數(shù)學(xué)熱點-幾何體的內(nèi)接球與外接球阿氏球等17類題型匯 總（解析版）

專題8-1幾何體的外接球與內(nèi)接球，阿氏球等17類題型模塊一模塊一總覽熱點題型解讀（目錄）TOC\o"1-3"\n\h\z\u【題型1】球的截面問題【題型2】可以補成長方體的外接球模型【題型3】直棱柱和圓柱外接球模型【題型4】正四面體的內(nèi)切球和外接球結(jié)論【題型5】直棱錐外接球模型（一條側(cè)棱垂直底面）【題型6】球心在高上（圓錐形）【題型7】圓臺，棱臺外接球模型【題型8】棱錐外接球之切瓜模型（一個面垂直外接圓直徑）【題型9】兩個外心+中垂線確定球心【題型10】外接球之共斜邊拼接模型【題型11】外接球之二面角模型【題型12】內(nèi)切球之棱錐，圓錐模型【題型13】內(nèi)切球之圓臺，棱臺模型【題型14】多球相切問題【題型15】棱切球問題【題型16】構(gòu)造球解決空間中動點構(gòu)成的直角問題【題型17】阿氏球問題模塊二核心題型·模塊二核心題型·舉一反三【題型1】球的截面問題球體的相關(guān)計算關(guān)鍵是找出球心到相關(guān)平面的距離，再結(jié)合勾股定理計算求值【例1】（2020·全國2卷T11）已知△ABC是面積為的等邊三角形，且其頂點都在球O的球面上.若球O的表面積為16π，則O到平面ABC的距離為（

）A． B． C．1 D．【答案】C【分析】根據(jù)球的表面積和的面積可求得球的半徑和外接圓半徑，由球的性質(zhì)可知所求距離.【詳解】設(shè)球的半徑為，則，解得：.設(shè)外接圓半徑為，邊長為，是面積為的等邊三角形，，解得：，，球心到平面的距離.【例2】（24-25高二上·貴州遵義·階段練習(xí)）已知，，，四點都在球的球面上，且，，三點所在平面經(jīng)過球心，，，則點到平面的距離的最大值為，球的表面積為.【答案】4【分析】利用正弦定理求得外接圓半徑，結(jié)合題意可得球的半徑，再利用球的截面性質(zhì)與球的表面積公式即可得解.【詳解】在中，，.根據(jù)正弦定理（為外接圓半徑），這里，，所以，解得.因為、、三點所在平面經(jīng)過球心，所以球的半徑.因為、、三點所在平面經(jīng)過球心，當(dāng)垂直于平面時，點到平面的距離最大，這個最大值就是球的半徑，所以點到平面的距離的最大值為.則球的表面積為.【例3】（23-24高三下·廣東江門·階段練習(xí)）已知正四面體的內(nèi)切球的表面積為，過該四面體的一條棱以及球心的平面截正四面體，則所得截面的面積為．【答案】【分析】由內(nèi)切球的表面積求出內(nèi)切球的半徑，過點A作平面BCD，連接BH并延長交CD于點E，且點E為CD中點，連接，記內(nèi)切球球心為O，過O作，設(shè)正四面體邊長為，然后結(jié)合正四面體的性質(zhì)可求出，從而可求出截面的面積.【詳解】解：由內(nèi)切球的表面積，得內(nèi)切球半徑如圖，過點A作平面BCD，則點H為等邊的中心連接BH并延長交CD于點E，且點E為CD中點，連接，記內(nèi)切球球心為O，過O作，設(shè)正四面體邊長為，則，所以，又因為，所以，由，得，即，解得因為過棱AB和球心O，所以即為所求截面且.【鞏固練習(xí)1】已知是面積為的等邊三角形，且其頂點都在球的球面上，若球的表面積為，則點到平面的距離為．【答案】【分析】設(shè)球的半徑為R，由球的表面積解出，設(shè)外接圓半徑為，邊長為，解出，由勾股定理求解即可.【詳解】設(shè)球的半徑為，則，解得．設(shè)外接圓半徑為，邊長為，因為是面積為的等邊三角形，所以，解得，由，所以，所以球心到平面的距離．【鞏固練習(xí)2】已知過球面上A，B，C三點的截面和球心的距離為球半徑的一半，且，則球的表面積是．【答案】【分析】根據(jù)給定條件，利用正弦定理求出的外接圓半徑，再利用球面的截面小圓性質(zhì)求出球半徑即得答案.【詳解】在中，，則，，由正弦定理得外接圓半徑，設(shè)球半徑為，于是，解得，所以球的表面積是.【鞏固練習(xí)3】（2024·遼寧丹東·一模）已知球的直徑為，，為球面上的兩點，點在上，且，平面，若是邊長為的等邊三角形，則球心到平面的距離為．【答案】【分析】根據(jù)球的截面性質(zhì)，可得球的半徑為，將球心到平面的距離轉(zhuǎn)化為為到平面的距離的2倍，進而根據(jù)等體積變換可得.【詳解】因為，為球的直徑，所以，故球心到平面的距離即為到平面的距離的2倍，如圖設(shè)球的半徑為，由題意可知，由，，可得，故如圖，由題意平面，則，，且，設(shè)到平面的距離為，則由可得，，得，得，則球心到平面的距離為【題型2】可以補成長方體的外接球模型一、長方體外接球：長方體的外接球的球心為其體對角線的中點，半徑為體對角線長的一半．二、補成長方體（1）若三棱錐中有三條棱互相垂直，則可將其放入某個長方體內(nèi)，如下圖所示． （2）若三棱錐的對棱兩兩相等，則可將其放入某個長方體內(nèi)，如圖4所示注：《九章算術(shù)》中的三棱錐均可補為長方體【例1】我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中將底面為矩形且有一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐稱為“陽馬”，現(xiàn)有一“陽馬”如圖所示，平面，，，，則該“陽馬”外接球的表面積為A． B． C． D．【解答】解：把四棱錐放置在長方體中，則長方體的外接球即為四棱錐的外接球，，，，長方體的對角線長為，則長方體的外接球的半徑，該“陽馬”外接球的表面積為．【例2】在中國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中，鱉臑是指四個面都是直角三角形的四面體．如圖，在直角中，為斜邊上的高，，現(xiàn)將沿翻折成，使得四面體為一個鱉臑，則該鱉臑外接球的表面積為【答案】【分析】找出鱉臑外接球的球心，并得出外接球的半徑，結(jié)合球的表面積公式即可求解.【詳解】由題設(shè)，都是直角三角形，只需平面即可，所以鱉臑外接球的球心在過中點且垂直于平面的直線上，而在直角三角形中，的中點到點的距離都相等，所以的中點是外接球的球心，所以．【例3】如圖，在邊長為2的正方形中，，分別是，的中點，將，，分別沿，，折起，使得三點重合于點，若三棱錐的所有頂點均在球的球面上，則球的體積為（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意，把三棱錐可補成一個長方體，利用長方體的對角線長求得外接球的半徑，結(jié)合球的體積公式，即可求解.【詳解】根據(jù)題意，可得，且，所以三棱錐可補成一個長方體，則三棱錐的外接球即為長方體的外接球，如圖所示，設(shè)長方體的外接球的半徑為，可得，所以，所以外接球的體積為.故選：C.

【例4】在四面體中，若，，，則四面體的外接球的表面積為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意可采用割補法，考慮到四面體ABCD的四個面為全等的三角形，所以可在其每個面補上一個以，2，為三邊的三角形作為底面，且以分別x，y，z長、兩兩垂直的側(cè)棱的三棱錐，從而可得到一個長、寬、高分別為x，y，z的長方體，并且x2+y2＝3，x2+z2＝5，y2+z2＝4，則有（2R）2＝x2+y2+z2＝6（R為球的半徑），得2R2＝3，所以球的表面積為S＝4πR2＝6π．【鞏固練習(xí)1】（24-25高三上·江蘇泰州·期中）在中國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中，鱉臑是指四個面都是直角三角形的四面體．在直角中，為斜邊上的高，，，現(xiàn)將沿翻折成，使得四面體為一個鱉臑，則該鱉臑外接球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先求出各個邊長，翻折后，使得⊥，由勾股定理得，此時，由勾股定理逆定理得⊥，故滿足四面體為一個鱉臑，取中點，連接，得到，故點即為該鱉臑外接球的球心，半徑為，從而求出外接球表面積.【詳解】因為直角中，為斜邊上的高，，，所以，，，，如圖，翻折后，使得⊥，由勾股定理得，此時，由勾股定理逆定理得⊥，結(jié)合⊥，⊥，故滿足四面體為一個鱉臑，取中點，連接，因為⊥，⊥，故，故點即為該鱉臑外接球的球心，半徑為，故該鱉臑外接球的表面積為為.【鞏固練習(xí)2】將邊長為的正方形紙片折成一個三棱錐，使三棱錐的四個面剛好可以組成該正方形紙片，若三棱錐的各頂點都在同一球面上，則該球的表面積為________【答案】【分析】作出三棱錐的直觀圖，將三棱錐補成長方體，可計算出該三棱錐的外接球的半徑，結(jié)合球體的表面積公式可求得結(jié)果.【詳解】在邊長為的正方形中，設(shè)、分別為、的中點，、、分別沿、、折起，使、、三點重合于點，滿足題意，如下圖所示：翻折前，，，翻折后，則有，，，將三棱錐補成長方體，其中，，設(shè)三棱錐的外接球的半徑為，則，，故該三棱錐的外接球的表面積為.【鞏固練習(xí)3】（2024·廣東揭陽·高二校聯(lián)考期中）在三棱錐中，，，，則該三棱錐的外接球表面積是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因為，所以可以將三棱錐如圖放置于一個長方體中，如圖所示：設(shè)長方體的長、寬、高分別為a、b、c，則有，整理得，則該棱錐外接球的半徑即為該長方體外接球的半徑，所以有，所以所求的球體表面積為：．【題型3】直棱柱和圓柱外接球模型漢堡模型（直棱柱的外接球、圓柱的外接球）如圖1，圖2，圖3，直三棱柱內(nèi)接于球（同時直棱柱也內(nèi)接于圓柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形）圖1圖2 圖3第一步：確定球心的位置，是的外心，則平面；第二步：算出小圓的半徑，（也是圓柱的高）；第三步：勾股定理：，解出【例1】已知正三棱柱所有棱長都為6，則此三棱柱外接球的表面積為（

）A． B．60 C． D．【答案】D【解析】如圖，為棱的中點，為正△的中心，為外接球的球心根據(jù)直棱柱外接球的性質(zhì)可知∥，，外接球半徑，∵正△的邊長為6，則∴外接球的表面積.故選：D．【例2】設(shè)直三棱柱的所有頂點都在一個表面積是的球面上，且，則此直三棱柱的表面積是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)，因為，所以.于是（是外接圓的半徑），.又球心到平面的距離等于側(cè)棱長的一半，所以球的半徑為.所以球的表面積為，解得.因此.于是直三棱柱的表面積是.【鞏固練習(xí)1】（24-25高三上·安徽亳州·開學(xué)考試）已知圓柱的底面直徑為2，它的兩個底面的圓周都在同一個體積為的球面上，該圓柱的側(cè)面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用球的體積公式求出球的半徑，結(jié)合圓柱半徑可得圓柱的高，然后可解.【詳解】球的體積為，可得其半徑，圓柱的底面直徑為2，半徑為，在軸截面中，可知圓柱的高為，所以圓柱的側(cè)面積為.故選：A．【鞏固練習(xí)2】在三棱錐中，面，為等邊三角形，且，則三棱錐的外接球的表面積為．【答案】【解析】因為是直三棱錐，底面是正三角形，所以可以將圖補形成為正三棱柱，如圖所示，此三棱錐外接球，即為以為底面以為高的正三棱柱的外接球，設(shè)球心為O，作平面，則為的外接圓圓心，連接，則，設(shè)的外接圓半徑為r，三棱錐外接球半徑為R，由正弦定理，得，所以，中，，所以，解得，所以．【鞏固練習(xí)3】已知圓柱的軸截面為正方形，其外接球為球，球的表面積為，則該圓柱的體積為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)外接球的半徑為，圓柱底面圓的半徑為，由球的表面積為，得，根據(jù)軸截面為正方形列方程解得，代圓柱的體積公式得解.【詳解】設(shè)外接球的半徑為，圓柱底面圓的半徑為，因為圓柱的軸截面為正方形，所以圓柱的高，由球的表面積，得，又，得，所以圓柱的體積【題型4】正四面體的內(nèi)切球和外接球結(jié)論在棱長為a的正四面體中設(shè)正四面體的的棱長為，則有1、正四面體的高為2、正四面體外接球半徑為3、正四面體內(nèi)切球半徑為4、正四面體體積【例1】（2024·湖北宜昌·宜昌市夷陵中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知正四面體ABCD的表面積為，且A，B，C，D四點都在球O的球面上，則球O的體積為．【答案】【解析】正四面體各面都是全等的等邊三角形，設(shè)正四面體的棱長為a，所以該正四面體的表面積為，所以，又正方體的面對角線可構(gòu)成正四面體，若正四面體棱長為，可得正方體的棱長為1，所以正方體的外接球即為該正四面體的外接球，所以外接球的直徑為，半徑為，所以球O的體積為．【例2】（24-25高三上·廣東·開學(xué)考試）外接球半徑為的正四面體的體積為（

）A． B．24 C．32 D．【答案】A【分析】設(shè)出正四面體棱長，通過作輔助線表示出四面體的高，解直角三角形表示外接球半徑，由已知外接球半徑為可得棱長，再由三棱錐體積公式可得.【詳解】如圖，設(shè)正四面體的下底面中心為，連接，則平面，連接并延長，交于，設(shè)此正四面體的棱長為x，則，，，即四面體的高．設(shè)四面體外接球的球心為，連接，外接球半徑為，則，化簡得，由，得，即正四面體棱長為，所以正四面體的體積.【例3】正四面體的外接球與內(nèi)切球的半徑比為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)正四面體的外接球球心為，為的中心，設(shè)棱長為，即可求出外接球的半徑，利用等體積法求出內(nèi)切球的半徑，即可得解.【詳解】如圖，設(shè)正四面體的外接球球心為，為的中心，則平面，外接球半徑為，內(nèi)切球半徑為，設(shè)棱長為，在中，由正弦定理得，所以，所以，由，即解得（負值舍去）；由等體積法得到，所以，所以.故選：C.【鞏固練習(xí)1】已知正三棱錐，各棱長均為，則其外接球的體積為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】抓住正三棱錐的特征，底面是正三角形，邊長為，則高線的投影在底面正三角形的重心上，則外接球的球心在高線上，且到各個頂點的距離相等，構(gòu)造直角三角形，從而即可求出外接球的半徑為，進而可求出外接球的體積．【詳解】由是正三棱錐，底面是正三角形，邊長為，則高線的投影在底面正三角形的重心上，則外接球的球心在高線上，且到各個頂點的距離相等，如圖，取的中點，連接，過作平面，且垂足為，則，由，則在中，有，所以，則在中，有，設(shè)外接球的半徑為，則，即，解得，故外接球的體積為．【鞏固練習(xí)2】正四面體中，其側(cè)面積與底面積之差為，則該正四面體外接球的體積為.【答案】【解析】設(shè)正四面體的邊長為，則該正四面體每個面的面積為，正四面體的側(cè)面積與底面積之差為，解得.如下圖所示：過點作平面，垂足為點，連接，可知外接球球心在上，設(shè)球的半徑為，的外接圓半徑為，，由圖可知，，即，解得.因此，正四面體的外接球體積為.【鞏固練習(xí)3】一個正四面體的棱長為2，則它的外接球與內(nèi)切球體積之比為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】作出輔助線，求出外接球和內(nèi)切球的半徑，從而得到體積之比.【詳解】正四面體中，取中點，連接，則⊥，過點作⊥于點，則⊥平面，外接球球心在上，連接，則，因為正四面體的棱長為2，所以，，則，，，由勾股定理得，即，解得，

設(shè)內(nèi)切球球心為，則在上，過點作⊥于點，則，故，，因為∽，所以，即，解得，故它的外接球與內(nèi)切球半徑之比為，體積之比為.

【題型5】直棱錐外接球模型（一條側(cè)棱垂直底面）題設(shè)：如圖，平面，求外接球半徑.（一條側(cè)棱垂直底面） 解題步驟：第一步：將畫在小圓面上，為小圓直徑的一個端點，作小圓的直徑，連接，則必過球心；第二步：為的外心，所以平面，算出小圓的半徑（三角形的外接圓直徑算法：利用正弦定理，得），；第三步：利用勾股定理求三棱錐的外接球半徑：=1\*GB3①；=2\*GB3②.【例1】已知三棱錐的底面為直角三角形，且.若平面，且，，三棱錐的所有頂點均在球的球面上，記球的體積和表面積分別為，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】依題意外接圓的直徑為斜邊，設(shè)三棱錐外接球的半徑為，則，求出外接球的半徑，再根據(jù)球的體積、表面積公式計算可得.【詳解】因為為直角三角形且，則，又平面，平面，則，而平面，于是平面，又平面，因此，取中點，連接，則，從而點即為球的球心，設(shè)三棱錐外接球的半徑為，則，即，所以，則.

【例2】已知三棱錐的底面為直角三角形，且.若平面，且，，三棱錐的所有頂點均在球的球面上，記球的體積和表面積分別為，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】依題意外接圓的直徑為斜邊，設(shè)三棱錐外接球的半徑為，則，求出外接球的半徑，再根據(jù)球的體積、表面積公式計算可得.【詳解】因為為直角三角形且，則，又平面，平面，則，而平面，于是平面，又平面，因此，取中點，連接，則，從而點即為球的球心，設(shè)三棱錐外接球的半徑為，則，即，所以，則.

【鞏固練習(xí)1】已知S，A，B，C是球O表面上的不同點，平面，，，，若球O的表面積為，則（

）A． B．1 C． D．【答案】B【分析】根據(jù)四面體的性質(zhì)可構(gòu)造長方體模型求得外接球半徑即可得.【詳解】如下圖所示：由平面可知，又，所以四面體的外接球半徑等于以長寬高分別為三邊長的長方體的外接球半徑，設(shè)外接球半徑為，由球的表面積為，可得，即；又，，，所以.【鞏固練習(xí)2】2023年高考全國乙卷數(shù)學(xué)(文)T16已知點均在半徑為2的球面上，是邊長為3的等邊三角形，平面，則．【答案】2【分析】先用正弦定理求底面外接圓半徑，再結(jié)合直棱柱的外接球以及求的性質(zhì)運算求解.【詳解】如圖，將三棱錐轉(zhuǎn)化為正三棱柱，設(shè)的外接圓圓心為，半徑為，則，可得，設(shè)三棱錐的外接球球心為，連接，則，因為，即，解得.故答案為：2.【鞏固練習(xí)3】已知三棱錐所在頂點都在球的球面上，且平面，若，則球的體積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】求出外接圓半徑，再利用球的截面小圓性質(zhì)求出球半徑作答.【詳解】在中，，由余弦定理得，令外接圓圓心，則平面，且，而平面，因此，取中點，連接，有，又平面，即有，，于是四邊形為平行四邊形，則，球的半徑，體積為.

【題型6】球心在高上（圓錐形）如圖5-1至5-8這七個圖形，的射影是的外心三棱錐的三條側(cè)棱相等三棱錐的底面在圓錐的底上，頂點點也是圓錐的頂點. 解題步驟：第一步：確定球心的位置，取的外心，則三點共線；第二步：先算出小圓的半徑，再算出棱錐的高（也是圓錐的高）；第三步：勾股定理：，解出方法二：小圓直徑參與構(gòu)造大圓，用正弦定理求大圓直徑得球的直徑.【注意】：若是已知外接球半徑R和小圓半徑r求圓錐的高，則有2個解【例1】（2024·浙江臺州·高二校聯(lián)考期末）已知圓錐的底面半徑為1，母線長為2，則該圓錐的外接球的體積為.【答案】【解析】由題設(shè)，圓錐體的高為，若外接球的半徑為，則，可得，所以圓錐的外接球的體積為.【例2】已知三棱錐的各側(cè)棱長均為，且，則三棱錐的外接球的表面積為.【答案】【解析】如圖：過P點作平面ABC的垂線，垂足為M，則都是直角三角形，又，同理可得，，所以M點是的外心；又，是以斜邊的直角三角形，在底面的射影為斜邊的中點，如下圖：則，設(shè)三棱錐外接球的球心為，半徑為，則在上，則，即，得，外接球的表面積為；【鞏固練習(xí)1】已知球的體積為，圓錐的頂點及底面圓上所有點都在球面上，且底面圓半徑為，則該圓錐側(cè)面的面積為（

）A． B．或C．或 D．【答案】C【分析】先由球的體積求球的半徑，再畫圖，用勾股定理結(jié)合扇形面積公式即可求出圓錐側(cè)面的面積.【詳解】由球的體積為，得，所以.如圖1，當(dāng)時，有，所以，，又因為，所以，因為圓錐的側(cè)面展開圖為扇形，所以該圓錐側(cè)面的面積為.如圖2，當(dāng)時，有，所以，，又因為，所以，所以該圓錐側(cè)面的面積為.【鞏固練習(xí)2】在三棱錐中，，則三棱錐的外接球的半徑為．【答案】【分析】依題為直角三角形，又由，可得點在底面的射影為的外心，故球心在直線上，易求出半徑得解.【詳解】如圖，由，可得，所以的外心為的中點，又由，點在底面的射影為H，則平面，連接，則，，所以點H與點D重合，點在底面的射影為的外心，顯然三棱錐外接球的球心在直線上，設(shè)，在中，有，解得．故答案為：【鞏固練習(xí)3】已知三棱錐中，頂點在底面的射影恰好是內(nèi)切圓的圓心，底面的最短邊長為6．若三個側(cè)面面積分別為，，，則頂點到底面的距離為；三棱錐的外接球的表面積為．【答案】5【分析】設(shè)內(nèi)切圓的圓心為，內(nèi)切圓半徑為，圓分別切于點，連接，，連接，則可證得，再利用三個側(cè)面面積可求，，從而可求出，進而可求出，設(shè)的中點為，連接，設(shè)為三棱錐的外接球的球心，連接，則平面，然后利用勾股定理列方程組可求出外接球的半徑，從而可求出其表面積.【詳解】設(shè)內(nèi)切圓的圓心為，內(nèi)切圓半徑為，圓分別切于點，連接，，連接，則平面，，，因為平面，所以，因為，平面，平面，平面，所以平面，平面，平面，因為平面，平面，平面，所以，，，因為，所以公共邊，所以≌≌，所以，設(shè)的最短邊為，則，所以，解得，所以，因為，所以,所以，所以為直角三角形，且，所以，所以，即頂點到底面的距離為5，設(shè)的中點為，連接，則為的外心，則，所以，設(shè)為三棱錐的外接球的球心，連接，則平面，設(shè)，三棱錐的外接球的半徑為，則（在面上方），或（在面下方），所以，或，則或，解得或（舍去），所以，所以三棱錐的外接球的表面積為，故答案為：5，.【題型7】圓臺，棱臺外接球模型圓臺，棱臺外界球，其中分別為圓臺的上底面、下底面、高．基本規(guī)律:正棱臺外接球，以棱軸截面為主注：若球心位置不確定，也可以直接設(shè)，若解出來為負數(shù)則說明球心在另一側(cè)【例1】（2024·云南·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）已知圓臺的上下底面圓的半徑分別為3，4，母線長為，若該圓臺的上下底面圓的圓周均在球O的球面上，則球O的體積為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題得圓臺的高為，設(shè)圓臺的上下底面圓心為，，，球的半徑為，當(dāng)圓臺的兩個底面在球心異側(cè)時，，所以，解得，；當(dāng)圓臺的兩個底面在球心同側(cè)時，，，解得，，此時，不合題意，舍去，故球的體積【例2】2022年新高考II卷T7——臺體外接球已知正三棱臺的高為1，上、下底面邊長分別為和，其頂點都在同一球面上，則該球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意可求出正三棱臺上下底面所在圓面的半徑，再根據(jù)球心距，圓面半徑，以及球的半徑之間的關(guān)系，即可解出球的半徑，從而得出球的表面積．【詳解】設(shè)正三棱臺上下底面所在圓面的半徑，所以，即，設(shè)球心到上下底面的距離分別為，球的半徑為，所以，，故或，即或，解得符合題意，所以球的表面積為．

【例3】在《九章算術(shù)》中，底面為矩形的棱臺被稱為“芻童”．已知棱臺是一個側(cè)棱相等、高為1的“芻童”，其中，，則該“芻童”外接球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)芻童的幾何性可知外接球的球心在四棱臺上下底面中心連線上，設(shè)球心為O，根據(jù)幾何關(guān)系求出外接球半徑即可求其表面積．【詳解】如圖，連接AC、BD、、，設(shè)AC∩BD＝M，∩＝N，連接MN．∵棱臺側(cè)棱相等，∴易知其外接球球心在線段MN所在直線上，設(shè)外接球球心為O，如圖當(dāng)球心在線段MN延長線上時，易得，MC＝2，，，MN＝1，由得，，即，故OC＝，∴外接球表面積為．如圖當(dāng)球心在線段MN上時，由得，，即舍去，【鞏固練習(xí)1】（2024·遼寧·高三校聯(lián)考期末）正四棱臺高為2，上下底邊長分別為2和4，所有頂點在同一球面上，則球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】如圖所示，，，為外接球球心，設(shè)外接球半徑為R，分別為棱臺上下底面的中心，則，由勾股定理得：，，設(shè)，則，，故，解得：，故，故球的表面積為.【鞏固練習(xí)2】已知圓臺的上下底面圓的半徑分別為3，4，母線長為，若該圓臺的上下底面圓的圓周均在球O的球面上，則球O的體積為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題得圓臺的高為，設(shè)圓臺的上下底面圓心為，，，球的半徑為，當(dāng)圓臺的兩個底面在球心異側(cè)時，，所以，解得，；當(dāng)圓臺的兩個底面在球心同側(cè)時，，，解得，，此時，不合題意，舍去，故球的體積【鞏固練習(xí)3】我國古代《九章算術(shù)》中將上，下兩面為平行矩形的六面體稱為芻童，如圖的芻童有外接球，且，點E到平面距離為4，則該芻童外接球的表面積為________．【答案】【分析】由已知得，球心在上下底面中心的連線上，該連線與上下底面垂直，球心必在該垂線上，然后根據(jù)，利用直角三角形與直角三角形，即可列出外接球半徑的方程，求解即可.【詳解】連接、交于點，連接、交于點，由球的幾何性質(zhì)可知，芻童外接球的球心必在線段上，如圖，由題意可知，平面，平面，，設(shè)，在中，，在矩形中，，，，在中，，在矩形中，，，，設(shè)外接球半徑，，解得，則，即該芻童的外接球半徑為該芻童外接球的表面積為：【題型8】棱錐外接球之切瓜模型（一個面垂直外接圓直徑）如圖4-1，平面平面，且（即為小圓的直徑），且的射影是的外心三棱錐的三條側(cè)棱相等三棱的底面在圓錐的底上，頂點點也是圓錐的頂點.解題步驟：第一步：確定球心的位置，取的外心，則三點共線；第二步：先算出小圓的半徑，再算出棱錐的高（也是圓錐的高）；第三步：勾股定理：，解出；事實上，的外接圓就是大圓，直接用正弦定理也可求解出.2．如圖4-2，平面平面，且（即為小圓的直徑），且，利用勾股定理求三棱錐的外接球半徑：=1\*GB3①；=2\*GB3②3．如圖4-3，平面平面，且（即為小圓的直徑）4．題設(shè)：如圖4-4，平面平面，且（即為小圓的直徑）第一步：易知球心必是的外心，即的外接圓是大圓，先求出小圓的直徑；第二步：在中，可根據(jù)正弦定理，求出.【例1】（2024·廣東·惠州一中校聯(lián)考）已知三棱錐，是以為斜邊的直角三角形，為邊長是2的等邊三角形，且平面平面，則三棱錐外接球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由條件知，外接球的球心在過的中點且垂直于平面的直線上，又平面平面，所以可得等邊三角形的中心即為外接球的球心，求出外接圓的半徑即得三棱錐外接球的半徑．【詳解】直角三角形外接圓的圓心是斜邊的中點，過該點作一條垂直于平面的直線．因為平面平面，所以所作直線在平面內(nèi)，且經(jīng)過等邊三角形的中心，所以等邊三角形的中心就是三棱錐外接球的球心，所以外接圓的半徑也是三棱錐外接球的半徑．由正弦定理知，(是的外接圓的半徑)，即，所以，于是三棱錐外接球的半徑為，故三棱錐外接球的表面積為．【鞏固練習(xí)1】（2024·黑龍江哈爾濱·哈爾濱三中?？寄M預(yù)測）已知某圓錐的軸截面為正三角形，側(cè)面積為，該圓錐內(nèi)接于球，則球的表面積為.【答案】【解析】作圓錐的軸截面，則該軸截面等邊△的外接圓圓心即為圓錐的外接球球心，且△ABC外接圓半徑等于圓錐的外接球半徑，如下圖所示，因為圓錐的側(cè)面積，所以,設(shè)球的半徑為R，由正弦定理得，因此，這個球的表面積為.【鞏固練習(xí)2】（2024·安徽安慶·校聯(lián)考模擬預(yù)測）三棱錐中，，，，則該三棱錐外接球的表面積為．【答案】【解析】因為，，所以由余弦定理可得，解得，所以，所以是以為斜邊的直角三角形，因為，所以點P在平面內(nèi)的射影是的外心，即斜邊的中點，且平面平面，于是的外心即為三棱錐的外接球的球心，因此的外接圓半徑等于三棱錐的外接球半徑．因為，，所以，于是，根據(jù)正弦定理知的外接圓半徑R滿足，所以三棱錐的外接球半徑為，因此三棱錐的外接球的表面積為．【鞏固練習(xí)3】在三棱錐中，平面平面，點是的中點，，則三棱錐的外接球的表面積為.【答案】【解析】因為，所以的外接圓圓心即點，三棱錐外接球球心在過點與平面垂直的直線上，由于平面平面即球心在平面內(nèi)，所以球心即為的外接圓圓心，球的半徑即為的外接圓半徑.因為，所以，從而.設(shè)，在中，根據(jù)余弦定理有，所以，由正弦定理得，所以，所以三棱錐的外接球的表面積為.故答案為：【題型9】兩個外心+中垂線確定球心垂面模型如圖1所示為四面體，已知平面平面，其外接球問題的步驟如下：（1）找出和的外接圓圓心，分別記為和．（2）分別過和作平面和平面的垂線，其交點為球心，記為．（3）過作的垂線，垂足記為，連接，則．（4）在四棱錐中，垂直于平面，如圖2所示，底面四邊形的四個頂點共圓且為該圓的直徑．【例1】如圖，三棱錐中，平面平面BCD，是邊長為2的等邊三角形，，.若A，B，C，D四點在某個球面上，則該球體的表面積為.

【答案】【解析】作出底面的外心，側(cè)面的外心，取中點，連接，因為平面平面，面平面，因為是邊長為2的等邊三角形，所以，又因為平面，所以平面，由球的性質(zhì)可得平面，所以，同理，所以四邊形為平行四邊形，故，在中，因為，，則，設(shè)的外接圓半徑為，根據(jù)正弦定理有，則，設(shè)三棱錐外接球的半徑為，則，則外接球的表面積為.故答案為：.【例2】（2024·四川樂山·高二期末）已知正邊長為1，將繞旋轉(zhuǎn)至，使得平面平面，則三棱錐的外接球表面積為．【答案】【解析】如圖，取BC中點G，連接AG,DG，則，，分別取與的外心E,F分別過E,F作平面ABC與平面DBC的垂線，相交于O，則O為四面體的球心，由，所以正方形OEGF的邊長為，則，所以四面體的外接球的半徑，球O的表面積為．【例3】（2024·全國·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）在三棱錐中，平面平面，底面是邊長為3的正三角形，若該三棱錐外接球的表面積為，則該三棱錐體積的最大值為.【答案】【解析】依題意，點是三棱錐外接球的球心，設(shè)球的半徑為是外接圓的圓心，設(shè)圓的半徑為，點到底面的距離為，由題意，可得，則.因為是邊長為3的正三角形，所以由正弦定理，可得，則.所以三棱錐的體積為，三棱錐的體積取最大值則需要最大.由題意可知，點在過且與底面（此處底面為水平）垂直的截面圓的圓周上運動，當(dāng)點運動到該圓的最高點時，最大.取的中點，連接，過點作.如圖所示，由圓的對稱性可知，此時，則.又平面平面，且平面平面平面，所以平面.因為在中，，又，所以.易得四邊形為矩形，所以.因為在中，，所以，所以.【鞏固練習(xí)1】在四棱錐中，平面平面，且為矩形，，，，，則四棱錐的外接球的體積為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由矩形的邊長可得底面外接圓的半徑，再由為等腰直角三角形可得其外接圓的半徑，又平面平面可得底面外接圓的圓心即為外接球的球心，由題意可得外接球的半徑，進而求出外接球的體積．【詳解】設(shè)，取的中點，連接，，，因為底面為矩形，所以為矩形的外接圓的圓心，又，，，，則，，，因為平面平面，且平面平面，，面，所以面，因為面，所以，所以，因為，所以為外接球的球心，則外接球的半徑為，所以外接球的體積．【鞏固練習(xí)2】在三棱錐中，平面平面，，且，是等邊三角形，則該三棱錐外接球的表面積為．【答案】【解析】如圖所示，作中點，連接、，在上作的中心，過點作平面的垂線，在垂線上取一點，使得，因為三棱錐底面是等邊三角形，是的中心，所以三棱錐外接球球心在過點的平面垂線上，又因，則即為球心，因為平面平面，，，平面平面，，所以平面，，，，，設(shè)球的半徑為，則，，即，解得，故三棱錐外接球的表面積為.【鞏固練習(xí)3】已知正方體的棱長為1，P為棱的中點，則四棱錐P－ABCD的外接球表面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】分別取三角形，四邊形的外心，，利用正弦定理得到，即可得到，然后利用勾股定理得到，最后根據(jù)球的表面積公式求表面積即可.【詳解】設(shè)四棱錐的外接球球心為，取中點，連接，取三角形，四邊形的外心，，連接，，，，，因為正方體的棱長為1，點為中點，所以，，，，，，所以，外接球的表面積.【鞏固練習(xí)4】（2024·湖北十堰·高一統(tǒng)考期末）如圖，在平面四邊形中，，沿對角線將折起，使平面平面，連接，得到三棱錐，則三棱錐外接球表面積的最小值為.

【答案】【解析】在平面四邊形中設(shè)，即在Rt中，.在等腰中，.設(shè)外接圓圓心為，外接圓半徑為，由正弦定理可得.設(shè)三棱錐外接球球心為，則平面.又平面平面，平面平面，平面，，所以平面，則，所以四邊形為直角梯形.設(shè)外接球的半徑為，在平面四邊形中，過做于，在中，為的中點，，由，所以.令，則，因為，當(dāng)且僅當(dāng)，即時（滿足）等號成立.所以，所以外接球表面積的最小值為.故答案為：【題型10】外接球之共斜邊拼接模型兩直角三角形拼接在一起(斜邊相同,也可看作矩形沿對角線折起所得三棱錐)模型題設(shè)：如圖，，求三棱錐外接球半徑（分析：取公共的斜邊的中點，連接，則，為三棱錐外接球球心，然后在中求出半徑），當(dāng)看作矩形沿對角線折起所得三棱錐時與折起成的二面角大小無關(guān)，只要不是平角球半徑都為定值.【例1】在矩形中，，沿將矩形折成一個直二面角，則四面體的外接球的體積為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】設(shè)矩形對角線的交點為，則由矩形對角線互相平分，可知．∴點到四面體的四個頂點的距離相等，即點為四面體的外接球的球心，如圖所示．【鞏固練習(xí)1】（河北唐山·三模）把邊長為的正方形沿對角線折成直二面角，則三棱錐的外接球的球心到平面的距離為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由圖形的幾何性質(zhì)得球心位置，利用等體積轉(zhuǎn)化求點面距離即可.【詳解】由圖所示，易知三棱錐D-ABC的外接球球心為AC的中點O，易得OB=OC=OD=1，且OC⊥OB，DO⊥面OBC，計算可得BC=CD=BD=，設(shè)球心到平面的距離為，則.【鞏固練習(xí)2】已知三棱錐的所有頂點都在球的球面上，是球的直徑.若平面平面，，，三棱錐的體積為，則球的體積為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】取的中點，連接，因為，，所以，.因為平面平面，所以平面.設(shè)，所以，所以球的體積為.【鞏固練習(xí)3】在平行四邊形中，，，將此平行四邊形沿對角線折疊，使平面平面，則三棱錐外接球的體積是．【解答】解：如圖，平面平面，平面平面，，平面，平面，平面，，同理可證，在中，，所以，取中點為，連接，，由直角三角形的性質(zhì)可知，，，又，即到，，，四點的距離相等，為三棱錐外接球的球心，，球的體積【題型11】外接球之二面角模型題設(shè)：兩個全等三角形或等腰三角形拼在一起，或菱形折疊(如圖6)第一步：先畫出如圖6所示的圖形，將畫在小圓上，找出和的外心和；第二步：過和分別作平面和平面的垂線，兩垂線的交點即為球心，連接；第三步：解，算出，在中，勾股定理：注：易知四點共面且四點共圓，證略.【例1】在四面體PABC中，，是邊長為2的等邊三角形，若二面角的大小為，則四面體的外接球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)正的重心為，則是正的外接圓的圓心，取的中點，因為，所以是的外接圓的圓心，過作平面，過作平面，，如圖，則為四面體的外接球的球心，又二面角的大小為，則，又在正中，，則在中，，設(shè)四面體PABC的外接球的半徑為，則，所以四面體PABC的外接球的表面積為.【例2】（2024·四川南充·二模）已知菱形中，對角線，將沿著折疊，使得二面角為，，則三棱錐的外接球的表面積為.

【答案】【分析】將沿折起后，取中點為，連接，，得到，在中由余弦定理求出的長，進一步求出的長,分別記三角形與的重心為、，記該幾何體的外接球球心為，連接，，證明與全等，求出，再推出，連接，由勾股定理求出，即可得出外接球的表面積.【詳解】將沿折起后，取中點為，連接，，則，，可知即為二面角的平面角，即；設(shè)，則，在中，由余弦定理可得：，即解得，即，可得，所以與是邊長為的等邊三角形，分別記三角形與的重心為、，則，；；因為與都是邊長為2的等邊三角形，所以點是的外心，點是的外心；記該幾何體的外接球球心為，連接，，

根據(jù)球的性質(zhì)，可得平面，平面，所以與都是直角三角形，且為公共邊，所以與全等，因此，所以；因為，，，平面，所以平面；又平面，所以，連接，則外接球半徑為，所以外接球表面積為.【例3】長沙市雅禮中學(xué)2024屆高三月考(二)T16已知菱形中，對角線，將沿著折疊，使得二面角為120°，，則三棱錐的外接球的表面積為.【答案】【解析】將沿折起后，取中點為，連接，，得到，在中由余弦定理求出的長，進一步求出的長,分別記三角形與的重心為、，記該幾何體的外接球球心為，連接，，證明與全等，求出，再推出，連接，由勾股定理求出，即可得出外接球的表面積.【詳解】將沿折起后，取中點為，連接，，則，，所以即為二面角的平面角，所以；設(shè)，則,在中，即解得，即，所以所以與是邊長為的等邊三角形.分別記三角形與的重心為、，則，；即；因為與都是邊長為的等邊三角形，所以點是的外心，點是的外心；記該幾何體的外接球球心為，連接，，根據(jù)球的性質(zhì)，可得平面，平面，所以與都是直角三角形，且為公共邊，所以與全等，因此，所以；因為，，，且平面，平面，所以平面；又平面，所以，連接，則外接球半徑為，所以外接球表面積為.【鞏固練習(xí)1】在四面體中，與都是邊長為6的等邊三角形，且二面角的大小為，則四面體外接球的表面積是（

）A．52π B．54π C．56π D．60π【答案】A【解析】如圖所示，取的中點，連接，分別取和的外心與，過兩點分別作平面和平面的垂線，交于點，則就是外接球的球心，連接，則為二面角的平面角，即，則是等邊三角形，其邊長為，，在中，，所以，又由，所以，所以四面體的外接球的表面積為.故選：A.【鞏固練習(xí)2】（2024·廣東·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知四棱錐平面，二面角的大小為.若點均在球的表面上，則該球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因為，所以，因為點均在球的表面上，所以四邊形內(nèi)接于圓，所以，所以，因為平面，平面，所以，又平面，所以平面，平面，所以，又，所以二面角的平面角為，所以，在中，因為，所以，由余弦定理可得：，即，即或（舍去），所以，所以外接圓的直徑為：，即四邊形外接圓的直徑為，因為平面，所以，四棱錐外接球的半徑為：所以四面體外接球的表面積為.【鞏固練習(xí)3】（23-24高三下·重慶沙坪壩·階段練習(xí)）如圖，在三棱錐中，，，，二面角的大小為，則三棱錐的外接球表面積為.【答案】【分析】先確定球心位置，再建立半徑R的方程求解即可.【詳解】取和的中點分別為，，過點作面于點，連結(jié)，，,平面,故，又，則又平面,故平面，平面，故則為二面角的補角，，因為，，則，且，易知，因為為等腰直角三角形，所以是的外心.設(shè)三棱錐的外接球的球心為，則面，易知，作，易知為矩形，，設(shè)，，則在中，，且中，，解得，所以外接球表面積為.故答案為：.【鞏固練習(xí)4】（2024·湖南岳陽·統(tǒng)考三模）已知三棱錐的所有頂點都在球的球面上，，二面角的大小為，若球的表面積等于，則三棱錐的體積等于（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】取的中點，連接，因為，所以到的距離相等，故即為球心．由球的表面積等于，設(shè)外接球半徑為，故，解得，過作垂直于于點，因為，，所以，同理，過點作，且，則，是二面角的平面角，，過點作，垂足為點.因為，，且兩直線在平面內(nèi)，所以平面，又平面，所以，,且兩直線在平面內(nèi)，所以平面，則為三棱錐的高，故三棱錐的高為，其中，所以三棱錐的體積．【題型12】內(nèi)切球之棱錐，圓錐模型錐體的內(nèi)切球問題題設(shè)：如圖，三棱錐上正三棱錐，求其內(nèi)切球的半徑.第一步：先現(xiàn)出內(nèi)切球的截面圖，分別是兩個三角形的外心；第二步：求，，是側(cè)面的高；第三步：由相似于，建立等式：，解出2．題設(shè)：如圖8-2，四棱錐是正四棱錐，求其內(nèi)切球的半徑第一步：先現(xiàn)出內(nèi)切球的截面圖，三點共線；第二步：求，，是側(cè)面的高；第三步：由相似于，建立等式：，解出3．題設(shè)：三棱錐是任意三棱錐，求其的內(nèi)切球半徑（最優(yōu)法）方法：等體積法，即內(nèi)切球球心與四個面構(gòu)成的四個三棱錐的體積之和相等第一步：先畫出四個表面的面積和整個錐體體積；第二步：設(shè)內(nèi)切球的半徑為，建立等式：第三步：解出【例1】（2024·天津·統(tǒng)考二模）已知一個圓錐的高為，底面直徑為，其內(nèi)有一球與該圓錐的側(cè)面和底面都相切，則此球的體積為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】圓錐的母線長為，取圓錐的軸截面如下圖所示：設(shè)該圓錐的內(nèi)切球的半徑為，則，所以，，因此，球的體積為.【例2】圓錐（其中為頂點，為底面圓心）的側(cè)面積與底面積的比是，則圓錐與它外接球（即頂點在球面上且底面圓周也在球面上）的體積比為A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)已知條件求得圓錐母線與底面圓半徑r的關(guān)系，從而得到圓錐的高與r關(guān)系，計算圓錐體積，由截面圖得到外接球的半徑R與r間的關(guān)系，計算球的體積，作比即可得到答案.【詳解】設(shè)圓錐底面圓的半徑為r,圓錐母線長為l，則側(cè)面積為，側(cè)面積與底面積的比為,則母線l=2r,圓錐的高為h=,則圓錐的體積為,設(shè)外接球的球心為O,半徑為R,截面圖如圖，則OB=OS=R,OD=h-R=,BD=r,在直角三角形BOD中，由勾股定理得,即,展開整理得R=所以外接球的體積為,故所求體積比為【鞏固練習(xí)1】已知圓錐的底面半徑為2，高為，則該圓錐的內(nèi)切球表面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】如圖，圓錐與內(nèi)切球的軸截面圖，點為球心，內(nèi)切球的半徑為，為切點，設(shè)，即由條件可知，，中，，即，解得：，所以圓錐內(nèi)切球的表面積.【鞏固練習(xí)2】（2020·全國·統(tǒng)考高考真題）已知圓錐的底面半徑為1，母線長為3，則該圓錐內(nèi)半徑最大的球的體積為．【答案】【分析】將原問題轉(zhuǎn)化為求解圓錐內(nèi)切球的問題，然后結(jié)合截面確定其半徑即可確定體積的值.【詳解】易知半徑最大球為圓錐的內(nèi)切球，球與圓錐內(nèi)切時的軸截面如圖所示，其中，且點M為BC邊上的中點，設(shè)內(nèi)切圓的圓心為，

由于，故，設(shè)內(nèi)切圓半徑為，則：，解得：，其體積：.【鞏固練習(xí)3】已知一個圓錐的側(cè)面展開圖是半徑為4，圓心角為的扇形，將該圓錐加工打磨成一個球狀零件，則該零件表面積的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】運用扇形的弧長公式可求得圓錐半徑，結(jié)合等面積法可求得三角形的內(nèi)切圓半徑，進而求得圓錐內(nèi)切球的表面積.【詳解】由題意，得該圓錐的母線長，設(shè)圓錐的底面半徑為R，高為h，如圖所示，

由，得，所以，圓錐PO內(nèi)切球的半徑等于內(nèi)切圓的半徑，設(shè)的內(nèi)切圓為圓，其半徑為r，由，得，解得，故能制作的零件表面積的最大值為.【題型13】內(nèi)切球之圓臺，棱臺模型首先需要明確，并不是所有的圓臺都有內(nèi)切球，如果一個圓臺又矮又胖，最多只能找到一個與上下底面相切的球，無法做到與所有母線相切，圓臺內(nèi)切球指的是與圓臺上下底面和每條母線均相切的球。如下圖所示：此時圓臺的上下底面圓的半徑與圓臺的高必須滿足一定關(guān)系，下面進行詳細分析，為了分析方便，采用平面輔助法，上圖的軸截面如下：假設(shè)上底面圓半徑為r2，下底面圓半徑為r1，內(nèi)切球半徑為R，圓臺的高為h，母線長為l。上圖軸截面是等腰梯形的內(nèi)切圓，點E，F(xiàn)，G為切點，可得如下全等關(guān)系：；由射影定理可得：【例1】（2024·廣東深圳·統(tǒng)考一模）已知某圓臺的上、下底面半徑分別為，且，若半徑為2的球與圓臺的上、下底面及側(cè)面均相切，則該圓臺的體積為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)圓臺的軸截面圖，結(jié)合圓臺和球的結(jié)構(gòu)特征求解，然后代入圓臺體積公式求解即可.【詳解】如圖，設(shè)圓臺上、下底面圓心分別為，則圓臺內(nèi)切球的球心O一定在的中點處，設(shè)球O與母線切于M點，所以，所以，所以與全等，所以，同理，所以，過A作，垂足為G，則，，所以，所以，所以，所以，所以該圓臺的體積為.【例2】若圓臺的上、下底面圓半徑分別為1、2，、分別為圓臺上下底面圓心.若該圓臺存在內(nèi)切球，則該圓臺的體積為.【答案】【分析】作出圓臺的軸截面，然后根據(jù)題意可求出圓臺的母線長，從而可求出圓的高，進而可求出圓臺的體積.【詳解】圓臺的軸截面如圖所示，設(shè)內(nèi)切球的球心為，內(nèi)切球與母線切于點，則，所以，過點作于，則，所以，所以圓臺的體積為，故答案為：【鞏固練習(xí)1】（2024·湖北咸寧·統(tǒng)考期末）已知球內(nèi)切于圓臺（即球與該圓臺的上、下底面以及側(cè)面均相切），且圓臺的上、下底面半徑，則圓臺的體積與球的體積之比為（

）

A． B． C．2 D．【答案】B【解析】如圖為該幾何體的軸截面，其中圓是等腰梯形的內(nèi)切圓，設(shè)圓與梯形的腰相切于點，與上、下底的分別切于點，，設(shè)球的半徑為，圓臺上下底面的半徑為，.注意到與均為角平分線，因此，從而，故.設(shè)臺體體積為，球體體積為，則.故選：B【鞏固練習(xí)2】（2023汕頭一模）如圖，在正四棱臺中，，，若半徑為r的球O與該正四棱臺的各個面均相切，則該球的表面積．【答案】【分析】作出正棱臺以及球的截面圖，作輔助線結(jié)合圓的切線性質(zhì)，求得球的半徑，即可求得答案.【詳解】設(shè)球O與上底面、下底面分別切于點，與面，面分別切于點，作出其截面如圖所示，則，，于是，過點M作于點H，則，由勾股定理可得︰,所以，所以該球的表面積【鞏固練習(xí)3】一個封閉的圓臺容器（容器壁厚度忽略不計）的上底面半徑為2，下底面半徑為12，母線與底面所成的角為.在圓臺容器內(nèi)放置一個可以任意轉(zhuǎn)動的正方體，則此正方體棱長的最大值是（

）A． B．8 C． D．10【答案】B【分析】設(shè)圓臺內(nèi)能放置的最大球的球心為，求得球的半徑，根據(jù)題意轉(zhuǎn)化為正方體的中心與球心重合，且該球是正方體的外接球，進而求得正方體的最大棱長.【詳解】如圖所示，由題意知，母線與底面所成的角，可得，設(shè)圓臺內(nèi)能放置的最大球的球心為，且與底面和母線分別切于兩點，可知球的半徑，此時球的直徑為，即此時球與圓臺上底面不相切，因此圓臺內(nèi)能放置的最大球的直徑為；若放置一個可以任意轉(zhuǎn)動的正方體，要求正方體棱長最大，需要正方體的中心與球心重合，且該球是正方體的外接球，設(shè)正方體的最大棱長為，滿足，解得.故選：B.

【題型14】多球相切問題處理多個球的切接問題時一般①通過連球心構(gòu)造“球心截面”降維解題②通過連球心構(gòu)造“球心幾何體”將抽象問題具體化．【例1】已知正四面體的棱長為12，先在正四面體內(nèi)放入一個內(nèi)切球，然后再放入一個球，使得球與球及正四面體的三個側(cè)面都相切，則球的體積為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】如圖，正四面體，設(shè)點是底面的中心，點是的中點，連接.則由已知可得，平面，球心在線段上，球切平面的切點在線段上，分別設(shè)為.則易知，，設(shè)球的半徑分別為.因為，根據(jù)重心定理可知，.，，，，.由可得，，即，解得，，所以.由可得，，即，解得，所以，球的體積為.【例2】（2024·浙江溫州·樂清市知臨中學(xué)校考二模）如今中國被譽為基建狂魔，可謂是逢山開路，遇水架橋.公路里程?高鐵里程雙雙都是世界第一.建設(shè)過程中研制出用于基建的大型龍門吊?平衡盾構(gòu)機等國之重器更是世界領(lǐng)先.如圖是某重器上一零件結(jié)構(gòu)模型，中間最大球為正四面體的內(nèi)切球，中等球與最大球和正四面體三個面均相切，最小球與中等球和正四面體三個面均相切，已知正四面體棱長為，則模型中九個球的表面積和為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】如圖，取的中點，連接，，則，，過點作⊥底面，垂足在上，且，所以，故，點為最大球的球心，連接并延長，交于點，則⊥，設(shè)最大球的半徑為，則，因為∽，所以，即，解得，即，則，故設(shè)最小球的球心為，中間球的球心為，則兩球均與直線相切，設(shè)切點分別為，連接，則分別為最小球和中間球的半徑，長度分別設(shè)為，則，則，又，所以，解得，又，故，解得，所以，模型中九個球的表面積和為.【鞏固練習(xí)1】如圖，在一個底面邊長為2，側(cè)棱長為的正四棱錐中，大球內(nèi)切于該四棱錐，小球與大球及四棱錐的四個側(cè)面相切，則小球的表面積為．【答案】【解析】設(shè)O為正方形ABCD的中心，AB的中點為M，連接PM，OM，PO，則，，，如圖，在截面PMO中，設(shè)N為球與平面PAB的切點，則N在PM上，且，設(shè)球的半徑為R，則，∵，∴，則，，∴，設(shè)球與球相切于點Q，則，設(shè)球的半徑為r，同理可得，∴，故小球的表面積.故答案為：【鞏固練習(xí)2】棱長為的正四面體內(nèi)切一球，然后在正四面體和該球形成的空隙處各放入一個小球，則這樣一個小球的表面積最大為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】如圖，由題意知球和正四面體的三個側(cè)面以及內(nèi)切球都相切時半徑最大，設(shè)內(nèi)切球球心為，半徑為，空隙處的最大球球心為，半徑為，為的中心，易知面，為中點，球和球分別與面相切于和.易得，，，由，可得，又，，故，，，又由和相似，可得，即，解得，即小球的最大半徑為.所以小球的表面積最大值為.【鞏固練習(xí)3】如圖是某零件結(jié)構(gòu)模型，中間大球為正四面體的內(nèi)切球，小球與大球和正四面體三個面均相切，若，則該模型中一個小球的體積為（

）

A． B． C． D．【答案】C【解析】如圖所示，設(shè)為大球的球心，大球的半徑為，大正四面體的底面中心為，棱長為，高為，的中點為，連接，，，，，，則，正四面體的高.因為，所以，所以，設(shè)小球的半徑為，小球也可看作一個小的正四面體的內(nèi)切球，且小正四面體的高，所以，所以小球的體積為.【鞏固練習(xí)4】南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法·商功》中記載了“三角垛”．如圖，某三角垛最上層有1個球，第二層有3個球，第三層有6個球，每個球的半徑相等，且相鄰的球都外切，記由球心A，B，C，D構(gòu)成的四面體的體積為，記能將該三角垛完全放入的四面體的體積為，則的最大值為．【答案】【分析】要使取得最大值，則使取最小值，通過計算出球心在一面的投影點到該邊的距離，可算出四面體的最小棱長【詳解】設(shè)球的半徑為，由題意可知四面體為正四面體，邊長為，所以四面體的高為，所以，要使取得最大值，則使取最小值，由題意可知此時該三角垛與四面體相切.等邊的高為，由余弦定理可算出正四面體任意兩面二面角大小的余弦值為，因為位于三角垛頂?shù)那蚺c三面都相切，取的中點，過點作平面的垂線，垂足為，如圖可得截面，若設(shè)則，所以，已知球心到面的距離為，則，在平面里過點作的垂線，所以，所以邊上三個球的球心在該面的投影與該邊和兩個頂點形成等腰梯形，底角為，上底為，高為，所以下底可計算得，所以的最小值為，所以的最大值為.【題型15】棱切球問題方法：找切點，找球心，構(gòu)造直角三角形【例1】已知正三棱柱的體積為18，若存在球O與三棱柱的各棱均相切，則球O的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)正三棱柱的底面邊長為，高為，上底面中心為，下底面中心為，連接，則球的球心在的中點上，設(shè)球切棱于，切棱于，則、分別為所在棱的中點，由題意，①因為，，又，所以，所以，解得，②聯(lián)立①②可得，所以球的半徑為，所以球O的表面積為【例2】已知球與一正方體的各條棱相切，同時該正方體內(nèi)接于球，則球與球的表面積之比為（

）A．2：3 B．3：2 C． D．【答案】A【解析】設(shè)正方體棱長為，因為球與正方體的各條棱相切，所以球的直徑大小為正方體的面對角線長度，即半徑；正方體內(nèi)接于球，則球的直徑大小為正方體的體對角線長度，即半徑；所以球與球的表面積之比為.【例3】已知某棱長為的正四面體的各條棱都與同一球面相切，則該球與此正四面體的體積之比為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】如圖，正方體中，棱長為，所以，四面體是棱長為的正四面體，當(dāng)正四面體的各條棱都與同一球面相切時，該球為正方體的內(nèi)切球，半徑為，所以，該球的體積為，因為正四面體的體積為，所以，該球與此正四面體的體積之比為.故選：A【鞏固練習(xí)1】正四面體P-ABC的棱長為4，若球O與正四面體的每一條棱都相切，則球O的表面積為（

）A．2π B．8π C． D．12π【答案】B【解析】將正四面體補成一個正方體球與正四面體的棱都相切．則球與正方體的內(nèi)切球，設(shè)正方體邊長為，故選：B.【鞏固練習(xí)2】已知正三棱柱(底面為正三角形且側(cè)棱與底面垂直)，它的底面邊長為2，若存在一個球與此正三棱柱的所有棱都相切，則此正三棱柱的側(cè)棱長為.【答案】2【解析】如圖，作正三棱柱的中截面正，作上下底面三角形內(nèi)切圓，與正三棱柱的所有棱都相切的球必過的外接圓和上下底面內(nèi)切圓，取上下底面內(nèi)切圓心?，連接，取中點，為的外心，以為球心，以為半徑的球，此球即為與正三棱柱的球，于是，，所以，，故答案為：2【鞏固練習(xí)3】（廣東省茂名市五校聯(lián)盟2024屆高三上學(xué)期第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）已知正三棱柱的高等于1.一個球與該正三棱柱的所有棱都相切，則該球的體積為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】如圖，作正三棱柱的中截面正△，作上下底面三角形內(nèi)切圓，與正三棱柱的所有棱都相切的球必過△的外接圓和上下底面內(nèi)切圓，取上下底面內(nèi)切圓心、，連接，取中點，為△的外心，以為球心，以為半徑的球，此球即為與正三棱柱所有棱都相切的球，∴，，，在直角△OMN中，由得，，，∴球的半徑，∴球的體積.故選：B.【鞏固練習(xí)4】（福建省三明市2024屆高三上學(xué)期期末質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題）已知直三棱柱的側(cè)棱長為，底面為等邊三角形.若球O與該三棱柱的各條棱都相切，則球O的體積為.【答案】【解析】由題意三棱柱是正三棱柱，分別是棱柱下底面和上底面的中心，由對稱性知中點為球的球心，取中點（為切點），則（等于到棱距離．設(shè)球半徑為，由正三角形性質(zhì)知，與底面垂直，則必與底面上直線垂直，因此，解得，球體積為．故答案為：．【題型16】構(gòu)造球解決空間中動點構(gòu)成的直角問題【例1】在棱長為的正方體中，點分別為棱，的中點．已知動點在該正方體的表面上，且，則點的軌跡長度為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)條件得到點軌跡為以為直徑的球，進而得出點的軌跡是六個半徑為a的圓，即可求出結(jié)果.【詳解】因為，故P點軌跡為以為直徑的球，如圖，易知中點即為正方體中心，球心在每個面上的射影為面的中心，設(shè)在底面上的射影為，又正方體的棱長為，所以，易知，，又動點在正方體的表面上運動，所以點的軌跡是六個半徑為a的圓，軌跡長度為，【例2】（2024·廣東深圳一模改）如圖，八面體的每一個面都是邊長為4的正三角形，且頂點在同一個平面內(nèi)．若點在四邊形內(nèi)（包含邊界）運動，當(dāng)時，點到的最小值為________.

【答案】【分析】以AE為直徑作球N，A,E與球上任意一點均能構(gòu)成直角，故M點軌跡為球N與平面的交線.【詳解】記球心N在平面上的投影為K，故即點的軌跡以中點為圓心，半徑為的圓在四邊內(nèi)（包含邊界）的一段弧，到的距離為，弧上的點到的距離最小值為 【鞏固練習(xí)1】如圖，已知直四棱柱ABCD-EFGH的底面是邊長為4的正方形，點M為CG的中點，點P為底面EFGH上的動點，若，存在唯一的點P滿足，則________.【答案】4【詳解】以AM為直徑構(gòu)造球，A,M與球上任意一點均能構(gòu)成直角，故球與平面EFGH相切時存在唯一P點，即半徑，設(shè)，則有,由勾股定理可得：，故【鞏固練習(xí)2】已知正四面體的棱長為2，動點滿足，且，則點的軌跡長為.【答案】【分析】由，故點在過點且