第11章1-5周期非正弦電路

本章介紹周期非正弦電路的計算。主要內(nèi)容(nèiróng)有：周期非正弦信號展開為傅立葉級數(shù)，信號的頻譜，周期信號的有效值、平均值，周期非正弦電路的平均功率，周期非正弦電路響應(yīng)分析的疊加法，以及三相電路的高次諧波等。第十一章周期非正弦(zhèngxián)電路共四十二頁主要內(nèi)容§11－1周期(zhōuqī)非正弦信號§11－2周期非正弦信號(xìnhào)的傅立葉級數(shù)§

11－3周期非正弦信號的頻譜§11－4傅立葉系數(shù)與波形對稱性的關(guān)系

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11－5周期非正弦信號的有效值、平均值和電路的功率共四十二頁

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11－6周期非正弦信號(xìnhào)激勵時電路的響應(yīng)主要內(nèi)容

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11－7不同頻率正弦電源共同(gòngtóng)作用下電路的分析§11－8對稱三相電路中的高次諧波共四十二頁§11－1周期非正弦(zhèngxián)信號電工、電子技術(shù)中常遇到周期非正弦信號，下圖示出了幾種(jǐzhǒnɡ)常見的周期非正弦電壓和電流。共四十二頁周期非正弦電路的形成：（1）線性電路中激勵為周期非正弦信號；（2）線性電路中，激勵為若干個不同頻率的正弦信號；（3）激勵為正弦信號，但電路中有非線性元件（如鐵心線圈、鐵心變壓器等）或時變元件；（4）前兩種激勵作用(zuòyòng)于非線性元件。本章僅討論第（1）、（2）兩種情況。說明：全波整流電壓和單相可控硅整流電壓的周期是按整流電路輸入正弦(zhèngxián)電壓的周期計，所以T為兩個半波對應(yīng)的時間。共四十二頁§11－2周期(zhōuqī)非正弦信號的傅立葉級數(shù)任何周期非正弦函數(shù)當滿足(mǎnzú)狄里赫利條件時，都可展開成傅立葉級數(shù)。電工、電子技術(shù)中的周期非正弦信號，通常都滿足(mǎnzú)狄里赫利條件。

一.周期非正弦信號

f(t)展成傅氏級數(shù)f(t)周期：T頻率：f＝1/T角頻率：ω＝2π/T共四十二頁傅氏級數(shù)(jíshù)形式一：——①傅氏級數(shù)(jíshù)形式二：式①可寫成如下形式——②共四十二頁

二.傅氏級數(shù)(jíshù)各參數(shù)之計算由數(shù)據(jù)分析有對應(yīng)(duìyìng)式①：共四十二頁

三.說明1.式②中

——f(t)的恒定分量(fènliàng)或直流分量(fènliàng)——f(t)的基波（分量）或1次諧波（分量）——f(t)的2次諧波（分量）——f(t)的3次諧波（分量）

...2次及2次以上的諧波(xiébō)統(tǒng)稱為高次諧波(xiébō)；共四十二頁2.傅氏級數(shù)具有收斂性，即隨著頻率的增加，諧波幅值總的趨勢越來越??；3.f(t)波形越平滑(pínghuá)，越接近正弦，其高次諧波分量越小，級數(shù)收斂越快；f(t)波形越不平滑或有跳躍其高次諧波(xiébō)分量大，級數(shù)收斂慢。共四十二頁例11－1求下圖所示周期(zhōuqī)方波信號f(t)的傅立葉級數(shù)。f(t)tωt0－2π2ππ/2－π/2ET/4T－T/4－T解（1）傅立葉系數(shù)a0、ak、bk：由公式得

共四十二頁共四十二頁（2）f(t)的傅立葉級數(shù)(jíshù)展開式：將求得的傅立葉系數(shù)帶入式①，得周期非正弦信號的傅立葉級數(shù)有無窮多項，由于它具有收斂性，因此，一般可只取前若干項近似表示。項數(shù)取得越多，近似效果(xiàoguǒ)越好。上例方波信號的傅立葉級數(shù)展開式，若取前四項、即取到5次諧波，其合成波形如下圖（a）所示。若取前7項、即取到11次諧波，則合成波形如圖（b）所示?？梢娝≈C波項數(shù)越多。合成的波形越接近原信號波形。共四十二頁幾種常見的周期非正弦(zhèngxián)信號的傅立葉級數(shù)見本章最后一頁。本節(jié)完共四十二頁§

11－3周期非正弦(zhèngxián)信號的頻譜為了直觀、清晰地看出各諧波幅值A(chǔ)km、初相位ψk與頻率kω之關(guān)系，可以畫出Akm～kω1和ψk～kω1的譜線圖，它們分別稱為幅度(fúdù)頻譜圖和相位頻譜圖（見下面的例）例共四十二頁其對應(yīng)(duìyìng)的頻譜圖如下：Akmω13ω15ω17ω19ω10kω1（a）幅度頻譜03ω15ω17ω19ω111ω1kω1ψkπ（b）相位頻譜共四十二頁頻譜圖中的豎線稱為譜線，譜線只可能在離散點kω1的位置上出現(xiàn)，因此是離散頻譜。譜線的間距(jiānjù)取決于信號f(t)的周期T，T越大，ω1越小，譜線間距越窄，譜線越密。信號的幅度(fúdù)頻譜和相位頻譜的重要性在不同場合有所不同，如傳送語音信號時，重要的是使各頻率分量的幅值相對不變，以保持原來的音調(diào)，即不失真，因此幅度(fúdù)頻譜很重要，而相位頻譜并不重要，因為人的聽覺對各頻率分量的相位關(guān)系不敏感。但是在傳送圖像信號時，保持各頻率分量間的相位關(guān)系則對圖像的不失真具有重要意義。共四十二頁§11－4傅立葉系數(shù)與波形(bōxínɡ)對稱性的關(guān)系對一個周期非正弦(zhèngxián)函數(shù)進行分解時，應(yīng)先分析它是否具有對稱性。如果波形具有對稱性，則它的某些傅立葉系數(shù)將為零，利用這一特點，計算將大為簡化。下面分析傅立葉系數(shù)波形對稱性的關(guān)系。共四十二頁一.f(t)波形(bōxínɡ)在一個周期內(nèi)，在t軸上、下的面積相等下面所示波形屬于此情況(qíngkuàng)，此時有f(t)t0ET/2T－E（a）f(t)t0T/2T（b）共四十二頁二.f(t)為偶函數(shù)——f(t)＝f(－t)

波形特點(tèdiǎn)：對稱于縱軸，例如上圖（a）。

傅氏級數(shù)(jíshù)特點：不含奇函數(shù)，即傅氏級數(shù)形式一中無正弦分量，式中a0可能為零，也可能不為零。上圖（a）的a0＝0，若圖（a）的t軸下移，則。共四十二頁三.f(t)為奇函數(shù)——f(t)＝－

f(－t)

波形(bōxínɡ)特點：對稱于原點，例如上圖（b）。

傅氏級數(shù)(jíshù)特點：不含偶函數(shù)和直流分量，即四.奇諧波函數(shù)——

波形特點：前半周波形平移半個周期后與后半周波形對t軸呈鏡像對稱，例如下圖：共四十二頁f(t)t0T/2T-T/2

傅氏級數(shù)特點(tèdiǎn)：不含恒定分量和偶次諧波分量，即共四十二頁或五.偶諧波(xiébō)函數(shù)——

波形(bōxínɡ)特點：后半周為前半周的重復(fù)。f(t)T/2T0t

傅氏級數(shù)特點：不含奇次諧波分量，即或共四十二頁六.說明(shuōmíng)1.周期信號是奇函數(shù)還是偶函數(shù)，除與波形(bōxínɡ)有關(guān)外，還與計時起點有關(guān)，例如下圖所示f(t)，當f(t)to1o2坐標原點為o1——f(t)是奇函數(shù)坐標原點為o2——f(t)是偶函數(shù)共四十二頁2.周期信號(xìnhào)是奇諧波函數(shù)還是偶諧波函數(shù)，僅與波形有關(guān)，而與計時起點無關(guān)。本節(jié)完共四十二頁

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11－5周期非正弦信號的有效值、平均值和電路(diànlù)的功率一.周期非正弦(zhèngxián)信號的有效值和平均值1.有效值任何周期信號的有效值等于其瞬時量的方均根值（見第六章第一節(jié)）。周期電流i(t)的有效值為——①共四十二頁將i(t)分解(fēnjiě)為傅氏級數(shù)——②式②代入式①，經(jīng)計算(jìsuàn)（見參考書）得式中I0——i(t)的直流分量式中Ik——i(t)的k次諧波有效值，。共四十二頁周期非正弦(zhèngxián)信號的有效值，等于不同頻率的各諧波有效值平方和的開方（直流分量可視為信號的零次諧波），即結(jié)論(jiélùn)：同理，周期非正弦電壓u(t)的有效值為共四十二頁例11－2試求的有效值U。解思考(sīkǎo)（答案(dáàn)見例11－3后）：上例（1）若，有效值U變否？（2）若，U變否？u(t)的波形變否？共四十二頁例11－3求下圖所示鋸齒(jùchǐ)波電壓u的有效值。ut0T解圖示鋸齒(jùchǐ)波電壓可寫成Um用方均根求有效值有共四十二頁此題若用鋸齒波的各諧波分量(fènliàng)有效值平方和的平方根計算，只能取有限項，顯然會出現(xiàn)誤差，項數(shù)取得越多，誤差越小。周期信號可用解析式表達時，有效值應(yīng)直接用方均根值計算。思考題答案(dáàn)（1）U變。中，第二、三項是同次諧波（基波），而有效值是等于不同頻率的各諧波有效值平方和開方，因此要先求出同次諧波合成后的有效值（用相量法），然后再進行計算。共四十二頁對應(yīng)(duìyìng)

（2）U不變，波形(bōxínɡ)要變。共四十二頁結(jié)論(jiélùn)：①有效值與不同頻率的各諧波(xiébō)的相位無關(guān)；②有效值相等的非正弦信號的波形一般都不相同。2.平均值電工、電子技術(shù)中，有時要用到電壓、電流的平均值。平均值的定義是：信號的絕對值在一個周期內(nèi)的平均值。以電流i為例，其平均值為共四十二頁正弦電流(diànliú)的絕對值i的波形是全波整流波形，根據(jù)上式，正弦電流的平均值為此式表明(biǎomíng)，正弦信號的平均值約為有效值的0.9倍，或有效值約為平均值的1.11倍。共四十二頁二.周期非正弦電流電路(diànlù)的平均功率（有功功率）P右圖所示二端網(wǎng)絡(luò)N的u

、i為。。＋－uiN——①——②網(wǎng)絡(luò)(wǎngluò)N吸收的平均功率為將式①、②代入上式，經(jīng)計算（見參考書）后得共四十二頁式中Uk、Ik為k次諧波(xiébō)電壓、電流的有效值，為k諧波電壓與k次諧波電流的相位差角，即上式亦可寫成——③共四十二頁結(jié)論(jiélùn)：周期非正弦電流電路的平均功率(gōnglǜ)等于直流分量產(chǎn)生的功率(gōnglǜ)和各次諧波產(chǎn)生的平均功率(gōnglǜ)之和，即這稱為功率疊加。共四十二頁注意及說明（1）不同頻率的電壓、電流不構(gòu)成平均功率，只有相同頻率的電壓、電流才構(gòu)成平均功率；（2）功率疊加只對不同頻率的諧波(xiébō)功率有效；（3）電路中，只有電阻元件消耗有功功率。周期非正弦電路中，電阻吸收的有功功率仍為或。

共四十二頁，，求二端網(wǎng)絡(luò)N吸收(xīshōu)的平均功率P。。。＋－uiN例11－4右圖中設(shè)解將u

改寫(gǎixiě)成根據(jù)式③，于是共四十二頁例電阻R＝2Ω，流過R的電流為i，求R吸收(xīshōu)