《信號(hào)與系統(tǒng) 》課件第1章

第1章信號(hào)與系統(tǒng)的基本概念1.1信號(hào)1.2系統(tǒng)1.3信號(hào)與系統(tǒng)分析概述

1.1信號(hào)

1.1.1信號(hào)與信息

廣義地說(shuō)：任何變化的事物(物理量)都可視為一種信號(hào)。如，變化的電壓或電流稱作電信號(hào)。變化的其他物理量都可以通過(guò)傳感器變換為電信號(hào)。

信號(hào)與信息的關(guān)系，概括起來(lái)可這樣描述：信號(hào)是信息的表現(xiàn)形式，信息是信號(hào)表述的具體內(nèi)容。1.1.2信號(hào)分類

1.連續(xù)時(shí)間信號(hào)與離散時(shí)間信號(hào)

在連續(xù)時(shí)間域里有定義的信號(hào)稱為連續(xù)時(shí)間信號(hào)，簡(jiǎn)稱為連續(xù)信號(hào)。這里“連續(xù)”是指函數(shù)(信號(hào))的定義域——時(shí)間t(或其他量，如坐標(biāo)位置距離x等)是連續(xù)的，而函數(shù)的值域可以是連續(xù)的，亦可以是離散的。如信號(hào)

f1(t)=5cosπt，t∈(－∞，∞)

其定義域(－∞，∞)和值域［-5，5］均是連續(xù)的。再如信號(hào)

(1.1-1)按照如上嚴(yán)密的定義，信號(hào)f2(t)應(yīng)書(shū)寫(xiě)為

(1.1-2)

f1(t)、f2(t)之圖形(波形)分別如圖1.1-1(a)、(b)所示。f1(t)、f2(t)均是連續(xù)時(shí)間t域里有定義的函數(shù)，它們都稱為連

續(xù)信號(hào)。圖1.1-1兩種連續(xù)信號(hào)的波形順便說(shuō)及，將時(shí)間連續(xù)、函數(shù)值亦連續(xù)的連續(xù)時(shí)間信號(hào)又稱為模擬信號(hào)。

只在一些離散時(shí)間點(diǎn)上有定義的信號(hào)，稱為離散時(shí)間信號(hào)，簡(jiǎn)稱為離散信號(hào)。根據(jù)不同序列信號(hào)的特點(diǎn)，有的可以寫(xiě)成閉合函數(shù)形式，有的可逐個(gè)列出序列的值。如序列

(1.1-3)又如序列

(1.1-4)對(duì)于不同的α值，f1(k)的值域［0，1］是連續(xù)的，它的定義域?yàn)閗∈［－∞，∞］。式(1.1-3)是f1(k)的閉合函數(shù)式。f2(k)就是逐個(gè)列出序列值的序列，其值域只取0、1兩個(gè)數(shù)，顯然是離散的，它的定義域?yàn)閗∈［-2，3］。為簡(jiǎn)化表示，常將f2(k)書(shū)寫(xiě)為

(1.1-5)數(shù)字1下面的箭頭表示該值與k＝0相對(duì)應(yīng)，左右兩邊依

次給出k取負(fù)整數(shù)和正整數(shù)時(shí)相應(yīng)的f2(k)值。式(1.1-5)中的“k=0”也可略寫(xiě)。其他書(shū)中也有用下劃線代替箭頭線的，

如

的圖形分別如圖1.1-2(a)、(b)所示。圖1.1-2兩種離散序列的圖形也順便說(shuō)及，將時(shí)間離散、函數(shù)值亦離散的離散時(shí)間信號(hào)又稱為數(shù)字信號(hào)。即是說(shuō)，圖1.1-2(b)所示的f2(k)屬于數(shù)字信號(hào)，而圖1.1-2(a)所示的f1(k)就不屬于數(shù)字信號(hào)。本書(shū)將離散信號(hào)、數(shù)字信號(hào)二者通用。

2.確定性信號(hào)與隨機(jī)信號(hào)

能以確定的時(shí)間函數(shù)表示的信號(hào)，稱為確定性信號(hào)，又稱為確知信號(hào)。對(duì)于任意指定的時(shí)刻，確定性信號(hào)均有確定的信號(hào)值與之對(duì)應(yīng)，亦可畫(huà)出與之對(duì)應(yīng)的確定的函數(shù)圖形(波形)。如信號(hào)f1(t)=10cosπt，f2(t)=e－t等都屬于確定性信號(hào)。它們的圖形分別如圖1.1-3(a)、(b)所示。圖1.1-3兩種確定性信號(hào)波形不能用確定的函數(shù)表示的信號(hào)，稱為隨機(jī)信號(hào)。對(duì)于任意確定的時(shí)刻，隨機(jī)信號(hào)的信號(hào)值是不確定的。如，電阻的熱噪聲信號(hào)、自然界中的雷電噪聲信號(hào)等都屬于隨機(jī)信號(hào)。隨機(jī)信號(hào)雖不能用確定的函數(shù)式表達(dá)，但有時(shí)可以觀察到某時(shí)刻的某種形式的波形。這里應(yīng)明確：同一個(gè)隨機(jī)信號(hào)，在不同時(shí)刻觀察的波形是不同的；即便在同一時(shí)刻甲、乙兩人觀察同一個(gè)隨機(jī)信號(hào)的波形，也會(huì)不相同。淺顯地說(shuō)，這就是隨機(jī)信號(hào)的不確定性特征。圖1.1-4(a)、(b)分別為甲、乙兩人對(duì)同一隨機(jī)信號(hào)所觀察到的兩種波形圖。圖1.1-4對(duì)于某隨機(jī)信號(hào)，不同觀察者得到的兩種波形

3.周期信號(hào)與非周期信號(hào)

確定性信號(hào)又可分為周期信號(hào)與非周期信號(hào)。周期信號(hào)是定義在(－∞，∞)區(qū)間，每隔一定時(shí)間T(或整數(shù)N)周而復(fù)始重復(fù)變化的信號(hào)，如圖1.1-5所示。圖1.1-5周期信號(hào)波形連續(xù)周期信號(hào)可表示為

(1.1-6)

離散周期信號(hào)可表示為

(1.1-7)滿足式(1.1-6)、式(1.1-7)關(guān)系式中的最小T(或N)值稱為信號(hào)的周期。只要給出周期信號(hào)在一個(gè)周期內(nèi)的函數(shù)式或波形圖，便可確定它在任意時(shí)刻的值，這是任何周期信號(hào)都具有的共同特點(diǎn)。還應(yīng)說(shuō)明的是，對(duì)于連續(xù)正弦周期信號(hào)，有

(1.1-8)式中，T＝2π/Ω為信號(hào)的周期，對(duì)于任意角頻率Ω，它都是t域里的周期函數(shù)。而對(duì)于離散正弦序列信號(hào)，有

(1.1-9)式中，β為數(shù)字角頻率，單位為弧度或度；

(1.1-10)

因離散信號(hào)只在k等于整數(shù)時(shí)才有定義，所以當(dāng)N為整數(shù)(β＝2π／N)時(shí)，式(1.1-9)所表述的序列才是周期序列。其實(shí)，當(dāng)2π/β＝N′/M(N′、M為無(wú)公因子的整數(shù))為有理數(shù)時(shí)，正弦序列亦為周期序列，這時(shí)的周期

(1.1-11)令式(1.1-11)中的M＝1，N′就等于式(1.1-10)中的N。如β＝π/6，代入式(1.1-10)，得正弦序列的周期

再如，β=5π/6，代入式(1.1-11)，有

取M＝5，則得正弦序列的周期

N′=12不滿足式(1.1-6)和式(1.1-7)關(guān)系的信號(hào)，稱為非周期信

號(hào)。非周期信號(hào)在時(shí)間上不具有周而復(fù)始重復(fù)的特性。若令周期T或N趨于無(wú)窮大，則周期信號(hào)就極限演變?yōu)榉侵芷谛?/p>

號(hào)。圖1.1-6給出了幾種連續(xù)非周期信號(hào)和離散非周期信號(hào)

的波形。圖1.1-6幾種非周期信號(hào)的波形

4.能量信號(hào)與功率信號(hào)

對(duì)于我們所研究的電信號(hào)f(t)，不管它是電流信號(hào)還是電壓信號(hào)，將f(t)施加于1Ω電阻上，其上所消耗的功率定義為信號(hào)f(t)的功率，其上所消耗的能量定義為信號(hào)f(t)的能量。

信號(hào)f(t)的瞬時(shí)功率為

(1.1-12)

式中對(duì)f(t)取模主要考慮f(t)有可能是復(fù)信號(hào)的情況。信號(hào)f(t)在區(qū)間－a＜t＜a的能量為在該區(qū)間的平均功率為

信號(hào)能量E定義在(－∞，∞)區(qū)間，即

(1.1-13)

信號(hào)在(－∞，∞)區(qū)間的平均功率P可寫(xiě)為

(1.1-14)類似地，對(duì)于離散信號(hào)亦有能量信號(hào)與功率信號(hào)之分。它們的定義分別為

(1.1-15)

(1.1-16)

5.實(shí)信號(hào)與復(fù)信號(hào)

若表達(dá)信號(hào)的函數(shù)是實(shí)函數(shù)(不管是一維或多維)，就稱信號(hào)為實(shí)信號(hào)。如，信號(hào)

t、k均為實(shí)變量，函數(shù)值f(t)、f(k)亦在實(shí)數(shù)域取值，所以二者均為實(shí)信號(hào)。若表達(dá)信號(hào)的函數(shù)是復(fù)函數(shù)，就稱信號(hào)為復(fù)信號(hào)。如f(t)=est，s=σ+jω，則有

(1.1-17)

式(1.1-17)中σ、ω均為實(shí)數(shù)，t是實(shí)變量，而函數(shù)值在復(fù)數(shù)域取值，所以它就是復(fù)信號(hào)。如果取式(1.1-17)中σ＝0，則有

(1.1-18)再如，離散信號(hào)f(k)=zk，z=ρejθ，則有

(1.1-19)

式(1.1-19)中的ρ、θ均為實(shí)數(shù)，k是整實(shí)變量，而函數(shù)值

在復(fù)數(shù)域取值，所以它亦屬?gòu)?fù)信號(hào)。如果取ρ=1，代入式(1.1-19)中，則有

(1.1-20)1.1.3信號(hào)的基本運(yùn)算(加、減、乘運(yùn)算)

1.加減運(yùn)算

兩信號(hào)進(jìn)行加、減運(yùn)算，就是兩信號(hào)對(duì)應(yīng)時(shí)刻的信號(hào)值相加、減。設(shè)f1(·)、f2(·)兩信號(hào)運(yùn)算的結(jié)果信號(hào)為y(·)，顯然，有

(1.1-21)

式中，若“·”是t，則表示連續(xù)信號(hào)運(yùn)算；若“·”是k，則表示離散信號(hào)運(yùn)算。圖1.1-7(a)、(b)給出了兩信號(hào)相加、減運(yùn)算的過(guò)程及結(jié)果圖形。圖1.1-7信號(hào)的加、減運(yùn)算

2.乘運(yùn)算

兩信號(hào)相乘運(yùn)算，就是兩信號(hào)對(duì)應(yīng)時(shí)刻的函數(shù)值相乘，即

(1.1-22)

圖1.1-8(a)、(b)給出了兩信號(hào)相乘運(yùn)算的過(guò)程及結(jié)果圖形。圖1.1-8二信號(hào)相乘運(yùn)算圖1.1-8(b)所表示的兩離散信號(hào)相乘的運(yùn)算及結(jié)果圖形容易理解。下面對(duì)圖1.1-8(a)所表示的兩連續(xù)信號(hào)相乘運(yùn)算及其結(jié)果再做進(jìn)一步的討論。將f1(t)、f2(t)寫(xiě)為分段函數(shù)表示形式，即有我們知道，只有兩函數(shù)均不為零的區(qū)間相乘，其結(jié)果函數(shù)才不為零。由上述兩函數(shù)的表達(dá)式可知，當(dāng)在1<t<2區(qū)間f1(t)、f2(t)均不為零，將兩信號(hào)在此區(qū)間的函數(shù)相乘，則有

(1.1-23)

顯然由式(1.1-23)可知，在1<t<2區(qū)間它是開(kāi)口向下的二次函數(shù)曲線。t=1，2處乘積函數(shù)值為0。對(duì)乘積函數(shù)求一階導(dǎo)并令其為零，即解得極值點(diǎn)t=1.5，此時(shí)乘積函數(shù)y(t)的值為

綜上討論，寫(xiě)出乘積結(jié)果函數(shù)y(t)的表達(dá)式為

根據(jù)y(t)函數(shù)式畫(huà)得的圖形即是圖1.1-8(a)所示的圖形。

例1.1-1

已知周期信號(hào)f1(t)=sin2t，f2(t)=cos5t，設(shè)y(t)=f1(t)+f2(t)，試判斷y(t)是否是周期信號(hào)。若是，求出基本周期T。

解和信號(hào)若仍是周而復(fù)始重復(fù)的信號(hào)，則它就是周期信號(hào)，它的重復(fù)周期稱為和信號(hào)的基本周期，其基本周期的數(shù)值為相加各周期信號(hào)周期的最小公倍數(shù)。由已知的f1(t)、f2(t)函數(shù)式可看出f1(t)的角頻率Ω1、相應(yīng)的周期T1分別為

f2(t)的角頻率Ω2、相應(yīng)的周期T2分別為

T1與T2的最小公倍數(shù)為2πs，即和信號(hào)y(t)的基本周期T＝2πs。所以y(t)是周期信號(hào)。

例1.1-2

已知f1(t)＝sin3t，f2(t)=cosπt，設(shè)y(t)＝f1(t)－f2(t)，試判斷y(t)是否是周期信號(hào)。若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由。

解差信號(hào)是否是周期信號(hào)的判斷方法如同和信號(hào)一樣。f1(t)的角頻率Ω1、周期T1分別為

f2(t)的角頻率Ω2，周期T2分別為

因T1是無(wú)理數(shù)，T2是有理數(shù)，所以T1與T2無(wú)最小公倍數(shù)，故判斷y(t)不是周期信號(hào)。1.1.4信號(hào)的時(shí)域變換

時(shí)移是時(shí)間移位的簡(jiǎn)稱。如圖1.1-9(a)所示連續(xù)信號(hào)f(t)，將其自變量t換成t±t0(t0為正實(shí)常數(shù))，于是得到f(t±t0)，取

“－”號(hào)時(shí)是右移t0單位，取“＋”號(hào)時(shí)是左移t0單位。若取

t0＝1，其右移、左移的圖形分別如圖1.1-9(b)、(c)所示。圖1.1-9連續(xù)信號(hào)移位圖形對(duì)于離散信號(hào)完全有類似情況。設(shè)k0為正整數(shù)，取k0=1、f(k)、f(k－1)、f(k＋1)之圖形分別如圖1.1-10(a)、(b)、(c)所示。圖1.1-10離散信號(hào)移位圖形

2.反折

將連續(xù)信號(hào)f(t)中的自變量t換為－t，得到f(－t)；將離散信號(hào)f(k)中的自變量k換為－k，便得到f(－k)。f(－t)、f(－k)分別稱為f(t)、f(k)的反折信號(hào)。其實(shí)，f(t)與f(－t)，f(k)與f(－k)均互為反折信號(hào)。反折變換的幾何意義是將實(shí)自變量軸“倒置”，取其原信號(hào)實(shí)自變量軸的負(fù)方向作為變換后信號(hào)實(shí)自變量軸的正方向，為順應(yīng)人們的實(shí)自變量軸的正方向指向“右”的習(xí)慣，將f(t)或f(k)的圖形圍繞縱坐標(biāo)軸翻轉(zhuǎn)180°，即為f(－t)或f(－k)的圖形。圖1.1-11(a)、(b)分別畫(huà)出了連續(xù)、離

散信號(hào)的反折信號(hào)。圖1.1-11信號(hào)反折圖形

3.尺度變換

尺度變換是指時(shí)間坐標(biāo)尺度變換，簡(jiǎn)稱尺變。對(duì)于連續(xù)信號(hào)f(t)，將自變量t換為

at＝x(a為正實(shí)數(shù))新變量，得f(x)，新變量x與原變量t成a倍關(guān)系，即是說(shuō)，新變量x=1處相當(dāng)于原變量t的1/a處。若用函數(shù)值表示，應(yīng)有圖1.1-12連續(xù)信號(hào)的尺變波形

例1.1-3

如圖1.1-13(a)所示信號(hào)f(t)，試寫(xiě)出f(2t)、

f［(1/2)t］函數(shù)表達(dá)式，并畫(huà)出它們的波形圖。圖1.1-13例1.1-3用圖

解由圖1.1-13(a)所示f(t)之圖形寫(xiě)出f(t)的分段函數(shù)表達(dá)式為將式(1.1-24)中的t分別換為2t、(1/2)t，寫(xiě)出f(2t)、

f［(1/2)t］的函數(shù)表達(dá)式分別為分別改寫(xiě)以上兩式，得

(1.1-25)

(1.1-26)

例1.1-4

f(t)的圖形如圖1.1-14(a)所示，試畫(huà)出f［1-(1/2)t］之圖形。

解有了單種形式時(shí)域變換的基礎(chǔ)，對(duì)三種形式結(jié)合的時(shí)域變換也就不難掌握。就本問(wèn)題來(lái)說(shuō)，變換的順序是尺變→反折→時(shí)移或是反折→尺變→時(shí)移或……，三種變換先后順序可以有6種組合，均可解答本問(wèn)題，但一般采用如上的前兩種順序是簡(jiǎn)便的，且不易出錯(cuò)。圖1.1-14(b)、(c)、(d)畫(huà)出了尺變、反折、移位的變換過(guò)程圖形。圖1.1-14例1.1-4用圖

例1.1-5

圖1.1-15(a)所示為三種變換結(jié)合的變換f(-2t＋2)的圖形，試畫(huà)出f(t)的圖形。

解本例可看做例1.1-4問(wèn)題的“逆”問(wèn)題。三種變換形式的順序同樣有6種組合可以選擇。對(duì)這類“逆”問(wèn)題，選擇時(shí)移→反折→尺變或時(shí)移→尺變→反折的順序變換求解較簡(jiǎn)便，且不易出錯(cuò)。圖(b)、(c)、(d)畫(huà)出了時(shí)移、反折、尺變的變換過(guò)程圖形。圖1.1-15例1.1-5圖

1.2系統(tǒng)

1.2.1系統(tǒng)的定義

所謂“系統(tǒng)”，就是由若干相互作用和相互依賴的事物組合而成的具有某種特定功能的整體。1.2.2系統(tǒng)的分類

1.連續(xù)系統(tǒng)與離散系統(tǒng)

系統(tǒng)的一般表示符號(hào)為長(zhǎng)方形的矩形框，如圖1.2-1所示。圖1.2-1系統(tǒng)的一般表示稱輸入、輸出均為連續(xù)時(shí)間信號(hào)的系統(tǒng)為連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)，簡(jiǎn)稱為連續(xù)系統(tǒng)；稱輸入、輸出均為離散時(shí)間信號(hào)的系統(tǒng)為離散時(shí)間系統(tǒng)，簡(jiǎn)稱為離散系統(tǒng)。圖1.2-2(a)所示的系統(tǒng)為連續(xù)系統(tǒng)，圖1.2-2(b)所示的系統(tǒng)為離散系統(tǒng)。圖1.2-2連續(xù)系統(tǒng)與離散系統(tǒng)

2.無(wú)記憶系統(tǒng)與記憶系統(tǒng)

若系統(tǒng)在任意時(shí)刻t1或k1的輸出信號(hào)值與該時(shí)刻以前(t＜t1或k＜k1)的輸入信號(hào)無(wú)關(guān)，則稱該系統(tǒng)為無(wú)記憶系統(tǒng)；否則，稱為記憶系統(tǒng)。還可進(jìn)一步理解為，無(wú)記憶系統(tǒng)不能

記憶系統(tǒng)過(guò)去的工作狀態(tài)(“歷史”情況)；相反，記憶系統(tǒng)能

夠記憶。

例1.2-1

系統(tǒng)的輸入為f(·)，輸出為y(·)，a為實(shí)常數(shù)，試判別下列系統(tǒng)是否是無(wú)記憶系統(tǒng)。

(1)y(t)=af(t);

(2)y(k)=f(k)+f(－k)；

(3)y(t)=f(t+1)－f(t)。

判別

(1)設(shè)t＝t1，由系統(tǒng)輸出y(t)與輸入f(t)之關(guān)系，可得

y(t1)=af(t1)

(2)令k＝k1＝1，則得

y(1)=f(1)+f(－1)

(3)令t＝t1＝0，則得

y(0)=f(1)－f(0)

3.線性系統(tǒng)與非線性系統(tǒng)

參看圖1.2-1，系統(tǒng)的輸出y(·)可認(rèn)為由t或k≥0時(shí)所加的輸入f(·)與系統(tǒng)的起始狀態(tài)｛x(0_)｝(體現(xiàn)系統(tǒng)原有的儲(chǔ)能)共同作用所產(chǎn)生，稱為系統(tǒng)的全響應(yīng)。這可用數(shù)學(xué)式表示為

y(·)=T［｛x(0_)｝，｛f(·)｝］

(1.2-1)式中，“T”是算子，其義是｛x(0－)｝、｛f(·)｝經(jīng)過(guò)算子T所規(guī)定的運(yùn)算，得到y(tǒng)(·)。符號(hào)“0－”表示信號(hào)加入前瞬間。若式(1.2-1)可以寫(xiě)為

(1.2-2)

式中

(1.2-3)

(1.2-4)

稱滿足式(1.2-2)的系統(tǒng)為具有分解特性的系統(tǒng)。即是說(shuō)，這類系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)、零狀態(tài)響應(yīng)可以分解得開(kāi)。具有分解性的系統(tǒng)，若再：

①滿足零輸入、零狀態(tài)齊次性(又稱均勻性)，即

(1.2-5a)

(1.2-5b)

②滿足零輸入疊加性、零狀態(tài)疊加性，即

(1.2-6a)

(1.2-6b)

例1.2-2

設(shè)f(t)、y(t)分別為某連續(xù)系統(tǒng)t≥0時(shí)的輸入和輸出，x(0—)為系統(tǒng)的起始狀態(tài)，試別判有下列關(guān)系的系統(tǒng)是記憶系統(tǒng)還是無(wú)記憶系統(tǒng)，是線性系統(tǒng)還是非線性系統(tǒng)。

判別

(1)令t＝t1，則有

(1.2-7)再設(shè)

(1.2-8)

式中

(1.2-9)

(1.2-10)

(2)令t＝t1，則有

(1.2-11)

上式表明，系統(tǒng)t1時(shí)刻的輸出值只取決于t1時(shí)刻的系統(tǒng)輸入值f(t1)，與t1時(shí)刻以前的輸入無(wú)關(guān)(即與x(0－)無(wú)關(guān))，所以該系統(tǒng)是無(wú)記憶系統(tǒng)。設(shè)輸入f1(t)、f2(t)時(shí)系統(tǒng)的輸出分別為y1(t)、y2(t)，則有

(1.2-12)

(1.2-13)

再設(shè)f3(t)＝af1(t)＋bf2(t)(a、b均為實(shí)常數(shù))時(shí)系統(tǒng)輸出為y3(t)，則應(yīng)有

(1.2-14)

式(1.2-14)表明：該系統(tǒng)既不滿足齊次性也不滿足疊加性，所以該系統(tǒng)是非線性系統(tǒng)。

(3)令t＝t1＞0，則有

(1.2-15)

由式(1.2-15)可見(jiàn)：t1時(shí)刻的輸出值y(t1)只取決于t1時(shí)刻輸入的導(dǎo)數(shù)值，與t1時(shí)刻以前的輸入無(wú)關(guān)，故該系統(tǒng)是無(wú)記憶系統(tǒng)。設(shè)輸入為f1(t)、f2(t)時(shí)系統(tǒng)的輸出分別為y1(t)、y2(t)，則有

(1.2-16)

(1.2-17)

再設(shè)輸入f3(t)=af1(t)+bf2(t)(a、b為實(shí)常數(shù))時(shí)系統(tǒng)的輸出為y3(t)，應(yīng)有

(1.2-18)

(4)令t=t1＞0，則有

(1.2-19)

上式表明：t1時(shí)刻的系統(tǒng)輸出值y(t1)不但與t1時(shí)刻系統(tǒng)的輸入值f(t1)有關(guān)，亦與系統(tǒng)的起始狀態(tài)有關(guān)，所以該系統(tǒng)是記憶系統(tǒng)。改寫(xiě)系統(tǒng)輸出、輸入及起始狀態(tài)之間的關(guān)系式為

(1.2-20)

式中

(1.2-21)

(1.2-22)設(shè)分別輸入f1(t)、f2(t)時(shí)系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)分別為yf1(t)、yf2(t)，則有

(1.2-23)

(1.2-24)再設(shè)輸入f3(t)=af1(t)+bf2(t)(a、b為實(shí)常數(shù))時(shí)系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)為yf3(t)，則應(yīng)有

(1.2-25)

式(1.2-25)表明：零狀態(tài)響應(yīng)既不滿足齊次性又不滿足疊加性，故該系統(tǒng)為非線性系統(tǒng)。

4.時(shí)不變系統(tǒng)與時(shí)變系統(tǒng)

設(shè)輸入信號(hào)f(·)作用于系統(tǒng)產(chǎn)生的零狀態(tài)輸出(響應(yīng))為yf(·)，如果輸入延遲td或kd，其零狀態(tài)輸出也延遲同樣的時(shí)間

td或kd，則稱這樣的系統(tǒng)為時(shí)不變系統(tǒng)。這還可由下述式子作簡(jiǎn)明表示。設(shè)對(duì)于連續(xù)系統(tǒng)，有

(1.2-26)

對(duì)于離散系統(tǒng)，有

(1.2-27)

稱滿足式(1.2-26)或式(1.2-27)的系統(tǒng)為連續(xù)時(shí)不變(ContinuousTimeInvariant，LTI)系統(tǒng)或離散時(shí)不變系統(tǒng)。圖1.2-3連續(xù)時(shí)不變系統(tǒng)

例1.2-3

已知f(·)為系統(tǒng)的輸入，yf(·)為系統(tǒng)的零狀態(tài)輸出，試判別下列系統(tǒng)是否是時(shí)不變系統(tǒng)。

(1)yf(t)=asin［f(t)］；

(2)yf(k)=kf(k)。

解

(1)設(shè)輸入為f1(t)，則有

(1.2-28)

另設(shè)f2(t)＝f1(t－td)，則有

(1.2-29)

式(1.2-28)、式(1.2-29)表明該系統(tǒng)是時(shí)不變系統(tǒng)。

(2)設(shè)輸入為f1(k)時(shí)系統(tǒng)的零狀態(tài)輸出為yf1(k)，則

(1.2-30)

另設(shè)f2(k)=f1(k－kd)時(shí)系統(tǒng)的零狀態(tài)輸出為yf2(k)，顯然

(1.2-31)

故知該系統(tǒng)是時(shí)變系統(tǒng)。

例1.2-4

f(t)、y(t)分別為系統(tǒng)的輸入與輸出，已知：y(t)=f(2t)，試判別該系統(tǒng)是否是記憶系統(tǒng)，是否是線性系統(tǒng)，是否是時(shí)不變系統(tǒng)。

解令t=t1(任意時(shí)刻)，則有

y(t1)=f(2t1)

(1.2-32)

上式表明y(t1)只與t1時(shí)刻的輸入值f(2t1)有關(guān)，所以該系統(tǒng)是即時(shí)系統(tǒng)，屬無(wú)記憶系統(tǒng)。因y(t)只與f(2t)有關(guān)而與系統(tǒng)的起始狀態(tài)無(wú)關(guān)，所以y(t)即認(rèn)為是系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)yf(t)。設(shè)輸入分別為f1(t)、f2(t)時(shí)的輸出分別為y1(t)、y2(t)，則

(1.2-33)

(1.2-34)

另設(shè)輸入f3(t)=af1(t)+bf2(t)(a、b為實(shí)常數(shù))時(shí)的輸出為y3(t)，則

(1.2-35)

考慮y3(t)滿足齊次性與疊加性，故知系統(tǒng)是線性系統(tǒng)。再設(shè)輸入為f4(t)=f1(t－2)時(shí)的系統(tǒng)輸出為y4(t)，則

(1.2-36)

由式(1.2-33)、式(1.2-36)可知該系統(tǒng)是時(shí)變系統(tǒng)。綜合上述判別，明確：該系統(tǒng)為無(wú)記憶、線性、時(shí)變的系統(tǒng)。為了使讀者容易理解本例系統(tǒng)的時(shí)變性，以圖1.2-4所示具體的f(t)、y(t)加以佐證。圖1.2-4例1.2-4用圖

5.因果系統(tǒng)與非因果系統(tǒng)

若系統(tǒng)輸入與相應(yīng)的零狀態(tài)響應(yīng)滿足:

(1.2-37)

則稱這樣的系統(tǒng)為因果系統(tǒng)。t0或k0可認(rèn)為是輸入信號(hào)開(kāi)始加入的時(shí)刻，習(xí)慣取t0或k0等于0，這一時(shí)刻也即是人們分析研究系統(tǒng)的觀察時(shí)刻，前述的系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)yx(·)、零狀態(tài)響應(yīng)yf(·)之間的界定時(shí)刻也正是這一時(shí)刻。不滿足式(1.2-37)的系統(tǒng)稱為非因果系統(tǒng)。

例1.2-5

設(shè)f(·)、yf(·)分別為系統(tǒng)的輸入及零狀態(tài)輸出，試判別下列系統(tǒng)是否是因果系統(tǒng)。

解

(1)由表達(dá)式可見(jiàn)，t時(shí)刻的零狀態(tài)輸出取決于從－∞到t所有時(shí)刻的輸入，所以是因果系統(tǒng)?；蛘哒f(shuō)，(1)是記憶系統(tǒng)，也就是因果系統(tǒng)。

(2)令k=1，則有

yf(1)=f(1)－f(－1)

顯然，系統(tǒng)是因果的。

(3)令t=1，有

yf(1)=f(2)

顯然，系統(tǒng)是非因果的，或者說(shuō)系統(tǒng)是預(yù)測(cè)系統(tǒng)，也就是非因果系統(tǒng)。

(4)令k=1，有

yf(1)=f(2)－f(1)

顯然系統(tǒng)是非因果系統(tǒng)。

例1.2-6

某線性、時(shí)不變、因果的連續(xù)系統(tǒng)，具有一定的起始狀態(tài)。已知輸入為f1(t)時(shí)，系統(tǒng)的全響應(yīng)為

y1(t)=7e－t+2e－3t，t≥0

若起始狀態(tài)不變，輸入為f2(t)=3f1(t)時(shí)，全響應(yīng)為

y2(t)=17e－t－2e－2t+6e－3t，t≥0

試求：

(1)系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)yx(t)；

(2)若起始狀態(tài)不變，求當(dāng)輸入f3(t)=5f(t)時(shí)系統(tǒng)的全響應(yīng)y3(t)。

解考慮線性系統(tǒng)的可分解性，設(shè)

(1.2-38)

(1.2-39)

式(1.2-39)減式(1.2-38)并考慮yf2(t)=3yf1(t)(齊次性)，解得

(1.2-40)式(1.2-38)減式(1.2-40)，得零輸入響應(yīng)

(1.2-41)

再根據(jù)齊次性與疊加性，得全響應(yīng)為

6.穩(wěn)定系統(tǒng)與非穩(wěn)定系統(tǒng)

若對(duì)所有的輸入信號(hào)，有

(1.2-42a)

則其系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)亦有

(1.2-42b)

式中Mf、My均為有限的正實(shí)常數(shù)。滿足式(1.2-42)的系統(tǒng)稱為BIBO穩(wěn)定系統(tǒng)，常簡(jiǎn)說(shuō)為穩(wěn)定系統(tǒng)。

例1.2-7

設(shè)f(·)、yf(·)分別為系統(tǒng)的輸入及零狀態(tài)輸出，試判別下列系統(tǒng)是否是穩(wěn)定系統(tǒng)。

解

(1)設(shè)f(t)有界，即|f(t)|≤Mf，則

即

滿足式(1.2-42)BIBO穩(wěn)定條件，故判定該系統(tǒng)穩(wěn)定。

(2)設(shè)f(k)有界，即|f(k)|≤Mf，則

即

由上式可見(jiàn)，當(dāng)k→±∞時(shí)，|yf(k)|→∞(無(wú)界)，所以該系統(tǒng)是非穩(wěn)定系統(tǒng)。圖1.2-5系統(tǒng)分類簡(jiǎn)明表示圖1.2.3系統(tǒng)的描述

1.數(shù)學(xué)模型描述

由實(shí)際系統(tǒng)結(jié)構(gòu)、元件特性、基本定律尋找系統(tǒng)輸出與輸入之間的數(shù)學(xué)運(yùn)算關(guān)系式，稱為對(duì)系統(tǒng)建模，其找到的數(shù)學(xué)運(yùn)算關(guān)系式即方程式，稱為系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。

例1.2-8

圖1.2-6所示電路是一種具體的電系統(tǒng)，激勵(lì)電壓源us(t)作為系統(tǒng)的輸入信號(hào)，R2兩端的電壓u(t)作為系統(tǒng)的輸出信號(hào)。試列寫(xiě)輸入輸出方程(即建立數(shù)學(xué)模型)。

解設(shè)網(wǎng)孔A、B及各電流參考方向如圖1.2-6中所標(biāo)。

應(yīng)用KCL列節(jié)點(diǎn)a的電流方程為

iC=i1－i2圖1.2-6例1.2-8用圖對(duì)網(wǎng)孔A、B應(yīng)用KVL分別列方程為

(1.2-43)

(1.2-44)考慮元件上電壓、電流關(guān)系，對(duì)本問(wèn)題，有所以

(1.2-45)

將式(1.2-45)代入式(1.2-43)，并代入元件參數(shù)值，經(jīng)整理，得輸出u(t)與輸入us(t)之間的方程為

(1.2-46)

例1.2-9

圖1.2-7(a)是一簡(jiǎn)單的機(jī)械力學(xué)系統(tǒng)。一質(zhì)量為M的物體所受外力為f(t)，作為系統(tǒng)的輸入信號(hào)。用y(t)表示物體自起始位置的位移，作為系統(tǒng)的輸出信號(hào)。假設(shè)物體所受的黏性摩擦力為B為黏性摩擦系數(shù)。根據(jù)虎克定律，物體所受彈性力為Ky(t)，其中K為彈性系數(shù)。物體受力的情況如圖1.2-7(b)所示。試列寫(xiě)聯(lián)系輸出y(t)(位移)與輸入f(t)(作用力)之間關(guān)系的微分方程。圖1.2-7例1.2-9