新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)強(qiáng)化練習(xí)專題16 立體幾何線面位置關(guān)系及空間角的計(jì)算（講）（原卷版）

第一篇熱點(diǎn)、難點(diǎn)突破篇專題16立體幾何線面位置關(guān)系及空間角的計(jì)算（講）真題體驗(yàn)感悟高考1．【多選題】（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）在正三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則（

）A．當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0的周長為定值B．當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，三棱錐SKIPIF1<0的體積為定值C．當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，有且僅有一個(gè)點(diǎn)SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0D．當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，有且僅有一個(gè)點(diǎn)SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0平面SKIPIF1<02．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）如圖，SKIPIF1<0是三棱錐SKIPIF1<0的高，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，E是SKIPIF1<0的中點(diǎn)．(1)證明：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求二面角SKIPIF1<0的正弦值．3.（2020·海南·高考真題）如圖，四棱錐P-ABCD的底面為正方形，PDSKIPIF1<0底面ABCD．設(shè)平面PAD與平面PBC的交線為SKIPIF1<0．（1）證明：SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面PDC；（2）已知PD=AD=1，Q為SKIPIF1<0上的點(diǎn)，QB=SKIPIF1<0，求PB與平面QCD所成角的正弦值．總結(jié)規(guī)律預(yù)測(cè)考向（一）規(guī)律與預(yù)測(cè)（1）以幾何體的結(jié)構(gòu)特征為基礎(chǔ)，考查幾何體的面積體積計(jì)算為主，題型基本穩(wěn)定為選擇題或填空題，難度中等以下；也有幾何體的面積或體積在解答題中與平行關(guān)系、垂直關(guān)系等相結(jié)合考查的情況.（2）與立體幾何相關(guān)的“數(shù)學(xué)文化”、實(shí)際問題等相結(jié)合，考查數(shù)學(xué)應(yīng)用.（3）幾何體的表面積與體積是主要命題形式.有時(shí)作為解答題的一個(gè)構(gòu)成部分考查幾何體的表面積與體積，有時(shí)結(jié)合面積、體積的計(jì)算考查等積變換等轉(zhuǎn)化思想．幾何體與球的切、接、截問題，往往是知識(shí)考查的載體.（4）以選擇題、填空題的形式考查線線、線面、面面位置關(guān)系的判定與性質(zhì)定理，對(duì)命題的真假進(jìn)行判斷，屬于基礎(chǔ)題.空間中的平行、垂直關(guān)系的證明也是高考必考內(nèi)容，除獨(dú)立考查外，多出現(xiàn)在立體幾何解答題中的第（1）問，第（2）問則考查角的計(jì)算.空間的角與距離的計(jì)算（特別是角的計(jì)算）是高考熱點(diǎn)，一般以大題的條件或一小問形式呈現(xiàn)，考查用向量方法解決立體幾何問題，將空間幾何元素之間的位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系，并通過計(jì)算解決立體幾何問題．距離問題往往在與有關(guān)面積、體積的計(jì)算中加以考查．此類問題往往屬于“證算并重”題，即第一問用幾何法證明平行關(guān)系或垂直關(guān)系，第二問則通過建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量方法進(jìn)一步求角或距離.（二）本專題考向展示考點(diǎn)突破典例分析考向一空間中的位置關(guān)系【核心知識(shí)】1．直線、平面平行的判定及其性質(zhì)(1)線面平行的判定定理：a?α，b?α，a∥b?a∥α.(2)線面平行的性質(zhì)定理：a∥α，a?β，α∩β＝b?a∥b.(3)面面平行的判定定理：a?β，b?β，a∩b＝P，a∥α，b∥α?α∥β.(4)面面平行的性質(zhì)定理：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b?a∥b.2．直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)(1)線面垂直的判定定理：m?α，n?α，m∩n＝P，l⊥m，l⊥n?l⊥α.(2)線面垂直的性質(zhì)定理：a⊥α，b⊥α?a∥b.(3)面面垂直的判定定理：a?β，a⊥α?α⊥β.(4)面面垂直的性質(zhì)定理：α⊥β，α∩β＝l，a?α，a⊥l?a⊥β.3.空間向量與空間的位置關(guān)系（1）直線的方向向量直線的方向向量：l是空間一直線，A，B是直線l上任意兩點(diǎn)，則稱SKIPIF1<0為直線l的方向向量，與SKIPIF1<0平行的任意非零向量也是直線l的方向向量．（2）平面的法向量直線l⊥平面α，取直線l的方向向量，則這個(gè)向量叫做平面α的法向量.顯然一個(gè)平面的法向量有無數(shù)個(gè)，并且它們是共線向量.平面的法向量可利用方程組求出：設(shè)a，b是平面α內(nèi)兩不共線向量，n為平面α的法向量，則求法向量的方程組為SKIPIF1<0.（3）用向量證明空間中的平行關(guān)系①設(shè)直線l1和l2的方向向量分別為v1和v2，則l1∥l2(或l1與l2重合)?v1∥v2.②設(shè)直線l的方向向量為v，與平面α共面的兩個(gè)不共線向量v1和v2，則l∥α或l?α?存在兩個(gè)實(shí)數(shù)x，y，使v＝xv1＋yv2.③設(shè)直線l的方向向量為v，平面α的法向量為u，則l∥α或l?α?v⊥u.④設(shè)平面α和β的法向量分別為u1，u2，則α∥β?u1∥u2.（4）用向量證明空間中的垂直關(guān)系①設(shè)直線l1和l2的方向向量分別為v1和v2，則l1⊥l2?v1⊥v2?v1·v2＝0.②設(shè)直線l的方向向量為v，平面α的法向量為u，則l⊥α?v∥u.③設(shè)平面α和β的法向量分別為u1和u2，則α⊥β?u1⊥u2?u1·u2＝0.（5）共線與垂直的坐標(biāo)表示設(shè)a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，則a∥b?a＝λb?a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)，a⊥b?a·b＝0?a1b1＋a2b2＋a3b3＝0(a，b均為非零向量)．【典例分析】典例1.（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）在正方體SKIPIF1<0中，E，F(xiàn)分別為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，則（

）A．平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0 B．平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0C．平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0 D．平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0典例2.（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）在長方體SKIPIF1<0中，已知SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0和平面SKIPIF1<0所成的角均為SKIPIF1<0，則（

）A．SKIPIF1<0 B．AB與平面SKIPIF1<0所成的角為SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成的角為SKIPIF1<0典例3.【多選題】（2023·湖南湘潭·統(tǒng)考二模）如圖，在棱長為SKIPIF1<0的正方體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0是線段SKIPIF1<0的中點(diǎn)，點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，則（

）A．存在SKIPIF1<0，使得平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0B．存在SKIPIF1<0，使得平面SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0C．對(duì)任意SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0D．當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，過SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0三點(diǎn)的平面截正方體得到的截面多邊形的面積為SKIPIF1<0典例4.（2020·全國·統(tǒng)考高考真題）如圖，在長方體SKIPIF1<0中，點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別在棱SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．證明：（1）當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0；（2）點(diǎn)SKIPIF1<0在平面SKIPIF1<0內(nèi)．【規(guī)律方法】（1）根據(jù)空間線面平行、垂直關(guān)系的判定定理和性質(zhì)定理逐項(xiàng)判斷來解決問題；（2）必要時(shí)可以借助空間幾何模型，如從長方體、四面體等模型中觀察線面位置關(guān)系，并結(jié)合有關(guān)定理來進(jìn)行判斷．（3）當(dāng)從正面入手較難時(shí)，可利用反證法，推出與題設(shè)或公認(rèn)的結(jié)論相矛盾的命題，進(jìn)而作出判斷.（4）利用空間向量考向二利用空間向量求直線與平面所成角【核心知識(shí)】直線和平面所成角的求法：如圖所示，設(shè)直線l的方向向量為e，平面α的法向量為n，直線l與平面α所成的角為φ，兩向量e與n的夾角為θ，則有sinφ＝|cosθ|＝eq\f(|e·n|,|e||n|).【典例分析】典例5.（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）如圖，四面體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，E為SKIPIF1<0的中點(diǎn)．(1)證明：平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)設(shè)SKIPIF1<0，點(diǎn)F在SKIPIF1<0上，當(dāng)SKIPIF1<0的面積最小時(shí)，求SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成的角的正弦值．典例6.（2023秋·河南南陽·高三統(tǒng)考期末）如圖，四棱錐SKIPIF1<0的底面為直角梯形，SKIPIF1<0，PB⊥底面ABCD，SKIPIF1<0，設(shè)平面PAD與平面PBC的交線為SKIPIF1<0．(1)證明：SKIPIF1<0平面PAB；(2)設(shè)Q為SKIPIF1<0上的動(dòng)點(diǎn)，求SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的正弦值的最大值．典例7.（2023·安徽馬鞍山·統(tǒng)考一模）如圖，在四棱錐SKIPIF1<0中，底面SKIPIF1<0為正方形，SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為線段SKIPIF1<0的中點(diǎn)，SKIPIF1<0在線段SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0.(1)求證：平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)求直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的正弦值.【總結(jié)提升】利用向量法求線面角的方法(1)分別求出斜線和它在平面內(nèi)的射影直線的方向向量，轉(zhuǎn)化為求兩個(gè)方向向量的夾角(或其補(bǔ)角)；(2)通過平面的法向量來求，即求出斜線的方向向量與平面的法向量所夾的銳角(鈍角時(shí)取其補(bǔ)角)，取其余角就是斜線和平面所成的角.考向三利用空間向量求二面角【核心知識(shí)】1．求二面角的大小(1)如圖1，AB、CD是二面角α－l－β的兩個(gè)面內(nèi)與棱l垂直的直線，則二面角的大小θ＝〈，〉．(2)如圖2、3，分別是二面角α－l－β的兩個(gè)半平面α，β的法向量，則二面角的大小(或)．即：求出二面角α－l－β的兩個(gè)半平面α與β的法向量n1，n2，若二面角α－l－β所成的角θ為銳角，則cosθ＝|cos〈n1，n2〉|＝eq\f(|n1·n2|,|n1||n2|)；若二面角α－l－β所成的角θ為鈍角，則cosθ＝－|cos〈n1，n2〉|＝－eq\f(|n1·n2|,|n1||n2|).【典例分析】典例8.（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）在四棱錐SKIPIF1<0中，底面SKIPIF1<0是正方形，若SKIPIF1<0．（1）證明：平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；（2）求二面角SKIPIF1<0的平面角的余弦值．典例9.（2023秋·江蘇南通·高三統(tǒng)考期末）如圖，在三棱柱SKIPIF1<0中，底面SKIPIF1<0是邊長為2的正三角形，SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面ABC，M是棱SKIPIF1<0的中點(diǎn).(1)證明：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)若四棱錐SKIPIF1<0的體積為SKIPIF1<0，求二面角SKIPIF1<0的余弦值.典例10.（2023·吉林·長春十一高校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0平面ABC，D為線段AB的中點(diǎn)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，三棱錐SKIPIF1<0的體積為8．(1)證明：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)求平面SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0夾角的余弦值．利用向量法計(jì)算二面角大小的常用方法(1)找法向量法：分別求出二面角的兩個(gè)半平面所在平面的法向量，然后通過兩個(gè)平面的法向量的夾角得到二面角的大?。⒁饨Y(jié)合實(shí)際圖形判斷所求角的大?。?2)找與棱垂直的方向向量法：分別在二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)找到與棱垂直且以垂足為起點(diǎn)的兩個(gè)向量，則這兩個(gè)向量的夾角的大小就是二面角的大?。枷蛩睦每臻g向量求距離【核心知識(shí)】點(diǎn)面距的求法如圖，設(shè)AB為平面α的一條斜線段，n為平面α的法向量，則B到平面α的距離d＝eq\f(|\o(AB,\s\up6(→))·n|,|n|).【典例分析】典例11