2015-2024年十年高考數(shù)學(xué)真題分類匯編專題13 立體幾何的空間角與空間距離及其綜合應(yīng)用小題綜合（解析版）

2013-2024年十年高考真題匯編PAGEPAGE1專題13立體幾何的空間角與空間距離及其綜合應(yīng)用小題綜合考點(diǎn)十年考情（2015-2024）命題趨勢(shì)考點(diǎn)1異面直線所成角及其應(yīng)用（10年6考）2022·全國(guó)新Ⅰ卷、2021·全國(guó)乙卷、2018·全國(guó)卷2017·全國(guó)卷、2016·全國(guó)卷、2015·浙江卷要熟練掌握幾何法和向量法求解空間角與空間距離，本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的?？純?nèi)容，要熟練掌握方程思想求值，需強(qiáng)化鞏固復(fù)習(xí).考點(diǎn)2線面角及其應(yīng)用（10年4考）2024·全國(guó)新Ⅱ卷、2023·全國(guó)乙卷、2022·浙江卷2022·全國(guó)甲卷、2022·全國(guó)新Ⅰ卷、2018·浙江卷2018·全國(guó)卷、2018·全國(guó)卷、2018·全國(guó)卷考點(diǎn)3二面角及其應(yīng)用（10年6考）2023·北京卷、2023·全國(guó)乙卷、2023·全國(guó)新Ⅱ卷2022·浙江卷、2019·浙江卷、2018·浙江卷2017·浙江卷、2015·浙江卷考點(diǎn)4點(diǎn)面距及其應(yīng)用（10年1考）2019·全國(guó)卷考點(diǎn)01異面直線所成角及其應(yīng)用1．（2022·全國(guó)新Ⅰ卷·高考真題）（多選）已知正方體，則（

）A．直線與所成的角為 B．直線與所成的角為C．直線與平面所成的角為 D．直線與平面ABCD所成的角為【答案】ABD【分析】數(shù)形結(jié)合，依次對(duì)所給選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可.【詳解】如圖，連接、，因?yàn)?，所以直線與所成的角即為直線與所成的角，因?yàn)樗倪呅螢檎叫?，則，故直線與所成的角為，A正確；連接，因?yàn)槠矫妫矫?，則，因?yàn)?，，所以平面，又平面，所以，故B正確；連接，設(shè)，連接，因?yàn)槠矫?，平面，則，因?yàn)?，，所以平面，所以為直線與平面所成的角，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為，則，，，所以，直線與平面所成的角為，故C錯(cuò)誤；因?yàn)槠矫?，所以為直線與平面所成的角，易得，故D正確.故選：ABD2．（2021·全國(guó)乙卷·高考真題）在正方體中，P為的中點(diǎn)，則直線與所成的角為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】平移直線至，將直線與所成的角轉(zhuǎn)化為與所成的角，解三角形即可.【詳解】如圖，連接，因?yàn)椤?，所以或其補(bǔ)角為直線與所成的角，因?yàn)槠矫?，所以，又，，所以平面，所以，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為2，則，，所以.故選：D3．（2018·全國(guó)·高考真題）在正方體中，為棱的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的正切值為A． B． C． D．【答案】C【分析】利用正方體中，，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求共面直線與所成角的正切值，在中進(jìn)行計(jì)算即可.【詳解】在正方體中，，所以異面直線與所成角為，設(shè)正方體邊長(zhǎng)為，則由為棱的中點(diǎn)，可得，所以，則.故選C.

【點(diǎn)睛】求異面直線所成角主要有以下兩種方法：（1）幾何法：①平移兩直線中的一條或兩條，到一個(gè)平面中；②利用邊角關(guān)系，找到（或構(gòu)造）所求角所在的三角形；③求出三邊或三邊比例關(guān)系，用余弦定理求角；（2）向量法：①求兩直線的方向向量；②求兩向量夾角的余弦；③因?yàn)橹本€夾角為銳角，所以②對(duì)應(yīng)的余弦取絕對(duì)值即為直線所成角的余弦值.4．（2017·全國(guó)·高考真題）已知直三棱柱中，，，，則異面直線與所成角的余弦值為A． B． C． D．【答案】C【詳解】如圖所示，補(bǔ)成直四棱柱，則所求角為，易得，因此，故選C．平移法是求異面直線所成角的常用方法，其基本思路是通過(guò)平移直線，把異面問(wèn)題化歸為共面問(wèn)題來(lái)解決，具體步驟如下：①平移：平移異面直線中的一條或兩條，作出異面直線所成的角；②認(rèn)定：證明作出的角就是所求異面直線所成的角；③計(jì)算：求該角的值，常利用解三角形；④取舍：由異面直線所成的角的取值范圍是，當(dāng)所作的角為鈍角時(shí)，應(yīng)取它的補(bǔ)角作為兩條異面直線所成的角．求異面直線所成的角要特別注意異面直線之間所成角的范圍．5．（2016·全國(guó)·高考真題）平面過(guò)正方體ABCD—A1B1C1D1的頂點(diǎn)A，,，，則m，n所成角的正弦值為A． B． C． D．【答案】A【詳解】試題分析：如圖，設(shè)平面平面=，平面平面=，因?yàn)槠矫妫?，則所成的角等于所成的角.延長(zhǎng)，過(guò)作，連接，則為，同理為，而，則所成的角即為所成的角，即為，故所成角的正弦值為，選A.【點(diǎn)睛】求解本題的關(guān)鍵是作出異面直線所成的角,求異面直線所成角的步驟是：平移定角、連線成形、解形求角、得鈍求補(bǔ).6．（2015·浙江·高考真題）如圖，三棱錐中，，點(diǎn)分別是的中點(diǎn)，則異面直線所成的角的余弦值是．

【答案】【詳解】如下圖，連結(jié)，取中點(diǎn)，連結(jié)，，則可知即為異面直線，所成角（或其補(bǔ)角）易得，，，∴，即異面直線，所成角的余弦值為.

考點(diǎn)：異面直線的夾角.考點(diǎn)02線面角及其應(yīng)用1．（2024·全國(guó)新Ⅱ卷·高考真題）已知正三棱臺(tái)的體積為，，，則與平面ABC所成角的正切值為（

）A． B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】解法一：根據(jù)臺(tái)體的體積公式可得三棱臺(tái)的高，做輔助線，結(jié)合正三棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征求得，進(jìn)而根據(jù)線面夾角的定義分析求解；解法二：將正三棱臺(tái)補(bǔ)成正三棱錐，與平面ABC所成角即為與平面ABC所成角，根據(jù)比例關(guān)系可得，進(jìn)而可求正三棱錐的高，即可得結(jié)果.【詳解】解法一：分別取的中點(diǎn)，則，可知，設(shè)正三棱臺(tái)的為，則，解得，如圖，分別過(guò)作底面垂線，垂足為，設(shè)，則，，可得，結(jié)合等腰梯形可得,即，解得，所以與平面ABC所成角的正切值為；解法二：將正三棱臺(tái)補(bǔ)成正三棱錐，則與平面ABC所成角即為與平面ABC所成角，因?yàn)椋瑒t，可知，則，設(shè)正三棱錐的高為，則，解得，取底面ABC的中心為，則底面ABC，且，所以與平面ABC所成角的正切值.故選：B.2．（2023·全國(guó)乙卷·高考真題）已知為等腰直角三角形，AB為斜邊，為等邊三角形，若二面角為，則直線CD與平面ABC所成角的正切值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)給定條件，推導(dǎo)確定線面角，再利用余弦定理、正弦定理求解作答.【詳解】取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)槭堑妊苯侨切?，且為斜邊，則有，又是等邊三角形，則，從而為二面角的平面角，即，

顯然平面，于是平面，又平面，因此平面平面，顯然平面平面，直線平面，則直線在平面內(nèi)的射影為直線，從而為直線與平面所成的角，令，則，在中，由余弦定理得：，由正弦定理得，即，顯然是銳角，，所以直線與平面所成的角的正切為.故選：C3．（2022·浙江·高考真題）如圖，已知正三棱柱，E，F(xiàn)分別是棱上的點(diǎn)．記與所成的角為，與平面所成的角為，二面角的平面角為，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先用幾何法表示出，再根據(jù)邊長(zhǎng)關(guān)系即可比較大?。驹斀狻咳鐖D所示，過(guò)點(diǎn)作于，過(guò)作于，連接，則，，，，，，所以，故選：A．4．（2022·全國(guó)甲卷·高考真題）在長(zhǎng)方體中，已知與平面和平面所成的角均為，則（

）A． B．AB與平面所成的角為C． D．與平面所成的角為【答案】D【分析】根據(jù)線面角的定義以及長(zhǎng)方體的結(jié)構(gòu)特征即可求出．【詳解】如圖所示：不妨設(shè)，依題以及長(zhǎng)方體的結(jié)構(gòu)特征可知，與平面所成角為，與平面所成角為，所以，即，，解得．對(duì)于A，，，，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，過(guò)作于，易知平面，所以與平面所成角為，因?yàn)椋?，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，，，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，與平面所成角為，，而，所以．D正確．故選：D．5．（2022·全國(guó)新Ⅰ卷·高考真題）已知正方體，則（

）A．直線與所成的角為 B．直線與所成的角為C．直線與平面所成的角為 D．直線與平面ABCD所成的角為【答案】ABD【分析】數(shù)形結(jié)合，依次對(duì)所給選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可.【詳解】如圖，連接、，因?yàn)?，所以直線與所成的角即為直線與所成的角，因?yàn)樗倪呅螢檎叫?，則，故直線與所成的角為，A正確；連接，因?yàn)槠矫妫矫?，則，因?yàn)?，，所以平面，又平面，所以，故B正確；連接，設(shè)，連接，因?yàn)槠矫妫矫?，則，因?yàn)椋?，所以平面，所以為直線與平面所成的角，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為，則，，，所以，直線與平面所成的角為，故C錯(cuò)誤；因?yàn)槠矫?，所以為直線與平面所成的角，易得，故D正確.故選：ABD6．（2018·浙江·高考真題）已知四棱錐的底面是正方形，側(cè)棱長(zhǎng)均相等，是線段上的點(diǎn)（不含端點(diǎn)），設(shè)與所成的角為，與平面所成的角為，二面角的平面角為，則A． B． C． D．【答案】D【分析】分別作出線線角、線面角以及二面角，再構(gòu)造直角三角形，根據(jù)邊的大小關(guān)系確定角的大小關(guān)系.【詳解】設(shè)為正方形的中心，為中點(diǎn)，過(guò)作的平行線，交于，過(guò)作垂直于，連接、、，則垂直于底面，垂直于，因此從而因?yàn)?，所以即，選D.

【點(diǎn)睛】線線角找平行，線面角找垂直，面面角找垂面.7．（2018·全國(guó)·高考真題）已知圓錐的頂點(diǎn)為，母線，所成角的余弦值為，與圓錐底面所成角為45°，若的面積為，則該圓錐的側(cè)面積為．【答案】【分析】先根據(jù)三角形面積公式求出母線長(zhǎng),再根據(jù)母線與底面所成角得底面半徑，最后根據(jù)圓錐側(cè)面積公式求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)槟妇€，所成角的余弦值為，所以母線，所成角的正弦值為，因?yàn)榈拿娣e為，設(shè)母線長(zhǎng)為所以，因?yàn)榕c圓錐底面所成角為45°，所以底面半徑為，因此圓錐的側(cè)面積為．【整體點(diǎn)評(píng)】根據(jù)三角形面積公式先求出母線長(zhǎng)，再根據(jù)線面角求出底面半徑，最后根據(jù)圓錐側(cè)面積公式求出側(cè)面積，思路直接自然，是該題的最優(yōu)解．8．（2018·全國(guó)·高考真題）在長(zhǎng)方體中，，與平面所成的角為，則該長(zhǎng)方體的體積為A． B． C． D．【答案】C【分析】首先畫(huà)出長(zhǎng)方體，利用題中條件，得到，根據(jù)，求得，可以確定，之后利用長(zhǎng)方體的體積公式求出長(zhǎng)方體的體積.【詳解】在長(zhǎng)方體中，連接，

根據(jù)線面角的定義可知，因?yàn)?，所以，從而求得，所以該長(zhǎng)方體的體積為，故選C.【點(diǎn)睛】該題考查的是長(zhǎng)方體的體積的求解問(wèn)題，在解題的過(guò)程中，需要明確長(zhǎng)方體的體積公式為長(zhǎng)寬高的乘積，而題中的條件只有兩個(gè)值，所以利用題中的條件求解另一條邊的長(zhǎng)就顯得尤為重要，此時(shí)就需要明確線面角的定義，從而得到量之間的關(guān)系，從而求得結(jié)果.9．（2018·全國(guó)·高考真題）已知正方體的棱長(zhǎng)為1，每條棱所在直線與平面所成的角都相等，則截此正方體所得截面面積的最大值為A． B． C． D．【答案】A【分析】首先利用正方體的棱是3組每組有互相平行的4條棱，所以與12條棱所成角相等，只需與從同一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱所成角相等即可，從而判斷出面的位置，截正方體所得的截面為一個(gè)正六邊形，且邊長(zhǎng)是面的對(duì)角線的一半，應(yīng)用面積公式求得結(jié)果.【詳解】根據(jù)相互平行的直線與平面所成的角是相等的，所以在正方體中，平面與線所成的角是相等的，所以平面與正方體的每條棱所在的直線所成角都是相等的，同理平面也滿足與正方體的每條棱所在的直線所成角都是相等，要求截面面積最大，則截面的位置為夾在兩個(gè)面與中間的，且過(guò)棱的中點(diǎn)的正六邊形，且邊長(zhǎng)為，所以其面積為，故選A.點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)平面被正方體所截得的截面多邊形的面積問(wèn)題，首要任務(wù)是需要先確定截面的位置，之后需要從題的條件中找尋相關(guān)的字眼，從而得到其為過(guò)六條棱的中點(diǎn)的正六邊形，利用六邊形的面積的求法，應(yīng)用相關(guān)的公式求得結(jié)果.考點(diǎn)03二面角及其應(yīng)用1．（2023·北京·高考真題）坡屋頂是我國(guó)傳統(tǒng)建筑造型之一，蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)元素．安裝燈帶可以勾勒出建筑輪廓，展現(xiàn)造型之美．如圖，某坡屋頂可視為一個(gè)五面體，其中兩個(gè)面是全等的等腰梯形，兩個(gè)面是全等的等腰三角形．若，且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的平面與平面的夾角的正切值均為，則該五面體的所有棱長(zhǎng)之和為（

）

A． B．C． D．【答案】C【分析】先根據(jù)線面角的定義求得，從而依次求，，，，再把所有棱長(zhǎng)相加即可得解.【詳解】如圖，過(guò)做平面，垂足為，過(guò)分別做，，垂足分別為，，連接，

由題意得等腰梯形所在的面、等腰三角形所在的面與底面夾角分別為和，所以.因?yàn)槠矫?，平面，所以，因?yàn)?，平面，，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以?同理：，又，故四邊形是矩形，所以由得，所以，所以，所以在直角三角形中，在直角三角形中，，，又因?yàn)?，所有棱長(zhǎng)之和為.故選：C2．（2023·全國(guó)乙卷·高考真題）已知為等腰直角三角形，AB為斜邊，為等邊三角形，若二面角為，則直線CD與平面ABC所成角的正切值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)給定條件，推導(dǎo)確定線面角，再利用余弦定理、正弦定理求解作答.【詳解】取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)槭堑妊苯侨切危覟樾边?，則有，又是等邊三角形，則，從而為二面角的平面角，即，

顯然平面，于是平面，又平面，因此平面平面，顯然平面平面，直線平面，則直線在平面內(nèi)的射影為直線，從而為直線與平面所成的角，令，則，在中，由余弦定理得：，由正弦定理得，即，顯然是銳角，，所以直線與平面所成的角的正切為.故選：C3．（2023·全國(guó)新Ⅱ卷·高考真題）（多選）已知圓錐的頂點(diǎn)為P，底面圓心為O，AB為底面直徑，，，點(diǎn)C在底面圓周上，且二面角為45°，則（

）．A．該圓錐的體積為 B．該圓錐的側(cè)面積為C． D．的面積為【答案】AC【分析】根據(jù)圓錐的體積、側(cè)面積判斷A、B選項(xiàng)的正確性，利用二面角的知識(shí)判斷C、D選項(xiàng)的正確性.【詳解】依題意，，，所以，A選項(xiàng)，圓錐的體積為，A選項(xiàng)正確；B選項(xiàng)，圓錐的側(cè)面積為，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，設(shè)是的中點(diǎn)，連接，則，所以是二面角的平面角，則，所以，故，則，C選項(xiàng)正確；D選項(xiàng)，，所以，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：AC.

4．（2022·浙江·高考真題）如圖，已知正三棱柱，E，F(xiàn)分別是棱上的點(diǎn)．記與所成的角為，與平面所成的角為，二面角的平面角為，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先用幾何法表示出，再根據(jù)邊長(zhǎng)關(guān)系即可比較大小．【詳解】如圖所示，過(guò)點(diǎn)作于，過(guò)作于，連接，則，，，，，，所以，故選：A．5．（2019·浙江·高考真題）設(shè)三棱錐的底面是正三角形，側(cè)棱長(zhǎng)均相等，是棱上的點(diǎn)（不含端點(diǎn)），記直線與直線所成角為，直線與平面所成角為，二面角的平面角為，則A． B．C． D．【答案】B【解析】本題以三棱錐為載體，綜合考查異面直線所成的角、直線與平面所成的角、二面角的概念，以及各種角的計(jì)算.解答的基本方法是通過(guò)明確各種角，應(yīng)用三角函數(shù)知識(shí)求解，而后比較大小.而充分利用圖形特征，則可事倍功半.【詳解】方法1：如圖為中點(diǎn)，在底面的投影為，則在底面投影在線段上，過(guò)作垂直，易得，過(guò)作交于，過(guò)作，交于，則，則，即，，即，綜上所述，答案為B.方法2：由最小角定理，記的平面角為（顯然）由最大角定理，故選B.方法3：（特殊位置）取為正四面體，為中點(diǎn)，易得，故選B.【點(diǎn)睛】常規(guī)解法下易出現(xiàn)的錯(cuò)誤有，不能正確作圖得出各種角.未能想到利用“特殊位置法”，尋求簡(jiǎn)便解法.6．（2018·浙江·高考真題）已知四棱錐的底面是正方形，側(cè)棱長(zhǎng)均相等，是線段上的點(diǎn)（不含端點(diǎn)），設(shè)與所成的角為，與平面所成的角為，二面角的平面角為，則A． B． C． D．【答案】D【分析】分別作出線線角、線面角以及二面角，再構(gòu)造直角三角形，根據(jù)邊的大小關(guān)系確定角的大小關(guān)系.【詳解】設(shè)為正方形的中心，為中點(diǎn)，過(guò)作的平行線，交于，過(guò)作垂直于，連接、、，則垂直于底面，垂直于，因此從而因?yàn)?，所以即，選D.

【點(diǎn)睛】線線角找平行，線面角找垂直，面面角找垂面.7．（2017·浙江·高考真題）如圖，已知正四面體D–ABC（所有棱長(zhǎng)均相等的三棱錐），P，Q，R分別為AB，BC，CA上的點(diǎn)，AP=PB，，分別記二面角D–PR–Q，D–PQ–R，D–QR–P的平面角為α,β,γ，則A．γ<α<β B．α<γ<β C．α<β<γ D．β<γ<α【答案】B【詳解】設(shè)O為三角形ABC中心，則正四面體D–ABC的頂點(diǎn)在底面ABC的投影為O，過(guò)O分別作PR、PQ、RQ的垂線，垂足分別為E、F、G，連結(jié)DE、DF、DG，則有所以只需比較OE、OF、OG的大?。涸诘酌嫒切蜛BC中，建立如圖示的坐標(biāo)系，不妨設(shè),則所以直線RP的方程為，直線PQ的方程為，直線RQ的方程為,由點(diǎn)到直線的距離公式，可求出：所以,所以，有α,β,γ均為銳角，所以α<γ<β.故選：B【點(diǎn)睛】立體幾何是高中數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容，也是高考重點(diǎn)考查的考點(diǎn)與熱點(diǎn)．這類問(wèn)題的設(shè)置一般有線面位置關(guān)系的證明與角度距離的計(jì)算等兩類問(wèn)題．解答第一類問(wèn)題時(shí)一般要借助線面平行與垂直的判定定理進(jìn)行；解答第二類問(wèn)題時(shí)先建立空間直角坐標(biāo)系，運(yùn)用空間向量的坐標(biāo)形式及數(shù)量積公式進(jìn)行求解．8．（2015·浙江·高考真題）如圖，已知，是的中點(diǎn)，沿直線將折成，所成二面角的平面角為，則A． B． C． D．【答案】B【詳解】設(shè)，設(shè)，則由題意，在空間圖形中，設(shè)，在中，，在空間圖形中，過(guò)作，過(guò)作，垂足分別為，，過(guò)作，連結(jié)，∴，則就是二面角的平面角，∴，在中，，，同理，，，故，顯然面，故，在中，，在中，，∵，，∴（當(dāng)時(shí)取等號(hào)），∵，，而在上為遞減函數(shù)，∴，故選B.考點(diǎn)：立體幾何中的動(dòng)態(tài)問(wèn)題考點(diǎn)04點(diǎn)面距及其應(yīng)用1．（2019·全國(guó)·高考真題）已知∠ACB=90°，P為平面ABC外一點(diǎn)，PC=2，點(diǎn)P到∠ACB兩邊AC，BC的距離均為，那么P到平面ABC的距離為．【答案】.【分析】本題考查學(xué)生空間想象能力，合理畫(huà)圖成為關(guān)鍵，準(zhǔn)確找到在底面上的射影，使用線面垂直定理，得到垂直關(guān)系，勾股定理解決．【詳解】作分別垂直于，平面，連，知，，平面，平面，，．，，，為平分線，，又，．【點(diǎn)睛】畫(huà)圖視角選擇不當(dāng)，線面垂直定理使用不夠靈活，難以發(fā)現(xiàn)垂直關(guān)系，問(wèn)題即很難解決，將幾何體擺放成正常視角，是立體幾何問(wèn)題解決的有效手段，幾何關(guān)系利于觀察，解題事半功倍．專題13立體幾何的空間角與空間距離及其綜合應(yīng)用小題綜合考點(diǎn)十年考情（2015-2024）命題趨勢(shì)考點(diǎn)1異面直線所成角及其應(yīng)用（10年6考）2022·全國(guó)新Ⅰ卷、2021·全國(guó)乙卷、2018·全國(guó)卷2017·全國(guó)卷、2016·全國(guó)卷、2015·浙江卷要熟練掌握幾何法和向量法求解空間角與空間距離，本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的?？純?nèi)容，要熟練掌握方程思想求值，需強(qiáng)化鞏固復(fù)習(xí).考點(diǎn)2線面角及其應(yīng)用（10年4考）2024·全國(guó)新Ⅱ卷、2023·全國(guó)乙卷、2022·浙江卷2022·全國(guó)甲卷、2022·全國(guó)新Ⅰ卷、2018·浙江卷2018·全國(guó)卷、2018·全國(guó)卷、2018·全國(guó)卷考點(diǎn)3二面角及其應(yīng)用（10年6考）2023·北京卷、2023·全國(guó)乙卷、2023·全國(guó)新Ⅱ卷2022·浙江卷、2019·浙江卷、2018·浙江卷2017·浙江卷、2015·浙江卷考點(diǎn)4點(diǎn)面距及其應(yīng)用（10年1考）2019·全國(guó)卷考點(diǎn)01異面直線所成角及其應(yīng)用1．（2022·全國(guó)新Ⅰ卷·高考真題）（多選）已知正方體，則（

）A．直線與所成的角為 B．直線與所成的角為C．直線與平面所成的角為 D．直線與平面ABCD所成的角為【答案】ABD【分析】數(shù)形結(jié)合，依次對(duì)所給選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可.【詳解】如圖，連接、，因?yàn)?，所以直線與所成的角即為直線與所成的角，因?yàn)樗倪呅螢檎叫危瑒t，故直線與所成的角為，A正確；連接，因?yàn)槠矫?，平面，則，因?yàn)?，，所以平面，又平面，所以，故B正確；連接，設(shè)，連接，因?yàn)槠矫?，平面，則，因?yàn)椋?，所以平面，所以為直線與平面所成的角，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為，則，，，所以，直線與平面所成的角為，故C錯(cuò)誤；因?yàn)槠矫?，所以為直線與平面所成的角，易得，故D正確.故選：ABD2．（2021·全國(guó)乙卷·高考真題）在正方體中，P為的中點(diǎn)，則直線與所成的角為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】平移直線至，將直線與所成的角轉(zhuǎn)化為與所成的角，解三角形即可.【詳解】如圖，連接，因?yàn)椤危曰蚱溲a(bǔ)角為直線與所成的角，因?yàn)槠矫妫?，又，，所以平面，所以，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為2，則，，所以.故選：D3．（2018·全國(guó)·高考真題）在正方體中，為棱的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的正切值為A． B． C． D．【答案】C【分析】利用正方體中，，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求共面直線與所成角的正切值，在中進(jìn)行計(jì)算即可.【詳解】在正方體中，，所以異面直線與所成角為，設(shè)正方體邊長(zhǎng)為，則由為棱的中點(diǎn)，可得，所以，則.故選C.

【點(diǎn)睛】求異面直線所成角主要有以下兩種方法：（1）幾何法：①平移兩直線中的一條或兩條，到一個(gè)平面中；②利用邊角關(guān)系，找到（或構(gòu)造）所求角所在的三角形；③求出三邊或三邊比例關(guān)系，用余弦定理求角；（2）向量法：①求兩直線的方向向量；②求兩向量夾角的余弦；③因?yàn)橹本€夾角為銳角，所以②對(duì)應(yīng)的余弦取絕對(duì)值即為直線所成角的余弦值.4．（2017·全國(guó)·高考真題）已知直三棱柱中，，，，則異面直線與所成角的余弦值為A． B． C． D．【答案】C【詳解】如圖所示，補(bǔ)成直四棱柱，則所求角為，易得，因此，故選C．平移法是求異面直線所成角的常用方法，其基本思路是通過(guò)平移直線，把異面問(wèn)題化歸為共面問(wèn)題來(lái)解決，具體步驟如下：①平移：平移異面直線中的一條或兩條，作出異面直線所成的角；②認(rèn)定：證明作出的角就是所求異面直線所成的角；③計(jì)算：求該角的值，常利用解三角形；④取舍：由異面直線所成的角的取值范圍是，當(dāng)所作的角為鈍角時(shí)，應(yīng)取它的補(bǔ)角作為兩條異面直線所成的角．求異面直線所成的角要特別注意異面直線之間所成角的范圍．5．（2016·全國(guó)·高考真題）平面過(guò)正方體ABCD—A1B1C1D1的頂點(diǎn)A，,，，則m，n所成角的正弦值為A． B． C． D．【答案】A【詳解】試題分析：如圖，設(shè)平面平面=，平面平面=，因?yàn)槠矫?，所以，則所成的角等于所成的角.延長(zhǎng)，過(guò)作，連接，則為，同理為，而，則所成的角即為所成的角，即為，故所成角的正弦值為，選A.【點(diǎn)睛】求解本題的關(guān)鍵是作出異面直線所成的角,求異面直線所成角的步驟是：平移定角、連線成形、解形求角、得鈍求補(bǔ).6．（2015·浙江·高考真題）如圖，三棱錐中，，點(diǎn)分別是的中點(diǎn)，則異面直線所成的角的余弦值是．

【答案】【詳解】如下圖，連結(jié)，取中點(diǎn)，連結(jié)，，則可知即為異面直線，所成角（或其補(bǔ)角）易得，，，∴，即異面直線，所成角的余弦值為.

考點(diǎn)：異面直線的夾角.考點(diǎn)02線面角及其應(yīng)用1．（2024·全國(guó)新Ⅱ卷·高考真題）已知正三棱臺(tái)的體積為，，，則與平面ABC所成角的正切值為（

）A． B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】解法一：根據(jù)臺(tái)體的體積公式可得三棱臺(tái)的高，做輔助線，結(jié)合正三棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征求得，進(jìn)而根據(jù)線面夾角的定義分析求解；解法二：將正三棱臺(tái)補(bǔ)成正三棱錐，與平面ABC所成角即為與平面ABC所成角，根據(jù)比例關(guān)系可得，進(jìn)而可求正三棱錐的高，即可得結(jié)果.【詳解】解法一：分別取的中點(diǎn)，則，可知，設(shè)正三棱臺(tái)的為，則，解得，如圖，分別過(guò)作底面垂線，垂足為，設(shè)，則，，可得，結(jié)合等腰梯形可得,即，解得，所以與平面ABC所成角的正切值為；解法二：將正三棱臺(tái)補(bǔ)成正三棱錐，則與平面ABC所成角即為與平面ABC所成角，因?yàn)?，則，可知，則，設(shè)正三棱錐的高為，則，解得，取底面ABC的中心為，則底面ABC，且，所以與平面ABC所成角的正切值.故選：B.2．（2023·全國(guó)乙卷·高考真題）已知為等腰直角三角形，AB為斜邊，為等邊三角形，若二面角為，則直線CD與平面ABC所成角的正切值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)給定條件，推導(dǎo)確定線面角，再利用余弦定理、正弦定理求解作答.【詳解】取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)槭堑妊苯侨切?，且為斜邊，則有，又是等邊三角形，則，從而為二面角的平面角，即，

顯然平面，于是平面，又平面，因此平面平面，顯然平面平面，直線平面，則直線在平面內(nèi)的射影為直線，從而為直線與平面所成的角，令，則，在中，由余弦定理得：，由正弦定理得，即，顯然是銳角，，所以直線與平面所成的角的正切為.故選：C3．（2022·浙江·高考真題）如圖，已知正三棱柱，E，F(xiàn)分別是棱上的點(diǎn)．記與所成的角為，與平面所成的角為，二面角的平面角為，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先用幾何法表示出，再根據(jù)邊長(zhǎng)關(guān)系即可比較大?。驹斀狻咳鐖D所示，過(guò)點(diǎn)作于，過(guò)作于，連接，則，，，，，，所以，故選：A．4．（2022·全國(guó)甲卷·高考真題）在長(zhǎng)方體中，已知與平面和平面所成的角均為，則（

）A． B．AB與平面所成的角為C． D．與平面所成的角為【答案】D【分析】根據(jù)線面角的定義以及長(zhǎng)方體的結(jié)構(gòu)特征即可求出．【詳解】如圖所示：不妨設(shè)，依題以及長(zhǎng)方體的結(jié)構(gòu)特征可知，與平面所成角為，與平面所成角為，所以，即，，解得．對(duì)于A，，，，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，過(guò)作于，易知平面，所以與平面所成角為，因?yàn)?，所以，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，，，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，與平面所成角為，，而，所以．D正確．故選：D．5．（2022·全國(guó)新Ⅰ卷·高考真題）已知正方體，則（

）A．直線與所成的角為 B．直線與所成的角為C．直線與平面所成的角為 D．直線與平面ABCD所成的角為【答案】ABD【分析】數(shù)形結(jié)合，依次對(duì)所給選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可.【詳解】如圖，連接、，因?yàn)椋灾本€與所成的角即為直線與所成的角，因?yàn)樗倪呅螢檎叫?，則，故直線與所成的角為，A正確；連接，因?yàn)槠矫妫矫?，則，因?yàn)?，，所以平面，又平面，所以，故B正確；連接，設(shè)，連接，因?yàn)槠矫?，平面，則，因?yàn)?，，所以平面，所以為直線與平面所成的角，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為，則，，，所以，直線與平面所成的角為，故C錯(cuò)誤；因?yàn)槠矫?，所以為直線與平面所成的角，易得，故D正確.故選：ABD6．（2018·浙江·高考真題）已知四棱錐的底面是正方形，側(cè)棱長(zhǎng)均相等，是線段上的點(diǎn)（不含端點(diǎn)），設(shè)與所成的角為，與平面所成的角為，二面角的平面角為，則A． B． C． D．【答案】D【分析】分別作出線線角、線面角以及二面角，再構(gòu)造直角三角形，根據(jù)邊的大小關(guān)系確定角的大小關(guān)系.【詳解】設(shè)為正方形的中心，為中點(diǎn)，過(guò)作的平行線，交于，過(guò)作垂直于，連接、、，則垂直于底面，垂直于，因此從而因?yàn)?，所以即，選D.

【點(diǎn)睛】線線角找平行，線面角找垂直，面面角找垂面.7．（2018·全國(guó)·高考真題）已知圓錐的頂點(diǎn)為，母線，所成角的余弦值為，與圓錐底面所成角為45°，若的面積為，則該圓錐的側(cè)面積為．【答案】【分析】先根據(jù)三角形面積公式求出母線長(zhǎng),再根據(jù)母線與底面所成角得底面半徑，最后根據(jù)圓錐側(cè)面積公式求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)槟妇€，所成角的余弦值為，所以母線，所成角的正弦值為，因?yàn)榈拿娣e為，設(shè)母線長(zhǎng)為所以，因?yàn)榕c圓錐底面所成角為45°，所以底面半徑為，因此圓錐的側(cè)面積為．【整體點(diǎn)評(píng)】根據(jù)三角形面積公式先求出母線長(zhǎng)，再根據(jù)線面角求出底面半徑，最后根據(jù)圓錐側(cè)面積公式求出側(cè)面積，思路直接自然，是該題的最優(yōu)解．8．（2018·全國(guó)·高考真題）在長(zhǎng)方體中，，與平面所成的角為，則該長(zhǎng)方體的體積為A． B． C． D．【答案】C【分析】首先畫(huà)出長(zhǎng)方體，利用題中條件，得到，根據(jù)，求得，可以確定，之后利用長(zhǎng)方體的體積公式求出長(zhǎng)方體的體積.【詳解】在長(zhǎng)方體中，連接，

根據(jù)線面角的定義可知，因?yàn)?，所以，從而求得，所以該長(zhǎng)方體的體積為，故選C.【點(diǎn)睛】該題考查的是長(zhǎng)方體的體積的求解問(wèn)題，在解題的過(guò)程中，需要明確長(zhǎng)方體的體積公式為長(zhǎng)寬高的乘積，而題中的條件只有兩個(gè)值，所以利用題中的條件求解另一條邊的長(zhǎng)就顯得尤為重要，此時(shí)就需要明確線面角的定義，從而得到量之間的關(guān)系，從而求得結(jié)果.9．（2018·全國(guó)·高考真題）已知正方體的棱長(zhǎng)為1，每條棱所在直線與平面所成的角都相等，則截此正方體所得截面面積的最大值為A． B． C． D．【答案】A【分析】首先利用正方體的棱是3組每組有互相平行的4條棱，所以與12條棱所成角相等，只需與從同一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱所成角相等即可，從而判斷出面的位置，截正方體所得的截面為一個(gè)正六邊形，且邊長(zhǎng)是面的對(duì)角線的一半，應(yīng)用面積公式求得結(jié)果.【詳解】根據(jù)相互平行的直線與平面所成的角是相等的，所以在正方體中，平面與線所成的角是相等的，所以平面與正方體的每條棱所在的直線所成角都是相等的，同理平面也滿足與正方體的每條棱所在的直線所成角都是相等，要求截面面積最大，則截面的位置為夾在兩個(gè)面與中間的，且過(guò)棱的中點(diǎn)的正六邊形，且邊長(zhǎng)為，所以其面積為，故選A.點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)平面被正方體所截得的截面多邊形的面積問(wèn)題，首要任務(wù)是需要先確定截面的位置，之后需要從題的條件中找尋相關(guān)的字眼，從而得到其為過(guò)六條棱的中點(diǎn)的正六邊形，利用六邊形的面積的求法，應(yīng)用相關(guān)的公式求得結(jié)果.考點(diǎn)03二面角及其應(yīng)用1．（2023·北京·高考真題）坡屋頂是我國(guó)傳統(tǒng)建筑造型之一，蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)元素．安裝燈帶可以勾勒出建筑輪廓，展現(xiàn)造型之美．如圖，某坡屋頂可視為一個(gè)五面體，其中兩個(gè)面是全等的等腰梯形，兩個(gè)面是全等的等腰三角形．若，且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的平面與平面的夾角的正切值均為，則該五面體的所有棱長(zhǎng)之和為（

）

A． B．C． D．【答案】C【分析】先根據(jù)線面角的定義求得，從而依次求，，，，再把所有棱長(zhǎng)相加即可得解.【詳解】如圖，過(guò)做平面，垂足為，過(guò)分別做，，垂足分別為，，連接，

由題意得等腰梯形所在的面、等腰三角形所在的面與底面夾角分別為和，所以.因?yàn)槠矫?，平面，所以，因?yàn)椋矫?，，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以?同理：，又，故四邊形是矩形，所以由得，所以，所以，所以在直角三角形中，在直角三角形中，，，又因?yàn)?，所有棱長(zhǎng)之和為.故選：C2．（2023·全國(guó)乙卷·高考真題）已知為等腰直角三角形，AB為斜邊，為等邊三角形，若二面角為，則直線CD與平面ABC所成角的正切值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)給定條件，推導(dǎo)確定線面角，再利用余弦定理、正弦定理求解作答.【詳解】取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)槭堑妊苯侨切危覟樾边?，則有，又是等邊三角形，則，從而為二面角的平面角，即，

顯然平面，于是平面，又平面，因此平面平面，顯然平面平面，直線平面，則直線在平面內(nèi)的射影為直線，從而為直線與平面所成的角，令，則，在中，由余弦定理得：，由正弦定理得，即，顯然是銳角，，所以直線與平面所成的角的正切為.故選：C3．（2023·全國(guó)新Ⅱ卷·高考真題）（多選）已知圓錐的頂點(diǎn)為P，底面圓心為O，AB為底面直徑，，，點(diǎn)C在底面圓周上，且二面角為45°，則（

）．A．該圓錐的體積為 B．該圓錐的側(cè)面積為C． D．的面積為【答案】AC【分析】根據(jù)圓錐的體積、側(cè)面積判斷A、B選項(xiàng)的正確性，利用二面角的知識(shí)判斷C、D選項(xiàng)的正確性.【詳解】依題意，，，所以，A選項(xiàng)，圓錐的體積為，A選項(xiàng)正確；B選項(xiàng)，圓錐的側(cè)面積為，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，設(shè)是的中點(diǎn)，連接，則，所以是二面角的平面角，則，所以，故，則，C選項(xiàng)正確；D選項(xiàng)，，所以，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：AC.

4．（2022·浙江·高考真題）如圖，已知正三棱柱，E，F(xiàn)分別是棱上的點(diǎn)．記與所成的角為，與平面所成的角為，二面角的平面角為，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先用幾何法表示出，再根據(jù)邊長(zhǎng)關(guān)系即可比較大小．【詳解】如圖所示，過(guò)點(diǎn)作于，過(guò)作于，連接，則，，，，，，所以，故選：A．5．（2019·浙江·高考真題）設(shè)三棱錐的底面是正三角形，側(cè)棱長(zhǎng)均相等，是棱上的點(diǎn)（不含端點(diǎn)），記直線與直線所成角為，直線與平面所成角為，二面角的平面角為，則A． B．C． D．【答案】B【解析】本題以三棱錐為載體，綜合考查異面直線所成的角、直線與平面所成的角、二面角的概念，以及各種角的