2024-2025學年高中數(shù)學第二章圓錐曲線與方程2.2.1橢圓及其標準方程學案含解析新人教A版選修2-1

PAGE9-2.2.1橢圓及其標準方程[目標]1.駕馭橢圓的定義，標準方程的兩種形式及推導過程.2.會依據(jù)條件確定橢圓的標準方程，駕馭用待定系數(shù)法求橢圓的標準方程．[重點]橢圓定義的應用及求橢圓的標準方程．[難點]橢圓標準方程的推導．學問點一橢圓的定義[填一填]平面內與兩個定點F1，F(xiàn)2的距離之和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點的軌跡叫做橢圓．這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點間的距離叫做橢圓的焦距．[答一答]1．定義中，將“大于|F1F2|”改為“等于|F1F2|”或“小于|F1F2|”的常數(shù)，其他條件不變，點的軌跡是什么？提示：當距離之和等于|F1F2|時，動點的軌跡就是線段F1F2；當距離之和小于|F1F2|時，動點的軌跡不存在．學問點二橢圓的標準方程[填一填][答一答]2．如何理解“標準方程”中的“標準”的意義？提示：(1)兩個焦點F1，F(xiàn)2在坐標軸上；(2)線段F1F2的中點是坐標原點．只有同時滿意這兩個條件時，所得到的方程才是標準方程．3．在橢圓標準方程的推導過程中，為什么令b2＝a2－c2，b>0?提示：令b2＝a2－c2可以使方程變得簡潔整齊．今后探討橢圓的幾何性質時，b還有明確的幾何意義，因此設b>0.4．對于一個橢圓的標準方程，怎樣推斷其焦點所在的坐標軸呢？提示：依據(jù)橢圓的標準方程推斷橢圓的焦點在哪條坐標軸上，只需看標準方程中的分母的大小，即橢圓的焦點在x軸上?標準方程中x2項的分母較大；橢圓的焦點在y軸上?標準方程中y2項的分母較大．1．對橢圓定義的理解(1)橢圓的定義揭示了橢圓的本質，是推斷動點軌跡是否為橢圓的重要依據(jù)．(2)設集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c均為大于0的常數(shù)．當2a>2c時，集合P為橢圓；當2a＝2c時，集合P為線段F1F2；當2a<2c時，集合P為空集，即動點M的軌跡不存在．2．對橢圓的標準方程的理解(1)橢圓的標準方程中的“標準”指的是中心在原點，對稱軸為坐標軸．(2)橢圓的標準方程右邊是1，左邊是關于x，y的平方和，并且分母不相等．橢圓的焦點在x軸上時，標準方程中x2項的分母較大；橢圓的焦點在y軸上時，標準方程中y2項的分母較大．(3)橢圓的標準方程有兩種形式．若已知焦點在x軸或y軸上，則標準方程唯一；若無法確定焦點的位置，則須要考慮兩種形式．其中a，b，c三個量滿意a2＝b2＋c2.類型一橢圓的定義及其應用【例1】(1)已知命題甲：動點P到兩定點A，B的距離之和|PA|＋|PB|＝2a，其中a為大于0的常數(shù)；命題乙：點P的軌跡是橢圓，則命題甲是命題乙的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充分且必要條件D．既不充分也不必要條件(2)已知橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，F(xiàn)1，F(xiàn)2是它的焦點．AB是過F1的直線與橢圓交于A、B兩點，則△ABF2的周長是________．【分析】數(shù)形結合，由橢圓定義即求得答案．【解析】(1)若點P的軌跡是橢圓，則肯定有|PA|＋|PB|＝2a(a>0，為常數(shù))．所以甲是乙的必要條件．反過來，若|PA|＋|PB|＝2a(a>0，為常數(shù))，當2a>|AB|時，點P的軌跡是橢圓；當2a＝|AB|時，點P的軌跡是線段AB；當2a<|AB|時，點P的軌跡不存在，所以甲不是乙的充分條件．綜上可知，甲是乙的必要不充分條件．(2)如圖，∵|AF1|＋|AF2|＝2a，|BF1|＋|BF2|＝2a，又∵△ABF2的周長＝|AB|＋|BF2|＋|AF2|＝|AF1|＋|BF1|＋|AF2|＋|BF2|＝4a，∴△ABF2的周長為4a.【答案】(1)B(2)4a一般地，關于橢圓的一些問題我們常?？紤]利用其定義，這時候就要關注它的兩個焦點，把問題轉化為探討橢圓上的點到兩個焦點的距離之和的問題.橢圓eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1上一點P到一個焦點的距離為5，則P到另一個焦點的距離為(A)A．5 B．6C．4 D．10解析：點P到橢圓的兩個焦點的距離之和為2a＝10,10－5＝5.類型二橢圓標準方程的識別【例2】當3<k<9時，指出方程eq\f(x2,9－k)＋eq\f(y2,k－3)＝1表示的曲線．【分析】比較9－k與k－3的大小，確定曲線類型．【解】∵3<k<9，∴9－k>0，k－3>0.(1)當9－k>k－3，即3<k<6時，方程表示焦點在x軸上的橢圓；(2)當9－k＝k－3，即k＝6時，方程表示圓x2＋y2＝3；(3)當9－k<k－3，即6<k<9時，方程表示焦點在y軸上的橢圓．依據(jù)橢圓標準方程的兩種形式可知，焦點在哪一坐標軸上，哪一變量對應的分母大，即x2對應的分母大，焦點就在x軸上；y2對應的分母大，焦點就在y軸上.已知曲線C：eq\f(x2,k－5)＋eq\f(y2,3－k)＝－1，則“4≤k<5”是“曲線C表示焦點在y軸上的橢圓”的必要不充分條件．解析：將曲線C的方程化為：eq\f(x2,5－k)＋eq\f(y2,k－3)＝1，若曲線C是焦點在y軸上的橢圓，則k－3>5－k>0，即4<k<5，故“4≤k<5”是“曲線C表示焦點在y軸上的橢圓”的必要不充分條件．類型三求橢圓的標準方程【例3】寫出適合下列條件的橢圓的標準方程：(1)a＝4，c＝3，焦點在y軸上；(2)a＋b＝8，c＝4；(3)經(jīng)過點A(eq\r(3)，－2)和點B(－2eq\r(3)，1)．【分析】求橢圓的標準方程時，要先推斷焦點位置，確定橢圓標準方程的形式，最終由條件確定a和b的值．【解】(1)焦點在y軸上，設標準方程為eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)，則a2＝16，b2＝a2－c2＝16－9＝7.∴橢圓的標準方程為eq\f(y2,16)＋eq\f(x2,7)＝1.(2)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＝8，,a2－b2＝16，))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＝8，,a＋ba－b＝16，))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＝8，,a－b＝2，))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝5，,b＝3.))∴橢圓的標準方程為eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1或eq\f(y2,25)＋eq\f(x2,9)＝1.(3)解法一：①當焦點在x軸上時，設橢圓的標準方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)．依題意有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3)2,a2)＋\f(－22,b2)＝1，,\f(－2\r(3)2,a2)＋\f(1,b2)＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝15，,b2＝5.))所以所求橢圓的方程為eq\f(x2,15)＋eq\f(y2,5)＝1.②當焦點在y軸上時，設橢圓的標準方程為eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)．依題意有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(－22,a2)＋\f(\r(3)2,b2)＝1，,\f(1,a2)＋\f(－2\r(3)2,b2)＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝5，,b2＝15.))(舍去)．故所求橢圓的方程為eq\f(x2,15)＋eq\f(y2,5)＝1.解法二：設所求橢圓的方程為mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，且m≠n)．依題意有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3m＋4n＝1，,12m＋n＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝\f(1,15)，,n＝\f(1,5).))所以所求橢圓的方程為eq\f(x2,15)＋eq\f(y2,5)＝1.確定橢圓的方程包括“定位”和“定量”兩個方面1“定位”是指確定與坐標系的相對位置，在中心為原點的前提下，確定焦點位于哪條坐標軸上，以推斷方程的形式；2“定量”是指確定a2，b2的詳細數(shù)值，常依據(jù)條件列方程求解.求適合下列條件的橢圓的標準方程．(1)經(jīng)過兩點(2，－eq\r(2))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(\r(14),2)))；(2)過點(eq\r(3)，－eq\r(5))，且與橢圓eq\f(y2,25)＋eq\f(x2,9)＝1有相同的焦點．解：(1)解法一：若焦點在x軸上，設橢圓的標準方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)．由已知條件得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(4,a2)＋\f(2,b2)＝1，,\f(1,a2)＋\f(14,4b2)＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,a2)＝\f(1,8)，,\f(1,b2)＝\f(1,4).))所以所求橢圓的標準方程為eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,4)＝1.若焦點在y軸上，設橢圓的標準方程為eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)．由已知條件得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(4,b2)＋\f(2,a2)＝1，,\f(1,b2)＋\f(14,4a2)＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,b2)＝\f(1,8)，,\f(1,a2)＝\f(1,4).))即a2＝4，b2＝8，則a2<b2，與題設中a>b>0沖突，舍去．綜上，所求橢圓的標準方程為eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,4)＝1.解法二：設橢圓的一般方程為Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)．將兩點(2，－eq\r(2))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(\r(14),2)))代入，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4A＋2B＝1，,A＋\f(14,4)B＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A＝\f(1,8)，,B＝\f(1,4)，))所以所求橢圓的標準方程為eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,4)＝1.(2)因為所求橢圓與橢圓eq\f(y2,25)＋eq\f(x2,9)＝1的焦點相同，所以其焦點在y軸上，且c2＝25－9＝16.設它的標準方程為eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)．因為c2＝16，且c2＝a2－b2，故a2－b2＝16.①又點(eq\r(3)，－eq\r(5))在橢圓上，所以eq\f(－\r(5)2,a2)＋eq\f(\r(3)2,b2)＝1，即eq\f(5,a2)＋eq\f(3,b2)＝1.②由①②得b2＝4，a2＝20，所以所求橢圓的標準方程為eq\f(y2,20)＋eq\f(x2,4)＝1.類型四素養(yǎng)提升橢圓中的焦點三角形問題【例4】如圖所示，已知橢圓的方程為eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1，若點P在其次象限，且∠PF1F2＝120°，求△PF1F2的面積．【思路分析】由橢圓的定義和余弦定理分別建立關于|PF1|和|PF2|的方程，解方程組求得|PF1|，再用面積公式求解．【精解詳析】由已知a＝2，b＝eq\r(3)，得c＝eq\r(a2－b2)＝eq\r(4－3)＝1，|F1F2|＝2c＝2，在△PF1F2中，由余弦定理，得|PF2|2＝|PF1|2＋|F1F2|2－2|PF1||F1F2|·cos120°，即|PF2|2＝|PF1|2＋4＋2|PF1|.①由橢圓定義，得|PF1|＋|PF2|＝4，即|PF2|＝4－|PF1|.②②代入①解得|PF1|＝eq\f(6,5).所以S△PF1F2＝eq\f(1,2)|PF1||F1F2|·sin120°＝eq\f(1,2)×eq\f(6,5)×2×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(3\r(3),5)，即△PF1F2的面積是eq\f(3,5)eq\r(3).【解后反思】橢圓上一點P與橢圓的兩焦點F1、F2構成的△F1PF2稱為焦點三角形，解關于橢圓中的焦點三角形問題時要充分利用橢圓的定義、三角形中的正弦定理、余弦定理等學問．對于求焦點三角形的面積，若已知∠F1PF2，可利用S＝eq\f(1,2)absinC把|PF1|·|PF2|看成一個整體，利用定義|PF1|＋|PF2|＝2a及余弦定理求出|PF1|·|PF2|，這樣可以削減運算量．設M是橢圓eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1上一點，F(xiàn)1、F2為焦點，∠F1MF2＝eq\f(π,6)，則S△MF1F2＝(C)A.eq\f(16\r(3),3) B．16(2＋eq\r(3))C．16(2－eq\r(3)) D．16解析：設|MF1|＝r1，|MF2|＝r2，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(r1＋r2＝10,r\o\al(2,1)＋r\o\al(2,2)－\r(3)r1r2＝36))，∴r1r2＝64(2－eq\r(3))，∴S△MF1F2＝eq\f(1,2)r1r2sineq\f(π,6)＝16(2－eq\r(3)).1．設P是橢圓eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1上的點．若F1、F2是橢圓的兩個焦點，則|PF1|＋|PF2|等于(D)A．4 B．5C．8 D．10解析：|PF1|＋|PF2|＝2a＝10.2．若方程eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,8sinα)＝1表示焦點在y軸上的橢圓，則銳角α的取值范圍是(C)A．(eq\f(π,3)，eq\f(π,2)) B．[eq\f(π,3)，eq\f(π,2))C．(eq\f(π,6)，eq\f(π,2)) D．[eq\f(π,6)，eq\f(π,2))解析：∵方程eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,8sinα)＝1表示焦點在y軸上的橢圓，∴8sinα>4，sinα>eq\f(1,2).∵α為銳角，∴eq\f(π,6)<α<eq\f(π,2).3．橢圓的兩焦點坐標分別為(－2,0)和(2,0)，且橢圓過點(eq\f(5,2)，－eq\f(3,2))，則橢圓方程是(D)A.eq\f(y2,8)＋eq\f(x2,4)＝1 B.eq\f(y2,10)＋eq\f(x2,6)＝1