第11講 圓錐曲線的綜合應(yīng)用與新定義（八種題型）-沖刺2025年高考數(shù)學(xué)熱點(diǎn)、重難點(diǎn)題型解題方法與策略+真題演練（新高考專用）（解析版）

第11講圓錐曲線的綜合應(yīng)用與新定義（八種題型）題型一：弦長(zhǎng)問(wèn)題一、單選題1．（2023·山東臨沂·統(tǒng)考一模）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，過(guò)的直線與的左、右兩支分別交于點(diǎn)，且，則的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由，設(shè)，利用雙曲線的定義得到，然后設(shè)，與雙曲線方程聯(lián)立，利用弦長(zhǎng)公式求解.【詳解】解：因?yàn)椋?，由雙曲線的定義得，解得，則，設(shè)，，，聯(lián)立，消去x得，由韋達(dá)定理得：，由，得，解得，所以，，解得，則，故選：D2．（2023·山東菏澤·統(tǒng)考一模）過(guò)拋物線焦點(diǎn)作傾斜角為的直線交拋物線于，則（

）A． B． C．1 D．16【答案】A【分析】點(diǎn)斜式設(shè)出直線l的方程，代入拋物線方程，根據(jù)拋物線的定義，利用韋達(dá)定理來(lái)求解.【詳解】化為標(biāo)準(zhǔn)形式由此知；設(shè)直線l的方程為：，，，根據(jù)拋物線定義知；將，代入，可得，由此代入.故選：A二、多選題3．（2023·遼寧·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知F是拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線W上，過(guò)點(diǎn)F的兩條互相垂直的直線，分別與拋物線W交于B，C和D，E，過(guò)點(diǎn)A分別作，的垂線，垂足分別為M，N，則（

）A．四邊形面積的最大值為2B．四邊形周長(zhǎng)的最大值為C．為定值D．四邊形面積的最小值為32【答案】ACD【分析】根據(jù)給定條件，求出拋物線的方程，確定四邊形形狀，利用勾股定理及均值不等式計(jì)算判斷A，B；設(shè)出直線的方程，與拋物線方程聯(lián)立，求出弦長(zhǎng)即可計(jì)算推理判斷C，D作答.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線上，所以，故，，拋物線的焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，因?yàn)?，，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以四邊形面積的最大值為2，故A正確.由，得，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以四邊形周長(zhǎng)的最大值為，故B不正確.設(shè)直線的方程為，聯(lián)立消x得，方程的判別式，設(shè)，，則，則，同理得，，C正確.，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)，故D正確.故選：ACD.三、填空題4．（2023·陜西榆林·統(tǒng)考一模）已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，直線與雙曲線相交于兩點(diǎn)，點(diǎn)，以為直徑的圓與相交于兩點(diǎn)，若為線段的中點(diǎn)，則__________.【答案】2【分析】根據(jù)直線與雙曲線的位置關(guān)系確定交點(diǎn)坐標(biāo)關(guān)系，利用直線和圓的幾何性質(zhì)，即可求得的長(zhǎng).【詳解】解：如圖，由題可知，的坐標(biāo)為，設(shè)，聯(lián)立方程組，可得，則，.因?yàn)闉榫€段的中點(diǎn)，所以的坐標(biāo)為.又以為直徑的圓與相交于兩點(diǎn)，所以，所以，解得，又，所以，所以，故.故答案為：2.5．（2023春·江蘇南通·高三校考開(kāi)學(xué)考試）已知橢圓C:的離心率為，F(xiàn)是左焦點(diǎn)，過(guò)F且傾斜角為45°的直線交C于點(diǎn)A，B．設(shè)M，N分別是AF和BF的中點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，則的面積為_(kāi)_____．【答案】##【分析】設(shè)右焦點(diǎn)為,連接,由中位線知，再由及弦的長(zhǎng)可以求出值，再由長(zhǎng)及原點(diǎn)到的距離求出的面積.【詳解】設(shè)右焦點(diǎn)為,連接,為的中點(diǎn),為中點(diǎn),,同理，,，,,橢圓方程可化為,設(shè)直線,，由得，,，，，，，原點(diǎn)到直線的距離為，所以，故答案為:【點(diǎn)睛】橢圓中兩個(gè)周長(zhǎng)為定值的三角形：若過(guò)橢圓焦點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，另一焦點(diǎn)為，①周長(zhǎng)為定值；②周長(zhǎng)為定值；這兩個(gè)三角形的邊長(zhǎng)為焦半徑時(shí)可以與橢圓的定義聯(lián)系在一起使用，而三角形的周長(zhǎng)也可以與三角形內(nèi)切圓半徑結(jié)合使用.四、解答題6．（2023·陜西西安·統(tǒng)考一模）設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，，Q在準(zhǔn)線上，Q的縱坐標(biāo)為，點(diǎn)M到F與到定點(diǎn)的距離之和的最小值為4．(1)求拋物線C的方程；(2)過(guò)F且斜率為2的直線l與C交于A、B兩點(diǎn)，求的面積．【答案】(1)；(2).【分析】（1）由已知可推得，求出的坐標(biāo)代入，即可得出關(guān)于的方程，求解即可得出；（2）由已知可求得直線方程為，聯(lián)立直線與拋物線的方程，根據(jù)韋達(dá)定理求出弦長(zhǎng).然后根據(jù)點(diǎn)到直線的距離求出點(diǎn)到直線的距離，即可得出面積.【詳解】（1）由已知可得，，.因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值.又，所以，即，整理可得，因?yàn)?，所?所以，拋物線C的方程為.（2）由（1）知，，所以直線的方程為，.聯(lián)立直線與拋物線的方程可得，.設(shè)，，則由韋達(dá)定理可得.所以.又點(diǎn)到直線，即直線的距離為，所以，的面積.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求圓錐曲線中的有關(guān)三角形的面積時(shí)，常聯(lián)立直線與曲線的方程，根據(jù)韋達(dá)定理求出弦長(zhǎng).然后根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式，求出三角形的高，即可得出.7．（2023秋·江蘇·高三統(tǒng)考期末）如圖，已知橢圓的左?右頂點(diǎn)分別為，點(diǎn)是橢圓上異于的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)原點(diǎn)平行于的直線與橢圓交于點(diǎn)的中點(diǎn)為點(diǎn)，直線與橢圓交于點(diǎn)，點(diǎn)在軸的上方.(1)當(dāng)時(shí)，求；(2)求的最大值.【答案】(1)(2)10【分析】（1）根據(jù)題意求出，根據(jù)分析出點(diǎn)滿足的方程，求出點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求出；（2）利用弦長(zhǎng)公式求出和，再利用基本不等式求出最值.【詳解】（1）由題知,設(shè)，則，則.因?yàn)椋栽趫A上，又在橢圓上，所以滿足，所以，，所以或（舍去），又在軸上方，所以，所以直線的斜率為，故直線的斜率為，所以直線與直線關(guān)于軸對(duì)稱.設(shè)直線的傾斜角，（2）當(dāng)直線斜率為，則直線，直線，滿足，所以，所以，同理，所以所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取“”，所以的最大值為10.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解決直線與橢圓的綜合問(wèn)題時(shí)，要注意：(1)注意觀察應(yīng)用題設(shè)中的每一個(gè)條件，明確確定直線、橢圓的條件；(2)強(qiáng)化有關(guān)直線與橢圓聯(lián)立得出一元二次方程后的運(yùn)算能力，重視根與系數(shù)之間的關(guān)系、弦長(zhǎng)、斜率、三角形的面積等問(wèn)題．8．（2023·廣東深圳·統(tǒng)考一模）已知雙曲線E：與直線l：相交于A、B兩點(diǎn)，M為線段AB的中點(diǎn)．(1)當(dāng)k變化時(shí)，求點(diǎn)M的軌跡方程；(2)若l與雙曲線E的兩條漸近線分別相交于C、D兩點(diǎn)，問(wèn)：是否存在實(shí)數(shù)k，使得A、B是線段CD的兩個(gè)三等分點(diǎn)？若存在，求出k的值；若不存在，說(shuō)明理由．【答案】(1)，其中或(2)存在，【分析】（1）設(shè)，，，聯(lián)立直線l與雙曲線E的方程，消去y，得，根據(jù)已知直線l與雙曲線E相交于A、B兩點(diǎn)，得且，即且，由韋達(dá)定理，得，則，，聯(lián)立消去k，得，再根據(jù)的范圍得出的范圍，即可得出答案；（2）設(shè)，，根據(jù)雙曲線E的漸近線方程與直線l的方程聯(lián)立即可得出，，則，即線段AB的中點(diǎn)M也是線段CD的中點(diǎn)，若A，B為線段CD的兩個(gè)三等分點(diǎn)，則，結(jié)合弦長(zhǎng)公式列式得，即可化簡(jiǎn)代入得出，即可解出答案.【詳解】（1）設(shè)，，，聯(lián)立直線l與雙曲線E的方程，得，消去y，得．由且，得且．由韋達(dá)定理，得．所以，．由消去k，得．由且，得或．所以，點(diǎn)M的軌跡方程為，其中或．（2）雙曲線E的漸近線方程為．設(shè)，，聯(lián)立得，同理可得，因?yàn)?，所以，線段AB的中點(diǎn)M也是線段CD的中點(diǎn)．若A，B為線段CD的兩個(gè)三等分點(diǎn)，則．即，．而，．所以，，解得，所以，存在實(shí)數(shù)，使得A、B是線段CD的兩個(gè)三等分點(diǎn)．9．（2023春·江蘇蘇州·高三統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）已知拋物線的焦點(diǎn)也是離心率為的橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)F．(1)求拋物線與橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)過(guò)F的直線交拋物線于A、B，交橢圓于C、D，且A在B左側(cè)，C在D左側(cè)，A在C左側(cè)．設(shè)，，．①當(dāng)時(shí)，是否存在直線l，使得a，b，c成等差數(shù)列？若存在，求出直線l的方程；若不存在，說(shuō)明理由；②若存在直線，使得a，b，c成等差數(shù)列，求的范圍．【答案】(1)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(2)①不存在，理由見(jiàn)解析；②【分析】（1）根據(jù)相同焦點(diǎn)得到，解得，得到答案.（2）設(shè)l：和各點(diǎn)坐標(biāo)，聯(lián)立方程利用韋達(dá)定理得到根與系數(shù)的關(guān)系，計(jì)算，，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)得到方程，方程無(wú)解得到答案；整理得到，解不等式即可.【詳解】（1）拋物線的焦點(diǎn)，橢圓的焦點(diǎn)，由于，即，則有，因此，，，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是．（2）①設(shè)l：，，，，，，將直線與拋物線聯(lián)立，則有，，，則，于是，將直線與橢圓聯(lián)立，則有，得到二次方程，，則有，則，，，假設(shè)存在直線l，使得a，b，c成等差數(shù)列，即即有，整理得到，方程無(wú)解，因此不存在l滿足題設(shè)．②只需使得方程有解即可．整理得到，故，解得【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查了拋物線和橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，等差數(shù)列性質(zhì)，直線和拋物線，橢圓的位置關(guān)系，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力，轉(zhuǎn)化能力和綜合應(yīng)用能力，其中，利用韋達(dá)定理得到根與系數(shù)的關(guān)系，根據(jù)設(shè)而不求的思想，可以簡(jiǎn)化運(yùn)算，是解題的關(guān)鍵，需要熟練掌握.10．（2023·陜西咸陽(yáng)·?？家荒＃┮阎獧E圓的離心率為，它的四個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成的四邊形的面積為．(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線與圓相切且與橢圓交于、兩點(diǎn)，求的最大值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)已知條件可得出關(guān)于、、的方程，解出、的值，可得出橢圓的方程；（2）分析可知，直線不與軸平行或重合，設(shè)直線的方程為，利用直線與圓相切可得出，將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，利用弦長(zhǎng)公式以及基本不等式可求得的最大值.【詳解】（1）解：橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成的四邊形的面積為，由題意可得，解得，．所以，橢圓的方程為．（2）解：若直線與軸平行或重合，此時(shí)直線與圓相交，不合乎題意，設(shè)直線的方程為，由題意可得，即.聯(lián)立消去得，即，．設(shè)、，則，．所以，．令，則，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)，．故的最大值為．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：圓錐曲線中的最值問(wèn)題解決方法一般分兩種：一是幾何法，特別是用圓錐曲線的定義和平面幾何的有關(guān)結(jié)論來(lái)求最值；二是代數(shù)法，常將圓錐曲線的最值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)或三角函數(shù)的最值問(wèn)題，然后利用基本不等式、函數(shù)的單調(diào)性或三角函數(shù)的有界性等求最值．11．（2020春·重慶渝中·高三重慶巴蜀中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離與動(dòng)點(diǎn)到定直線的距離的比值為，記動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為曲線C.(1)求曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)若動(dòng)直線l與曲線C相交于A，B兩點(diǎn)，且（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求弦長(zhǎng)的取值范圍.【答案】(1)；(2).【分析】（1）由兩點(diǎn)距離公式列方程，化簡(jiǎn)整理可得標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）分別討論直線l的斜率k存在與否.其中斜率存在時(shí)，設(shè)出直線方程，由，則可由韋達(dá)定理表示并化簡(jiǎn)得方程，最后結(jié)合弦長(zhǎng)公式化簡(jiǎn)結(jié)合基本不等式即得.【詳解】（1）由題意得，，兩邊平方化簡(jiǎn)得，即可整理得曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）i.當(dāng)直線l的斜率k不存在時(shí)，由橢圓對(duì)稱性有，又，故為等腰直角三角形，故，代入方程有，則弦長(zhǎng)；ii.當(dāng)直線l的斜率k存在時(shí)，設(shè)直線l為，聯(lián)立橢圓消y得，∴，，由，即，整理得.從而.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，綜上，弦長(zhǎng)的取值范圍為.【點(diǎn)睛】直線與圓錐曲線問(wèn)題，討論直線斜率存在與否.其中斜率存在時(shí)，設(shè)出直線方程，聯(lián)立圓錐曲線方程，由韋達(dá)定理表示出條件及所求內(nèi)容，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為關(guān)于參數(shù)的函數(shù)問(wèn)題，進(jìn)一步討論.12．（2023秋·云南·高三云南師大附中?？茧A段練習(xí)）已知點(diǎn)在雙曲線上，的左焦點(diǎn)為，點(diǎn)到的漸近線的距離為1，過(guò)點(diǎn)的直線與的左支交于A，B兩點(diǎn)．(1)求的方程；(2)作垂直于軸于點(diǎn)，若的外接圓圓心在軸上，求的方程．【答案】(1)(2)【分析】（1）將代入雙曲線方程，結(jié)合焦點(diǎn)到漸近線的距離為1，求出雙曲線方程；（2）根據(jù)l斜率是否存在，分類討論，利用點(diǎn)P為三角形的外心，在線段AB的垂直平分線上，建立等式，解出直線方程.【詳解】（1）由在上，得，由到的漸近線的距離為1得，結(jié)合，解得，，所以的方程為．（2）由題意知，，，當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，的方程為，則，，此時(shí)為等腰三角形，若的外接圓圓心在軸上，則，因?yàn)?，，不符合題意（舍）；當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)的方程為，，，因?yàn)殡p曲線的漸近線方程為，直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，所以，因?yàn)榇嬖?，所以，?lián)立，得，所以，，，則線段的中點(diǎn)，，設(shè)，易知在的垂直平分線上，所以，解得，即，連接，，，所以，由勾股定理知：，又，所以，化簡(jiǎn)得，解得（舍）或，所以的方程為．【點(diǎn)睛】當(dāng)直線斜率存在的情況，注意到雙曲線的漸近線方程為，所以過(guò)雙曲線左焦點(diǎn)的直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，則.題型二：面積問(wèn)題一、多選題1．（2022秋·山東青島·高三統(tǒng)考期末）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，離心率為的橢圓的左，右焦點(diǎn)分別為，，與曲線恰有三個(gè)交點(diǎn)，則（

）A．橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為B．的內(nèi)接正方形面積等于3C．點(diǎn)在上，，則的面積等于1D．曲線與曲線沒(méi)有交點(diǎn)【答案】BCD【分析】由橢圓與余弦函數(shù)都關(guān)于軸對(duì)稱，可得其中一個(gè)交點(diǎn)為，從而可求，根據(jù)離心率求得，從而可判斷A；聯(lián)立，求出，從而可判斷B；設(shè)，根據(jù)橢圓的定義可得，又，從而可求，即可求面積，從而可判斷C；設(shè)直線，聯(lián)立，可得直線與橢圓相切，且直線在橢圓的右上方，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)證明???????，從而可判斷D.【詳解】因?yàn)闄E圓與曲線都關(guān)于軸對(duì)稱，且與曲線恰有三個(gè)交點(diǎn),所以其中一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為0.又,所以該交點(diǎn)坐標(biāo)為，所以.因?yàn)闄E圓的離心率為，所以，解得，故橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，故A錯(cuò)誤.橢圓的方程為,設(shè)的內(nèi)接正方形與在第一象限的交點(diǎn)為，設(shè)，聯(lián)立，可得，故的內(nèi)接正方形面積為，故B正確.設(shè)，因?yàn)辄c(diǎn)W在C上,所以.因?yàn)?，所?所以，解得.所以的面積為，故C正確.設(shè)直線，聯(lián)立,可得，即，,所以直線與橢圓C相切，且直線在橢圓的右上方.設(shè)，故，令，可得.當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增.所以，即，即，故函數(shù)的圖象在的上方，所以曲線C與曲線沒(méi)有交點(diǎn)，故D正確.故選:BCD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：（1）由橢圓與余弦函數(shù)都關(guān)于軸對(duì)稱，可得其中一個(gè)交點(diǎn)為；（2）取直線，根據(jù)直線與橢圓的位置關(guān)系及直線與曲線的位置關(guān)系求解.2．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)為，，點(diǎn)，，為橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的有（

）A．若的垂直平分線過(guò)點(diǎn)，則B．的最小值為C．若，則的面積的最大值為D．若的面積取最大值時(shí)的直線不唯一，則【答案】BCD【分析】若的垂直平分線過(guò)點(diǎn)，可得，利用焦半徑公式可求得點(diǎn)坐標(biāo)，即可算出，可判斷A錯(cuò)誤；利用橢圓定義和三角形兩邊之和與差的關(guān)系可知當(dāng)四點(diǎn)共線時(shí)取到最小值為，即B正確；設(shè)出直線方程與橢圓方程聯(lián)立，寫(xiě)出的面積表達(dá)式，再根據(jù)基本不等式即可得出面積最大值，可判斷C；若的面積取最大值時(shí)的直線不唯一，可知面積取最大值時(shí)的取值不唯一，利用基本不等式可得出，進(jìn)而確定的取值范圍即可判斷D.【詳解】由題意可知，，橢圓離心率對(duì)于A，若的垂直平分線過(guò)點(diǎn)，則，設(shè)，由焦半徑公式可知，，可得，此時(shí)，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由，，可知，三點(diǎn)共線，如下圖所示：利用橢圓定義可知，，即所以，當(dāng)且僅當(dāng)四點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立；所以，即的最小值為，所以B正確；對(duì)于C，若，則即為右焦點(diǎn)，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立整理得，所以的面積為由于，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以的面積，即的面積的最大值為，所以C正確；對(duì)于D，設(shè)直線的方程為聯(lián)立直線和橢圓方程整理得，，即此時(shí)的面積為而若的面積取最大值時(shí)的直線不唯一，所以取最大值時(shí)，滿足題意得不止一個(gè)，即等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即成立而，時(shí)，直線唯一不合題意，所以，又，所以，即D正確.故選：BCD【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解決圓錐曲線中三角形面積問(wèn)題時(shí)，首先利用弦長(zhǎng)公式或分割三角形寫(xiě)出面積表達(dá)式，再合理變形利用基本不等式或?qū)?shù)求得面積最值，利用基本不等式時(shí)要注意等號(hào)成立的條件，即可將問(wèn)題得到解決.二、填空題3．（寧夏銀川一中、云南省昆明市第一中學(xué)2023屆高三聯(lián)合考試一模數(shù)學(xué)（文）試題）橢圓：的左，右焦點(diǎn)分別為，，上頂點(diǎn)為，離心率為，直線將分成面積相等的兩部分，則的取值范圍是_________.【答案】【分析】根據(jù)已知條件求得，根據(jù)直線與軸的交點(diǎn)的位置進(jìn)行分類討論，由此列不等式來(lái)求得的取值范圍.【詳解】依題意，，解得，所以橢圓的方程為，由于，，所以是等腰直角三角形，所以，直線的方程為，直線的方程為，設(shè)直線與的交點(diǎn)為，與軸的交點(diǎn)為，①當(dāng)與重合時(shí)，，則，所以，解得.②當(dāng)在之間時(shí)，，所以，由解得，，由令，得，所以，所以，整理得，由解得.③當(dāng)在左側(cè)，則，，設(shè)直線與的交點(diǎn)為，由解得，因?yàn)?，所以，，所以，所以，所?綜上所述，的取值范圍是.故答案為：【點(diǎn)睛】求解橢圓的方程，關(guān)鍵點(diǎn)是根據(jù)已知條件求得，是個(gè)未知數(shù)，需要個(gè)條件，其中一個(gè)條件是，另外的兩個(gè)條件由題目給出，如本題中的點(diǎn)坐標(biāo)以及離心率，通過(guò)解方程組可求得，進(jìn)而求得橢圓的方程.4．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓，斜率為的直線分別交軸負(fù)半軸、軸負(fù)半軸于、兩點(diǎn)，交于、兩點(diǎn)，點(diǎn)在軸上方，過(guò)點(diǎn)作軸的平行線交于、兩點(diǎn)，則面積的最大值為_(kāi)_______．【答案】【分析】設(shè)直線的方程為，根據(jù)題意求得，求出點(diǎn)的橫坐標(biāo)，以及，求出點(diǎn)到直線的距離，利用三角形的面積可得出，令，利用導(dǎo)數(shù)法求出函數(shù)在上的最大值，即可得出面積的最大值.【詳解】設(shè)直線的方程為，由題意可知，直線交軸負(fù)半軸于點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)、，則，聯(lián)立可得，，由于，解得，因?yàn)?，可得，解方程可得，所以，，所以，，所以，，可得，故，直線的方程為，聯(lián)立可得，所以，，，所以，點(diǎn)到直線的距離為，所以，，令，則，令，其中，則，令，可得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，，因?yàn)?，故?dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，則.所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故當(dāng)，因?yàn)?，故，?故答案為：.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：圓錐曲線中的最值問(wèn)題解決方法一般分兩種：一是幾何法，特別是用圓錐曲線的定義和平面幾何的有關(guān)結(jié)論來(lái)求最值；二是代數(shù)法，常將圓錐曲線的最值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)或三角函數(shù)的最值問(wèn)題，然后利用基本不等式、函數(shù)的單調(diào)性或三角函數(shù)的有界性等求最值．三、解答題5．（2023春·天津武清·高三天津市武清區(qū)楊村第一中學(xué)校考開(kāi)學(xué)考試）已知橢圓的離心率為，短軸長(zhǎng)為．(1)求C的方程；(2)經(jīng)過(guò)橢圓左頂點(diǎn)A且斜率為的直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)E，點(diǎn)P為線段AB的中點(diǎn)，若點(diǎn)E關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為H，過(guò)點(diǎn)E作OP（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）垂直的直線交直線AH于點(diǎn)M，且APM面積為，求k的值．【答案】(1)(2)或1．【分析】（1）根據(jù)題意得出的值，進(jìn)而可得結(jié)果；（2）設(shè)直線l的方程為，將其與橢圓方程聯(lián)立，得出斜率，聯(lián)立方程組得出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用點(diǎn)到直線距離公式，結(jié)合韋達(dá)定理將面積表示為關(guān)于的方程，解出即可得結(jié)果.【詳解】（1）由題意，知，解得∴橢圓C的方程為．（2）易知，橢圓的左頂點(diǎn)，設(shè)直線l的方程為，則由消去y并整理，得．設(shè)，∴．∴∴，∴直線EM的斜率為∴直線EM方程為，直線AH的方程為．∴點(diǎn)∴點(diǎn)M到直線的距離為∴∴∵，解得或1．6．（2023·山西·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知點(diǎn)在橢圓上，直線交橢圓于，兩點(diǎn)，直線?的斜率之和為0.(1)求直線的斜率；(2)求面積的最大值.【答案】(1)(2)【分析】（1）首先根據(jù)題意得到橢圓的方程為，設(shè)直線的方程為，再根據(jù)求解即可.（2）根據(jù)題意得到點(diǎn)到直線的距離，，再根據(jù)，結(jié)合基本不等式求解即可.【詳解】（1）將點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓方程得，化簡(jiǎn)得，解得（舍）或，故橢圓的方程為.設(shè)，，由題易知直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，解得.，即.則，.由，化簡(jiǎn)得，故，整理得，又直線不經(jīng)過(guò)點(diǎn)，即，故.（2）由（1）知，直線的方程為，，，所以點(diǎn)到直線的距離，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立.經(jīng)驗(yàn)證，此時(shí)滿足直線與橢圓相交，故的面積最大為.7．（2023·云南·高三云南師大附中?？茧A段練習(xí)）在①；②；③面積的最小值為8，這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在橫線上，并解答下列問(wèn)題．（若選擇多個(gè)條件作答，則按第一個(gè)解答計(jì)分）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)F的直線與該拋物線交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，_____________．(1)求拋物線的方程；(2)點(diǎn)C在拋物線上，的重心G在y軸上，直線交y軸于點(diǎn)Q（點(diǎn)Q在點(diǎn)F上方）．記的面積分別為，求T的取值范圍．【答案】(1)選擇條件見(jiàn)解析，(2)【分析】（1）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立直線和拋物線方程，利用韋達(dá)定理列方程，解方程得到即可得到拋物線方程；（2）方法一：根據(jù)的中心在軸上得到，根據(jù)點(diǎn)在點(diǎn)上方得到，根據(jù)得到，然后利用換元法和基本不等式求的范圍即可；方法二：設(shè)，，根據(jù)為重心得到，根據(jù)點(diǎn)在點(diǎn)上方得到，根據(jù)得到，然后利用換元法和基本不等式求的范圍即可.【詳解】（1）由題得，且直線的斜率存在，設(shè)直線．聯(lián)立方程得，可知恒成立，設(shè)，則，，若選條件①，，，∴，故拋物線的方程為．若選條件②，，由拋物線定義得，∴，故拋物線的方程為．若選條件③，，當(dāng)且僅當(dāng)“”時(shí)，面積有最小值為，∴，，故拋物線的方程為．（2）解法一：由（1）得拋物線的方程為，，，故，如圖，∵G為重心，∴，且，∴．又，直線．令，得，則，即．令，則，則，∵，∴，當(dāng)且僅當(dāng)“”，即“”時(shí)取等．∴，∴，故．法二：由（1）得拋物線的方程為，，故，，∵A在拋物線上，不妨設(shè)，則，∵G為重心，∴，則，又，所以，，，又，直線，令，得，又點(diǎn)Q在點(diǎn)F上方，可知，即．令，則，，∵，∴，當(dāng)且僅當(dāng)“”，即“”時(shí)取等．∴∴，故．【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：直線與拋物線的位置關(guān)系和直線與橢圓、雙曲線的位置關(guān)系類似，時(shí)常把兩個(gè)曲線的方程聯(lián)立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根與系數(shù)的關(guān)系，并結(jié)合題設(shè)條件建立有關(guān)參變量的等量關(guān)系．8．（2023·山西忻州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓C：的離心率為，點(diǎn)在橢圓C上．(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過(guò)點(diǎn)的直線l交橢圓C于P，Q兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求△OPQ面積的最大值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)離心率的公式，結(jié)合的基本關(guān)系，代入求解即可；（2）直線的方程為，，，，直線與曲線聯(lián)立，的面積，根據(jù)韋達(dá)定理，弦長(zhǎng)公式將三角形面積表示，再根據(jù)基本不等式求解最大值即可.【詳解】（1）由題意可得，解得，故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）設(shè)直線l的方程為，，，聯(lián)立，整理得，則，即，解得，，．故△OPQ的面積．設(shè)，因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，則，即△OPQ面積的最大值為．9．（2023·安徽蚌埠·統(tǒng)考二模）已知拋物線，點(diǎn)在C上，A關(guān)于動(dòng)點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)記為M，過(guò)M的直線l與C交于，，M為P，Q的中點(diǎn)．(1)當(dāng)直線l過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O時(shí)，求外接圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)求面積的最大值．【答案】(1)(2)【分析】（1）由題意解得拋物線方程，設(shè)直線方程，代入拋物線方程，利用M為P，Q的中點(diǎn)解出P，Q的坐標(biāo)，利用圓上三點(diǎn)求圓的方程；（2）把面積表示為的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性求最大值.【詳解】（1）由點(diǎn)在C上，代入，解得，即．因?yàn)镸為A關(guān)于動(dòng)點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，所以．設(shè)直線，聯(lián)立整理得，則，，，由M為P，Q的中點(diǎn)，得，故，由，解得，由直線l過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O，得，則，解得，，即，，設(shè)外接圓的一般方程，代入，，，解得，，，即，即外接圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）由（1）可知，，A到直線的距離為，則面積，，由，解得，當(dāng)，，S單調(diào)遞增；當(dāng)，，S單調(diào)遞減；故，面積的最大值．【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：解答直線與拋物線的題目時(shí)，時(shí)常把兩個(gè)曲線的方程聯(lián)立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根與系數(shù)的關(guān)系，并結(jié)合題設(shè)條件建立有關(guān)參變量的等量關(guān)系；最值問(wèn)題經(jīng)常轉(zhuǎn)化成函數(shù)問(wèn)題處理.10．（2023·安徽宿州·統(tǒng)考一模）已知橢圓的左，右焦點(diǎn)分別為，，離心率為，M為橢圓上異于左右頂點(diǎn)的動(dòng)點(diǎn)，的周長(zhǎng)為.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過(guò)點(diǎn)M作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，直線AB交橢圓C于P，Q兩點(diǎn)，求的面積的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)橢圓離心率和焦點(diǎn)三角形周長(zhǎng)可求得，即可得出橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）易知的軌跡是以O(shè)M為直徑的圓與圓的交點(diǎn)，求出AB所在的直線方程，并于橢圓方程聯(lián)立根據(jù)弦長(zhǎng)公式求得的面積的表達(dá)式，再化簡(jiǎn)變形構(gòu)造函數(shù)即可求得其取值范圍.【詳解】（1）設(shè)橢圓焦距為2c，根據(jù)橢圓定義可知，的周長(zhǎng)為，離心率聯(lián)立，解得，，所以，即橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）設(shè)點(diǎn)，又為切點(diǎn)，可知，所以四點(diǎn)共圓，即在以O(shè)M為直徑的圓上，則以O(shè)M為直徑的圓的方程為，又在圓上，兩式相減得直線AB的方程為，如下圖所示：設(shè)，，由，消去y整理后得，，，所以，又點(diǎn)O到直線PQ的距離，設(shè)的面積為S，則，其中，令，則，設(shè)，，則，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，從而得，于是可得，即的面積的取值范圍為.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵在于根據(jù)過(guò)點(diǎn)M的兩條切線求出切點(diǎn)所在的直線方程，并與橢圓聯(lián)立利用韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式求出面積的表達(dá)式，再通過(guò)構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性求面積取值范圍即可.11．（2023·山東·日照一中?？寄M預(yù)測(cè)）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，斜率為的直線l與雙曲線C交于兩點(diǎn)，點(diǎn)在雙曲線C上，且.(1)求的面積；(2)若（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），點(diǎn)，記直線的斜率分別為，問(wèn)：是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(1)(2)為定值.·【分析】（1）設(shè)，根據(jù)兩點(diǎn)間長(zhǎng)度得出與，即可根據(jù)已知列式解出，即可得出答案；（2）根據(jù)第一問(wèn)得出雙曲線的方程，設(shè)，直線l的方程為，根據(jù)韋達(dá)定理得出，即可根據(jù)直線方程得出與，則根基兩點(diǎn)斜率公式得出，化簡(jiǎn)代入即可得出答案.【詳解】（1）依題意可知，，則，，又，所以，解得（舍去），又，所以，則，所以的面積.（2）由（1）可，解得，所以雙曲線C的方程為，設(shè)，則，則，，設(shè)直線l的方程為，與雙曲線C的方程聯(lián)立，消去y得：，由，得，由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得，所以，，則，故為定值.·12．（湖北省七市（州）2023屆高三下學(xué)期3月聯(lián)合統(tǒng)一調(diào)研測(cè)試數(shù)學(xué)試題）已知橢圓的右頂點(diǎn)為A，左焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)F作斜率不為零的直線l交橢圓于兩點(diǎn)，連接，分別交直線于兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F且垂直于的直線交直線于點(diǎn)R．(1)求證：點(diǎn)R為線段的中點(diǎn)；(2)記，，的面積分別為，，，試探究：是否存在實(shí)數(shù)使得？若存在，請(qǐng)求出實(shí)數(shù)的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)證明見(jiàn)解析.(2)存在，.【分析】（1）設(shè)設(shè)，，，聯(lián)立橢圓方程，可得根于系數(shù)的關(guān)系式，表示出的坐標(biāo)，計(jì)算；繼而求出直線的方程，求得點(diǎn)坐標(biāo)，即可證明結(jié)論；（2）利用（1）的分析，求得，進(jìn)而表示出，，計(jì)算的結(jié)果，再求得的表達(dá)式，即可求得與之間的關(guān)系，即可得出結(jié)論.【詳解】（1）證明：由題意知，，設(shè)，，，聯(lián)立，得，，則，，直線的方程為，令，得，所以，同理，．所以,直線，令得，所以，則，故點(diǎn)R為線段的中點(diǎn)．（2）由（1）知，，又，所以．由（1）知點(diǎn)R為線段的中點(diǎn)，故，所以．故存在，使得．【點(diǎn)睛】難點(diǎn)點(diǎn)睛：解答直線和圓錐曲線的位置關(guān)系類的題目時(shí)，解決問(wèn)題的思路想法不是很困難，一般利用直線方程和圓錐曲線方程聯(lián)立，可得根與系數(shù)的關(guān)系，結(jié)合題設(shè)進(jìn)行化簡(jiǎn)求值等，但難點(diǎn)在于計(jì)算的復(fù)雜性，以及計(jì)算量較大，并且大多為字母參數(shù)的運(yùn)算，因此要十分細(xì)心.13．（2023秋·云南昆明·高三昆明市第三中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知過(guò)點(diǎn)的橢圓的離心率為.如圖所示，過(guò)橢圓右焦點(diǎn)的直線（不與軸重合）與橢圓相交于兩點(diǎn)，直線與軸相交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作，垂足為.(1)求四邊形為坐標(biāo)原點(diǎn)的面積的最大值；(2)求證：直線過(guò)定點(diǎn)，并求出點(diǎn)的坐標(biāo).【答案】(1)最大值為(2)證明見(jiàn)解析，【分析】（1）由題可得橢圓方程為：，則橢圓右焦點(diǎn)為，易知當(dāng)斜率為0時(shí)不合題意，斜率不為0時(shí)，設(shè)直線的方程為，，，將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，可得四邊形的面積為，后利用韋達(dá)定理及基本不等式可得面積最值；（2）由（1）可得直線BD方程為：，令可得：，化簡(jiǎn)后可得定點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】（1）由題意可得：，解得：，所以橢圓的方程為，則橢圓的右焦點(diǎn)為，當(dāng)直線的斜率等于時(shí)不符合題意；設(shè)直線斜率不為0時(shí)，直線方程為，，，由可得：，則，，，所以，所以四邊形的面積為，設(shè)，則，所以，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)即，時(shí)，最小值為，所以，因?yàn)?，可得所以四邊形（為坐?biāo)原點(diǎn)）的面積的最大值為；（2）因?yàn)?，，所以直線的斜率為，所以直線的方程為：.令可得：.由（1）知：，，則所以，則直線過(guò)定點(diǎn).【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題涉及圓錐曲線中的面積及直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題，難度較大.（1）問(wèn)所涉面積表達(dá)式利用韋達(dá)定理整理后多為分式形式，常利用換元，上下同除等手段處理；（2）問(wèn)所涉直線參數(shù)較多，但題目可由對(duì)稱性確定定點(diǎn)在x軸上，故令.14．（2023秋·北京·高三校考期末）已知橢圓的離心率為，以橢圓的任意三個(gè)頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形的面積是．(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)為原點(diǎn)，A為橢圓的左頂點(diǎn)，是橢圓上不同于點(diǎn)A的兩點(diǎn)，且直線的斜率之積等于．求與的面積比值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題干條件得到，，結(jié)合，求出，得到橢圓方程；（2）考慮直線MN斜率存在時(shí)，，設(shè)直線MN方程為，聯(lián)立橢圓方程，得到兩根之和，兩根之積，結(jié)合，得到，求出或，排除掉，由得到直線MN經(jīng)過(guò)，考慮直線直線MN斜率不存在時(shí)，直線MN也經(jīng)過(guò)點(diǎn)，從而得到，以與的面積比值為.【詳解】（1）由題意得：，，故，因?yàn)椋?，故，解得：，橢圓C的方程為；（2）若直線MN斜率存在，設(shè)直線MN方程為.由，消去，得.，設(shè)，則①，②.由以及，整理，得.將①，②代入上式，整理，得，解得或.當(dāng)時(shí)，滿足，直線過(guò)；當(dāng)時(shí)，滿足，直線過(guò)，此時(shí)必有一點(diǎn)為，不妨令坐標(biāo)為，此時(shí)，不滿足直線的斜率之積等于．舍去；若直線MN斜率不存在，則直線斜率互為相反數(shù).不妨設(shè)，于是直線與橢圓交于，由對(duì)稱性可知直線與橢圓交于.所以直線MN也過(guò).，所以為MN中點(diǎn)，即，所以與的面積比值為.【點(diǎn)睛】直線與圓錐曲線結(jié)合問(wèn)題，通常要設(shè)出直線方程，與圓錐曲線聯(lián)立，得到兩根之和，兩根之積，再根據(jù)題目條件列出方程，找到參數(shù)之間的關(guān)系，或是表達(dá)出弦長(zhǎng)或三角形面積，再進(jìn)一步求解，注意考慮直線的斜率存在和不存在兩種情況.題型三：中點(diǎn)弦問(wèn)題一、單選題1．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)的直線l交雙曲線C的漸近線于A，B兩點(diǎn)，若，（表示的面積），則雙曲線C的離心率的值為（

）A． B． C． D．或【答案】D【分析】以直線斜率是否存在進(jìn)行分類.斜率存在時(shí)，直接代入題設(shè)中的式子，求出的值，進(jìn)而求出離心率.斜率不存在時(shí)，由題意得出點(diǎn)的軌跡為圓，再利用解出點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)“點(diǎn)差法”求出，進(jìn)而求出離心率即可.【詳解】若直線斜率不存在，不妨設(shè)點(diǎn)，則所以，則離心率；若直線斜率存在，設(shè)，中點(diǎn)，不妨設(shè)M在x軸上方，由，得，故點(diǎn)M在圓上，由，得，則，所以．由得，即．當(dāng)時(shí)，，得．當(dāng)時(shí)，，矛盾，舍去．綜上所述，或．故選：D．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題是求雙曲線的離心率，在直線斜率不存在時(shí)，利用兩點(diǎn)的中點(diǎn)，采用“點(diǎn)差法”求出是解題的關(guān)鍵.2．（2022秋·福建泉州·高三福建省南安國(guó)光中學(xué)校考階段練習(xí)）已知橢圓的右焦點(diǎn)和上頂點(diǎn)分別為點(diǎn)和點(diǎn)，直線交橢圓于兩點(diǎn)，若恰好為的重心，則橢圓的離心率為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由題設(shè)，利用為的重心，求出線段的中點(diǎn)為，將B代入直線方程得，再利用點(diǎn)差法可得，結(jié)合，可求出，進(jìn)而求出離心率.【詳解】由題設(shè)，則線段的中點(diǎn)為，由三角形重心的性質(zhì)知，即，解得：即代入直線，得①.又B為線段的中點(diǎn)，則，又為橢圓上兩點(diǎn)，，以上兩式相減得，所以，化簡(jiǎn)得②由①②及，解得：，即離心率.故選：C.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題考查求橢圓的離心率，求解離心率在圓錐曲線的考查中是一個(gè)重點(diǎn)也是難點(diǎn)，一般求離心率有以下幾種情況：①直接求出，從而求出；②構(gòu)造的齊次式，求出；③采用離心率的定義以及圓錐曲線的定義來(lái)求解；④根據(jù)圓錐曲線的統(tǒng)一定義求解．3．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）橢圓中以點(diǎn)為中點(diǎn)的弦所在直線斜率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先設(shè)出弦的兩端點(diǎn)的坐標(biāo)，分別代入橢圓方程，兩式相減后整理即可求得弦所在的直線的斜率．【詳解】設(shè)弦的兩端點(diǎn)為，，代入橢圓得兩式相減得，即，即，即，即，弦所在的直線的斜率為，故選:A．4．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知A，B在拋物線上，且線段AB的中點(diǎn)為M(1，1)，則|AB|＝（

）A．4 B．5C． D．【答案】C【分析】設(shè)，點(diǎn)差法可得，得到直線AB的方程為，與拋物線聯(lián)立，利用弦長(zhǎng)公式即得解【詳解】由題意，設(shè)線段AB的中點(diǎn)為M(1，1)故且兩式相減得：故故直線AB的方程為：，即將直線與拋物線聯(lián)立：即則故選：C二、多選題5．（2023春·湖南長(zhǎng)沙·高三長(zhǎng)郡中學(xué)校考階段練習(xí)）拋物線的焦點(diǎn)為，過(guò)的直線交拋物線于兩點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．若，則的最小值為4B．當(dāng)時(shí)，C．若，則的取值范圍為D．在直線上存在點(diǎn)，使得【答案】BC【分析】對(duì)A，根據(jù)拋物線的定義轉(zhuǎn)化求解最小值即可；對(duì)B，根據(jù)拋物線的定義，結(jié)合三角函數(shù)關(guān)系可得直線傾斜角，再根據(jù)拋物線焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式求解即可；對(duì)C，根據(jù)拋物線的定義可得，再分析臨界條件求解即可；對(duì)D，【詳解】對(duì)A，如圖，由拋物線的定義，的長(zhǎng)度為到準(zhǔn)線的距離，故的最小值為與到準(zhǔn)線距離之和，故的最小值為到準(zhǔn)線距離，故A錯(cuò)誤；對(duì)B，不妨設(shè)在第一象限，分別過(guò)作準(zhǔn)線的垂線，垂足，作.則根據(jù)拋物線的定義可得，故.故，所以.故B正確；對(duì)C，過(guò)作垂直于準(zhǔn)線，垂足為，則，由圖易得，故隨的增大而增大，當(dāng)時(shí)在點(diǎn)處，此時(shí)取最小值1；當(dāng)與拋物線相切時(shí)最大，此時(shí)設(shè)方程，聯(lián)立有，，此時(shí)解得，不妨設(shè)則方程，此時(shí)傾斜角為，.故的取值范圍為，故C正確；對(duì)D，設(shè)，中點(diǎn)，故到準(zhǔn)線的距離，又，故，故以為直徑的圓與準(zhǔn)線相切，又滿足的所有點(diǎn)在以為直徑的圓上，易得此圓與無(wú)交點(diǎn)，故D錯(cuò)誤；故選：BC三、填空題6．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）過(guò)點(diǎn)作斜率為的直線與雙曲線相交于A，B兩點(diǎn)，若M是線段的中點(diǎn)，則雙曲線的離心率為_(kāi)__________.【答案】##【分析】利用點(diǎn)差法，結(jié)合是線段的中點(diǎn)，斜率為，即可求出雙曲線的離心率．【詳解】解：設(shè)，，，，則①，②，是線段的中點(diǎn)，，，直線的方程是，，過(guò)點(diǎn)作斜率為的直線與雙曲線相交于，兩點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)，①②兩式相減可得，即，．故答案為：．四、解答題7．（2018·全國(guó)·高考真題）已知斜率為的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為．（1）證明：；（2）設(shè)為的右焦點(diǎn)，為上一點(diǎn),且．證明：，，成等差數(shù)列，并求該數(shù)列的公差．【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析，公差為或．【分析】（1）方法一：設(shè)而不求，利用點(diǎn)差法進(jìn)行證明．（2）方法一：解出m,進(jìn)而求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，得到,再由兩點(diǎn)間距離公式表示出，，得到直線的方程，聯(lián)立直線與橢圓方程由韋達(dá)定理進(jìn)行求解．【詳解】（1）［方法一］：【最優(yōu)解】點(diǎn)差法設(shè)，則.兩式相減，并由得，由題設(shè)知，于是.①由題設(shè)得，故.［方法二］：【通性通法】常規(guī)設(shè)線設(shè)，，當(dāng)時(shí)，顯然不滿足題意；由得，，所以，，，即，而，所以，又，所以，，即，解得：．［方法三］：直線與橢圓系的應(yīng)用對(duì)原橢圓作關(guān)于對(duì)稱的橢圓為．兩橢圓方程相減可得，即為的方程，故．又點(diǎn)在橢圓C內(nèi)部可得，解得：．所以．［方法四］：直線參數(shù)方程的應(yīng)用設(shè)l的參數(shù)方程為（為l傾斜角，t為參數(shù)）代入橢圓C中得．設(shè)是線段中點(diǎn)A，B對(duì)應(yīng)的參數(shù)，是線段中點(diǎn)，知得，即．而點(diǎn)在C內(nèi)得，解得：，所以．（2）［方法一］：【通性通法】常規(guī)運(yùn)算＋整體思想由題意得，設(shè)，則.由（1）及題設(shè)得.又點(diǎn)P在C上，所以，從而，.于是.同理，所以.故，即，，成等差數(shù)列.設(shè)該數(shù)列的公差為d，則.②將代入①得.所以l的方程為，代入C的方程，并整理得.故，代入②解得.所以該數(shù)列的公差為或.［方法二］：硬算由，知點(diǎn)F為的重心，由三角形重心坐標(biāo)公式可得，即．由點(diǎn)P在橢圓上，把坐標(biāo)代入方程解得，即．由（1）有，直線l的方程為，將其與橢圓方程聯(lián)立消去y得，求得，不妨設(shè)，所以，，，同理可得，，所以，而，故．即該數(shù)列的公差為或.［方法三］：【最優(yōu)解】焦半徑公式的應(yīng)用因?yàn)榫€段的中點(diǎn)為，得．由，知點(diǎn)F為的重心，由三角形重心坐標(biāo)公式可得，由橢圓方程可知，由橢圓的焦半徑公式得，．所以．由方法二硬算可得，或，從而公差為，即該數(shù)列的公差為或.【整體點(diǎn)評(píng)】（1）方法一：利用點(diǎn)差法找出斜率與中點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系，再根據(jù)中點(diǎn)在橢圓內(nèi)得到不等關(guān)系，即可解出，對(duì)于中點(diǎn)問(wèn)題，點(diǎn)差法是解決此類問(wèn)題的常用解法，也是該題的最優(yōu)解；方法二：常規(guī)設(shè)線，通過(guò)聯(lián)立得出根與系數(shù)的關(guān)系（韋達(dá)定理），再根據(jù)即可證出，該法是解決直線與圓錐曲線位置關(guān)系的通性通法．方法三：；類比直線與圓系，采用直線與橢圓系的應(yīng)用，可快速求出公共弦所在直線方程，從而得出斜率，進(jìn)而得證，避免聯(lián)立過(guò)程，適當(dāng)簡(jiǎn)化運(yùn)算；方法四：利用直線的參數(shù)方程以及參數(shù)的幾何意義，聯(lián)立求出斜率；（2）方法一：直接根據(jù)題意運(yùn)算結(jié)合整體思想，是通性通法；方法二：直接硬算，思路直接，計(jì)算量較大；方法三：利用焦半徑公式簡(jiǎn)化運(yùn)算，是該題的最優(yōu)解．8．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知橢圓的右焦點(diǎn)為F，直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)．(1)若，且直線l的斜率為4，求直線(點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn))的斜率．(2)若直線，的斜率互為相反數(shù)，且直線l不與x軸垂直，探究：直線l是否過(guò)定點(diǎn)?若是，求出該定點(diǎn)坐標(biāo)；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)；(2)過(guò)定點(diǎn)，﹒【分析】(1)由值M為AB中點(diǎn)，由點(diǎn)差法即可得OM的斜率；(2)根據(jù)橢圓對(duì)稱性，結(jié)合已知條件可知l過(guò)定點(diǎn)時(shí)，定點(diǎn)應(yīng)該在x軸上，設(shè)定點(diǎn)為(t，0)，寫(xiě)出直線方程，聯(lián)立直線與橢圓方程根據(jù)韋達(dá)定理得到根與系數(shù)的關(guān)系，再由直線，的斜率互為相反數(shù)列出方程，即可求得定點(diǎn)坐標(biāo)﹒（1）設(shè)，，依題意，M為線段的中點(diǎn)，∵A，B在橢圓C上，故兩式相減可得，則，故，解得．（2）假設(shè)定點(diǎn)存在，根據(jù)橢圓對(duì)稱性，可知該直線所過(guò)定點(diǎn)在x軸上，設(shè)定點(diǎn)坐標(biāo)為，則直線l的方程為，聯(lián)立，消去y整理得，則，．設(shè)直線，的斜率分別為，，由題可知，則．即，∴，，即直線l過(guò)定點(diǎn)．【點(diǎn)睛】解答直線與橢圓的題目時(shí)，時(shí)常把兩個(gè)曲線的方程聯(lián)立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根與系數(shù)的關(guān)系，并結(jié)合題設(shè)條件建立有關(guān)參變量的等量關(guān)系．9．（2022·河北石家莊·統(tǒng)考一模）已知拋物線：（），過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線交于，兩點(diǎn)（在的左側(cè)），為線段的中點(diǎn).當(dāng)直線斜率為時(shí)，中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為.(1)求拋物線的方程；(2)若線段上存在點(diǎn)，使得，求點(diǎn)的軌跡方程.【答案】(1)；(2).【分析】（1）設(shè)，，由題設(shè)得直線，聯(lián)立拋物線方程，由韋達(dá)定理及中點(diǎn)M縱坐標(biāo)求參數(shù)p，即可得拋物線方程.（2）由，設(shè)、直線為：并聯(lián)立拋物線，根據(jù)根的個(gè)數(shù)、韋達(dá)定理求t的范圍及，再由已知條件可得，結(jié)合在線段上得到關(guān)于t的參數(shù)方程，進(jìn)而可得的軌跡方程.(1)設(shè)，，由題意，直線，即.由，消去得：，故，，則拋物線的方程為：.(2)設(shè)，由（1），點(diǎn)坐標(biāo)為，由題意，直線得斜率不為0，設(shè)直線為：.聯(lián)立直線與拋物線的：，消去得：，因?yàn)榉匠逃袃蓚€(gè)不等實(shí)根，故或，由韋達(dá)定理知：，因?yàn)椋?，而，，，四點(diǎn)共線，在線段上；所以，化簡(jiǎn)得：，即，所以，，，消去參數(shù)得：.由或，可得：.從而點(diǎn)的軌跡方程為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第二問(wèn)，設(shè)直線聯(lián)立拋物線，應(yīng)用判別式求參數(shù)范圍，由韋達(dá)定理得到相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)與參數(shù)關(guān)系，再由及點(diǎn)共線求得點(diǎn)N橫縱坐標(biāo)關(guān)于t的參數(shù)方程.10．（2022·陜西·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓的右焦點(diǎn)，且滿足．(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若E上存在M，N兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，且滿足（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求l的方程．【答案】(1)(2)或.【分析】（1）根據(jù)已知等式解方程組，即可求得答案；（2）設(shè)直線方程MN的方程為，并和橢圓方程聯(lián)立，得到根與系數(shù)的關(guān)系式，求出MN中點(diǎn)坐標(biāo)，并代入到中，得到關(guān)系式，再結(jié)合,得到，兩關(guān)系式聯(lián)立解得k的值，可得答案(1)由，可得，故解得，故橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為：；(2)由題意可知當(dāng)k=0時(shí)，直線為，此時(shí)E上不會(huì)存在M，N兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，不合題意；故設(shè)直線MN的方程為，聯(lián)立，整理得，需滿足，設(shè)，則,故，，故MN的中點(diǎn)坐標(biāo)為，即，由于M，N兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，故將該點(diǎn)坐標(biāo)代入中得：，化簡(jiǎn)得：；由可得：，即，所以，化簡(jiǎn)得：，將代入中，可得：，解得或（舍去）,當(dāng)時(shí)，，滿足，故，所以l的方程為或.【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求解以及直線和橢圓的位置關(guān)系問(wèn)題，涉及到橢圓上的點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱問(wèn)題，綜合性較強(qiáng)，計(jì)算量較大，解答的關(guān)鍵是理清解決問(wèn)題的思路，即聯(lián)立直線和橢圓方程，求得MN中點(diǎn)坐標(biāo)，代入得一關(guān)系式，再結(jié)合得另一關(guān)系式，二者結(jié)合解決問(wèn)題.題型四：范圍問(wèn)題一、單選題1．（2021·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知，是橢圓：的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，則的最大值為（

）A．13 B．12 C．9 D．6【答案】C【分析】本題通過(guò)利用橢圓定義得到，借助基本不等式即可得到答案．【詳解】由題，，則，所以（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立）．故選：C．【點(diǎn)睛】2．（2020·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線與雙曲線的兩條漸近線分別交于兩點(diǎn)，若的面積為8，則的焦距的最小值為（

）A．4 B．8 C．16 D．32【答案】B【分析】因?yàn)?，可得雙曲線的漸近線方程是，與直線聯(lián)立方程求得，兩點(diǎn)坐標(biāo)，即可求得，根據(jù)的面積為，可得值，根據(jù)，結(jié)合均值不等式，即可求得答案.【詳解】雙曲線的漸近線方程是直線與雙曲線的兩條漸近線分別交于，兩點(diǎn)不妨設(shè)為在第一象限，在第四象限聯(lián)立，解得故聯(lián)立，解得故面積為：雙曲線其焦距為當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)的焦距的最小值：故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了求雙曲線焦距的最值問(wèn)題，解題關(guān)鍵是掌握雙曲線漸近線的定義和均值不等式求最值方法，在使用均值不等式求最值時(shí)，要檢驗(yàn)等號(hào)是否成立，考查了分析能力和計(jì)算能力，屬于中檔題.3．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知P是橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，，是橢圓的左、右焦點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)線段的中點(diǎn)落到y(tǒng)軸上時(shí)，，則點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】設(shè).先由題意求出橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為..把轉(zhuǎn)化為，由求出，即可求得.【詳解】設(shè).在中，當(dāng)時(shí)，由橢圓的定義，余弦定理得：整理得：由三角形的面積公式得：，解得：.因?yàn)榫€段的中點(diǎn)落到y(tǒng)軸上，又O為的中點(diǎn)，所以軸，即.由，得，解得：，所以，代入橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程得：.又有，解得：，所以橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為：.所以.因?yàn)?，所?所以.因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，所以.故選：A.【點(diǎn)睛】解析幾何中與動(dòng)點(diǎn)有關(guān)的最值問(wèn)題一般的求解思路：①幾何法：利用圖形作出對(duì)應(yīng)的線段，利用幾何法求最值；②代數(shù)法：把待求量的函數(shù)表示出來(lái)，利用函數(shù)求最值.4．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，P為C上一點(diǎn)，點(diǎn)，，設(shè)取最小值和最大值時(shí)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為，，且，則（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】A【分析】如圖所示，與拋物線相切時(shí)，最小，與拋物線相切時(shí)，最大.設(shè)切點(diǎn)為，切線的斜率為，由切線方程得到，即得到韋達(dá)定理，設(shè)，化簡(jiǎn)代入韋達(dá)定理得解.【詳解】解：如圖所示，與拋物線相切時(shí)，最小，與拋物線相切時(shí)，最大.由得，所以.設(shè)切點(diǎn)為，切線的斜率為，所以切線方程為,因?yàn)榍芯€過(guò)點(diǎn)，所以，即.因?yàn)橛袃蓚€(gè)切點(diǎn)，所以，設(shè)，則有，所以，所以，代入韋達(dá)定理得或.因?yàn)?，所?故選：A二、解答題5．（2019·全國(guó)·高考真題）已知點(diǎn)A(?2,0)，B(2,0)，動(dòng)點(diǎn)M(x,y)滿足直線AM與BM的斜率之積為?.記M的軌跡為曲線C.（1）求C的方程，并說(shuō)明C是什么曲線；（2）過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的直線交C于P，Q兩點(diǎn)，點(diǎn)P在第一象限，PE⊥x軸，垂足為E，連結(jié)QE并延長(zhǎng)交C于點(diǎn)G.（i）證明：是直角三角形；（ii）求面積的最大值.【答案】（1）詳見(jiàn)解析（2）詳見(jiàn)解析【分析】（1）分別求出直線AM與BM的斜率，由已知直線AM與BM的斜率之積為?，可以得到等式，化簡(jiǎn)可以求出曲線C的方程，注意直線AM與BM有斜率的條件；（2）（i）設(shè)出直線的方程，與橢圓方程聯(lián)立，求出P，Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求出點(diǎn)的坐標(biāo)，求出直線的方程，與橢圓方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)關(guān)系求出的坐標(biāo)，再求出直線的斜率，計(jì)算的值，就可以證明出是直角三角形；（ii）由（i）可知三點(diǎn)坐標(biāo)，是直角三角形，求出的長(zhǎng)，利用面積公式求出的面積，利用導(dǎo)數(shù)求出面積的最大值.【詳解】（1）直線的斜率為，直線的斜率為，由題意可知：，所以曲線C是以坐標(biāo)原點(diǎn)為中心，焦點(diǎn)在軸上，不包括左右兩頂點(diǎn)的橢圓，其方程為；（2）（i）[方法一]【分別求得斜率的表達(dá)式利用斜率之積為即可證得題中的結(jié)論】依題意設(shè)，直線的斜率為，則，所以．又，所以，進(jìn)而有，即是直角三角形．[方法二]【利用三點(diǎn)共線和點(diǎn)差法真的斜率之積為即可證得題中的結(jié)論】由題意設(shè)，則．因?yàn)镼，E，G三點(diǎn)共線，所以，又因?yàn)辄c(diǎn)P，G在橢圓上，所以，兩式相減得，所以，所以．（ii）[方法一]【求得面積函數(shù)，然后求導(dǎo)確定最值】設(shè)，則直線的方程為，聯(lián)立解得所以直線的方程為．聯(lián)立直線的方程和橢圓C的方程，可得，則，所以．令，即．注意到，得，所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，．[方法二]【求得面積表達(dá)式，然后利用基本不等式求最值】設(shè)面積為S．設(shè)直線的方程為，由題意可知，直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，即解得P點(diǎn)的橫坐標(biāo)．再由直線的方程和橢圓的方程聯(lián)立，即得，由韋達(dá)定理得．由弦長(zhǎng)公式得，．．當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號(hào)成立．[方法三]【利用弦長(zhǎng)公式結(jié)合韋達(dá)定理求得面積表達(dá)式，然后由基本不等式求最值】設(shè)的中點(diǎn)為N，直線的斜率為k，則其方程為．由解得．由（Ⅰ）得．直線的方程為，直線的方程為，聯(lián)立得，．又，從而，進(jìn)而．以下同解法二．【整體點(diǎn)評(píng)】(2)(i)方法一：斜率之積為是證明垂直的核心和關(guān)鍵；方法二：利用三點(diǎn)共線和點(diǎn)差法使得問(wèn)題的處理更加簡(jiǎn)單.(ii)方法一：導(dǎo)數(shù)是求最值的一種重要方法，在求最值的時(shí)候幾乎所有問(wèn)題都可以考慮用導(dǎo)數(shù)求解；方法二：基本不等式要注意一正二定三相等，缺一不可；方法三：使用基本不等式的前提是構(gòu)造解析式使得和或者乘積為定值.6．（2021·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知拋物線的焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線的距離為2．（1）求C的方程;（2）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P在C上，點(diǎn)Q滿足，求直線斜率的最大值.【答案】（1）；（2）最大值為.【分析】（1）由拋物線焦點(diǎn)與準(zhǔn)線的距離即可得解；（2）設(shè)，由平面向量的知識(shí)可得，進(jìn)而可得，再由斜率公式及基本不等式即可得解.【詳解】（1）拋物線的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為，由題意，該拋物線焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，所以該拋物線的方程為；（2）[方法一]：軌跡方程+基本不等式法設(shè)，則，所以，由在拋物線上可得，即，據(jù)此整理可得點(diǎn)的軌跡方程為，所以直線的斜率，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，此時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立；當(dāng)時(shí)，；綜上，直線的斜率的最大值為.[方法二]：【最優(yōu)解】軌跡方程+數(shù)形結(jié)合法同方法一得到點(diǎn)Q的軌跡方程為．設(shè)直線的方程為，則當(dāng)直線與拋物線相切時(shí)，其斜率k取到最值．聯(lián)立得，其判別式，解得，所以直線斜率的最大值為．[方法三]：軌跡方程+換元求最值法同方法一得點(diǎn)Q的軌跡方程為．設(shè)直線的斜率為k，則．令，則的對(duì)稱軸為，所以．故直線斜率的最大值為．[方法四]：參數(shù)+基本不等式法由題可設(shè)．因?yàn)椋裕谑?，所以則直線的斜率為．當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以直線斜率的最大值為．【整體點(diǎn)評(píng)】方法一根據(jù)向量關(guān)系，利用代點(diǎn)法求得Q的軌跡方程，得到直線OQ的斜率關(guān)于的表達(dá)式，然后利用分類討論，結(jié)合基本不等式求得最大值；方法二同方法一得到點(diǎn)Q的軌跡方程，然后利用數(shù)形結(jié)合法，利用判別式求得直線OQ的斜率的最大值，為最優(yōu)解；方法三同方法一求得Q的軌跡方程，得到直線的斜率k的平方關(guān)于的表達(dá)式，利用換元方法轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求得最大值，進(jìn)而得到直線斜率的最大值；方法四利用參數(shù)法，由題可設(shè)，求得x,y關(guān)于的參數(shù)表達(dá)式，得到直線的斜率關(guān)于的表達(dá)式，結(jié)合使用基本不等式，求得直線斜率的最大值.7．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)，過(guò)F的直線交C于M，N兩點(diǎn)．當(dāng)直線MD垂直于x軸時(shí)，．(1)求C的方程；(2)設(shè)直線與C的另一個(gè)交點(diǎn)分別為A，B，記直線的傾斜角分別為．當(dāng)取得最大值時(shí)，求直線AB的方程．【答案】(1)；(2).【分析】（1）由拋物線的定義可得，即可得解；（2）法一：設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)及直線，由韋達(dá)定理及斜率公式可得，再由差角的正切公式及基本不等式可得，設(shè)直線，結(jié)合韋達(dá)定理可解.【詳解】（1）拋物線的準(zhǔn)線為，當(dāng)與x軸垂直時(shí)，點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為p，此時(shí)，所以，所以拋物線C的方程為；（2）[方法一]：【最優(yōu)解】直線方程橫截式設(shè)，直線，由可得，，由斜率公式可得，，直線，代入拋物線方程可得，，所以，同理可得，所以又因?yàn)橹本€MN、AB的傾斜角分別為，所以，若要使最大，則，設(shè)，則，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號(hào)成立，所以當(dāng)最大時(shí)，，設(shè)直線，代入拋物線方程可得，，所以，所以直線.[方法二]：直線方程點(diǎn)斜式由題可知，直線MN的斜率存在.設(shè),直線由得：，,同理，.直線MD:,代入拋物線方程可得：，同理，.代入拋物線方程可得:,所以，同理可得，由斜率公式可得：（下同方法一）若要使最大，則，設(shè)，則，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號(hào)成立，所以當(dāng)最大時(shí)，，設(shè)直線，代入拋物線方程可得，，所以，所以直線.[方法三]：三點(diǎn)共線設(shè)，設(shè),若P、M、N三點(diǎn)共線，由所以，化簡(jiǎn)得，反之，若,可得MN過(guò)定點(diǎn)因此，由M、N、F三點(diǎn)共線，得，

由M、D、A三點(diǎn)共線，得，

由N、D、B三點(diǎn)共線，得，則，AB過(guò)定點(diǎn)（4,0）（下同方法一）若要使最大，則，設(shè)，則，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號(hào)成立，所以當(dāng)最大時(shí)，，所以直線.【整體點(diǎn)評(píng)】（2）法一：利用直線方程橫截式，簡(jiǎn)化了聯(lián)立方程的運(yùn)算，通過(guò)尋找直線的斜率關(guān)系，由基本不等式即可求出直線AB的斜率，再根據(jù)韋達(dá)定理求出直線方程，是該題的最優(yōu)解，也是通性通法；法二：常規(guī)設(shè)直線方程點(diǎn)斜式，解題過(guò)程同解法一；法三：通過(guò)設(shè)點(diǎn)由三點(diǎn)共線尋找縱坐標(biāo)關(guān)系，快速找到直線過(guò)定點(diǎn)，省去聯(lián)立過(guò)程，也不失為一種簡(jiǎn)化運(yùn)算的好方法．8．（2022·浙江·統(tǒng)考高考真題）如圖，已知橢圓．設(shè)A，B是橢圓上異于的兩點(diǎn)，且點(diǎn)在線段上，直線分別交直線于C，D兩點(diǎn)．(1)求點(diǎn)P到橢圓上點(diǎn)的距離的最大值；(2)求的最小值．【答案】(1)；(2)．【分析】（1）設(shè)是橢圓上任意一點(diǎn),再根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式求出，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出；（2）設(shè)直線與橢圓方程聯(lián)立可得，再將直線方程與的方程分別聯(lián)立，可解得點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式求出，最后代入化簡(jiǎn)可得，由柯西不等式即可求出最小值．【詳解】（1）設(shè)是橢圓上任意一點(diǎn),,，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故的最大值是.（2）設(shè)直線,直線方程與橢圓聯(lián)立,可得,設(shè)，所以，因?yàn)橹本€與直線交于,則,同理可得,.則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故的最小值為.【點(diǎn)睛】本題主要考查最值的計(jì)算，第一問(wèn)利用橢圓的參數(shù)方程以及二次函數(shù)的性質(zhì)較好解決，第二問(wèn)思路簡(jiǎn)單，運(yùn)算量較大，求最值的過(guò)程中還使用到柯西不等式求最值，對(duì)學(xué)生的綜合能力要求較高，屬于較難題．題型五：定點(diǎn)問(wèn)題一、解答題1．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)在橢圓上，橢圓C的左右焦點(diǎn)分別為，，的面積為.(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)點(diǎn)A，B在橢圓C上，直線PA，PB均與圓相切，記直線PA，PB的斜率分別為，.（i）證明：；（ii）證明：直線AB過(guò)定點(diǎn).【答案】(1)(2)（i）證明見(jiàn)解析；（ii）證明見(jiàn)解析【分析】（1）利用，結(jié)合三角形的面積公式，求出，即可求橢圓的方程.(2)（i）設(shè)直線的方程為，直線的方程為，由題意可知，可得是方程的兩根，利用韋達(dá)定理即可證明.（ii）設(shè)直線的方程為，代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理，結(jié)合，可得與的關(guān)系式，即可證明直線過(guò)定點(diǎn).【詳解】（1）解：由題知，，的面積等于，所以，解得，，所以，橢圓C的方程為.（2）（i）設(shè)直線PA的方程為，直線PB的方程為，由題知，所以，所以，同理，，所以，是方程的兩根，所以.（ii）設(shè)，，設(shè)直線AB的方程為，將代入得，所以，①，②所以，③，④又因?yàn)椋輰ⅱ佗冖邰艽擘?，化?jiǎn)得，所以，所以，若，則直線，此時(shí)AB過(guò)點(diǎn)P，舍去.若，則直線，此時(shí)AB恒過(guò)點(diǎn)，所以直線AB過(guò)定點(diǎn).2．（2019·北京·高考真題）已知拋物線C：x2=?2py經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2，?1）．（Ⅰ）求拋物線C的方程及其準(zhǔn)線方程；（Ⅱ）設(shè)O為原點(diǎn)，過(guò)拋物線C的焦點(diǎn)作斜率不為0的直線l交拋物線C于兩點(diǎn)M，N，直線y=?1分別交直線OM，ON于點(diǎn)A和點(diǎn)B.求證：以AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)y軸上的兩個(gè)定點(diǎn)．【答案】(Ⅰ)，；(Ⅱ)見(jiàn)解析.【分析】(Ⅰ)由題意結(jié)合點(diǎn)的坐標(biāo)可得拋物線方程，進(jìn)一步可得準(zhǔn)線方程；(Ⅱ)聯(lián)立準(zhǔn)線方程和拋物線方程，結(jié)合韋達(dá)定理可得圓心坐標(biāo)和圓的半徑，從而確定圓的方程，最后令x=0即可證得題中的結(jié)論.【詳解】(Ⅰ)將點(diǎn)代入拋物線方程：可得：，故拋物線方程為：，其準(zhǔn)線方程為：.(Ⅱ)很明顯直線的斜率存在，焦點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)直線方程為，與拋物線方程聯(lián)立可得：.故：.設(shè)，則，直線的方程為，與聯(lián)立可得：，同理可得，易知以AB為直徑的圓的圓心坐標(biāo)為：，圓的半徑為：，且：，，則圓的方程為：，令整理可得：，解得：，即以AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)y軸上的兩個(gè)定點(diǎn).【點(diǎn)睛】本題主要考查拋物線方程的求解與準(zhǔn)線方程的確定，直線與拋物線的位置關(guān)系，圓的方程的求解及其應(yīng)用等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.3．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知橢圓C：（a>b>0）的左?右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)滿足，且的面積為.(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)橢圓C的上頂點(diǎn)為P，不過(guò)點(diǎn)P的直線l交C于A，B兩點(diǎn)，若，證明直線l恒過(guò)定點(diǎn).【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析.【分析】(1)由可得，由題意點(diǎn)在橢圓上，將點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓，結(jié)合可得答案.(2)由題意，根據(jù)條件直線的斜率必存在,設(shè)直線的方程為，,將直線的方程與橢圓方程聯(lián)立，得出韋達(dá)定理，由，則，將韋達(dá)定理代入，可得出答案.（1）由,則，所以又，則點(diǎn)在橢圓上所以，又聯(lián)立解得所以橢圓C的方程；（2）由題意，根據(jù)條件直線的斜率必存在設(shè)直線的方程為，由，得所以（*）由，則所以，即，即或（舍）將代入（*）成立.所以直線的方程為，所以直線恒過(guò)點(diǎn)4．（2019·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知曲線C：y=，D為直線y=上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)D作C的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B.（1）證明：直線AB過(guò)定點(diǎn)：（2）若以E(0，)為圓心的圓與直線AB相切，且切點(diǎn)為線段AB的中點(diǎn)，求四邊形ADBE的面積.【答案】(1)見(jiàn)詳解；(2)3或.【分析】（1）可設(shè)，，然后求出A，B兩點(diǎn)處的切線方程，比如：，又因?yàn)橐灿蓄愃频男问?，從而求出帶參?shù)直線方程，最后求出它所過(guò)的定點(diǎn).（2）由(1)得帶參數(shù)的直線方程和拋物線方程聯(lián)立，再通過(guò)為線段的中點(diǎn)，得出的值，從而求出坐標(biāo)和的值，分別為點(diǎn)到直線的距離，則，結(jié)合弦長(zhǎng)公式和韋達(dá)定理代入求解即可.【詳解】(1)證明：設(shè),,則．又因?yàn)?，所?則切線DA的斜率為，故，整理得.設(shè)，同理得.,都滿足直線方程.于是直線過(guò)點(diǎn)，而兩個(gè)不同的點(diǎn)確定一條直線，所以直線方程為.即，當(dāng)時(shí)等式恒成立．所以直線恒過(guò)定點(diǎn).（2）[方法一]【最優(yōu)解：利用公共邊結(jié)合韋達(dá)定理求面積】設(shè)的中點(diǎn)為G，,則，，．由，得，將代入上式并整理得，因?yàn)?，所以或．由?）知，所以軸，則（設(shè)）．當(dāng)時(shí)，，即；當(dāng)時(shí)，，即，．綜上，四邊形的面積為3或．[方法二]【利用弦長(zhǎng)公式結(jié)合面積公式求面積】設(shè)，由（1）知拋物線的焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為．由拋物線的定義，得．線段的中點(diǎn)為．當(dāng)時(shí)，軸，，；當(dāng)時(shí)，，由，得，即．所以，直線的方程為．根據(jù)對(duì)稱性考慮點(diǎn)和直線的方程即可．E到直線的距離為，D到直線的距離為．所以．綜上，四邊形的面積為3或．[方法三]【結(jié)合拋物線的光學(xué)性質(zhì)求面積】圖5中，由拋物線的光學(xué)性質(zhì)易得，又，所以．因?yàn)椋?，所以，所以．同理，所以，即點(diǎn)D為中點(diǎn)．圖6中已去掉坐標(biāo)系和拋物線，并延長(zhǎng)于點(diǎn)H．因?yàn)?，所以．又因?yàn)镚，D分別為的中點(diǎn)，所以，故為平行四邊形，從而．因?yàn)榍?，所以I為的中點(diǎn)，從而．．當(dāng)直線平行于準(zhǔn)線時(shí)，易得．綜上，四邊形的面積為3或．[方法四]【結(jié)合弦長(zhǎng)公式和向量的運(yùn)算求面積】由（1）得直線的方程為.由，可得，于是.設(shè)分別為點(diǎn)到直線的距離，則.因此，四邊形ADBE的面積.設(shè)M為線段AB的中點(diǎn)，則，由于，而，與向量平行，所以，解得或.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)因此，四邊形的面積為3或.【整體點(diǎn)評(píng)】(2)方法一：利用公共邊將一個(gè)三角形的面積分割為兩個(gè)三角形的面積進(jìn)行計(jì)算是一種常用且有效的方法；方法二：面積公式是計(jì)算三角形面積的最基本方法；方法三：平穩(wěn)的光學(xué)性質(zhì)和相似、全等三角形的應(yīng)用要求幾何技巧比較高，計(jì)算量較少；方法四：弦長(zhǎng)公式結(jié)合向量體現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識(shí)的綜合運(yùn)用.5．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，且過(guò)點(diǎn)(1)求的方程：(2)設(shè)直線交軸于點(diǎn)，交C于不同兩點(diǎn)，，點(diǎn)與關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，，為垂足.問(wèn)：是否存在定點(diǎn)，使得為定值？【答案】(1)(2)存在【分析】（1）利用待定系數(shù)法求方程；（2）聯(lián)立方程組，結(jié)合韋達(dá)定理可得直線恒過(guò)定點(diǎn)，進(jìn)而求解.（1）依題意知，即所以的方程可化為，將點(diǎn)代入得，解得，所以橢圓方程為；（2）設(shè)點(diǎn)，，聯(lián)立得，，，解得，，，注意到，，三點(diǎn)共線，，又當(dāng)，解得，因?yàn)?，所以，此時(shí)，滿足，故存在定點(diǎn)，使得等于定值.【點(diǎn)睛】解決直線與橢圓的綜合問(wèn)題時(shí)，要注意：(1)注意觀察應(yīng)用題設(shè)中的每一個(gè)條件，明確確定直線、橢圓的條件；(2)強(qiáng)化有關(guān)直線與橢圓聯(lián)立得出一元二次方程后的運(yùn)算能力，重視根與系數(shù)之間的關(guān)系、弦長(zhǎng)、斜率、三角形的面積等問(wèn)題．6．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）生活中，橢圓有很多光學(xué)性質(zhì)，如從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)出發(fā)的光線射到橢圓鏡面后反射，反射光線經(jīng)過(guò)另一個(gè)焦點(diǎn).現(xiàn)橢圓C的焦點(diǎn)在y軸上，中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，從下焦點(diǎn)射出的光線經(jīng)過(guò)橢圓鏡面反射到上焦點(diǎn)，這束光線的總長(zhǎng)度為4，且反射點(diǎn)與焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形面積最大值為，已知橢圓的離心率e.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若從橢圓C中心O出發(fā)的兩束光線OM、ON，分別穿過(guò)橢圓上的A、B點(diǎn)后射到直線上的M、N兩點(diǎn)，若AB連線過(guò)橢圓的上焦點(diǎn)，試問(wèn)，直線BM與直線AN能交于一定點(diǎn)嗎？若能，求出此定點(diǎn)：若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(1)(2)能，定點(diǎn)為（0，）【分析】（1）由條件列方程求可得橢圓方程；（2）聯(lián)立方程組，利用設(shè)而不求法結(jié)論完成證明.【詳解】（1）由已知可設(shè)橢圓方程為，則，，又所以，故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（2）設(shè)AB方程為，由，得，設(shè)，則..由對(duì)稱性知，若定點(diǎn)存在，則直線BM與直線AN交于y軸上的定點(diǎn)，由得，則直線BM方程為，令，則又，則，所以，直線BM過(guò)定點(diǎn)（0，），同理直線AN也過(guò)定點(diǎn).則點(diǎn)（0，）即為所求點(diǎn).【點(diǎn)睛】解決直線與橢圓的綜合問(wèn)題時(shí)，要注意：(1)注意觀察應(yīng)用題設(shè)中的每一個(gè)條件，明確確定直線、橢圓的條件；(2)強(qiáng)化有關(guān)直線與橢圓聯(lián)立得出一元二次方程后的運(yùn)算能力，重視根與系數(shù)之間的關(guān)系、弦長(zhǎng)、斜率、三角形的面積等問(wèn)題．7．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)F的直線l交拋物線C于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)軸時(shí)，.(1)求拋物線C的方程；(2)若直線l交y軸于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D且垂直于y軸的直線交拋物線C于點(diǎn)P，直線PF交拋物線C于另一點(diǎn)Q.①是否存在定點(diǎn)M，使得四邊形AQBM為平行四邊形？若存在，求出定點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.②求證：為定值.【答案】(1)(2)①存在，；②證明見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)當(dāng)軸時(shí)，易得，求出，即可得出答案；（2）①設(shè)直線l的方程為，聯(lián)立直線與拋物線方程，消，設(shè)，，利用韋達(dá)定理求得，從而可求得線段AB的中點(diǎn)N的坐標(biāo)連接QM，若四邊形AQBM為平行四邊形，則N是QM的中點(diǎn)，求得點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)直線PQ的方程為，代入拋物線C的方程，利用韋達(dá)定理可求的點(diǎn)的坐標(biāo)，從而可求得點(diǎn)的坐標(biāo)；②利用點(diǎn)到直線的距離公式求得點(diǎn)到直線的距離，再利用弦長(zhǎng)公式求得，從而可求的，同理可得，從而可得出結(jié)論.（1）解：當(dāng)軸時(shí)，易得，所以，解得，所以拋物線C的方程為；（2）①解：易知直線l的斜率存在且不為0，設(shè)直線l的方程為，代入拋物線C的方程，并整理得，設(shè)，，由根與系數(shù)的關(guān)系得，.所以，所以線段AB的中點(diǎn)N的坐標(biāo)為，連接QM，若四邊形AQBM為平行四邊形，則N是QM的中點(diǎn)，易知，因此，設(shè)直線PQ的方程為，代入拋物線C的方程，整理得，所以，故，因此，故可得，，故點(diǎn)M的坐標(biāo)為，因此存在定點(diǎn)，使得四邊形AQBM為平行四邊形；②證明：點(diǎn)到直線的距離，由，，可得，因此，

同理可得，所以，為定值.【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和直線與拋物線的位置關(guān)系，考查了拋物線中的存在性問(wèn)題和定值問(wèn)題，考查了學(xué)生的數(shù)據(jù)分析能力和計(jì)算能力，難度較大.8．（2022·遼寧·校聯(lián)考一模）已知點(diǎn)，在拋物線上，，分別為過(guò)點(diǎn)A，B且與拋物線E相切的直線，，相交于點(diǎn)．條件①：點(diǎn)M在拋物線E的準(zhǔn)線上；條件②：；條件③：直線AB經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)F．(1)在上述三個(gè)條件中任選一個(gè)作為已知條件，另外兩個(gè)作為結(jié)論，構(gòu)成命題，并證明該命題成立；(2)若，直線與拋物線E交于C、D兩點(diǎn)，試問(wèn)：在x軸正半軸上是否存在一點(diǎn)N，使得的外心在拋物線E上？若存在，求N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由【答案】(1)答案見(jiàn)解析(2)存在，【分析】（1）求導(dǎo)寫(xiě)出點(diǎn)A，B處的切線方程，寫(xiě)出準(zhǔn)線方程及焦點(diǎn)坐標(biāo)，若選擇①作為條件，設(shè)出點(diǎn)M的坐標(biāo)，表示出直線AB聯(lián)立拋物線證明；若選擇②作為條件，先求出，進(jìn)而證明；若選擇③作為條件，設(shè)出直線AB聯(lián)立拋物線證明.（2）假設(shè)存在，求出于CD的中垂線聯(lián)立拋物線先解出外心坐標(biāo)，再去反推點(diǎn)N的坐標(biāo).(1)由題意，拋物線化為，則，則的切線斜率，所以的方程為，將代入，化簡(jiǎn)整理得同理可得的方程為拋物線的準(zhǔn)線為，焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為若選擇①作為條件，②③作為結(jié)論，證明如下：因?yàn)辄c(diǎn)M在拋物線E的準(zhǔn)線上，可設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為，又，相交于點(diǎn)M，所以，點(diǎn)A，B坐標(biāo)滿足方程，即，直線AB的方程為，進(jìn)而直線AB經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，③得證又，消去y整理得，所以設(shè)直線、的斜率分別為，，有，所以，②得證.若選擇②作為條件，①③作為結(jié)論，證明如下：因?yàn)?，設(shè)直線、的斜率分別為，，有，即又，相交于點(diǎn)M，所以，解得，所以點(diǎn)M在拋物線E的準(zhǔn)線上，①得證設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為，所以，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)滿足方程，即直線AB的方程為，進(jìn)而直線AB經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，③得證.若選擇③作為條件，①②作為結(jié)論，證明如下：直線AB經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)F，設(shè)直線AB的方程為，所以消去y整理得，所以，設(shè)直線、的斜率分別為，，有，所以，②得證又，相交于點(diǎn)M，所以，解得，所以點(diǎn)M在拋物線E的準(zhǔn)線上，①得證.(2)假設(shè)存在點(diǎn)，由，可得，所以，，設(shè)線段CD的中點(diǎn)為，則，，進(jìn)而線段CD的中垂線方程為，即，聯(lián)立，得，解得或4，從而的外心的坐標(biāo)為或，又，，若Q的坐標(biāo)為，所以，則因?yàn)?，所以若Q的坐標(biāo)為，，則，則Q的坐標(biāo)不可能為，故在x軸的正半軸上存在一點(diǎn)，使得的外心在拋物線E上.【點(diǎn)睛】本題關(guān)鍵點(diǎn)在于假設(shè)點(diǎn)的存在，求出的中垂線方程，聯(lián)立拋物線求出外心坐標(biāo)，再通過(guò)到三角形頂點(diǎn)距離相等解出點(diǎn)的坐標(biāo)即可.9．（2022·全國(guó)·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知圓與x軸交于A，B兩點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足直線與直線的斜率之乘積為.(1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡E的方程；(2)過(guò)點(diǎn)的直線l與曲線E交于M，N兩點(diǎn)，則在x軸上是否存在定點(diǎn)Q，使得的值為定值？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)和該定值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(1)，；(2)存在點(diǎn)使得為定值，理由見(jiàn)解析；【分析】（1）設(shè)出動(dòng)點(diǎn)，利用直接法求解軌跡方程；（2）先求出直線l斜率為0時(shí)不合題意，得到直線斜率不等于0，從而設(shè)出直線l的方程，聯(lián)立第一問(wèn)求出的軌跡方程，利用韋達(dá)定理得到兩根之和，兩根之積，設(shè)出，求解，化簡(jiǎn)整理得到，從而得到存在點(diǎn)使得為定值.(1)令得：，不妨設(shè)，，則，整理得：，；動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程E為，；(2)存在點(diǎn)，使得為定值，理由如下：當(dāng)直線l斜率為0時(shí)，則直線l為，此時(shí)與，無(wú)交點(diǎn)，故不合題意，舍去，即直線l斜率不為0設(shè)，直線l設(shè)為，則與，聯(lián)立得：，設(shè)，則，所以當(dāng)即時(shí)，為定值，即存在點(diǎn)使得為定值；綜上：存在點(diǎn)使得為定值.【點(diǎn)睛】圓錐曲線上是否存在點(diǎn)使某些量為定值的題目，經(jīng)?？疾?，一般題目計(jì)算量大，且變量多，此時(shí)要抓住核心不變量，進(jìn)行化簡(jiǎn)整理，主要方法是分離常數(shù)法，配方法等，本題中，將化簡(jiǎn)整理為是解題的關(guān)鍵所在.題型六：定值問(wèn)題一、單選題1．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知橢圓：，過(guò)其左焦點(diǎn)作直線l交橢圓于P，A兩點(diǎn)，取P點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)B.若G點(diǎn)為的外心，則（

）A．2 B．3 C．4 D．以上都不對(duì)【答案】C【分析】設(shè)出直線方程，聯(lián)立橢圓方程得到韋達(dá)定理，結(jié)合外心的性質(zhì)，求得點(diǎn)的坐標(biāo)，再用弦長(zhǎng)公式求得，再求結(jié)果即可.【詳解】根據(jù)題意可得，顯然直線的斜率存在，故可設(shè)其方程為，聯(lián)立橢圓方程可得：，設(shè)，故，，，故，設(shè)的中點(diǎn)為，則其坐標(biāo)為，顯然軸垂直平分，故可設(shè)，又直線方程為：，令，解得，故，故.故選：C.二、解答題2．（2023春·湖北鄂州·高三?？茧A段練習(xí)）已知雙曲線的離心率是，實(shí)軸長(zhǎng)是8.(1)求雙曲線C的方程；(2)過(guò)點(diǎn)的直線l與雙曲線C的右支交于不同的兩點(diǎn)A和B，若直線l上存在不同于點(diǎn)P的點(diǎn)D滿足成立，證明：點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為定值，并求出該定值.【答案】(1)；(2)證明見(jiàn)解析，定值為.【分析】（1）根據(jù)雙曲線的離心率公式、實(shí)軸長(zhǎng)的定義進(jìn)行求解即可；（2）設(shè)出直線l的方程與雙曲線的方程聯(lián)立，利用一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系、根的判別式進(jìn)行求解證明即可.【詳解】（1）依題意得，解得所以雙曲線C的方程是.（2）證明：設(shè)，，，直線l的方程為.將直線方程代入雙曲線方程，化簡(jiǎn)整理得，，則，.要使直線與雙曲線的右支有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A和B，則應(yīng)滿足即解得.由，得，故，所以.又，所以點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為定值.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：利用一元二次不等式的根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行求解是解題的關(guān)鍵.3．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知在△ABC中，，，動(dòng)點(diǎn)A滿足，，AC的垂直平分線交直線AB于點(diǎn)P．(1)求點(diǎn)P的軌跡E的方程；(2)直線交x軸于D，與曲線E在第一象限的交點(diǎn)為Q，過(guò)點(diǎn)D的直線l與曲線E交于M