三角函數(shù)性質(zhì)與解三角形（解答題10種考法）

三角函數(shù)與解三角形（解答題10種考法）考法一邊角互換及公式的直接運用【例1-1】（2022·廣東茂名·二模）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，，，．(1)求C；(2)求△ABC的面積．【例1-2】（2022·廣東·模擬預(yù)測）在中，，，分別是角，，的對邊．若，，．(1)求的長；(2)求的面積．考法二幾何中的解三角形【例2-1】（2022·廣東湛江·二模）如圖，一架飛機從地飛往地，兩地相距.飛行員為了避開某一區(qū)域的雷雨云層，從機場起飛以后，就沿與原來的飛行方向成角的方向飛行，飛行到地，再沿與原來的飛行方向成角的方向繼續(xù)飛行到達(dá)終點.(1)求、兩地之間的距離；(2)求.【例2-2】（2022·廣東清遠(yuǎn)·高三期末）在平面四邊形中，．(1)求；(2)求的面積．【例2-3】（2023春·山西忻州·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）如圖，在梯形中，，，，．(1)求的值；(2)若的面積為8，求的長．考法三三角形的面積、周長【例3-1】（2022·廣東肇慶·模擬預(yù)測）已知在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，.(1)求角A的大??；(2)若，求周長的取值范圍.【例3-2】．（2023秋·江蘇·高三統(tǒng)考期末）已知△ABC為銳角三角形，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且acosB＋bcosA＝2ccosC．(1)求角C；(2)若c＝2，求△ABC的周長的取值范圍．【例3-3】（2022·湖北·黃岡中學(xué)模擬預(yù)測）在中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知，且滿足．(1)求角B的大小；(2)求的面積的最大值．【例3-4】（2023·河南·長葛市第一高級中學(xué)統(tǒng)考模擬預(yù)測）在中，角所對的邊分別為，且.(1)求角；(2)若，的面積為，求.考點四三角形的中線與角平分線【例4-1】（2023·湖北）△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知.(1)求B.(2)若，，___________，求.在①D為AC的中點，②BD為∠ABC的角平分線這兩個條件中任選一個，補充在橫線上.注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.【例4-2】（2023春·河南洛陽·高三新安縣第一高級中學(xué)?？奸_學(xué)考試）設(shè)的內(nèi)角所對的邊分別為，且．(1)求角A的大??；(2)若，邊上的中線，求的面積．【例4-3】（2022秋·江蘇南京·高三?？计谀┮阎猘,b,c分別是三個內(nèi)角A,B,C的對邊,面積為S,且．(1)求A;(2)若a＝2,且角A的角平分線交BC于點D,AD＝,求b．考點五解三角形中的取值范圍【例5-1】（2022·山東煙臺·三模）在中，角，，的對邊分別為，，，且.(1)求角；(2)若，求的取值范圍.【例5-2】（2023福建）從①；②；③這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，并加以解答.已知的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，且______，求的最大值.注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.【例5-3】（2023·廣東茂名·統(tǒng)考一模）已知的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且.(1)求證：.(2)求的取值范圍.【例5-4】（2023·全國·模擬預(yù)測）已知銳角三角形ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足，.(1)求的取值范圍；(2)若，求三角形ABC面積的取值范圍.考法六解三角形中的存在問題【例6-1】（2022·廣東佛山·模擬預(yù)測）在中，角、、所對的邊長分別為、、，若，．(1)若，求的值；(2)是否存在正整數(shù)，使得為鈍角三角形？若存在，求出的值；若不存在，說明理由．【例6-2】（2022·北京·景山學(xué)校模擬預(yù)測）△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．(1)求B；(2)從以下條件中選擇兩個，使△ABC存在且唯一確定，并求△ABC的面積．①若；②；③；④△ABC的周長為9．考法七解三角形與三角函數(shù)的性質(zhì)綜合【例7-1】（2022·安徽）在中，內(nèi)角??的對邊分別為，，，設(shè)，且.(1)求角；(2)若的面積為，且，求的值.【例7-2】（2022·浙江省新昌中學(xué)模擬預(yù)測）已知函數(shù)，其中，若實數(shù)滿足時，的最小值為．(1)求的值及的對稱中心；(2)在中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，若，求周長的取值范圍．考法八解三角形與平面向量的綜合【例8-1】（2022·江蘇泰州·模擬預(yù)測）在①，②，③這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，并完成問題的解答．已知a，b，c分別是△ABC三個內(nèi)角A，B，C的對邊，b＝1，c＝3，且___．(1)求A；(2)若點D在邊BC上，且，求AD．注：如果選擇多個方案進(jìn)行解答，則按第一個方案解答計分【例8-2】（2022·廣東廣州·三模）在①；②這兩個條件中任選一個，補充在下面的問題中，并作答.問題：已知中，分別為角所對的邊，__________.(1)求角的大??；(2)已知，若邊上的兩條中線相交于點，求的余弦值.注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.【例8-3】（2022·潮州）已知的內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，向量，，.(1)若，，為邊的中點，求中線的長度；(2)若為邊上一點，且，，求的最小值.考法九解三角形與三角形心的結(jié)合【例9-1】（2022·廣東·模擬預(yù)測）的內(nèi)角的對邊分別為，且.從下列①②③這三個條件中選擇一個補充在橫線處，并作答.①為的內(nèi)心；②為的外心；③為的重心.(1)求；(2)若，__________，求的面積.注：如果選擇多個條件分別解答，則按第一個解答計分.【例9-2】（2022·湖北省仙桃中學(xué)模擬預(yù)測）如圖，在△ABC中，已知，，，BC邊上的中線AM與的角平分線相交于點P．(1)的余弦值．(2)求四邊形的面積.考點十解三角形中的證明【例10-1】（2023秋·浙江嘉興·高三統(tǒng)考期末）記的內(nèi)角的對邊分別為，已知三角形，角的平分線交邊于點.(1)證明：；(2)若，求的周長.【例10-2】（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）記的內(nèi)角的對邊分別為，已知．(1)證明：；(2)若，求的周長．【例10-3】．（2022秋·安徽合肥·高三統(tǒng)考期末）在中，點D在BC上，滿足AD＝BC，．(1)求證：AB，AD，AC成等比數(shù)列；(2)若，求．1．（2023·河南·長葛市第一高級中學(xué)統(tǒng)考模擬預(yù)測）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且．(1)求角C；(2)若c=4，△ABC的面積為，求a，b．2．（2023春·浙江紹興·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）已知的內(nèi)角的對邊分別為，且.(1)求角的大小；(2)若于，求的面積的最小值.3．（2023·黑龍江·黑龍江實驗中學(xué)?？家荒＃┮阎瘮?shù)，其中，且函數(shù)的兩個相鄰零點間的距離為，(1)求的值及函數(shù)的對稱軸方程；(2)在中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，若，求周長的取值范圍．4．（2023秋·浙江紹興·高三統(tǒng)考期末）在①，②.③這三個條件中任選一個，填在以下的橫線中，并完成解答.在中，角所對的邊分別是，且__________.(1)求角的大??；(2)若，點滿足，求線段長的最小值.5．（2023·全國·模擬預(yù)測）記銳角的內(nèi)角、、的對邊分別為、、，已知．(1)求；(2)求的取值范圍．6．（2023秋·遼寧遼陽·高三統(tǒng)考期末）在①，②D是邊的中點且，這兩個條件中任選一個，補充在下面問題中，并作答．問題：在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且．(1)求A；(2)若__________，求的最大值．注：如果選擇兩個條件分別解答，按第一個解答計分．7（2023·山東·濰坊一中校聯(lián)考模擬預(yù)測）在中，，是邊上一點，．(1)若，求的值；(2)若，求的取值范圍．8．（2023·江蘇南通·統(tǒng)考一模）在中，的對邊分別為.(1)若，求的值；(2)若的平分線交于點，求長度的取值范圍.9．（2023秋·浙江紹興·高三期末）記銳角的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，外接圓的半徑為R，已知．(1)若，求A的值；(2)求的取值范圍．10．（2023·廣西桂林·統(tǒng)考模擬預(yù)測）在中，角，，的對邊分別為，，，．(1)求角的大??；(2)若，為外一點（、在直線兩側(cè)），，，求四邊形面積的最大值．11．（2023秋·江蘇·高三南京師大附中校聯(lián)考期末）在中，分別為內(nèi)角的對邊，且.(1)求證：；(2)求的取值范圍.12．（2020秋·北京·高三101中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知的面積為，角所對的邊為．點為的內(nèi)心，且．(1)求的大?。?2)求的周長的取值范圍．13．（2023·重慶沙坪壩·重慶南開中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知將函數(shù)的圖像向左平移個單位長度后得到函數(shù)的圖像關(guān)于原點中心對稱.(1)求函數(shù)的解析式；(2)若三角形滿足是邊上的兩點，且，求三角形面積的取值范圍.14．（2023·高三課時練習(xí)）已知函數(shù)，.(1)判斷函數(shù)的奇偶性，并說明理由；(2)設(shè)函數(shù)（，），若函數(shù)和都是奇函數(shù)，將滿足條件的按從小到大的順序組成一個數(shù)列，求的通項公式；(3)求實數(shù)與正整數(shù)，使得在內(nèi)恰有147個零點.15．（2022秋·四川攀枝花·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）的內(nèi)角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，且滿足．(1)求角B的大??；(2)若，點D在邊AC上，______，求BD的長．請在①；②；③這三個條件中選擇一個，補充在上面的橫線上，并完成解答．注：若選擇多個條件分別解答，則按第一個解答計分．16．（2023春·全國·高三競賽）記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．設(shè)的外接圓的半徑為．(1)利用余弦定理，證明：；(2)證明：；(3)若，求的取值范圍．17．（2023秋·河北邢臺·高三統(tǒng)考期末）a，b，c分別為△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊，已知．(1)若，證明：△ABC為等腰三角形；(2)若，求b的最小值．18．（2022秋·山西運城·高三校考階段練習(xí)）中，內(nèi)角的對邊分別為的外接圓半徑為，已知.(1)求；(2)已知的平分線交于點，從以下三個條件中選擇兩個，使唯一確定，并求和的長度.條件①：；條件②：；條件③：.19．（2023秋·山西長治·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）在中，角所對的邊分別為，其中，已知.(1)求角的大??；(2)若，求面積的最大值.20．（2023·全國·唐山市第十一中學(xué)校考模擬預(yù)測）在銳角三角形中,角的對邊分別為,向量,,且.(1)求角的大小;(2)若的面積為,求的取值范圍.21．（2023·四川攀枝花·攀枝花七中?？寄M預(yù)測）如圖，在梯形中，，．(1)若，求周長的最大值；(2)若，，求的值．22．（2022秋·河北·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）在三角形ABC中，若.(1)求角A的大??；(2)如圖所示，若，，求長度的最大值.23．（2023春·河南開封·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，．(1)若，求的值；(2)證明：為定值．24．（2022秋·湖南常德·高三統(tǒng)考期末）如圖，在梯形中，AD//BC，且，.(1)若，，求梯形的面積；(2)若，證明：為直角三角形．25．（2022秋·安徽阜陽·高三安徽省臨泉第一中學(xué)?？计谀┮阎膬?nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，外接圓的直徑為1，且滿足____________________.在下面三個條件中任選一個，補充在上面的問題中，并解答問題.①；②（為的面積）；③.(1)求A;(2)求周長的最大值.注:如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分26．（2022秋·上海寶山·高三統(tǒng)考期末）已知函數(shù)．(1)求的最小正周期和單調(diào)增區(qū)間；(2)在中，角、、的對