山東省菏澤市2024-2025學年高二上學期11月期中考試數(shù)學試題（B） 含解析

2024—2025學年度第一學期期中考試高二數(shù)學試題（B）2024.11注意事項：1．本試卷分選擇題和非選擇題兩部分．滿分150分，考試時間120分鐘．2．答題前，考生務必將姓名、班級等個人信息填寫在答題卡指定位置．3．考生作答時，請將答案答在答題卡上．選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答．超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的．1.在平面直角坐標系中，點和點之間的距離為（）A.2 B.3 C. D.5【答案】D【解析】【分析】利用兩點之間的距離公式計算即得.【詳解】點和點之間的距離為.故選：D.2.經(jīng)過兩點的直線的傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先根據(jù)兩點的斜率公式求出斜率,結合斜率與傾斜角的關系可得傾斜角.【詳解】因為,所以過兩點的直線斜率為,所以傾斜角為.故選：A.3.經(jīng)過點且與直線垂直的直線方程為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用兩直線垂直求出所求直線的斜率，再用點斜式方程即得.【詳解】由題意，直線的斜率為2，故與之垂直的直線的斜率為，又所求直線過點2,1，故其直線方程為，即.故選：C.4.下列關于圓錐曲線的描述中，正確的是（）A.橢圓的離心率大于1 B.拋物線的準線一定與軸垂直C.雙曲線的離心率小于1 D.橢圓的焦點總在其內(nèi)部【答案】D【解析】【分析】根據(jù)圓錐曲線的性質一一判斷即可.【詳解】橢圓的離心率的取值范圍為，雙曲線的離心率的取值范圍為，故A、C錯誤；拋物線的準線垂直于軸，故B錯誤；橢圓的焦點總在其內(nèi)部，故D正確.故選：D5.“”是“方程表示橢圓”的（）A.必要不充分條件 B.充分不必要條件C.充要條件 D.不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】根據(jù)橢圓的標準方程的要求得到不等式組，求得的范圍，再利用充要條件的判定方法即得.【詳解】由方程表示橢圓，可得，解得且，顯然且是的真子集，故“”是“方程表示橢圓”的必要不充分條件.故選：A.6.橢圓的標準方程為，其焦點的坐標為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)橢圓方程確定焦點位置，寫出，求得值即得.【詳解】由，可知橢圓的焦點在軸上，且，則，故橢圓焦點的坐標為.故選：D.7.已知橢圓和雙曲線的左、右頂點為，過作斜率為的直線交于另一點，交于另一點，若，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】分別將直線的方程與橢圓、雙曲線方程聯(lián)立，求得點的坐標，利用推得點是的中點，建立關于的方程，解之即得.【詳解】如圖，點,直線的方程為，將其代入橢圓方程，整理得：,依題意，,即得,再將代入雙曲線方程，整理得：，依題意，,即得，由，可知是的中點，則，即，解得.故選：B.8.已知橢圓與雙曲線有共同的焦點，，離心率分別為，，點為與在第一象限的公共點，且，若，則的方程為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】首先求出橢圓的方程，再由橢圓的定義及余弦定理求出，即可求出雙曲線的方程.【詳解】因為橢圓的焦點，且離心率，所以橢圓的方程為，又，，，由余弦定理，即，又，所以，，所以，又，所以，又雙曲線的焦點為，，所以雙曲線的方程為.故選：A二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知直線和直線平行，則（）A. B.1 C.2 D.【答案】BC【解析】【分析】利用兩直線平行的判斷方法，列出方程和不等式，求出的值并檢驗即得.【詳解】因，故得且，可推得，解得或,經(jīng)檢驗均符合題意.故選：BC.10.關于雙曲線，下列說法正確的是（）A.的漸近線方程為 B.的離心率為C.的焦點坐標為 D.的實軸長是虛軸長的4倍【答案】AB【解析】【分析】根據(jù)雙曲線方程求出、、，再根據(jù)雙曲線的幾何意義一一判斷即可.【詳解】雙曲線，則，，，所以漸近線為，故A正確；離心率為，故B正確；焦點坐標為，故C錯誤；實軸長為，虛軸長為，所以實軸長是虛軸長的倍，故D錯誤.故選：AB11.已知，是橢圓的兩個焦點，過且垂直于軸的直線與交于，兩點，且，則（）A.橢圓的焦點在軸上 B.的周長為6C.的周長為6 D.橢圓的方程為【答案】ACD【解析】【分析】依題意知，設代入方程可得．求得，根據(jù)和a,b,c的關系可得值，即可得橢圓的方程以及的周長和的周長．【詳解】橢圓的焦點在y軸上，A正確；設橢圓C的方程為，．因為過且垂直于軸的直線與橢圓交于A，B兩點，設，代入方程可得，求得．由于，所以，，所以橢圓的方程為，D選項正確；的周長為，B選項錯誤；的周長為，C選項正確．故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.拋物線的準線方程為________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)拋物線方程判斷焦點位置，求得的值，即得準線方程.【詳解】由可得拋物線的焦點在軸正半軸上，且，即，故拋物線的準線方程為.故答案為：.13.焦點在軸上，焦距為4且離心率為2的雙曲線的標準方程為________．【答案】【解析】【分析】結合題意，求出，利用雙曲線焦點位置，即可寫出其標準方程.【詳解】依題意，，解得故該雙曲線方程為：.故答案為：.14.如圖，半橢圓與半橢圓組成的曲線稱為“果圓”，其中，，．“果圓”與軸的交點分別為、，若在“果圓”軸右側半橢圓方程為，則兩個半橢圓離心率的乘積為________．【答案】【解析】【分析】分別求出兩個半橢圓的離心率，即可得解.【詳解】因為軸右側半橢圓方程為，則所對應的離心率為；軸左側半橢圓方程為，則所對應的橢圓的離心率為，所以兩個半橢圓離心率的乘積為.故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知圓是以點和點2,0為直徑端點圓，圓是以點和點0,2為直徑端點的圓．（1）求圓，的方程；（2）已知兩圓相交于，兩點，求直線的方程及公共弦AB的長.【答案】（1）：，：（2），【解析】【分析】（1）求出圓心及半徑即可得圓的方程；（2）聯(lián)立兩圓方程，即可求出兩圓交點坐標，即可得直線的方程及公共弦AB的長.【小問1詳解】的圓心為1,0，半徑，故：，的圓心為0,1，半徑，故：；【小問2詳解】聯(lián)立，解得或，則，則，.16.已知過點的拋物線方程為，過此拋物線的焦點的直線與該拋物線交于，兩點，且．（1）求該拋物線的方程、焦點坐標、準線方程；（2）求所在的直線方程．【答案】（1）拋物線的方程為，焦點，準線方程為：；（2）或【解析】【分析】（1）根據(jù)給定條件求出p值即可求解；（2）設出直線AB的方程，與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達定理并借助弦長公式求解即得.小問1詳解】因點拋物線方程上，則，所以，所以拋物線的方程為，焦點，準線方程為：；【小問2詳解】顯然，直線不垂直y軸，設直線方程為：，由消去x得：，設，則有，因為，則，解得，即直線AB：，所以所在的直線方程：或.17.已知圓M經(jīng)過，兩點，且與x軸相切，圓O：.（1）求圓M的一般方程；（2）求圓M與圓O的公切線方程.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）通過求圓心和半徑來求得圓的標準方程，再轉化為一般方程.（2）利用公共切線斜率與圓心連線斜率相等，再利用圓心到直線距離等于半徑求解即可.【小問1詳解】由題意設圓心為，，得，故圓心，，圓M的標準方程為：，圓M的一般方程為：.【小問2詳解】由于圓M和圓O的半徑均為2，公切線與OM平行，則，設公切線方程為，則，得或，故公切線方程為或.18.已知雙曲線的離心率為，點為上一點．（1）求的標準方程；（2）若直線與相交于，兩點，且的垂直平分線過點，求證：為定值．【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）依題意得到關于、、的方程組，解得、，即可得解；（2）設Ax1,y1，Bx【小問1詳解】依題意可得，解得，所以雙曲線的標準方程為；【小問2詳解】設Ax1,由，得，顯然，∴，即，且，則，∴的中點，又的中垂線過點，且，∴，整理得，即為定值.19.已知橢圓的離心率為，其上頂點與兩焦點連線圍成的三角形面積為．（1）求橢圓的方程；（2）過點且斜率為的直線交橢圓于，兩點，試用含的代數(shù)式表示；（3）在（2）的條件下，為橢圓左頂點，過點作垂直于軸的直線與直線相交于點，證明：線段的中點在定直線上．【答案】（1）（2）（3）證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)離心率及長軸頂點列方程組得出,即可得出橢圓方程；（2）聯(lián)立方程組，得出韋達定理再把代入求解；（3）設點直曲聯(lián)立，利用整體法求出中點坐標與的關系，進而得出結論；【小問1詳解】依題意可得