2024-2025學年高中數(shù)學第二章推理與證明2.1.1合情推理學案含解析新人教A版選修2-2

PAGE1-2．1.1合情推理[目標]1.結(jié)合實例，能說出合情推理的含義.2.能利用歸納和類比進行簡潔的推理.3.體會并相識合情推理在數(shù)學發(fā)覺中的作用．[重點]合情推理及歸納推理的定義．[難點]歸納推理的基本方法．學問點一歸納推理[填一填]1．歸納推理的含義由某類事物的部分對象具有某些特征，推出該類事物的全部對象都具有這些特征的推理，或者由個別事實概括出一般結(jié)論的推理，稱為歸納推理(簡稱歸納)．2．歸納推理的特征歸納推理是由部分到整體、由個別到一般的推理．[答一答]1．為什么歸納推理所得的結(jié)論不肯定正確？什么狀況下得出的結(jié)論肯定正確？提示：在歸納推理中，由于前提一般是部分的，因此依據(jù)同一個前提不同的人可能得出不同的結(jié)論，即結(jié)論不唯一．這就說明歸納推理所得的結(jié)論不肯定正確．在歸納過程中，窮盡了全部歸納對象，假如歸納的前提是真的，那么歸納所得的結(jié)論也肯定是真的．這種歸納推理是一種必定性的推理，可以用來作為嚴格證明的工具．學問點二類比推理[填一填]1．類比推理的含義由兩類對象具有某些類似特征和其中一類對象的某些已知特征，推出另一類對象也具有這些特征的推理稱為類比推理(簡稱類比)．2．類比推理的特征類比推理是由特別到特別的推理．[答一答]2．類比推理適合在什么狀況下運用？它得出的結(jié)論肯定正確嗎？提示：當給出的是兩類不同的對象，且它們具有一些類似的特征時，可以運用類比推理．它得出的結(jié)論也是揣測性的，不肯定正確．3．數(shù)學中常見的類比有哪些？提示：數(shù)學中常見的類比：直線與平面、平面與空間、方程與不等式、一元與多元、等差數(shù)列與等比數(shù)列等．學問點三合情推理及其推理過程[填一填]1．合情推理的含義歸納推理和類比推理都是依據(jù)已有的事實，經(jīng)過視察、分析、比較、聯(lián)想，再進行歸納、類比，然后提出猜想的推理，它們統(tǒng)稱為合情推理．2．合情推理的思維過程[答一答]4．合情推理是指“合乎情理”的推理，那么由合情推理得到的結(jié)論就肯定正確，對嗎？提示：不肯定．合情推理包括歸納推理與類比推理，而由歸納推理與類比推理得到的結(jié)論不肯定正確，所以合情推理得到的結(jié)論就不肯定正確．5．合情推理的作用是什么？提示：合情推理是指“合乎情理”的推理．數(shù)學探討中，得到一個新結(jié)論之前，合情推理經(jīng)常能幫助我們猜想和發(fā)覺結(jié)論；證明一個數(shù)學結(jié)論之前，合情推理經(jīng)常能為我們供應(yīng)證明的思路和方向．歸納推理與類比推理的異同點類型一數(shù)式中的歸納推理【例1】已知：1>eq\f(1,2)；1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)>1；1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,4)＋eq\f(1,5)＋eq\f(1,6)＋eq\f(1,7)>eq\f(3,2)；1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,15)>2；….依據(jù)以上不等式的結(jié)構(gòu)特點，請你歸納一般結(jié)論．【思路分析】視察不等式左邊最終一項的分母特點為2n－1，不等式右邊為eq\f(n,2)，由此可得一般性結(jié)論．【解】1＝21－1,3＝22－1,7＝23－1,15＝24－1，…，猜想不等式左邊最終一項的分母為2n－1，而不等式右端依次分別為：eq\f(1,2)，eq\f(2,2)，eq\f(3,2)，eq\f(4,2)，…，eq\f(n,2).歸納得一般結(jié)論：1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,2n－1)>eq\f(n,2)(n∈N＋)．依據(jù)給出的數(shù)與式，歸納一般結(jié)論的思路：1視察數(shù)與式的結(jié)構(gòu)特征，如數(shù)、式與符號的關(guān)系，代數(shù)式的相同或相像之處等；2提煉出數(shù)、式的改變規(guī)律；3運用歸納推理寫出一般結(jié)論.(1)已知an＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))n，把數(shù)列{an}的各項排成如下的三角形：a1a2a3a5a6a7a……記A(s，t)表示第s行的第t個數(shù)，則A(11,12)＝(D)A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))67 B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))68C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))111 D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))112解析：該三角形每行所對應(yīng)元素的個數(shù)為1,3,5……那么第10行的最終一個數(shù)為a100，第11行的第12個數(shù)為a112，即A(11,12)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))112.(2)已知f(x)＝eq\f(x,1＋x)，x≥0，若f1(x)＝f(x)，fn＋1(x)＝f(fn(x))，n∈N＋，則f2014(x)的表達式為eq\f(x,1＋2014x).解析：由f1(x)＝eq\f(x,1＋x)?f2(x)＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,1＋x)))＝eq\f(\f(x,1＋x),1＋\f(x,1＋x))＝eq\f(x,1＋2x)；又可得f3(x)＝f(f2(x))＝eq\f(\f(x,1＋2x),1＋\f(x,1＋2x))＝eq\f(x,1＋3x)，故可猜想f2014(x)＝eq\f(x,1＋2014x).類型二幾何圖形中的歸納推理【例2】(1)有兩種花色的正六邊形地面磚，按下圖的規(guī)律拼成若干個圖案，則第六個圖案中有菱形紋的正六邊形的個數(shù)是()A．26B．31C．32D．36(2)把1,3,6,10,15,21，…這些數(shù)叫做三角形數(shù)，這是因為個數(shù)等于這些數(shù)目的點可以分別排成一個正三角形(如下圖)，試求第七個三角形數(shù)是________．【解析】(1)法1：有菱形紋的正六邊形個數(shù)如下表：圖案123…個數(shù)61116…由表可以看出有菱形紋的正六邊形的個數(shù)依次組成一個以6為首項，以5為公差的等差數(shù)列，所以第六個圖案中有菱形紋的正六邊形的個數(shù)是6＋5×(6－1)＝31.法2：由圖案的排列規(guī)律可知，除第一塊無紋正六邊形需6個有紋正六邊形圍繞(題中圖案1)外，每增加一塊無紋正六邊形，只需增加5塊菱形紋正六邊形(每兩塊相鄰的無紋正六邊形之間有一塊“公共”的菱形紋正六邊形)，故第六個圖案中有菱形紋的正六邊形的個數(shù)為：6＋5×(6－1)＝31.故選B.(2)第七個三角形數(shù)為1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28.【答案】(1)B(2)28解決與圖形有關(guān)的歸納推理問題常從以下兩個方面著手：(1)從圖形的數(shù)量規(guī)律入手，找到數(shù)值改變與數(shù)量的關(guān)系；(2)從圖形的結(jié)構(gòu)改變規(guī)律入手，找到圖形的結(jié)構(gòu)每發(fā)生一次改變后，與上一次比較，數(shù)值發(fā)生了怎樣的改變．如下圖，第n個圖形是由正n＋2邊形“擴展”而來(n＝1,2,3，…)，則第n個圖形中的頂點個數(shù)為(B)A．(n＋1)(n＋2) B．(n＋2)(n＋3)C．n2 D．n解析：第一個圖形共有12＝3×4個頂點，其次個圖形共有20＝4×5個頂點，第三個圖形共有30＝5×6個頂點，第四個圖形共有42＝6×7個頂點，故第n個圖形共有(n＋2)(n＋3)個頂點．類型三類比推理的應(yīng)用【例3】找出圓與球的相像性質(zhì)，并用圓的下列性質(zhì)類比球的有關(guān)性質(zhì)．(1)圓心與弦(非直徑)中點的連線垂直于弦；(2)與圓心距離相等的兩弦長相等；(3)圓的周長C＝πd(d是直徑)；(4)圓的面積S＝πr2.【思路分析】先找出相像的性質(zhì)再類比，一般是點類比線、線類比面、面類比體．【解】圓與球有下列相像的性質(zhì)：(1)圓是平面上到肯定點的距離等于定長的全部點構(gòu)成的集合；球面是空間中到肯定點的距離等于定長的全部點構(gòu)成的集合．(2)圓是平面內(nèi)封閉的曲線所圍成的對稱圖形；球是空間中封閉的曲面所圍成的對稱圖形．通過與圓的有關(guān)性質(zhì)類比，可以推想球的有關(guān)性質(zhì).類比推理應(yīng)從詳細問題動身，通過視察、分析、比較、聯(lián)想進行歸納、類比、提出猜想，在進行類比推理時，留意比較兩個對象的相像之處，從而找到可以類比的兩個量，然后加以猜想，而類比結(jié)論的正確與否需證明.類比三角形中的性質(zhì)：(1)兩邊之和大于第三邊；(2)中位線長等于對應(yīng)底邊的一半；(3)三內(nèi)角平分線交于一點．可得四面體的對應(yīng)性質(zhì)：(1)隨意三個面的面積之和大于第四個面的面積；(2)過四面體的交于同一頂點的三條棱的中點的截面面積等于第四個面面積的eq\f(1,4)；(3)四面體的六個二面角的平分面交于一點．其中類比推理方法正確的有(C)A．(1) B．(1)(2)C．(1)(2)(3) D．都不對解析：以上類比推理方法都正確，需留意的是類比推理得到的結(jié)論是否正確與類比推理方法是否正確并不等價，方法正確結(jié)論也不肯定正確．類比推理的結(jié)論作為推理依據(jù)致誤【例4】已知a1，b1，c1，a2，b2，c2都是非零實數(shù)，不等式a1x2＋b1x＋c1<0，a2x2＋b2x＋c2<0的解集分別為M，N，則“eq\f(a1,a2)＝eq\f(b1,b2)＝eq\f(c1,c2)”是“M＝N”成立的________條件(選填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”中的一種)．【錯解】由eq\f(a1,a2)＝eq\f(b1,b2)＝eq\f(c1,c2)知兩個不等式同解，即“eq\f(a1,a2)＝eq\f(b1,b2)＝eq\f(c1,c2)”是“M＝N”成立的充要條件．【錯因分析】錯解將方程的同解原理類比到不等式中，忽視了不等式與等式的本質(zhì)區(qū)分．【正解】當eq\f(a1,a2)＝eq\f(b1,b2)＝eq\f(c1,c2)時，可取a1＝b1＝c1＝1，a2＝b2＝c2＝－1，則M＝?，N＝R，故eq\f(a1,a2)＝eq\f(b1,b2)＝eq\f(c1,c2)?M＝N；當M＝N＝?時，可取a1＝b1＝c1＝1，a2＝1，b2＝2，c2＝3，則eq\f(a1,a2)≠eq\f(b1,b2)≠eq\f(c1,c2)，即M＝N?eq\f(a1,a2)＝eq\f(b1,b2)＝eq\f(c1,c2).綜上知“eq\f(a1,a2)＝eq\f(b1,b2)＝eq\f(c1,c2)”是“M＝N”成立的既不充分又不必要條件．【答案】既不充分又不必要【解后反思】類比推理是不嚴格的，所得結(jié)論的正確與否有待用實踐來證明，解題時若干脆運用類比所得結(jié)論進行推理則簡潔出現(xiàn)錯誤．等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，則S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12成等差數(shù)列．類比以上結(jié)論有：設(shè)等比數(shù)列{bn}的前n項積為Tn，則T4，eq\f(T8,T4)，eq\f(T12,T8)，eq\f(T16,T12)成等比數(shù)列．解析：等比數(shù)列類比等差數(shù)列時，其中積類比和，除法類比減法，于是可得類比結(jié)論為：設(shè)等比數(shù)列{bn}的前n項積為Tn，則T4，eq\f(T8,T4)，eq\f(T12,T8)，eq\f(T16,T12)成等比數(shù)列．1．數(shù)列2,5,11,20，x,47，…中的x等于(B)A．28B．32C．33D．27解析：由5－2＝3,11－5＝6,20－11＝9,3、6、9均是3的倍數(shù)，所以可揣測x－20＝12，即x＝32.驗證47－32＝15符合上述規(guī)律．2．下列推理正確的是(D)A．把a(b＋c)與loga(x＋y)類比，則有l(wèi)oga(x＋y)＝logax＋logayB．把a(b＋c)與sin(x＋y)類比，則有sin(x＋y)＝sinx＋sinyC．把a(b＋c)與ax＋y類比，則有ax＋y＝ax＋ayD．把a(b＋c)與a·(b＋c)類比，則有a·(b＋c)＝a·b＋a·c解析：選項A、B、C沒有從本質(zhì)上類比，是簡潔類比，從而出現(xiàn)錯誤．對選項D，a(b＋c)＝ab＋ac，故類比a·(b＋c)＝a·b＋a·c是正確的．3．視察下列不等式：1＋eq\f(1,22)<eq\f(3,2)，1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)<eq\f(5,3)，1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＋eq\f(1,42)<eq\f(7,4)，……照此規(guī)律，第五個不等式為1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＋eq\f(1,42)＋eq\f(1,52)＋eq\f(1,62)<eq\f(11,6).解析：由前幾個不等式可知1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＋eq\f(1,42)＋…＋eq\f(1,n＋12)<eq\f(2n＋1,n＋1).所以第五個不等式為1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＋eq\f(1,42)＋eq\f(1,52)＋eq\f(1,62)<eq\f(11,6).4．若Sn是等差數(shù)列{an}的前n項和，則有S2n－1＝(2n－1)an，類似地，若Tn是等比數(shù)列{bn}的前n項積，則有T2n－1＝beq\o\al(2n－1,n).解析：T2n－1＝