等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式 教學(xué)設(shè)計(jì)

課程基本信息課題等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式授課課教師教科書書名：普通高中教科書數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊（A版）出版社：人民教育出版社教學(xué)目標(biāo)1.課程目標(biāo)(1).掌握等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)方法．(2).掌握等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，能夠運(yùn)用公式解決相關(guān)問題．(3).掌握等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的簡單性質(zhì)．2.素養(yǎng)目標(biāo)(1).數(shù)學(xué)抽象：等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式(2).邏輯推理：等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)(3).數(shù)學(xué)運(yùn)算：等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的運(yùn)用教學(xué)重難點(diǎn)1.教學(xué)重點(diǎn)：等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)及應(yīng)用.2.教學(xué)難點(diǎn)：等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)教學(xué)過程時(shí)間教學(xué)環(huán)節(jié)主要師生活動(dòng)一、數(shù)學(xué)史引入教師介紹高斯的故事.問題1計(jì)算1＋2＋3＋…＋100的值.意圖：引出高斯首尾配對的方法.追問：為什么1＋100＝2＋99＝…＝50＋51呢？這是巧合嗎？試從數(shù)列角度給出解釋.意圖：探究高斯方法簡化運(yùn)算的本質(zhì)原因，即通過等差數(shù)列的性質(zhì)，將不同數(shù)求和問題轉(zhuǎn)化為相同數(shù)求和的問題，從而用乘法運(yùn)算簡化了求和運(yùn)算.二、層層遞進(jìn)，推導(dǎo)公式問題2你能用上述方法計(jì)算1＋2＋3＋…＋101嗎？意圖：為后續(xù)研究一般性問題時(shí)對項(xiàng)數(shù)奇偶進(jìn)行討論的方法做鋪墊.預(yù)案：1＋2＋3＋…＋101＝(1＋101)＋(2＋100)＋…＋(50＋52)＋51＝102×50＋51＝5151追問：你還能想到其他方法嗎？預(yù)案1：1＋2＋3＋…＋101=(1+101)+(2+100)+(3+99)+…+(50+52)+51=50×102+51=5151預(yù)案2：1＋2＋3＋…＋101=(1+2+3+…+100)+101=5050+101=5151問題3計(jì)算1＋2＋3＋…＋n.意圖：這個(gè)問題既是問題1和問題2的推廣，又是等差數(shù)列的一個(gè)特殊情形，為進(jìn)一步解決一般等差數(shù)列的求和問題做鋪墊；同時(shí)，在對項(xiàng)數(shù)分奇偶討論之后，學(xué)生會發(fā)現(xiàn)結(jié)論的一致性，這可以引發(fā)進(jìn)一步的思考，從而發(fā)現(xiàn)倒序求和的方法；此外，這個(gè)問題又是一個(gè)常用的結(jié)論，對于公式（2）的推導(dǎo)也可以用到這個(gè)結(jié)論.問題4不分類討論能否得到最終的結(jié)論呢？意圖：引導(dǎo)學(xué)生將公式變形，通過變形之后的等式的意義，構(gòu)造對應(yīng)的計(jì)算方法，得到倒序求和的方法.追問：你能說說這種方法巧妙在哪里嗎？意圖：總結(jié)不等數(shù)求和轉(zhuǎn)化為相等數(shù)求和的倒序求和的方法.活動(dòng)：引導(dǎo)學(xué)生從幾何上體會倒序求和的方法.問題5倒序求和的方法能否用于求一般等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn呢？意圖：應(yīng)用倒序求和的方法求一般等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，得到公式（1）.三、公式(1)的理解和簡單應(yīng)用1.作用1：已知，n，a1和an，求Sn.追問：你能用文字語言表述這個(gè)公式嗎？意圖：由文字語言的表述，提煉利用公式（1）求等差數(shù)列的前n項(xiàng)和所需要的條件，即a1，an和n.練習(xí)：在等差數(shù)列{an}中，a1＝7，a50＝101，求S50.解：根據(jù)公式（1）S50=2.作用2：已知Sn，n，a1和an中任意3個(gè)，求第4個(gè).3.變形理解：等差數(shù)列前n項(xiàng)的平均值等于首項(xiàng)與第n項(xiàng)的平均值.四、公式(2)的推導(dǎo)與應(yīng)用問題6能不能用a1和d來表示Sn呢？意圖：希望學(xué)生能夠利用公式(1)和等差數(shù)列的通項(xiàng)公式推出公式(2).追問：如果不利用公式(1)的結(jié)論，你還有其他方法得到公式(2)嗎？意圖：從數(shù)列前n項(xiàng)和的定義出發(fā)，將每一項(xiàng)用首項(xiàng)和公差表示，再分組求和.活動(dòng)：類比公式(1)的應(yīng)用，分析公式(2)的應(yīng)用. 意圖：作用1：已知a1，d和n，求Sn.作用2：已知Sn，n，a1和d中任意3個(gè)，求第4個(gè).練習(xí)：在等差數(shù)列{an}中，a1=12，d=?16，Sn＝－解：把a(bǔ)1=12，d=?16,Sn=?5，代入?5=12n+n2n=12或n=?5意圖：結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，從方程角度分析可以解決的問題，體會方程思想.五、綜合應(yīng)用例1已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，其前10項(xiàng)的和是310，前20項(xiàng)的和是1220.由這些條件能確定這個(gè)等差數(shù)列的首項(xiàng)和公差嗎?解：由題意，知S10=310,把它們代入公式

Sn=n得10a1意圖：體會首項(xiàng)和公差對等差數(shù)列的確定作用，總結(jié)解決等差數(shù)列問題的基本量法，并從方程角度理解確定一個(gè)等差數(shù)列所需的條件數(shù).課堂練習(xí)某校新建一個(gè)報(bào)告廳，要求容納800個(gè)座位，報(bào)告廳共有20排座位，從第2排起后一排都比前一排多兩個(gè)座位.問第1排應(yīng)安排多少個(gè)座位？解：設(shè)報(bào)告廳的座位從第1排到第20排，各排的座位數(shù)依次排成一列，構(gòu)成數(shù)列{an根據(jù)題意，數(shù)列{an}是一個(gè)公差為2的等差數(shù)列，且S由S20=20a1+因此，第1排應(yīng)安排21個(gè)座位。意