成比例線段（原卷版）-九年級(jí)數(shù)學(xué)（北師大版）

第18講成比例線段了解成比例線段；掌握比例的性質(zhì)；掌握黃金分割及其應(yīng)用。1．成比例線段：對(duì)于四條線段a、b、c、d，如果其中兩條線段的比與另兩條線段的比相等，如a:b=c:d，我們就說(shuō)這四條線段是成比例線段，簡(jiǎn)稱比例線段．2．比例的性質(zhì)：（1）基本性質(zhì)：若a:b=c:d，則ad=bc；（2）合比性質(zhì)：如果如果（3）等比性質(zhì)：如果（4）比例中項(xiàng)：若a:b=b:c，則=ac，b稱為a、c的比例中項(xiàng)．要點(diǎn)：通常四條線段a,b,c,d的單位應(yīng)該一致，但有時(shí)為了計(jì)算方便，a,b的單位一致，c,d的單位一致也可以。3.黃金分割如果點(diǎn)P把線段AB分割成AP和PB,(AP>PB)兩段，其中AP是AB和PB的比例中項(xiàng)，那么就稱這種分割為黃金分割，點(diǎn)P是線段AB的黃金分割點(diǎn).≈0.618AB(叫做黃金分割值).要點(diǎn)：線段的黃金分割點(diǎn)有兩個(gè).考點(diǎn)1：成比例線段例1．下列各組線段中，成比例線段的組是（

）A． B．C． D．例2．線段，，，的長(zhǎng)度如下：①，，，；②，，，；③，，，；以上組數(shù)據(jù)中，能使，，，構(gòu)成比例線段的有．（

）A．組 B．組 C．組 D．組考點(diǎn)2：比例的性質(zhì)例3．已知、是不等于0的實(shí)數(shù)，，那么下列等式中正確的是（

）A． B． C． D．例4．已知，那么的值是（

）．A． B． C． D．例5．如果四條線段、、、構(gòu)成，，則下列式子中，成立的是（

）A． B． C． D．例6．（1）若，則___________；（2）若，則___________；（3）若，則___________．考點(diǎn)3：比例中項(xiàng)例7．如果，且是和的比例中項(xiàng)，那么等于（

）A． B． C． D．例8．如果a=2，b=4，c=8，那么（

）A．a(chǎn)、b、c的第四比例項(xiàng)是7 B．3a、2b和3c的第四比例項(xiàng)為18C．c是ab的比例中項(xiàng) D．b是ac的比例中項(xiàng)例9．已知線段a、b滿足，且．(1)求a、b的值；(2)若線段x是線段a、b的比例中項(xiàng)，求x的值．例10．在比例尺為1：50的圖紙上，長(zhǎng)度為10cm的線段實(shí)際長(zhǎng)為（）A．50cm B．500cm C． D．考點(diǎn)4：比例尺的應(yīng)用例11．、兩地的實(shí)際距離米，畫(huà)在地圖上的距離為5厘米，則地圖上的距離與實(shí)際距離的比是________．例12．兩地的實(shí)際距離是，在地圖上量得這兩地的距離為，這幅地圖的比例尺是多少？考點(diǎn)4：比例的性質(zhì)綜合例13．下列結(jié)論不一定成立的是（

）A．如果，那么B．如果，那么C．如果，（），那么D．如果，那么例14．已知：．(1)求代數(shù)式的值；(2)如果，求a的值.例15．已知，，求的值．例16．若，求的值．考點(diǎn)5：分類討論題例17．若x與2、5、6這三個(gè)數(shù)可以組成比例式，則x可能是__________．例18．已知三條線段長(zhǎng)分別為1cm，cm，2cm，請(qǐng)你求出一條線段，使得它的長(zhǎng)與前面三條線段能夠組成比例線段．例19．若，則的值為_(kāi)____．考點(diǎn)6：黃金分割例20．已知P點(diǎn)為線段的黃金分割點(diǎn)，，且，則___________例21．點(diǎn)P是長(zhǎng)度為10的線段上的黃金分割點(diǎn)，則較短線段的長(zhǎng)度為（

）A． B． C． D．例22．已知，點(diǎn)線段的黃金分割點(diǎn)，且，那么________．例23．已知：線段，點(diǎn)是的黃金分割點(diǎn)，且，則_____，________．考點(diǎn)7：黃金分割比的形式拓展例24．已知線段，點(diǎn)在線段上，且，那么線段的長(zhǎng)_____．例25．如圖，點(diǎn)P把線段分成兩部分，且為與的比例中項(xiàng)．如果，那么_____．例26．已知線段，若，是的兩個(gè)黃金分割點(diǎn)，則長(zhǎng)為_(kāi)_____．例27．已知線段，點(diǎn)P是線段的黃金分割點(diǎn)，且，那么的長(zhǎng)為_(kāi)_____．考點(diǎn)8：黃金分割的應(yīng)用例28．一本書(shū)的寬與長(zhǎng)之比為黃金比，書(shū)的長(zhǎng)為14cm，則它的寬為（）A． B． C． D．例29．寬與長(zhǎng)的比值等于黃金分割比的矩形，叫做黃金矩形，從外形看，它最具美感．現(xiàn)在想要制作一張“黃金矩形”的賀年卡，如果賀年卡的長(zhǎng)的等于厘米，那么賀年卡的寬等于______厘米．（，精確到）例30．黃金分割是一種最能引起美感的分割比例，具有嚴(yán)格的比例性、藝術(shù)性、和諧性，蘊(yùn)藏著豐富的美學(xué)價(jià)值．如圖，在某校初三中考百日倒計(jì)時(shí)啟動(dòng)儀式的中，舞臺(tái)的長(zhǎng)為18米，主持人站在點(diǎn)處自然得體．已知點(diǎn)是線段上靠近點(diǎn)的黃金分割點(diǎn)，則此時(shí)主持人與點(diǎn)的距離為_(kāi)________米．例31．“黃金分割”被視為最美麗的幾何學(xué)比率，在建筑、藝術(shù)和日常生活中處處可見(jiàn).主持人站在舞臺(tái)的黃點(diǎn)分割位置會(huì)更自然得體，如圖，舞臺(tái)長(zhǎng)米，點(diǎn)是線段的黃金分割點(diǎn)(即)，則的長(zhǎng)是______．

例32．在學(xué)習(xí)“黃金分割”時(shí)，某同學(xué)采用下列方法作線段的一個(gè)黃金分割點(diǎn)C：如圖，過(guò)線段的端點(diǎn)B作，使；連接，在上截取，在上截取，則點(diǎn)C即為所求．你認(rèn)為他的作圖是否正確？_______（填“正確”或“不正確”）例33．在20世紀(jì)70年代，著名數(shù)學(xué)家華羅庚教授將黃金分割法作為一種“優(yōu)選法”，在全國(guó)大規(guī)模推廣，取得了很大成果．如圖，利用黃金分割法，所做將矩形窗框分為上下兩部分，其中點(diǎn)E為邊的黃金分割點(diǎn)（）．已知為2米，則線段的長(zhǎng)為_(kāi)_____米（結(jié)果保留根號(hào)）．

例34．如圖，線段，點(diǎn)C是線段的黃金分割點(diǎn)，是線段的黃金分割點(diǎn)，是線段的黃金分割點(diǎn)，以此類推，則__________．考點(diǎn)9：黃金分割難點(diǎn)例35．請(qǐng)閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)：公元前300年前后，歐幾里得撰寫(xiě)的《幾何原本》系統(tǒng)地論述了黃金分割，成為最早的有關(guān)黃金分割的論著．黃金分割（）是指把一條線段分割為兩部分，使較大部分與全長(zhǎng)的比值等于較小部分與較大部分的比值．如圖①，在線段上找一個(gè)點(diǎn)C，C把分為和兩段，其中是較小的一段，如果，那么稱線段被C點(diǎn)黃金分割，點(diǎn)C叫做線段的黃金分割點(diǎn)，與的比值叫做黃金分割數(shù)．為簡(jiǎn)單起見(jiàn)，設(shè)，則．∵，∴……任務(wù)：(1)請(qǐng)根據(jù)上面的部分解題過(guò)程，求黃金分割數(shù)．(2)如圖②，采用如下方法可以得到黃金分割點(diǎn)：①設(shè)是已知線段，過(guò)點(diǎn)B作且使；②連接，在上截?。虎墼谏辖厝。粍t點(diǎn)C即為線段黃金分割點(diǎn)．你能說(shuō)說(shuō)其中的道理嗎？(3)已知線段，點(diǎn)C，D是線段上的兩個(gè)黃金分割點(diǎn)，則線段的長(zhǎng)是．例36．材料一：北師大版數(shù)學(xué)教材九年級(jí)上冊(cè)第四章，對(duì)“黃金分割比”的定義如下：“如圖，點(diǎn)C把線段AB分成兩條線段AC和BC，如果＝，那么稱線段AB被點(diǎn)C黃金分割，點(diǎn)C叫做線段AB的黃金分割點(diǎn)，＝叫做黃金比.”根據(jù)定義不難發(fā)現(xiàn)，在線段AB另有一點(diǎn)D把線段AB分成兩條線段AD和BD，滿足＝，所以點(diǎn)D也是線段AB的黃金分割點(diǎn)．材料二：對(duì)于實(shí)數(shù)：a1＜a2＜a3＜a4，如果滿足（a3﹣a1）2＝（a4﹣a3）（a4﹣a1），（a4﹣a2）2＝（a2﹣a1）（a4﹣a1）則稱a3為a1，a4的黃金數(shù)，a2為a1，a4的白銀數(shù)．請(qǐng)根據(jù)以上材料，回答下列問(wèn)題（1）如圖，若AB＝4，點(diǎn)C和點(diǎn)D是線段AB的黃金分割點(diǎn)，則AC＝，CD＝．（2）實(shí)數(shù)0＜a＜b＜1，且b為0，1的黃金數(shù)，a為0，1的白銀數(shù)，求b﹣a的值．（3）實(shí)數(shù)k＜n＜m＜t，t＝2|k|，m，n分別為k，t的黃金數(shù)和白銀數(shù)，求的值．一、單選題1．（2018·甘肅隴南·中考真題）已知（a≠0，b≠0），下列變形錯(cuò)誤的是（）A． B．2a=3b C． D．3a=2b二、填空題2．（2020·湖南婁底·中考真題）若，則________．3．（2017·湖南婁底·中考真題）湖南地圖出版社首發(fā)的豎版《中華人民共和國(guó)地圖》，將南海諸島與中國(guó)大陸按同比例尺1：6700000表示出來(lái)，使讀者能夠全面、直觀地認(rèn)識(shí)我國(guó)版圖，若在這種地圖上量得我國(guó)南北的圖上距離是82.09厘米，則我國(guó)南北的實(shí)際距離大約是______千米（結(jié)果精確到1千米）4．（2018·四川成都·統(tǒng)考中考真題）已知，且，則的值為_(kāi)_________．5．（2023·浙江·統(tǒng)考中考真題）小慧同學(xué)在學(xué)習(xí)了九年級(jí)上冊(cè)“4.1比例線段”3節(jié)課后，發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)內(nèi)容是一個(gè)逐步特殊化的過(guò)程，請(qǐng)?jiān)跈M線上填寫(xiě)適當(dāng)?shù)臄?shù)值，感受這種特殊化的學(xué)習(xí)過(guò)程．圖中橫線處應(yīng)填：__________

6．（2021·黑龍江大慶·統(tǒng)考中考真題）已知，則________7．（2023·四川達(dá)州·統(tǒng)考中考真題）如圖，樂(lè)器上的一根弦，兩個(gè)端點(diǎn)固定在樂(lè)器板面上，支撐點(diǎn)是靠近點(diǎn)的黃金分割點(diǎn)，支撐點(diǎn)是靠近點(diǎn)的黃金分割點(diǎn)，之間的距離為_(kāi)_____．8．（2022·江蘇鎮(zhèn)江·統(tǒng)考中考真題）《九章算術(shù)》中記載，戰(zhàn)國(guó)時(shí)期的銅衡桿，其形式既不同于天平衡桿，也異于稱桿衡桿正中有拱肩提紐和穿線孔，一面刻有貫通上、下的十等分線．用該衡桿稱物，可以把被稱物與砝碼放在提紐兩邊不同位置的刻線上，這樣，用同一個(gè)砝碼就可以稱出大于它一倍或幾倍重量的物體．圖為銅衡桿的使用示意圖，此時(shí)被稱物重量是砝碼重量的_________倍．9．（2022·陜西·統(tǒng)考中考真題）在20世紀(jì)70年代，我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚教授將黃金分割法作為一種“優(yōu)選法”，在全國(guó)大規(guī)模推廣，取得了很大成果．如圖，利用黃金分割法，所做將矩形窗框分為上下兩部分，其中E為邊的黃金分割點(diǎn)，即．已知為2米，則線段的長(zhǎng)為_(kāi)_____米．一、單選題1．下列各組線段的長(zhǎng)度成比例的是（

）A．1cm，2cm，3cm，4cm B．3cm，4cm，5cm，6cmC．5cm，10cm，15cm，20cm D．6cm，4cm，3cm，2cm2．地圖上樂(lè)山到峨眉的圖上距離為3.8厘米，比例尺是1：1000000，那么樂(lè)山到峨眉的實(shí)際距離是（）A．3800米 B．38000米 C．380000米 D．3800000米3．已知點(diǎn)C是線段AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且AB：BC＝3：2，則AC：AB為（

）A．3：2 B．5：3 C．5：2 D．3：54．如果，那么下列等式中不成立的是（）A． B． C． D．5．已知線段是線段、的比例中項(xiàng)，且，，則等于（

）．A． B． C． D．無(wú)法確定6．下列說(shuō)法正確的是（）A．每一條線段有且只有一個(gè)黃金分割點(diǎn)B．黃金分割點(diǎn)分一條線段為兩段，其中較短的一段是這條線段的0.618倍C．若點(diǎn)C把線段AB黃金分割，則AC是AB和BC的比例中項(xiàng)D．黃金分割點(diǎn)分一條線段為兩段，其中較短的一段與較長(zhǎng)的一段的比值約為0.6187．如圖，已知點(diǎn)C是線段AB的黃金分割點(diǎn)（其中AC＞BC），則下列結(jié)論正確的是（）A． B． C．AB2＝AC2+BC2 D．BC2＝AC?BA8．已知，且，則下列結(jié)論中：①；②；③，正確的有（

）A．個(gè) B．個(gè) C．個(gè) D．個(gè)9．若線段，點(diǎn)P是線段的黃金分割點(diǎn)，且，則的長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．10．大自然巧奪天工，一片樹(shù)葉也蘊(yùn)含著“黃金分割”．如圖，P為的黃金分割點(diǎn)，如果的長(zhǎng)度為，那么的長(zhǎng)度是（

）A． B． C． D．11．如果點(diǎn)是線段的黃金分割點(diǎn)且，那么下列結(jié)論錯(cuò)誤的為（

）A． B．是和的比例中項(xiàng)C． D．12．若，設(shè)，，，則、、的大小順序?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．13．如圖，以線段為邊作正方形，取的中點(diǎn)E，連接，延長(zhǎng)至F，使得，以為邊作正方形，則點(diǎn)H即是線段的黃金分割點(diǎn).若記正方形的面積為，矩形的面積為，則與的大小關(guān)系是（）A． B． C． D．不能確定14．“黃金分割”給人以美感，它在建筑、藝術(shù)等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用．如圖（1），點(diǎn)把線段分成兩部分，如果，那么稱點(diǎn)是線段的黃金分割點(diǎn)．如圖（2），點(diǎn)分別是線段的黃金分割點(diǎn)，（），若，則的長(zhǎng)是（）A． B． C． D．二、填空題15．如果，那么________．16．已知線段長(zhǎng)是是線段上的一點(diǎn)，且滿足那么長(zhǎng)為_(kāi)___．17．已知點(diǎn)是線段上的黃金分割點(diǎn)，且，，那么_____．18．已知點(diǎn)是線段上的黃金分割點(diǎn)，且，，那么的長(zhǎng)度是________．19．已知線段AB=2cm，點(diǎn)C是線段AB的黃金分割點(diǎn)，則線段AC等于__________cm20．已知點(diǎn)P把線段分割成和（）兩段，如果是和的比例中項(xiàng)，那么的值等于___________．21．五角星是我們生活中常見(jiàn)的一種圖形，如圖五角星中，點(diǎn)C，D分別為線段AB的右側(cè)和左側(cè)的黃金分割點(diǎn)，已知黃金比為，且AB＝2，則圖中五邊形CDEFG的周長(zhǎng)為_(kāi)_______．22．若，給出下列各式：①；②；③；④，其中正確的是________.（填寫(xiě)所有正確的序號(hào)）23．，，，，，滿足關(guān)系：，則代數(shù)式的值是______．24．古希臘數(shù)學(xué)家歐多克索斯在深入研究比例理論時(shí)，提出了分線段的“中末比”問(wèn)題：點(diǎn)G將一線段分為兩線段，使得其中較長(zhǎng)的一段是全長(zhǎng)與較短的段的比例中項(xiàng)，即滿足，后人把這個(gè)數(shù)稱為“黃金分制”數(shù)．把點(diǎn)G稱為線段的“黃金分割”點(diǎn)．如圖，在中，D是邊的“黃金分割”點(diǎn)，若，且，則的長(zhǎng)度是____________．三、解答題25．如果，且，求的值．26．（1）已知線段a＝2，b＝9，求線段a，b的比例中項(xiàng)．（2）已知x：y＝4：3，求的值．27．已知x：y：z＝3：5：7，求的值．28．已知線段AB=10cm，點(diǎn)C是AB上的黃金分割點(diǎn)，求AC的長(zhǎng)是多少厘米？29．如圖，在線