的空間內(nèi)物體的清晰像。②如果把照相機(jī)物鏡調(diào)焦于無(wú)限遠(yuǎn)，即p=∞時(shí)，近景位于何處?將(9.2-5)式代入(9.2-1)式的第二式中，并對(duì)p=∞求極限，即可求得近景位置為(9.2-11)就是說(shuō)，這時(shí)的景深等于自物鏡前距離為D/ε的平面開(kāi)始到無(wú)限遠(yuǎn)。顯然，這種情況下近景距離較第一種情況大1倍。所以，把對(duì)準(zhǔn)平面調(diào)在無(wú)限遠(yuǎn)時(shí)，景深要小一些。

3.焦深在實(shí)際中經(jīng)常會(huì)碰到另外一種情況，對(duì)于一個(gè)物面經(jīng)過(guò)光學(xué)系統(tǒng)成像后，如果要用屏或者探測(cè)器接收像時(shí)，最為理想的情況就是在物面的高斯像面上接收，但是由于接收器存在一定的空間分辨率，實(shí)際上物面的高斯像面前后一定范圍內(nèi)都能夠接收到清晰的像，這時(shí)能夠接收到清晰像的像面的范圍稱為光學(xué)系統(tǒng)的焦深。如圖9-11所示，對(duì)準(zhǔn)平面上物點(diǎn)成像在景像平面上，如果接收面上允許彌散斑的大小為Z0′，這時(shí)，景像平面前后在景像平面上形成彌散斑大小為Z0′的兩個(gè)像點(diǎn)所在的平面距離景像平面的距離為Δ1′和Δ2′，從圖關(guān)系有圖9-11焦深示意圖則焦深為(9.2-12)由上式可見(jiàn)，焦深與允許彌散斑直徑Z0′，理想像距p′及出瞳口徑D′有關(guān)。在Z0′和p′一定的條件下，焦深和景深一樣，也是隨著入瞳或出瞳的增加而減小的。景深和焦深都是能夠獲得清晰成像的一段空間范圍，景深指的是物空間的深度，焦深則指像空間的深度。這兩個(gè)概念都與像面允許有一定的分辨率相聯(lián)系，都與孔徑光闌有關(guān)。隨著孔徑光闌尺寸減小，使光學(xué)系統(tǒng)中被限制光束的口徑減小，從而使景深和焦深都相應(yīng)加大；反之，孔徑光闌加大，將使景深和焦深都變小。9.2.3幾個(gè)特殊光學(xué)系統(tǒng)的光闌的作用

1.助視光學(xué)系統(tǒng)人眼看不清楚近處太小或太遠(yuǎn)的物體，這時(shí)可以借助于顯微鏡和望遠(yuǎn)鏡來(lái)擴(kuò)展人眼的視覺(jué)范圍。這種擴(kuò)展人眼視覺(jué)范圍的光學(xué)儀器稱為助視光學(xué)儀器，具體的結(jié)構(gòu)在下一章詳細(xì)討論。在這一類光學(xué)儀器中，由于是用人的眼睛接收光學(xué)系統(tǒng)的像，而人眼睛的光闌瞳孔只有2～6mm，因而必須考慮人眼對(duì)于光束的限制。在這類光學(xué)儀器的設(shè)計(jì)中，對(duì)于孔徑光闌有專門的要求，一般要求它的出瞳設(shè)計(jì)在光學(xué)系統(tǒng)的外部，在使用時(shí)，人眼和系統(tǒng)的出瞳重合。

2.物方遠(yuǎn)心光路在光學(xué)儀器中，有很多是用來(lái)測(cè)量長(zhǎng)度的。它通常分為兩種情況：一種情況是光學(xué)系統(tǒng)有一定的放大率，使被測(cè)物之像和一刻尺相比，以求知被測(cè)物體的長(zhǎng)度，如工具顯微鏡等計(jì)量?jī)x器；另一種是把一標(biāo)尺放在不同位置，通過(guò)改變光學(xué)系統(tǒng)的放大率，使標(biāo)尺像等于一個(gè)已知值，以求儀器到標(biāo)尺間的距離，如大地測(cè)量?jī)x器中的視距測(cè)量等。第一種儀器光學(xué)系統(tǒng)的實(shí)像平面上，放置有已知刻值的透明刻尺(分劃板)，分劃板上的刻尺格值已考慮了物鏡的放大率，因此，按刻度讀得的像高即為物體的長(zhǎng)度。此方法用做物體的長(zhǎng)度測(cè)量，刻尺與物鏡之間的距離應(yīng)保持不變，以使物鏡的放大率保持常數(shù)。這種測(cè)量方法的測(cè)量精度，在很大程度上取決于像平面與刻尺平面的重合程度。這一般是通過(guò)對(duì)整個(gè)光學(xué)系統(tǒng)(連目鏡)相對(duì)于被測(cè)物體進(jìn)行調(diào)焦來(lái)達(dá)到的。但是，由于景深及調(diào)焦誤差的存在，不可能做到使像平面和刻尺平面完全重合，這就難免要產(chǎn)生一些誤差。像平面與刻尺平面不重合的現(xiàn)象稱為視差。由于視差而引起的測(cè)量誤差可由圖9-12來(lái)說(shuō)明。圖中，P1′P′P2′是物鏡的出射光瞳，B1′B2′是被測(cè)量物體的像，M1M2是刻尺平面，由于二者不重合，像點(diǎn)B1′和B2′在刻尺平面上成彌散斑M(jìn)1和M2，實(shí)際測(cè)量得到的長(zhǎng)度為M1M2，顯然比真實(shí)像B1′B2′要長(zhǎng)一些。視差越大，光束對(duì)光軸的傾角越大，其測(cè)量的誤差也越大。圖9-12視差如果適當(dāng)?shù)乜刂浦鞴饩€的方向，就可以消除或大為減少視差對(duì)測(cè)量精度的影響，這只要把孔徑光闌設(shè)置在物鏡的像方焦平面上即可。如圖9-13所示，光闌也是物鏡的出射光瞳，此時(shí)，由物鏡射出的每一光束的主光線都通過(guò)光闌中心所在的像方焦點(diǎn)，所以物方主光線都平行于光軸。如果物體B1B2正確地位于與刻尺平面M共軛的位置A1上，那么它成像在刻尺平面上的長(zhǎng)度為M1M2；如果由于調(diào)焦不準(zhǔn)，物體B1B2不在位置A1而在位置A2上，則它的像B1′B2′將偏離刻尺，在刻尺平面上得到的將是由B1′B2′的投影形成的彌散斑。但是，由于物體上同一點(diǎn)發(fā)出的光束的主光線并不隨物體的位置移動(dòng)而發(fā)生變化，因此物體兩端的主光線仍然通過(guò)M1和M2點(diǎn)，M1和M2點(diǎn)將是物體兩端在刻尺平面上形成的兩個(gè)彌散斑的中心，這時(shí)按在刻尺平面上投影像讀出的長(zhǎng)度仍為M1M2。圖9-13設(shè)置光闌消除視差——測(cè)長(zhǎng)

3.像方遠(yuǎn)心光路第二種情況是物體的長(zhǎng)度已知(一般是帶有分劃的標(biāo)尺)，位于望遠(yuǎn)物鏡前要測(cè)定其距離的地方，物鏡后的分劃板平面上刻有一對(duì)間隔為已知的測(cè)距絲。欲測(cè)量標(biāo)尺所在處的距離時(shí)，調(diào)焦物鏡或連同分劃板一起調(diào)焦目鏡，以使標(biāo)尺的像和分劃板的刻線平面重合，讀出與固定間隔的測(cè)距絲所對(duì)應(yīng)的標(biāo)尺上的長(zhǎng)度，即可求出標(biāo)尺到儀器的距離。同樣，由于調(diào)焦不準(zhǔn)，標(biāo)尺的像和分劃板的刻線平面不重合，使讀數(shù)產(chǎn)生誤差而影響測(cè)距精度。為消除或減小這種誤差，可以在望遠(yuǎn)鏡的物方焦平面上設(shè)置一個(gè)孔徑光闌，如圖9-14所示。由于光闌也是物鏡的入瞳，此時(shí)進(jìn)入物鏡光束的主光線都通過(guò)光闌中心所在的物方焦點(diǎn)，因而在像方的這些主光線都平行于光軸。如果物體B1B2(標(biāo)尺)的像B1′B2′不與分劃板的刻線平面M重合，則在刻線平面M上得到的是B1′B2′的投影像，即彌散斑M(jìn)1和M2。但由于在像方的主光線平行于光軸，因此按分劃板上彌散斑中心所讀出的距離M1M2與實(shí)際的像長(zhǎng)B1′B2′相等。M1M2是分劃板上所刻的一對(duì)測(cè)距絲，不管它是否和B1′B2′相重合，它與標(biāo)尺所對(duì)應(yīng)的長(zhǎng)度總是B1B2，顯然，這不會(huì)產(chǎn)生誤差。這種光學(xué)系統(tǒng)，因?yàn)橄穹降闹鞴饩€平行于光軸，其會(huì)聚中心在像方無(wú)窮遠(yuǎn)處，故稱之為像方遠(yuǎn)心光路。圖9-14設(shè)置光闌消除視差——測(cè)距9.3像差基本概念9.3.1像差的描述和分類在光學(xué)系統(tǒng)中，描述像差的方法主要有兩種：波像差法和幾何像差法。波像差法基于光的電磁波理論，借助波面進(jìn)行研究。如果光學(xué)系統(tǒng)成完善像，則任一物點(diǎn)發(fā)出的球面波經(jīng)過(guò)光學(xué)系統(tǒng)后在像空間應(yīng)該是以高斯像點(diǎn)為球心的球面波。實(shí)際上，由于光學(xué)系統(tǒng)成像的缺陷，像空間成像光波的波面偏離了球面，且偏離球面的程度體現(xiàn)了光學(xué)系統(tǒng)成像缺陷的大小。因此，可以以成像光波在像空間實(shí)際波面偏離成完善像等光程的球面的多少來(lái)衡量光學(xué)系統(tǒng)的成像缺陷，這種描述光學(xué)系統(tǒng)像差的方法稱為波像差法。光學(xué)系統(tǒng)像差的研究，也可以以高斯像作為成像的參考，以物體發(fā)出的光線經(jīng)過(guò)光學(xué)系統(tǒng)后其出射光線相對(duì)于高斯像的偏差來(lái)衡量光學(xué)系統(tǒng)成像缺陷，這種方法稱為幾何像差法，這時(shí)的偏差稱為幾何像差。為了定量表示幾何像差，可以在高斯像面上以實(shí)際光線和高斯像面的交點(diǎn)相對(duì)于高斯像點(diǎn)的相對(duì)偏離量來(lái)表示，稱為橫向幾何像差。有時(shí)也以物點(diǎn)發(fā)出的部分成像光線的交點(diǎn)相對(duì)于高斯像面的軸向線度表示幾何像差，稱為軸向像差。本節(jié)主要基于光線，討論光學(xué)系統(tǒng)的幾何像差。單色波成像時(shí)，依據(jù)像差對(duì)于像面缺陷的影響方式不同，分為五種單色像差：球差、彗差、像散、場(chǎng)曲和畸變。如果成像光波為復(fù)色光時(shí)，由于介質(zhì)的色散，介質(zhì)對(duì)不同顏色的光波的折射率不同，從而同一物點(diǎn)發(fā)出的沿同一方向不同波長(zhǎng)的光線在界面上折射角不同，從而傳播方向不同，這時(shí)不同顏色光波的幾何像差也不同，從而也影響光學(xué)系統(tǒng)的成像質(zhì)量，這種像差稱為色差。色差又可以分為位置色差和倍率色差。定量地討論光學(xué)系統(tǒng)的像差比較復(fù)雜，讀者可以參考相關(guān)的光學(xué)系統(tǒng)設(shè)計(jì)的書(shū)籍。下面定性地介紹各種像差及其對(duì)成像的影響。9.3.2球差

7.1節(jié)中曾指出，自光軸上一點(diǎn)發(fā)出的光線，經(jīng)球面折射后所得的像方截距L′是物方孔徑角U(或入射高度h)的函數(shù)。因此，軸上點(diǎn)發(fā)出的同心光束經(jīng)光學(xué)系統(tǒng)各個(gè)球面折射以后，不再是同心光束，入射光線的孔徑角U不同，其出射光線與光軸交點(diǎn)的位置就不同，相對(duì)于理想像點(diǎn)有不同的偏離，這就是球差，如圖9-15所示。球差值可以由軸上點(diǎn)發(fā)出的不同孔徑的光線經(jīng)系統(tǒng)后的像方截距與其近軸光的像方截距之差來(lái)表示，稱為軸向球差，即δL′=L′－l′

(9.3-1)圖9-15軸上點(diǎn)的球差由于球差的存在，使得在高斯像面(理想像面)上得到的不是點(diǎn)像，而一個(gè)圓形彌散斑。也可以以彌散斑的半徑表示球差，稱為橫向球差，它與軸向球差的關(guān)系為δT′=δL′tanU′

(9.3-2)

球差是光軸上物點(diǎn)存在的唯一的一種單色像差，它與物點(diǎn)發(fā)出光線的物方孔徑角有關(guān)。物方孔徑角與光線在入瞳面上經(jīng)過(guò)的點(diǎn)的位置有關(guān)。光學(xué)系統(tǒng)入瞳多為圓形，軸上點(diǎn)發(fā)出的光束在通過(guò)光學(xué)系統(tǒng)前、后均對(duì)稱于光軸，所以子午面內(nèi)光軸以上的光束的球差就可以表示物點(diǎn)發(fā)出的全部光束的球差。子午面內(nèi)光軸以上一條光線的球差，實(shí)際上代表了與光軸有相同夾角的圓錐面上光束的球差，稱為一個(gè)帶光球差。如果光線在入瞳面上歸一化高度(光線在入瞳面高度與入瞳半徑的比值)為Kη，則該帶光球差稱為Kη帶光球差，譬如當(dāng)Kη＝0.707時(shí)，相應(yīng)光線的球差稱為0.707帶光球差。而常常將Kη＝1的帶光球差稱為邊光球差。

球差的存在，使得物點(diǎn)在高斯像面上成一個(gè)彌散斑，這將使像模糊不清。對(duì)于單個(gè)折射球面，根據(jù)第7章的例題可見(jiàn)，物方孔徑角越大，球差量越大。為使光學(xué)系統(tǒng)成像清晰，必須校正球差。通過(guò)透鏡光路的計(jì)算可以看出，對(duì)于單透鏡來(lái)說(shuō)，光線的物方孔徑角愈大，球差量也愈大，這說(shuō)明單透鏡自身不能校正球差，即不能使之為零。還可以看出，單正透鏡的球差均為負(fù)值，單負(fù)透鏡產(chǎn)生正球差。因此，正、負(fù)透鏡組合起來(lái)可能使球差得到校正。大部分光學(xué)系統(tǒng)只能做到對(duì)某個(gè)孔徑帶校正球差，一般是對(duì)邊光球差校正，若邊光球差為零，則稱該系統(tǒng)為消球差系統(tǒng)。9.3.3彗差彗差是軸外像差的一種，是軸外物點(diǎn)寬光束成像所產(chǎn)生的像差，它與視場(chǎng)和孔徑均有關(guān)。下面以單個(gè)折射球面為例說(shuō)明彗差的形成原因。為了了解軸外物點(diǎn)所發(fā)出的充滿入瞳的光束的結(jié)構(gòu)和傳播，可通過(guò)主光線取出兩個(gè)互相垂直的截面，其中一個(gè)是主光線和光軸決定的平面，稱為子午面；另一個(gè)是通過(guò)主光線和子午面垂直的截面，稱為弧矢面。由于在兩個(gè)垂直方向光線的傳播不同，因而分別考慮子午面和弧矢面內(nèi)光線形成的彗差。首先分析子午面內(nèi)光束的彗差。如圖9-16所示，為了分析方便，從軸外物點(diǎn)B作一條經(jīng)過(guò)折射球面曲率中心C的直線，稱為輔軸(輔助光軸)。相對(duì)于輔軸(可以看做新的光軸)，物點(diǎn)B可以看做軸上點(diǎn)，而由B發(fā)出通過(guò)入瞳的光束變?yōu)榉墙S光線。這時(shí)B發(fā)出的子午光束，對(duì)輔軸來(lái)說(shuō)就相當(dāng)于軸上點(diǎn)光束，其中經(jīng)過(guò)入瞳上、下邊緣的光線分別稱為上光線、下光線。上光線、主光線和下光線與輔軸的夾角不同，它們有不同的球差值，三條光線不能交于一點(diǎn)。因此，在折射前主光線是子午光束的軸線，而折射后不再是光束的軸線，光束失去了對(duì)稱性。用上、下光線的交點(diǎn)到主光線的垂直于光軸方向的偏離來(lái)表示這種光束的不對(duì)稱，稱為子午彗差，以KT′表示。它是在垂軸方向量度的，故是垂軸像差的一種。圖9-16子午面彗差上、下光線的交點(diǎn)會(huì)偏離近軸區(qū)的高斯像面，這種偏離與后面要講的另外一種單色像差——場(chǎng)曲有關(guān)，如果不考慮這種偏離，子午彗差的數(shù)值可以以軸外光束上、下光線在高斯像面上交點(diǎn)高度的平均值和主光線在高斯面上交點(diǎn)的高度之差表示。如果上、下光線和主光線分別與物點(diǎn)B所在物平面在近軸區(qū)的高斯像面交點(diǎn)的高度為Ya′、Yb′和Yz′，則子午彗差表示為(9.3-3)弧矢面上弧矢光束的彗差如圖9-17所示。由軸外點(diǎn)B發(fā)出的弧矢光束的前光線c和后光線d折射后為光線c′和d′，它們不能夠和主光線相交于一點(diǎn)，設(shè)它們相交于Bs′點(diǎn)。由于前、后光線對(duì)稱于子午面，故點(diǎn)Bs′應(yīng)在子午面內(nèi)。點(diǎn)Bs′到主光線的垂直于光軸方向的距離稱為弧矢彗差，表示為Ks′。因?yàn)榍肮饩€和后光線關(guān)于子午面對(duì)稱，所以兩者和高斯面交點(diǎn)的高度相同。弧矢彗差的數(shù)值是以軸外光束前光線或后光線在高斯像面上交點(diǎn)的高度Yc′或Yd′和主光線在高斯面上交點(diǎn)的高度之差表示，即KT′=Yc′－Yz′

(9.3-4)圖9-17弧矢面彗差如果將上、下光線的交點(diǎn)距離高斯像面的偏離忽略，同時(shí)將前、后光線的交點(diǎn)距離高斯像面的偏離也忽略，則經(jīng)過(guò)入瞳邊緣的整個(gè)環(huán)帶上的光束在高斯像面上將形成一個(gè)中心偏離主光線與高斯像面交點(diǎn)的圓環(huán)，如圖9-18(a)所示：環(huán)帶的a、b兩點(diǎn)在物點(diǎn)的子午面上，經(jīng)過(guò)這兩點(diǎn)的上、下光線交像面于ab點(diǎn)；經(jīng)過(guò)弧矢面上c、d兩點(diǎn)的前、后光線，交像面于cd點(diǎn)，該點(diǎn)仍在子午面上；以此類推，經(jīng)過(guò)環(huán)帶上其它點(diǎn)的光線e、f交像面于ef點(diǎn)，光線g、h交像面于gh點(diǎn)等等。如果將入瞳面看做由不同半徑的環(huán)帶構(gòu)成，如圖9-18(b)所示，不同的環(huán)帶上的光束在高斯像面上將形成不同的相互重疊的圓環(huán)。入瞳面上環(huán)帶半徑越大，像面上形成圓環(huán)的半徑和偏離主光線與高斯像面交點(diǎn)的距離越大，最終會(huì)形成一個(gè)以主光線在像面上的交點(diǎn)Bz′為頂點(diǎn)的彗星狀光斑，如圖9-18(c)所示。圖9-18彗差9.3.4像散若把孔徑光闌縮小到很小，只允許沿主光線的很細(xì)的光束通過(guò)，則彗差不再存在。這時(shí)子午面內(nèi)的光束將近似會(huì)聚于主光線上一點(diǎn)Bt′，如圖9-19所示，稱為子午像點(diǎn)。相對(duì)于輔軸而言，弧矢面內(nèi)的光線和主光線有近似相同的夾角，可以認(rèn)為位于以輔軸為軸線的一個(gè)圓錐面上，所以它們將會(huì)聚于圖示主光線與輔軸的交點(diǎn)Bs′上，稱為弧矢像點(diǎn)。這說(shuō)明，該系統(tǒng)在兩個(gè)相互垂直的方向上聚焦本領(lǐng)不同，一個(gè)物點(diǎn)發(fā)出的兩個(gè)相互垂直方向的光束相交于不同位置。這種成像缺陷現(xiàn)象就是光學(xué)系統(tǒng)的像散現(xiàn)象。像散以子午像點(diǎn)和弧矢像點(diǎn)沿光軸方向的相對(duì)距離度量，如果子午像點(diǎn)和弧矢像點(diǎn)的像距為lt′和ls′，即xts=lt′－ls′

(9.3-5)圖9-19像散如圖9-20所示，若有一個(gè)屏沿光軸移動(dòng)，當(dāng)移動(dòng)到子午像點(diǎn)Bt′所在的平面時(shí)，屏上會(huì)得到一條與子午面垂直的短線，稱為子午焦線，這個(gè)平面為子午焦面。當(dāng)屏移動(dòng)到弧矢像點(diǎn)Bs′所在的平面時(shí)，屏上會(huì)得到一條位于子午面內(nèi)與光軸垂直的短線，稱為弧矢焦線，這個(gè)平面為弧矢焦面。而屏從子午焦面移動(dòng)到弧矢焦面時(shí)，屏上的光斑首先是一個(gè)長(zhǎng)軸沿垂直子午面方向的橢圓，隨后橢圓的長(zhǎng)軸逐漸變短，短軸逐漸變長(zhǎng)，會(huì)逐漸變成一個(gè)圓的光斑，隨著屏的繼續(xù)移動(dòng)，光斑變?yōu)殚L(zhǎng)軸位于子午面內(nèi)的橢圓光斑。圖9-20像散對(duì)物點(diǎn)成像的影響上面討論了像散對(duì)物點(diǎn)成像的影響。對(duì)于一個(gè)有像散的光學(xué)系統(tǒng)，不能夠使物面上所有的物點(diǎn)成清晰的像。如圖9-21(a)所示，平面物為一組同心圓和沿半徑方向的直線組成，圓心在光軸上。假如成像系統(tǒng)旋轉(zhuǎn)對(duì)稱，存在像散，則在子午焦面上的像中，各圓環(huán)的像很清楚，但沿半徑方向直線的像比較模糊，如圖9-21(b)所示，而在弧矢焦面上的像中，各圓環(huán)的像是模糊的，而沿半徑方向的直線的像比較清楚，如圖9-21(c)所示。如果光學(xué)系統(tǒng)存在像散，一個(gè)物面將形成兩個(gè)像面，在各個(gè)像面上不同方向的線條清晰度不同，像散嚴(yán)重時(shí)，軸外點(diǎn)得不到清晰像。光學(xué)系統(tǒng)的像散和物體在物面上的位置有關(guān)，像散的校正是使某一視場(chǎng)(一般是0.707視場(chǎng))的像散值為零，而其他視場(chǎng)仍然有剩余像散。圖9-21像散對(duì)物面成像的影響9.3.5場(chǎng)曲仍然考慮物點(diǎn)發(fā)出的細(xì)光束的成像。由前面的分析知道，一個(gè)軸外物點(diǎn)將成位于不同平面上的兩個(gè)像點(diǎn)，即子午像點(diǎn)和弧矢像點(diǎn)。如果物點(diǎn)遍及物面一定的區(qū)域，則子午像點(diǎn)和弧矢像點(diǎn)在像空間將形成兩個(gè)像面，由于兩個(gè)像點(diǎn)的間距即像散與物點(diǎn)相對(duì)光軸的距離有關(guān)，因而兩個(gè)像面通常是兩個(gè)彎曲的曲面。如果物點(diǎn)在光軸上沒(méi)有像散，則兩個(gè)曲面在光軸上相切，如圖9-22所示。這種像面的彎曲稱為場(chǎng)曲，其中子午像面的彎曲稱為子午場(chǎng)曲，弧矢像面的彎曲稱為弧矢場(chǎng)曲。圖9-22場(chǎng)曲在不同視場(chǎng)時(shí)，利用子午像面和弧矢像面相對(duì)于高斯像面的軸向偏離衡量子午場(chǎng)曲和弧矢場(chǎng)曲，即xt′=lt′－l′xs′=ls′－l′

(9.3-6)場(chǎng)曲和像散的關(guān)系為xts′=xt′－xs′

(9.3-7)

球面光學(xué)系統(tǒng)存在像面彎曲也是球面本身的特性所決定的。如果沒(méi)有像散，子午像面和弧矢像面重合在一起，仍然會(huì)存在像面彎曲。當(dāng)光學(xué)系統(tǒng)存在嚴(yán)重的場(chǎng)曲時(shí)，就不能使一個(gè)較大的平面物體上所有的物點(diǎn)同時(shí)清晰成像。當(dāng)把中心調(diào)焦清晰，邊緣就變模糊，反之，邊緣調(diào)清晰，中心就變模糊。圖9-23是對(duì)一塊十字線分劃板進(jìn)行調(diào)焦的情況。圖(a)是對(duì)中心調(diào)清晰，而邊緣模糊；圖(b)是對(duì)邊緣調(diào)清晰，而中心模糊。圖9-23場(chǎng)曲對(duì)物面成像的影響9.3.6畸變軸外物點(diǎn)成像，無(wú)論是寬光束還是細(xì)光束都有像差存在，即使只有主光線通過(guò)光學(xué)系統(tǒng)，由于球差的影響，它仍不能和理想的近軸光相一致。因此，主光線和高斯像面交點(diǎn)的高度不等于理想像高，這種差別就是系統(tǒng)的畸變。隨著視場(chǎng)改變，畸變值也改變。例如，一垂直于光軸的平面物體，其圖案如圖9-24(a)所示，它由成像質(zhì)量良好的光學(xué)系統(tǒng)所成的像應(yīng)該是一個(gè)和原來(lái)物體完全相似的方格。但是，在有些光學(xué)系統(tǒng)中也會(huì)出現(xiàn)如圖中(b)或(c)那樣的成像情況。這種成像發(fā)生變形的缺陷，稱為畸變，其中圖9-24(b)表示枕形畸變(正畸變)，圖9-24(c)表示桶形畸變(負(fù)畸變)。圖9-24畸變對(duì)成像的影響光學(xué)系統(tǒng)產(chǎn)生畸變的原因是，在一對(duì)物、像共軛平面上，垂軸放大率β隨視場(chǎng)角大小而改變，不再保持常數(shù)，使像相對(duì)于物失去了相似性。設(shè)軸外高為y的物點(diǎn)的高斯像高為y0′，其主光線在高斯像面上交點(diǎn)的高度為y′，則畸變表示為δy′=y′－y0′

(9.3-8)上式給出的是絕對(duì)畸變。光學(xué)設(shè)計(jì)中，也常用絕對(duì)畸變相對(duì)于理想像高y0′的百分比來(lái)表示，稱為相對(duì)畸變，以q′表示：(9.3-9)如果理想成像的垂軸放大率為β0，即β0=y0′/y，實(shí)際放大率β定義為β=y′/y，則上式可以表示為(9.3-10)如果|β|隨著物點(diǎn)到光軸的距離增大而增大，則為正畸變或枕形畸變；反之，為負(fù)畸變或桶形畸變。結(jié)構(gòu)完全對(duì)稱的光學(xué)系統(tǒng)，以β＝－1成像，畸變能自動(dòng)消除。對(duì)于薄透鏡或薄透鏡組光學(xué)系統(tǒng)，當(dāng)光闌與它們重合時(shí)，也不產(chǎn)生畸變。當(dāng)光闌不與透鏡組重合時(shí)，光闌的位置對(duì)于畸變有明顯的影響。9.3.7位置色差(軸向色差)在實(shí)際應(yīng)用中，絕大部分光學(xué)儀器用白光成像。白光是各種不同波長(zhǎng)(或顏色)單色光的組合，它經(jīng)光學(xué)系統(tǒng)成像可看成是同時(shí)對(duì)各種單色光的成像，各單色光成像時(shí)都具有前面所述的各種單色像差。由于構(gòu)成光學(xué)系統(tǒng)光學(xué)元件的材料存在色散，光學(xué)系統(tǒng)的元件，譬如透鏡對(duì)不同波長(zhǎng)的單色光具有不同的折射率，從而當(dāng)白光經(jīng)過(guò)光學(xué)系統(tǒng)第一個(gè)表面折射以后，各種色光就被分開(kāi)，隨后它們就在光學(xué)系統(tǒng)內(nèi)以各自的光路傳播，造成了各種色光之間成像位置和大小的差異，即造成了不同波長(zhǎng)的單色像差之間的差異?，F(xiàn)考慮軸上物點(diǎn)經(jīng)過(guò)單個(gè)薄透鏡在白光照明下的成像，如圖9-25所示。根據(jù)薄透鏡焦距公式(7.6-3)，透鏡的像方焦距是介質(zhì)折射率的函數(shù)。介質(zhì)一般都存在色散，在正常色散區(qū)，隨著波長(zhǎng)的增大，折射率將變小。所以，對(duì)于正薄透鏡來(lái)說(shuō)，紅光(表示為C)的像方焦距較大，然后是黃光(表示為D)，而藍(lán)光(表示為F)的像方焦距較小。因此，物點(diǎn)經(jīng)過(guò)薄透鏡成像，即使在近軸區(qū)也不能夠得到一個(gè)完善像，不同顏色的光波成像在光軸的不同位置，波長(zhǎng)由短到長(zhǎng)，它們的像點(diǎn)離開(kāi)透鏡由近到遠(yuǎn)排列在光軸上，這種現(xiàn)象稱為位置色差，也稱軸向色差。圖9-25位置色差在圖9-25中，如果用一個(gè)屏在不同位置接收像，則光場(chǎng)的分布不同。如果屏放在藍(lán)光像點(diǎn)所在的平面，這時(shí)屏上將得到一個(gè)中心為藍(lán)色、邊緣為紅色的彩色彌散斑；如果屏放在紅光像點(diǎn)所在的平面，這時(shí)屏上將得到一個(gè)中心為紅色、邊緣為藍(lán)色的彩色彌散斑；如果屏放在黃光像點(diǎn)所在的平面，這時(shí)屏上將得到一個(gè)中心為黃色的彩色彌散斑。若以數(shù)值表示位置色差，首先應(yīng)確定是對(duì)哪兩種色光考慮其色差。一般是以兩種消色差譜線中波長(zhǎng)較長(zhǎng)的譜線的像點(diǎn)位置為基準(zhǔn)來(lái)確定色差。設(shè)λ1和λ2為消色差譜線的波長(zhǎng)，且λ1<λ2，兩種波長(zhǎng)的光成像的像方截距為和，則位置色差表示為(9.3-11)在光學(xué)系統(tǒng)中不同色光的位置色差不同，同時(shí)，不同色光的單色像差也不同。如果考慮到非近軸光線的成像，一種色光的位置色差和像差與光線在入瞳面上的位置有關(guān)。光學(xué)系統(tǒng)在校正單色像差和色差時(shí)，只能夠?qū)σ环N色光進(jìn)行單色像差的校正，對(duì)兩種色光的某一帶光線進(jìn)行位置色差校正。在靠近可見(jiàn)光譜區(qū)間邊緣的兩種色光為紅光和藍(lán)光，對(duì)人眼最敏感的是黃綠色光。所以目視儀器對(duì)黃綠色校正單色像差，對(duì)C光和F光校正位置色差。9.3.8倍率色差(垂軸色差)光學(xué)系統(tǒng)校正了位置色差以后，軸上點(diǎn)發(fā)出的兩種單色光通過(guò)系統(tǒng)后交于光軸上同一點(diǎn)，即認(rèn)為兩種色光的像面重合在一起。如果是薄透鏡光組，當(dāng)兩種色光的焦點(diǎn)重合時(shí)，則焦距相等，根據(jù)放大率公式β=－f/x可知，在像面上兩種光有相同的放大率。如為復(fù)雜光學(xué)系統(tǒng)，兩種色光的焦點(diǎn)重合，因主平面不重合而有不同的焦距，即有不同的放大率。實(shí)際上一般只能對(duì)兩種色光的一個(gè)帶光線校正位置色差，不能夠?qū)λ猩獾墓饩€校正位置色差。對(duì)軸外點(diǎn)來(lái)說(shuō)，不同色光的垂軸放大率不一定相等。這時(shí)一個(gè)有一定高度的物體成像時(shí)，不同顏色的光波在一個(gè)像面上成像的高度不同，這種光學(xué)系統(tǒng)對(duì)不同色光的放大率的差異稱為倍率色差，也稱放大率色差或垂軸色差。倍率色差數(shù)值表示為軸外點(diǎn)發(fā)出兩種色光的主光線在消單色像差的色光高斯像面上的交點(diǎn)的高度之差。以目視光學(xué)系統(tǒng)為例，若被觀察面是黃綠光(D)的高斯像面，則所看到的F光和C光的像高是它們的主光線在D光高斯像面交點(diǎn)的高度YF′和YC′，如圖9-26所示，則倍率色差表示為ΔYFC′=YF′－YC′

(9.3-12)圖9-26倍率色差倍率色差是在高斯像面上量度的，故是垂軸(橫向)像差的一種。倍率色差嚴(yán)重時(shí)，物體的像有彩色邊緣，即各種色光的軸外點(diǎn)不重合。因此，倍率色差破壞軸外點(diǎn)像的清晰度，造成白色像的模糊。大視場(chǎng)光學(xué)系統(tǒng)必須校正倍率色差。所謂倍率色差校正，是指對(duì)所規(guī)定的兩種色光，在某一視場(chǎng)使倍率色差為零。9.4光學(xué)系統(tǒng)中一般光路計(jì)算9.4.1光學(xué)系統(tǒng)計(jì)算光路的分類光學(xué)系統(tǒng)實(shí)際的光路有無(wú)數(shù)多條，在通過(guò)光路計(jì)算分析光學(xué)系統(tǒng)的成像質(zhì)量問(wèn)題時(shí)，一般應(yīng)該選擇具有代表性的若干條光路計(jì)算。根據(jù)需要計(jì)算的光路不同，一般可以分為以下四種。①近軸光線的光路計(jì)算。②子午面內(nèi)光路的計(jì)算。③沿主光線的細(xì)光束光路計(jì)算。④空間光路的計(jì)算。9.4.2光學(xué)系統(tǒng)近軸光線的光路計(jì)算近軸光線的光路計(jì)算主要是確定近軸區(qū)成像的高斯像面和各物點(diǎn)的高斯像點(diǎn)的位置。近軸光線一般分為兩類，分別稱為第一近軸光線和第二近軸光線，如圖9-27所示。第一近軸光線是指由物面上位于光軸上物點(diǎn)發(fā)出的經(jīng)過(guò)入瞳邊緣的光線。該光路的出射光線與光軸的交點(diǎn)就是高斯像面與光軸的交點(diǎn)。它用于確定高斯像面的位置。第二近軸光線是指由軸外物點(diǎn)發(fā)出的主光線。該光路的出射光線和高斯像面的交點(diǎn)就是物點(diǎn)的高斯像點(diǎn)。它用于確定軸外物點(diǎn)的高斯像點(diǎn)。圖9-27光路計(jì)算的近軸光線對(duì)于球面系統(tǒng)，近軸光線的光路計(jì)算采用的公式就是第7章討論的折射球面的近軸區(qū)光路計(jì)算公式，即(7.2-7)式，只要知道了入射光線經(jīng)過(guò)第一個(gè)球面的初始參數(shù)，結(jié)合轉(zhuǎn)面公式，就可以確定出射光線，即可求解整個(gè)光路。在此，主要給出光路計(jì)算的初始參數(shù)，即入射光線經(jīng)過(guò)第一個(gè)折射球面時(shí)的物方截距l(xiāng)1和物方孔徑角u1。如圖9-27所示，假設(shè)物面距離光學(xué)系統(tǒng)第一個(gè)折射球面的物距為l，入瞳相對(duì)第一個(gè)折射球面頂點(diǎn)的線度為lp，入瞳的直徑為D，物高為y，則第一近軸光線的初始參數(shù)：當(dāng)物面位于有限距離時(shí)，(9.4-1a)(9.4-1b)當(dāng)物面位于無(wú)限遠(yuǎn)時(shí)，入射光線為平行光軸，光線參數(shù)為光線的高度，即第二近軸光線的初始參數(shù)：當(dāng)物面位于有限距離時(shí)，(9.4-2b)當(dāng)物面位于無(wú)限遠(yuǎn)時(shí),l1=lp，u1=ωω為物點(diǎn)相對(duì)光軸對(duì)于入瞳中心的張角。(9.4-2a)9.4.3光學(xué)系統(tǒng)子午面內(nèi)光線的光路計(jì)算對(duì)于球面系統(tǒng)，子午面內(nèi)光線的光路計(jì)算公式是第7章討論的折射球面的光路計(jì)算公式，即(7.2-1)式，只要知道了入射光線經(jīng)過(guò)第一個(gè)球面的初始參數(shù)，結(jié)合轉(zhuǎn)面公式，就可以確定出射光線，即可求解整個(gè)光路。在此，主要給出光路計(jì)算的初始參數(shù)，即入射光線經(jīng)過(guò)第一個(gè)折射球面時(shí)的物方截距L1和物方孔徑角U1。子午面內(nèi)光路對(duì)于成像的影響，主要取決于物點(diǎn)的位置和物點(diǎn)發(fā)出的光線在入瞳面上的位置，所以確定入射光線通常是指光線在物面和入瞳面上的位置，即距離光軸的高度。由于不同光學(xué)系統(tǒng)的物面大小和入瞳大小不同，通常采用歸一化的參數(shù)給出，即孔徑取點(diǎn)系數(shù)和視場(chǎng)取點(diǎn)系數(shù)。假如光學(xué)系統(tǒng)入瞳的半徑為η0，入射光線在入瞳面上的高度為η，稱Kη=η/η0為孔徑取點(diǎn)系數(shù)。顯然，－1≤Kη≤1，一般稱Kη＝1的光線為上光線，稱Kη＝－1的光線為下光線，對(duì)于主光線，Kη＝0。當(dāng)物方半視場(chǎng)角為ω0，物面上物點(diǎn)主光線的孔徑角為ω，則稱Kw=ω/ω0為視場(chǎng)取點(diǎn)系數(shù)。顯然，－1≤Kw≤1，在軸對(duì)稱光學(xué)系統(tǒng)中，由于光軸上點(diǎn)的成像和光軸下對(duì)稱點(diǎn)的成像特性相同，故一般取－1≤Kw≤0。根據(jù)物面的位置不同，子午面內(nèi)光路的計(jì)算分為兩種情況，即物面位于無(wú)窮遠(yuǎn)處和物面位于有限距離處。

1.物面位于無(wú)窮遠(yuǎn)處入射光線的參數(shù)

1)物點(diǎn)位于光軸外如圖9-28所示，由物點(diǎn)發(fā)出進(jìn)入光學(xué)系統(tǒng)的光束為平行光束，這時(shí)所有入射光線和光軸的夾角相等，等于物點(diǎn)對(duì)應(yīng)的物高對(duì)于入瞳中心的張角ω，可以用視場(chǎng)取點(diǎn)系數(shù)Kw表示為U1=ω0Kw

(9.4-3a)對(duì)于入瞳面上高度為η的入射光線，其物方截距為L(zhǎng)1=lp+η0Kηcot(ω0Kw)

(9.4-3b)

在實(shí)際計(jì)算中，根據(jù)要求計(jì)算的光路數(shù)目不同，可以選擇不同的視場(chǎng)取點(diǎn)系數(shù)Kw和孔徑取點(diǎn)系數(shù)Kη。如果軸外物點(diǎn)只需要計(jì)算三條光路，則一般選擇Kw＝－1，Kη＝－1，0和1。圖9-28無(wú)窮遠(yuǎn)物點(diǎn)光線參數(shù)

2)物點(diǎn)位于光軸上這時(shí)物點(diǎn)發(fā)出進(jìn)入光學(xué)系統(tǒng)的光束為平行于光軸的平行光束，入射光線參數(shù)由其相對(duì)光軸的高度確定。對(duì)于入瞳面上高度為η的入射光線，入射光線的參數(shù)為h1=η0Kη(9.4-4)

2.物面位于有限距離處入射光線的參數(shù)如圖9-29所示，入射光線的參數(shù)由光線在物面上的高度y和入瞳面上的高度η唯一確定。y和η可以用視場(chǎng)取點(diǎn)系數(shù)Kw和孔徑取點(diǎn)系數(shù)Kη表示為η=η0Kηy=(lp－l)tan(ω0Kw)

(9.4-5)圖9-29有限遠(yuǎn)物點(diǎn)光線參數(shù)根據(jù)圖9-29中關(guān)系可得(9.4-6a)(9.4-6b)當(dāng)物點(diǎn)位于光軸上，即Kw=0時(shí)，上式可以簡(jiǎn)化為(9.4-7a)(9.4-7b)其中U0為系統(tǒng)物方孔徑角。如果軸外物點(diǎn)只需要計(jì)算三條光路，則一般選擇Kw＝－1，Kη＝－1，0和1。9.4.4沿軸外物點(diǎn)主光線細(xì)光束的光路計(jì)算根據(jù)前面沿主光線細(xì)光束像散的分析已知，這時(shí)子午面內(nèi)的光束和弧矢面內(nèi)的光束經(jīng)過(guò)單個(gè)折射球面后，交于主光線上不同的位置，其中上、下光線和主光線的交點(diǎn)形成子午像點(diǎn)Bt′，主光線和前后光線交點(diǎn)形成弧矢像點(diǎn)，弧矢像點(diǎn)實(shí)際上就是主光線和輔軸的交點(diǎn)Bs′，如圖9-30所示?，F(xiàn)在討論子午像點(diǎn)和弧矢像點(diǎn)的計(jì)算公式。圖9-30軸外物點(diǎn)發(fā)出的沿主光線的細(xì)光束成像計(jì)算

1.子午像點(diǎn)的計(jì)算沿主光線細(xì)光束的子午像點(diǎn)和弧矢像點(diǎn)均位于主光線上，主光線的光路為子午面內(nèi)的光路，可以通過(guò)本節(jié)第二部分求解，所以像面分析假設(shè)主光線的光路已經(jīng)計(jì)算，它的光路參數(shù)已知。與子午面內(nèi)光路計(jì)算物距和像距的度量方法不同，在子午像點(diǎn)和弧矢像點(diǎn)的計(jì)算中，物距和像距是沿主光線來(lái)定義的。如圖9-30所示，假如B點(diǎn)發(fā)出的主光線與第一個(gè)球面的交點(diǎn)為P，則物點(diǎn)B的物距以B沿主光線相對(duì)P的線度定義，表示為t，因t<0，所以線段長(zhǎng)度BP＝－t。同樣，子午像點(diǎn)Bt′到球面上P的線度為t′，則Bt′到P的線段的長(zhǎng)度為PBt′＝t′。如果上光線和球面的交點(diǎn)為M；以物點(diǎn)為原點(diǎn)，過(guò)P點(diǎn)畫(huà)圓弧交上光線于Q點(diǎn)；以子午像點(diǎn)Bt′為原點(diǎn)，過(guò)P點(diǎn)畫(huà)圓弧交上光線的出射光線于N，主光線在球面上的入射角和折射角分別表示為I和I′，則圓弧PQ和PN與圓弧PM的關(guān)系為PQ=PM·cosI，PN=PM·cosI′如圖9-30所示，以輔軸為光軸度量角度，主光線物方和像方孔徑角為U和U′。當(dāng)光線從主光線變化到上光線，則物方孔徑角的變化為dU＝－∠PBM(dU為負(fù)值)，像方孔徑角的變化為dU′＝∠PBt′N。由弧度角的定義，物方和像方孔徑角的變化可以由圓弧PM表示為((((由于圓弧PM在球面上，設(shè)輔軸與球面P點(diǎn)的法向夾角為j，有PM=rdj，所以rdj

cosI=tdU，rdj

cosI′=t′dU′

由j=I+U=I′+U′，有dj=dI+dU=dI′+dU′，代入上式得((((((9.4-8)又由于在折射球面上滿足折射定律nsinI=n′sinI′，所以ndIcosI=n′dI′cosI′

(9.4-9)代入(9.4-8)式，有(9.4-10)

2.弧矢像點(diǎn)的計(jì)算以主光線與球面的交點(diǎn)P為參考點(diǎn)，沿主光線，物點(diǎn)B相對(duì)P點(diǎn)的線度為s，弧矢像點(diǎn)Bs′到球面的線度為s′。在△BPC和△Bs′PC中應(yīng)用正弦定理有(9.4-11a)(9.4-11b)將n′乘以(9.4-11b)式再減去n乘以(9.4-11a)式，得(9.4-12)由于n′sinU′－nsinU=n′sin(j－I′)－nsin(j－I)

=sinj(n′cosI′－ncosI)將其代入(9.4-12)式，可得(9.4-13)

3.轉(zhuǎn)面公式由于物距和像距不同于子午面內(nèi)光路計(jì)算中物距和像距的度量，因而轉(zhuǎn)面公式也不同于子午面內(nèi)光路計(jì)算的轉(zhuǎn)面公式。如圖9-31所示，主光線與第i個(gè)和第i+1個(gè)球面的交點(diǎn)為Pi和Pi+1，第i個(gè)球面成像后，子午像點(diǎn)和弧矢像點(diǎn)為Bti′和Bsi′，則第i+1個(gè)球面成像時(shí)子午像點(diǎn)的物距和弧矢像點(diǎn)的物距分別為ti+1=ti′－PiPi+1si+1=si′－PiPi+1

即在子午面內(nèi)光路計(jì)算的轉(zhuǎn)面公式中，以相鄰兩個(gè)球面間主光線的長(zhǎng)度PiPi+1代替原來(lái)相鄰球面間的空間間隔di。當(dāng)主光線的光路計(jì)算后，PiPi+1就可以計(jì)算出。(9.4-14)圖9-31子午像點(diǎn)和弧矢像點(diǎn)計(jì)算的轉(zhuǎn)面關(guān)系9.5光學(xué)系統(tǒng)設(shè)計(jì)軟件——ZEMAX簡(jiǎn)介9.5.1

ZEMAX基本概況

ZEMAX起初是由美國(guó)FocusSoftwareInc.開(kāi)發(fā)，現(xiàn)在是合并更名后的RadiantZemax公司的產(chǎn)品。ZEMAX是一套綜合性的模擬、分析和輔助設(shè)計(jì)光學(xué)系統(tǒng)程序，它將實(shí)際光學(xué)系統(tǒng)的設(shè)計(jì)概念、優(yōu)化、分析、公差以及報(bào)表整合在一起，可進(jìn)行光學(xué)組件設(shè)計(jì)與照明系統(tǒng)的照度分析，也可建立反射，折射，衍射等光學(xué)模型，它不僅是一套輔助設(shè)計(jì)軟件，更是全功能的光學(xué)設(shè)計(jì)分析軟件，具有直觀、功能強(qiáng)大、靈活、快速、容易使用等優(yōu)點(diǎn)。目前有三種不同的版本：ZEMAX-SE（標(biāo)準(zhǔn)版本）、ZEMAX-XE（擴(kuò)展版本）和ZEMAX–EE（工程版本），其中ZEMAX-XE的包含了ZEMAX-SE的所有功能，ZEMAX-EE的包含了ZEMAX-XE的所有功能，所以ZEMAX–EE版本功能最強(qiáng)大。

ZAMAX功能強(qiáng)大，采用菜單式操作界面，容易操作，菜單條目較多。ZAMAX的使用手冊(cè)對(duì)其操作和功能進(jìn)行了詳細(xì)的介紹，同時(shí)也有一些基本的實(shí)例。在ZEMAX使用手冊(cè)中，主要對(duì)其各項(xiàng)功能的使用進(jìn)行了詳細(xì)的介紹，但未介紹基本的物理原理，所以要求使用者具備一定的光學(xué)理論和光學(xué)系統(tǒng)設(shè)計(jì)的基本知識(shí)。本節(jié)內(nèi)容并不詳細(xì)介紹ZEMAX的操作和使用，僅作為初級(jí)使用者的一個(gè)入門教程，基于前面介紹的理論，幫助大家能夠使用它的基本功能，并進(jìn)行基本的光學(xué)設(shè)計(jì)。具體內(nèi)容分四部分：ZEMAX的設(shè)計(jì)環(huán)境介紹、光學(xué)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)、成像分析和結(jié)構(gòu)優(yōu)化，將從完成一個(gè)光學(xué)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)、系統(tǒng)性能分析和優(yōu)化整個(gè)過(guò)程，介紹ZEMAX軟件，并只介紹其部分最基本的功能。9.5.2

ZEMAX設(shè)計(jì)環(huán)境

ZEMAX的開(kāi)發(fā)環(huán)境由一些窗口構(gòu)成，主要包括主窗口(MainWindows)、編輯窗口(EditorWindows)、圖形窗口(GraphicWindows)、文本窗口(TextWindows)和對(duì)話框(Dialogs)。主窗口是ZEMAX的重要開(kāi)發(fā)環(huán)境，當(dāng)ZEMAX程序運(yùn)行后就進(jìn)入該窗口。它主要由位于頂端的主菜單和工具欄以及下端的狀態(tài)欄構(gòu)成。菜單欄給出了ZEMAX各個(gè)功能的入口，也包括別的窗口的入口，主要有文件欄(File)、編輯欄(Editors)、系統(tǒng)欄(System)、分析欄(Analysis)、工具欄(Tools)、報(bào)表欄(Reports)、宏指令欄(Macro)、擴(kuò)展命令欄(Extensions)、窗口欄(Window)和幫助欄(Help)，見(jiàn)圖9-32。圖9-32

ZEMAX的主窗口文件欄主要用于文件的生成(New)、打開(kāi)(Open)、保存(Save)和重命名(Saveas)、退出系統(tǒng)(Exit)、工作環(huán)境基本參數(shù)的設(shè)置(Preference)等菜單項(xiàng)。Preference菜單項(xiàng)可以設(shè)置工作目錄、圖形窗口、文本窗口、編輯窗口等基本屬性。在ZEMAX主窗口菜單欄下面有48個(gè)快捷按鈕，在最下端有四個(gè)狀態(tài)顯示欄，用戶按照自己的要求可以在Preference菜單項(xiàng)中進(jìn)行定義。編輯欄用于進(jìn)行光學(xué)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)的輸入和編輯，也包括輸入的撤消命令(Undo)。點(diǎn)擊編輯菜單項(xiàng)可以彈出相應(yīng)的編輯或文本窗口，譬如下面的用于光學(xué)系統(tǒng)元件參數(shù)設(shè)置的LensDataEditor。

系統(tǒng)欄用于光學(xué)系統(tǒng)參數(shù)的設(shè)置，譬如光學(xué)系統(tǒng)的孔徑，物點(diǎn)在物平面上的位置，光學(xué)系統(tǒng)工作的波長(zhǎng)等與成像有關(guān)的光學(xué)系統(tǒng)參數(shù)。點(diǎn)擊系統(tǒng)欄中菜單項(xiàng)可以彈出相關(guān)參數(shù)設(shè)置的對(duì)話框。編輯欄和系統(tǒng)欄參數(shù)的設(shè)置將在本節(jié)第三部分介紹。分析欄的命令不會(huì)改變?cè)瓉?lái)設(shè)定光學(xué)系統(tǒng)的參數(shù)，它根據(jù)設(shè)定的系統(tǒng)參數(shù)畫(huà)出光學(xué)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖，分析光學(xué)系統(tǒng)的成像特性，譬如分析系統(tǒng)的像差和色差、傳遞函數(shù)和光路計(jì)算結(jié)果等。點(diǎn)擊分析欄中菜單項(xiàng)或子菜單項(xiàng)可以彈出相應(yīng)的窗口。它將在本節(jié)第四部分介紹。

工具欄的命令將整體分析優(yōu)化光學(xué)系統(tǒng)的成像特性，它有可能改變?cè)瓉?lái)光學(xué)系統(tǒng)的基本參數(shù)。它的基本操作和用法將在本節(jié)第五部分介紹。報(bào)表欄的命令以文本的形式給出光學(xué)系統(tǒng)的基本結(jié)構(gòu)的參數(shù)或元件的參數(shù)。點(diǎn)擊分析欄中菜單項(xiàng)或子菜單項(xiàng)可以彈出文本窗口。

宏指令欄的命令用于編輯和運(yùn)行ZPL宏。窗口欄中按照窗口標(biāo)題列出了當(dāng)前被激活的所有窗口，點(diǎn)擊任何一個(gè)將被置于屏幕的最前端。

幫助欄提供在線幫助文檔。9.5.3光學(xué)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的設(shè)定

ZEMAX并不是一個(gè)完全的光學(xué)系統(tǒng)的設(shè)計(jì)軟件，也就是說(shuō)，你不可以輸入你對(duì)光學(xué)系統(tǒng)光學(xué)參數(shù)和性能的要求，就要求ZEMAX設(shè)計(jì)出滿足你要求的光學(xué)系統(tǒng)。在采用ZEAMX分析和輔助設(shè)計(jì)光學(xué)系統(tǒng)以前，你應(yīng)該選擇并輸入你要設(shè)計(jì)的光學(xué)系統(tǒng)基本結(jié)構(gòu)。本節(jié)主要介紹在如何將你選擇好的模型輸入到ZEMAX中，以便它可以幫助你進(jìn)行成像分析和結(jié)構(gòu)優(yōu)化。

ZEMAX有兩種程序模式，即Sequentialmode和Non-Sequentialmode。在Non－Sequentialmode中，光線的傳播比較復(fù)雜，程序會(huì)根據(jù)光學(xué)元件的空間分布，追蹤光線的傳播，這時(shí)光線可能要多次經(jīng)過(guò)一個(gè)光學(xué)元件，它一般用于光的散射等問(wèn)題的分析，不用于成像光學(xué)系統(tǒng)。在Sequentialmode中，嚴(yán)格按照光線在實(shí)際傳播過(guò)程中經(jīng)過(guò)各個(gè)光學(xué)元件的順序輸入光學(xué)元件，主要用于光學(xué)成像系統(tǒng)的分析和輔助設(shè)計(jì)。兩種模式下光學(xué)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)的設(shè)

置基本相同，下面以在Sequentialmode下完成一個(gè)光學(xué)系統(tǒng)參數(shù)的設(shè)置、分析和輔助優(yōu)化為例進(jìn)行介紹。

1.系統(tǒng)參數(shù)系統(tǒng)參數(shù)主要包括波長(zhǎng)、用于光路分析和成像評(píng)價(jià)的成像的物點(diǎn)和光學(xué)系統(tǒng)孔徑。

(1)波長(zhǎng)點(diǎn)擊主窗口菜單的System欄下的Wavelength菜單項(xiàng)，可以彈出波長(zhǎng)設(shè)置的對(duì)話框。ZEMAX支持同時(shí)設(shè)置多達(dá)12種波長(zhǎng)，可以直接輸入，也可以通過(guò)對(duì)話框下面的下拉式單選框選擇輸入。在下拉式單選框中，列出了主要的原子光譜譜線波長(zhǎng)和目視光學(xué)儀器的色差分析和矯正用的光波波長(zhǎng)。在波長(zhǎng)的數(shù)值后面有一個(gè)單選框，用來(lái)選擇主波長(zhǎng)，在光學(xué)系統(tǒng)進(jìn)行近軸基點(diǎn)、物像共軛面位置以及像差分析、矯正色差等操作時(shí)一般采用主波長(zhǎng)。

(2)物點(diǎn)光學(xué)系統(tǒng)進(jìn)行成像分析時(shí)許多輸出和物點(diǎn)的位置有關(guān)，需要設(shè)置物點(diǎn)。點(diǎn)擊主窗口菜單的System欄下的Fields菜單項(xiàng)，可以彈出物點(diǎn)設(shè)置的對(duì)話框。在此可以設(shè)置多達(dá)12個(gè)物點(diǎn)。物點(diǎn)有四種設(shè)置方法，即Angle、Objectheight、Paraxialimageheight和Realimageheight，可以通過(guò)窗口頂端的單選框選擇。Angle選項(xiàng)設(shè)置物點(diǎn)到入瞳中心的張角，Objectheight選項(xiàng)設(shè)置物點(diǎn)相對(duì)光軸的距離，Paraxialimageheight選項(xiàng)設(shè)置近軸區(qū)像點(diǎn)，Realimageheight選項(xiàng)設(shè)置按照主光線得到的像點(diǎn)。

(3)光學(xué)系統(tǒng)孔徑點(diǎn)擊主窗口菜單的System欄下的General菜單項(xiàng)，可以彈出一個(gè)對(duì)話框，它包含多個(gè)頁(yè)面，其中Aperture頁(yè)面用于設(shè)置光學(xué)系統(tǒng)的孔徑的大小?？讖降脑O(shè)置可以有多種方法，比如直接設(shè)置入瞳的大小、數(shù)值孔徑、F數(shù)或?qū)ｉT指定孔徑光闌，可以通過(guò)下拉式單選框Aperturetype來(lái)選擇。

2.結(jié)構(gòu)的設(shè)置

ZEMAX中的光學(xué)元件，可以是幾何光學(xué)元件，譬如透鏡、平面鏡、球面鏡等，也可以是物理光學(xué)元件，譬如光柵、Fresnel波帶板等。每個(gè)光學(xué)元件被分解為一個(gè)或多個(gè)界面，以便通過(guò)設(shè)置各個(gè)界面上的參數(shù)來(lái)實(shí)現(xiàn)目的。各個(gè)界面的參數(shù)可以包括基本參數(shù)和附加參數(shù)?；緟?shù)在LensDataEditor窗口中設(shè)置，點(diǎn)擊主窗口菜單的Editor欄下的LensData菜單項(xiàng)，可以彈出該編輯窗口。該編輯窗口的主體是一個(gè)可以進(jìn)行文本編輯的表格，表格的行代表光學(xué)系統(tǒng)的一個(gè)界面，表格的列給出了界面的各個(gè)參數(shù)。當(dāng)打開(kāi)LensDataEditor時(shí)，一般有三行，分別是物面、光闌和像面，可以通過(guò)該窗口的菜單Edit的子菜單項(xiàng)命令在物面和像面之間選擇插入或刪除界面，界面按照在表格中的順序自上向下編號(hào)，編號(hào)從0開(kāi)始，即物面的界面編號(hào)為0。各個(gè)界面的基本參數(shù)可以分為兩個(gè)部分，其中第一個(gè)部分是對(duì)多數(shù)界面，它的定義基本