第02講 勾股定理的逆定理（原卷版）-八年級數(shù)學(xué)

第02講勾股定理的逆定理1.經(jīng)歷勾股定理的逆定理的探索過程，知道勾股定理與逆定理的聯(lián)系與區(qū)別.2.能用勾股定理的逆定理解決一些簡單的實際問題.3.初步認(rèn)識勾股定理的逆定理的重要意義，會用勾股定理就解決一些幾何問題.4.通過具體例子，了解逆命題、逆定理的概念，會識別兩個互逆的命題，知道原命題成立時其逆命題不一定成立.知識點1：勾股定理逆定理1.定義：如果三角形的三條邊長，滿足，那么這個三角形是直角三角形.注意：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一個三角形是否是直角三角形.（2）勾股定理的逆定理是把“數(shù)”轉(zhuǎn)為“形”，是通過計算來判定一個三角形是否為直角三角形.2.如何判定一個三角形是否是直角三角形首先確定最大邊（如）.驗證與是否具有相等關(guān)系.若，則△ABC是∠C＝90°的直角三角形；若，則△ABC不是直角三角形.注意：當(dāng)時，此三角形為鈍角三角形；當(dāng)時，此三角形為銳角三角形，其中為三角形的最大邊.知識點2：勾股數(shù)像15，8，17這樣，能夠成為直角三角形三條邊長的三個正整數(shù)，稱為勾股數(shù)。勾股數(shù)滿足兩個條件：①滿足勾股定理②三個正整數(shù)考點一：直角三角形的判斷例1．（2023八下·懷集期中）下列各組數(shù)據(jù)為邊的三角形中，是直角三角形的是（）A．2、3、7 B．5、4、8 C．3、5、4D．2、3、5【變式1-1】（2023八下·定州期中）下列各組數(shù)中不能作為直角三角形的三邊長的是（）A．9，12，15 B．6，8，10C．5，2，3 D．1.5，2.5，3.5【變式1-2】（2023八下·會昌期中）在三邊分別為下列長度的三角形中，不是直角三角形的為（）A．1，2，3 B．4，7，5 C．5，13，12 D．2，3，5【變式1-3】（2023八上·開江期末）將下列長度的三根木棒首尾順次連接，能組成直角三角形的是（）A．2、3、4 B．4、5、6 C．5、11、12 D．8、15、17例2.（2023八上·達(dá)川期末）在△ABC中，∠A，∠B，∠C的對邊分別為A．a(chǎn)=32，b=C．∠A=2∠B=3∠C D．∠A∶∠B∶∠C=2∶5∶2【變式2-1】（2023八上·內(nèi)江期末）已知△ABC的三條邊分別為a，b，c，下列條件不能判斷是直角三角形的是（）A．a(chǎn)2=b2?c2C．∠A=∠B+∠C D．∠A例3．（2023八下·咸寧期中）如圖，每個小正方形的邊長為1（1）求四邊形ABCD的周長；（2）∠BCD是直角嗎？說明理由.【變式3-1】（2023八上·鄞州期末）如圖：△ABC的三個頂點坐標(biāo)分別是A(?2，0)，B(1，4)，C(5，1).（1）在平面直角坐標(biāo)系中畫出△ABC；（2）判斷△ABC的形狀，并說明理由.【變式3-2】（2022八上·歷城期中）如圖，正方形網(wǎng)格的每個小正方形邊長都是1，△ABC的頂點在格點上．（1）判斷△ABC的形狀，并說明理由．（2）△ABC面積是，AC邊上的高是．考點二：勾股數(shù)的應(yīng)用例4.（2021八上·靈石期中）設(shè)三角形的三邊分別是下列各組數(shù)，則不是直角三角形勾股數(shù)的一組是（）A．3，4，5 B．2，3，4 C．5，12，13 D．6，8，10【變式4-1】（2021八上·城陽月考）下列各組數(shù)中不是勾股數(shù)的是（）A．9，15，12 B．11，60，61C．6，8，10 D．0.3，0.4，0.5【變式4-2】（2021八上·惠來期中）下列各組數(shù)中，不是勾股數(shù)的是（）A．3，4，5 B．5，12，13 C．6，8，10 D．7，13，18【變式4-3】（2020八上·昌平期末）下列是勾股數(shù)的有()3、4、5；②5、12、13；③9、40、41；④13、14、15；⑤7、⑥11、60、61A．6組 B．5組 C．4組 D．3組考點三：勾股定理的逆定理應(yīng)用例5.（2022八上·北侖期中）如圖，某住宅小區(qū)在施工過程中留下了一塊空地，已知AD=4米，CD=3米，∠ADC=90°，AB=13米，BC=12米，小區(qū)為美化環(huán)境，欲在空地上鋪草坪.（1）△ABC是直角三角形嗎？為什么？（2）小區(qū)為美化環(huán)境，欲在空地上鋪草坪，已知草坪每平方米100元，試問鋪滿這塊空地共需花費多少元？【變式5-1】（2022八上·大豐期中）如圖所示四邊形ABCD，已知AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，∠B=90°，求：（1）AC的長；（2）該四邊形ABCD的面積.【變式5-2】（2021八上·嵩縣期末）2021年10月10日是辛亥革命110周年紀(jì)念日．為進(jìn)一步弘揚辛亥革命中體現(xiàn)的中華民族的偉大革命精神，社區(qū)開展了系列紀(jì)念活動．如圖，有一塊四邊形空地，社區(qū)計劃將其布置成展區(qū)，陳列有關(guān)辛亥革命的歷史圖片．現(xiàn)測得AB=AD=26m，BC=16m，CD=12m（1）試說明∠BCD=90°；（2）求四邊形展區(qū)（陰影部分）的面積．1．（南通）下列長度的三條線段能組成直角三角形的是（）A．5，11，12 B．2，3，4 C．4，6，7 D．3，4，52．（2020?河北）如圖是用三塊正方形紙片以頂點相連的方式設(shè)計的“畢達(dá)哥拉斯”圖案．現(xiàn)有五種正方形紙片，面積分別是1，2，3，4，5，選取其中三塊（可重復(fù)選?。┌慈鐖D的方式組成圖案，使所圍成的三角形是面積最大的直角三角形，則選取的三塊紙片的面積分別是（）A．1，4，5 B．2，3，5 C．3，4，5 D．2，2，43．（2022?湖北）勾股定理最早出現(xiàn)在商高的《周髀算經(jīng)》：“勾廣三，股修四，徑隅五”．觀察下列勾股數(shù)：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，這類勾股數(shù)的特點是：勾為奇數(shù)，弦與股相差為1．柏拉圖研究了勾為偶數(shù)，弦與股相差為2的一類勾股數(shù)，如：6，8，10；8，15，17；…，若此類勾股數(shù)的勾為2m（m≥3，m為正整數(shù)），則其弦是（結(jié)果用含m的式子表示）．4．（北京）如圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，則∠PAB+∠PBA＝°（點A，B，P是網(wǎng)格線交點）．5．（貴陽）在△ABC中，BC＝a，AC＝b，AB＝c，設(shè)c為最長邊，當(dāng)a2+b2＝c2時，△ABC是直角三角形；當(dāng)a2+b2≠c2時，利用代數(shù)式a2+b2和c2的大小關(guān)系，探究△ABC的形狀（按角分類）．（1）當(dāng)△ABC三邊分別為6、8、9時，△ABC為三角形；當(dāng)△ABC三邊分別為6、8、11時，△ABC為三角形．（2）猜想，當(dāng)a2+b2c2時，△ABC為銳角三角形；當(dāng)a2+b2c2時，△ABC為鈍角三角形．（3）判斷當(dāng)a＝2，b＝4時，△ABC的形狀，并求出對應(yīng)的c的取值范圍．6．（河北）已知：整式A＝（n2﹣1）2+（2n）2，整式B＞0．嘗試化簡整式A．發(fā)現(xiàn)A＝B2，求整式B．聯(lián)想由上可知，B2＝（n2﹣1）2+（2n）2，當(dāng)n＞1時，n2﹣1，2n，B為直角三角形的三邊長，如圖．填寫下表中B的值：直角三角形三邊n2﹣12nB勾股數(shù)組Ⅰ/8勾股數(shù)組Ⅱ35/1．（2023八下·咸寧期中）以下列各組線段為邊作三角形，能構(gòu)成直角三角形的是（）A．6，12，13 B．6，8，9 C．3，4，5 D．5，12，152．（2023八下·洪山期中）下列條件中，能夠判斷△ABC為直角三角形的是（）A．AB=6，BC=8，AC=10 B．ABC．∠A=∠B=∠C D．∠A3.下面各組數(shù)中，是勾股數(shù)的是（）A．9，16，25 B．0.3，0.4，0.5 C．1，3，2 D．7，24，254．我們把符合等式a2+b2=c2的a、b、c三個稱為勾股數(shù)．現(xiàn)請你用計算器驗證下列各組的數(shù)是否勾股數(shù)．你能發(fā)現(xiàn)其中規(guī)律嗎？請完成下列空格．3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；11，，；…5．（2020八上·柯橋期末）《九章算術(shù)》提供了許多整勾股數(shù)，如(3，4，5)，(5,12，13)，(7,24,25)，(8，15，17)等等，并把一組勾股數(shù)中最大的數(shù)稱為“弦數(shù)”.后人在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步研究，得到如下規(guī)律：若m是大于1的奇數(shù)，把它平方后拆成相鄰的兩個整數(shù)，那么m與這兩個整數(shù)構(gòu)成一組勾股數(shù)；若m是大于2的偶數(shù)，把它除以2后再平方，然后把這個平方數(shù)分別減1，加l得到兩個整數(shù)，那么m與這兩個整數(shù)構(gòu)成一組勾股數(shù).由上述方法得到的勾股數(shù)稱為“由m生成的勾股數(shù)”.若“由9生成的勾股數(shù)”的“弦數(shù)“記為A，“由20生成的勾股數(shù)”的“弦數(shù)“記為B，則A+B=.6．（2023八上·榆林期末）如圖，在△ABC中，D是BC上一點，若AB=10，BD=6，AD=8，AC=17.（1）求證：∠ADB=90°；（2）求△ADC的面積.7．（2023八下·洪山期中）如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD=3，BC=78．（2021八上·六盤水月考）如圖所示，六盤水市某中學(xué)有一塊不規(guī)則四邊形的空地ABCD，學(xué)校計劃在空地上鋪懸浮地板，經(jīng)測量，∠ABC＝90°，BC＝6m，AB＝8m，AD＝26m，CD＝24m.（1）求空地ABCD的面積.（2）若每鋪1平方米懸浮地板需要120元，問總共需投入多少元？9．（2022八上·太原期中）為慶祝中華人民共和國成立73周年，喜迎黨的二十大勝利召開，學(xué)校組織了“獻(xiàn)禮二十大”小制作展示活動．小彬計劃制作一架飛機(jī)模型，