重慶市2023-2024學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期第三次月考試含解析

Page222023-2024學(xué)年高二上學(xué)期第三次月考數(shù)學(xué)試題學(xué)校：___________姓名：___________班級：___________考號：___________一?單選題1.在等差數(shù)列中，，，則公差（）A.B.C.2D.32.已知直線過定點M，點在直線上，則的最小值是（）A.5B.C.D.3.雙曲線的漸近線方程是（）A.B.C.D.4.已知向量，向量，則向量在向量上的投影向量為（）A.B.C.D.5.數(shù)列的前n項和為，且滿足，，則（）A.1011B.1013C.2022D.20236.若實數(shù)?滿足條件，則的范圍是（）A.B.C.D.7.古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德一生最為滿意的一個數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)就是“圓柱容球”定理，即圓柱內(nèi)切球的體積是圓柱體積的，且球的表面積也是圓柱表面積的.已知表面積為的圓柱的軸截面為正方形，則該圓柱內(nèi)切球表面積與圓柱的體積之比為（）A.B.C.D.8.已知橢圓的左?右焦點分別為.點在上且橫縱坐標(biāo)均為非負(fù)數(shù)，圓與線段的延長線，線段以及軸均相切，的內(nèi)切圓為圓.若圓與圓外切，且圓與圓的面積之比為9，則的離心率為（）A.B.C.D.二?多選題9.已知直線，則下列結(jié)論正確的是（）A.存在，使與直線平行B.恒過定點C.存在，使被圓截得弦長為D.存在，使被圓截得弦長為410.設(shè)等比數(shù)列的公比為，其前n項和為，前n項積為，且滿足條件，，，則下列選項正確的是（）A.B.C.是數(shù)列中的最大項D.11.已知拋物線的焦點為F，過F作兩條互相垂直的直線，，與C相交于P，Q，與C相交于M，N，的中點為G，的中點為H，則（）A.B.C.的最大值為16D.當(dāng)最小時，直線的斜率不存在12.在正方體中，點P在線段上運動，則下列結(jié)論正確的有（）A.直線平面B.三棱錐體積為定值C.異面直線與所成角的取值范圍是D.直線與平面所成角的正弦值的最大值為三?填空題13.已知點到直線的距離等于1，則實數(shù)等于___________.14.棱長為的正四面體中，則___________.15.已知數(shù)列的首項，且滿足，則=___________.16.已知在等腰梯形中，，，，雙曲線以，為焦點，且與線段，（包含端點，）分別有一個交點，則該雙曲線的離心率的取值范圍是___________.四?解答題17.已知數(shù)列，，，為數(shù)列的前n項和.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項和.18.如圖，已知垂直于梯形所在的平面，矩形的對角線交于點F，G為的中點，，.（1）求證：平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值.19.已知拋物線的準(zhǔn)線為，過拋物線上一點向軸作垂線，垂足恰好為拋物線的焦點，且.（1）求拋物線的方程；（2）設(shè)與軸的交點為，過軸上的一個定點的直線與拋物線交于兩點.記直線的斜率分別為，若，求直線的方程.20.已知在四棱錐中，底面是邊長為4的正方形，是正三角形，平面平面，E?F?G分別是??的中點.（1）求證：平面；（2）線段上是否存在一個動點M，使得直線與平面所成角為，若存在，求線段的長度，若不存在，說明理由.21.在數(shù)列中，已知，，（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)數(shù)列的前n項和為，問是否存在正整數(shù)m，n，使得若存在，求出所有的正整數(shù)對；若不存在，請說明理由.22.如圖，橢圓E：的離心率是，過點的動直線與橢圓相交于A，B兩點，當(dāng)直線平行于軸時，直線被橢圓E截得的線段長為.（1）求橢圓E的方程；（2）在平面直角坐標(biāo)系中，是否存在與點P不同的定點Q，使得恒成立？若存在，求出點Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.參考答案：1.B【分析】利用等差數(shù)列通項公式的性質(zhì)解出即可【詳解】在等差數(shù)列中，，所以故選：B.2.B【分析】先求定點，再根據(jù)點到直線距離求解點到直線上動點距離最小值即可.【詳解】由得，所以直線l過定點，依題意可知的最小值就是點M到直線的距離，由點到直線的距離公式可得.故選：B.3.C【分析】化簡雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，結(jié)合雙曲線的結(jié)合性質(zhì)，即可求解.【詳解】由雙曲線，可化為，可得，所以雙曲線的漸近線方程為.故選：C.4.A【分析】由空間向量數(shù)量積的幾何意義及投影向量的定義，應(yīng)用向量數(shù)量積?模長的坐標(biāo)運算求向量在向量上的投影向量.【詳解】向量在向量上的投影向量為.故選：A5.B【分析】利用數(shù)列的遞推公式以及數(shù)列的周期性求解.【詳解】因為，，所以所以數(shù)列是以3為周期的周期數(shù)列，且列，所以，故選：B.6.B【分析】令，分析可知，直線與圓有公共點，根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系可得出關(guān)于的不等式，即可解得的取值范圍.【詳解】令，可得，則直線與圓有公共點，所以，，解得，即的取值范圍是.故選：B.7.B【分析】設(shè)圓柱的底面半徑為，則高為，由圓柱的表面積求得，再求出圓柱內(nèi)切球的表面積及圓柱的體積，作比得答案.【詳解】解：設(shè)圓柱的底面半徑為，則高為，圓柱的表面積為，解得，圓柱內(nèi)切球的表面積為，圓柱的體積為.該圓柱內(nèi)切球表面積與圓柱的體積之比為.故選：B.8.A【分析】設(shè)圓?與軸的切點分別為，，圓心?在的角平分線上，從而切點也在的角平分線上，所以，由切線的性質(zhì)求得，，由圓面積比得半徑比，然后由相似形得出的關(guān)系式，從而求得離心率.【詳解】由已知及平面幾何知識可得圓心?在的角平分線上.如圖，設(shè)圓?與軸的切點分別為，，由平面幾何知識可得，直線為兩圓的公切線，切點也在的角平分線上，所以，由橢圓的定義知，則，所以，所以，所以，.又圓與圓的面積之比為9，所以圓與圓的半徑之比為3，因為，所以，即，整理得，故橢圓的離心率.故選：A.【點睛】方法點睛：橢圓的離心率是橢圓最重要的幾何性質(zhì)，求橢圓的離心率（或離心率的取值范圍），常見有兩種方法：①求出a，c，代入公式；②只需要根據(jù)一個條件得到關(guān)于a，b，c的齊次式，結(jié)合b2=a2-c2轉(zhuǎn)化為a，c的齊次式，然后等式（不等式）兩邊分別除以a或a2轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程（不等式），解方程（不等式）即可得e（e的取值范圍）.9.BCD【分析】由無解可判斷A；將代入恒成立可判斷B；當(dāng)圓的圓心與連線和垂直時，求出被圓截得弦長可判斷C；過圓心的弦長最大，最大值為直徑4可判斷D.【詳解】∵無解，A不正確；將代入，則恒成立，B正確；由B知，當(dāng)圓的圓心與連線和垂直時，弦長最小，最小值為，C正確；過圓心的弦長最大，最大值為直徑4，D正確，故選：BCD.10.AB【分析】利用數(shù)列的性質(zhì)，逐個選項分析即可.【詳解】，或，，，同號，且，，即數(shù)列前項大于，從第項開始小于1，對于A，，且易知，故，A正確，對于B，易知，故，，B正確，對于C，由題意知是遞減數(shù)列，且，，故是數(shù)列中的最大項，故C錯誤，對于D，，故D錯誤，故選：AB11.AD【分析】A選項，先得到兩直線斜率均存在且不為0，設(shè)直線方程為，聯(lián)立拋物線方程，得到兩根之和，兩根之積，由焦半徑得到，，從而得到；B選項，在A選項基礎(chǔ)上得到和，從而代入計算出；C選項，在B選項基礎(chǔ)上，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值；D選項，先得到，，表達(dá)出，并結(jié)合基本不等式求出當(dāng)時，取得最小值，此時，故D正確.【詳解】A選項，若一條直線的斜率不存在時，則另一條直線斜率為0，此時與拋物線只有1個交點，不合要求，故兩直線斜率均存在且不為0，由題意得，設(shè)直線方程為，聯(lián)立與得，，易知，設(shè)，則，則，，則，A正確；B選項，在A選項基礎(chǔ)上得到，由于兩直線均過焦點且垂直，可得，故，B錯誤；C選項，由B選項可知，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，故的最小值為16，C錯誤；D選項，由A選項可知，點橫坐標(biāo)為，故，所以，由于兩直線均過焦點且垂直，可得，則，其中，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，當(dāng)時，取得最小值，此時，故當(dāng)最小時，直線的斜率不存在，D正確.故選：AD.【點睛】方法點睛：圓錐曲線中最值或范圍問題的常見解法：（1）幾何法，若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用幾何法來解決；（2）代數(shù)法，若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)某種明確的函數(shù)關(guān)系，則可首先建立目標(biāo)函數(shù)，再求這個函數(shù)的最值或范圍.12.ABD【分析】在正方體中，本題涉及線面垂直的證明，三棱錐體積的求解，異面直線所成角的范圍及線面角正弦值的范圍.需逐個分析?計算?證明各選項.【詳解】如圖，對于選項A，連接?，由正方體可得，且平面，則，又，且平面，所以平面，故同理可證，又，且平面，所以平面，故A正確；對于選項B，在正方體中，易知，而平面，平面，所以平面，且因為點在線段上運動，則到平面的距離為定值，面積為定值，所以三棱錐體積為定值，故B正確；對于選項C，因為，則異面直線與所成角等于直線與所成角，易知，當(dāng)點與線段的端點重合時，直線與所成角取得最小值為，故C錯誤；對于選項D，如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系：設(shè)正方體棱長為1，則，設(shè)則，由B選項證明可知，平面，所以是平面的一個法向量，設(shè)直線與平面所成角為，則，當(dāng)時，即為中點時，取得最大值，故D正確故選：ABD.13./【分析】根據(jù)點到直線距離公式列方程求解即可.【詳解】由題意，，解得.故答案為：.14.【分析】根據(jù)題意，化簡得到，結(jié)合向量的數(shù)量積的運算法則，即可求解.【詳解】如圖所示，在棱長為正四面體中，可得，且，則.故答案為：.15.512【分析】利用已知將n換為n+1，再寫一個式子，與已知作比，得到數(shù)列的各個偶數(shù)項成等比，公比為2，再求得，最后利用等比數(shù)列的通項公式即可得出.【詳解】∵，（）∴.（）∴，（），∴數(shù)列的各個奇數(shù)項成等比，公比為2，數(shù)列的各個偶數(shù)項成等比，公比為2，又∵，（），∴，又，∴，可得：當(dāng)n為偶數(shù)時，∴.故答案為512.【點睛】本題考查了等比數(shù)列的通項公式?數(shù)列遞推關(guān)系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題.16.【詳解】以線段的中點為坐標(biāo)原點建立平面直角坐標(biāo)系，則雙曲線，.設(shè)雙曲線方程為，只需點在雙曲線右支圖像的上方（包括在圖像上）即可，也即，兩邊乘以得，由于，所以上式化為，解得，，故.【點睛】本題主要考查平面解析幾何的思想方法，將幾何問題代數(shù)化.由于題目涉及到雙曲線，故首先建立平面直角坐標(biāo)系，根據(jù)題意，以的中點為坐標(biāo)原點來建立坐標(biāo)系，由此可知雙曲線焦點在軸上，并且.建系后可利用角度得到點的坐標(biāo)，根據(jù)題意，點應(yīng)該在雙曲線圖像的上方，由此可列不等式，求得的范圍，進(jìn)而求得離心率的范圍.17.（1）（2）【分析】（1）根據(jù)得到為首項為1，公比為2的等比數(shù)列，求出通項公式；（2）利用錯位相減法求和.【詳解】（1）當(dāng)?shù)?，，因為，解得，故①，?dāng)時，，②，兩式相減得，故，，故為首項為1，公比為2的等比數(shù)列，所以；（2），故，則，兩式相減得，故.18.（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）連接GF，利用中位線定理，結(jié)合線面平行判定定理可證；（2）以A為原點，分別為x，y，z的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解即可.【詳解】（1）連接GF，因為四邊形為矩形，所以F為SD的中點，又G為的中點，所以，因為平面，平面，所以平面.（2）因為平面ABCD，平面，所以，又，所以兩兩垂直，以A為原點，分別為x，y，z的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則，所以，易知，為平面的一個法向量，設(shè)為平面的法向量，則，取，得，記平面與平面夾角為，則.19.（1）；（2）.【分析】（1）可得，代入方程求解即可；（2）設(shè)直線的方程為，和拋物線的方程聯(lián)立消元可得，，然后利用，求解即可.【詳解】（1）由題意，代入，得，，拋物線的方程為.（2）當(dāng)直線的斜率不存在時，與題意不符，所以直線的斜率一定存在，設(shè)直線的方程為代入到中，，設(shè)，，則，，所以直線的方程為.20.（1）證明見解析；（2）不存在，答案見解析.【分析】（1）利用面面垂直的性質(zhì)定理證明平面PAD，即可證明結(jié)論；（2）建立合適的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，利用向量的線性運算求出的坐標(biāo)，然后利用向量的夾角公式列出方程，求解即可得到答案.【詳解】（1）因為平面平面ABCD，平面平面，，平面ABCD，所以平面PAD，又E?F分別是PA?PB的中點，則，故平面PAD；（2），所以，設(shè)平面EFG的法向量為，則，即，令，則，故，設(shè)，因為，故，所以，因為直線GM與平面EFG所成角為，故，化簡可得，故方程無解，所以在線段PD上不存在一個動點M，使得直線GM與平面EFG所成角為.21.（1）（2）存在，，【分析】（1）由題意可得數(shù)列的奇數(shù)項是以1為首項，公差為2的等差數(shù)列；偶數(shù)項是以2為首項，公比為3的等比數(shù)列，分別利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式即可得出.（1），，假設(shè)存在正整數(shù)m，n，使得，化為，可得，2，分類討論即可得出.【詳解】（1）由，，可得數(shù)列的奇數(shù)項是以1為首項，公差為2的等差數(shù)列；偶數(shù)項是以2為首項，公比為3的等比數(shù)列.對任意正整數(shù)k，；.數(shù)列的通項公式.（2），..假設(shè)存在正整數(shù)m，n，使得，則，，從而，，又，，2，3.當(dāng)時，式左邊大于0，右邊等于0，不成立.當(dāng)時，式左邊等于0，，解得，.當(dāng)時，式可化為，顯然不滿足，當(dāng)時，存在，，，使得，，且，從而，，，，，于是，.綜上可知，符合條件的正整數(shù)對只有兩對：，.22.（1）；（2）存在，Q點的坐標(biāo)為.【詳