高中數(shù)學(xué)第八章向量的數(shù)量積與三角恒等變換8.2三角恒等變換8.2.1兩角和與差的余弦素養(yǎng)練含解析新人教B版必修第三冊(cè)

PAGEPAGE18.2三角恒等變換8.2.1兩角和與差的余弦課后篇鞏固提升基礎(chǔ)鞏固1.cos70°cos335°+sin110°sin25°的值為()A.1 B.22 C.32 D解析原式=cos70°cos25°+sin70°sin25°=cos(70°-25°)=cos45°=22答案B2.化簡sinπ4-3x×cosπ3-3x-sinA.cos5π12 B.-C.sin5π12 D.-答案B3.在△ABC中,cosA=35,cosB=513,則cosC等于(A.-3365 B.3365 C.-6365答案B4.(多選)已知cosα=55,則cosα-π4可以取的值為A.31010 B.-1010 C.25答案AB5.若cos(α+β)=15,cos(α-β)=35,則tanα·tanβ的值為(A.2 B.12 C.-2 D.-解析由cos(α+β)=15,cos(α-β)=3cos則sinαsinβ=15,cosαcosβ=2故tanαtanβ=sinα答案B6.向量a=(2cosα,2sinα),b=(3cosβ,3sinβ),a與b的夾角為60°,則直線xcosα-ysinα=12與圓(x-cosβ)2+(y+sinβ)2=12的位置關(guān)系是(A.相切 B.相交C.相離 D.隨α,β的值而定答案B7.(雙空)已知α,β均為銳角,且sinα=55,cosβ=1010,則α-β的值為,cos(α+β)=答案-π4-8.已知sin(α-45°)=-210,0°<α<90°,則cosα=.解析因?yàn)?°<α<90°,所以-45°<α-45°<45°,所以cos(α-45°)=1-所以cosα=cos[(α-45°)+45°]=cos(α-45°)cos45°-sin(α-45°)sin45°=45答案49.已知α,β均為銳角,cosα=17,cos(α+β)=-1114,求角解因?yàn)棣?β均為銳角,所以0<α<π2,0<β<π2,0<α+β<又cos(α+β)=-1114所以sin(α+β)=1-由cosα=17,得sinα=1所以cosβ=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα=-1114又因?yàn)棣率卿J角,所以β=π310.已知函數(shù)f(x)=2cosωx+π6(其中ω>0,x∈R)的最小正周期為(1)求ω的值;(2)設(shè)α,β∈0,π2,f5α+5π3=-65,f5解(1)∵f(x)=2cosωx+π6,ω>0的最小正周期T=10π=2πω,(2)∵f(x)=2cos15∴f5α+5π3=2cosα∴sinα=35.∵f5β-5π6=2cosβ-π6+π6∵α,β∈0,π2,∴cosα=45,sincos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ=45×8實(shí)力提升1.cos80°·cos20°-sin(-80°)·sin160°的值是()A.12 B.32 C.-12 D解析cos80°·cos20°-sin(-80°)·sin160°=cos80°·cos20°+sin80°·sin20°=cos60°=12故選A.答案A2.已知cosα=210,α∈(-π,0),則cosα-π4=()A.-35 B.-45 C.35解析∵cosα=210,α∈(-π∴sinα=-1-cos∴cosα-π4=cosαcosπ4+sinαsinπ4=210×22+-7210×答案A3.(多選)若α,β均為其次象限角,滿意sinα=35,cosβ=-513,則cos(α+β)和cos(α-β)的值分別為(A.-3365 B.-1665 C.3356解析∵sinα=35,cosβ=-513,α,β均為其次∴cosα=-1-sinsinβ=1-∴cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ=-45·-513-3cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ=-45·-答案BD4.若-π2<β<0<α<π2,cosπ4+α=13,cosπ4-β2=33,則cosA.539 B.33 C.-33解析∵-π2<β<0<α<π2,cosπ4+α=13,cosπ4-β∴sinπ4+α=223,sinπ4-β2∴cosα+β2=cosπ4+α-π4-β2=cosπ4+αcosπ4-β2+sinπ4+αsinπ4-β2=13故選A.答案A5.(雙空)已知α,β均為銳角,且滿意sinα=22,cosβ=45,則cos(α-β)=,cos2β=解析因?yàn)棣?β均為銳角,且sinα=22,cosβ=4所以cosα=22,sinβ=35.因?yàn)?2>35因此cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ=22×45+22×cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ=22×45-22×cos2β=cos((α+β)-(α-β))=cos(α-β)cos(α+β)+sin(α-β)sin(α+β)=725答案76.已知cosα-π6-sinα=235,則cosα+7π6的值是.解析由于cosα-π6-sinα=235整理得32cosα+12sinα-sinα=即32cosα-12sinα=235,則cosα+π6可得cosα+7π6=-cosα+π6=-235答案-27.已知a=(cosα,sinα),b=(cosβ,-sinβ),α,β均為銳角,且|a-b|=25(1)求cos(α+β)的值;(2)若sinα=35,求cosβ的值解(1)由題意得|a|=1,|b|=1,則|a-b|2=(a-b)2=a2-2a·b+b2=2-2(cosαcosβ-sinαsinβ)=2-2cos(α+β)=45解得cos(α+β)=35(2)∵α,β∈0,π2,∴α+β∈由sinα=35,cos(α+β)=35可得cosα=45,sin(α+β)故cosβ=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα=358.已知向量a=(sinα,5cosα-sinα),b=(cosβ-5sinβ,cosβ),且a·b=2.(1)求cos(α+β)的值;(2)若0<α<π2,0<β<π2,且sinα=1010,求2a+解(1)因?yàn)閍=(sinα,5cosα-sinα),b=(cosβ-5sinβ,cosβ),所以a·b=sinα(cosβ-5sinβ)+(5cosα-sinα)cosβ=5cosαcosβ-5sinαsinβ=5cos(α+β),因?yàn)閍·b=2,所以5cos(α+β)=2,即cos(α+β)=25(2)因?yàn)?<α<π2,sinα=10所以cosα=310因?yàn)?<α<π2,0<β<π2,所以0<α+β<因?yàn)閏os(α+β)=255,所以sin(α+β)=所以cos(2α+β)=cos[α+(α+β)]=cosαcos(α+β)-sinαsin(α+β)=22.因?yàn)?<α<π2,0<β<所以0<2α+β<3π2,所以2α+β=9.已知函數(shù)f(x)=Asinx+π4(x∈R),且f(0)=1.(1)求A的值;(2)若f(α)=-15,α是其次象限角,求cosα解(1)依題意得f(0)=Asinπ4=22A=1,(2)由(1)得f(x)=2sinx+π4,由f(α)=-15可得