立體幾何的解題技巧

數(shù)學(xué)·立體幾何的解題技巧一立體幾何解題技巧1.直線與平面垂直的五個(gè)結(jié)論(1)若一條直線垂直于一個(gè)平面,則這條直線垂直于這個(gè)平面內(nèi)的任意直線.(2)若兩條平行線中的一條垂直于一個(gè)平面,則另一條也垂直于這個(gè)平面.(3)垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行.(4)一條直線垂直于兩平行平面中的一個(gè),則這一條直線與另一個(gè)平面也垂直.(5)兩個(gè)相交平面同時(shí)垂直于第三個(gè)平面,它們的交線也垂直于第三個(gè)平面.2.證明線面垂直的常用方法(1)利用線面垂直的判定定理.(2)利用“兩平行線中的一條與平面垂直,則另一條也與這個(gè)平面垂直”.(3)利用“一條直線垂直于兩個(gè)平行平面中的一個(gè),則與另一個(gè)也垂直”.(4)利用面面垂直的性質(zhì)定理.3.證明線線垂直的常用方法(1)利用特殊圖形中的垂直關(guān)系.(2)利用等腰三角形底邊中線的性質(zhì).(3)利用勾股定理的逆定理.(4)利用直線與平面垂直的性質(zhì).4.在證明線線垂直時(shí),要注意題中隱含的垂直關(guān)系,如等腰三角形底邊上的高、中線和頂角的角平分線三線合一、矩形的內(nèi)角、直徑所對(duì)的圓周角、菱形的對(duì)角線互相垂直、直角三角形(或給出線段長(zhǎng)度,經(jīng)計(jì)算滿足勾股定理)、直角梯形等等.5.面面垂直的證明方法(1)定義法:利用面面垂直的定義,即判定兩平面所成的二面角為直二面角,將證明面面垂直問題轉(zhuǎn)化為證明平面角為直角的問題.(2)定理法:利用面面垂直的判定定理,即證明其中一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的一條垂線,把問題轉(zhuǎn)化成證明線面垂直加以解決.6.線面角、二面角求法根據(jù)線面角的定義或二面角的平面角的定義,作(找)出該角,再解三角形求出該角,步驟是作(找)?證?求(算)三步曲.也可用射影法:設(shè)斜線段AB在平面α內(nèi)的射影為A'B',AB與α所成角為θ,則cosθ=;設(shè)△ABC在平面α內(nèi)的射影三角形為△A'B'C',平面ABC與α所成角為θ,則cosθ=.例1.(2019山東濰坊三模,8)下列說法錯(cuò)誤的是()A.垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行B.若兩個(gè)平面垂直,則其中一個(gè)平面內(nèi)垂直于這兩個(gè)平面交線的直線與另一個(gè)平面垂直C.一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線均與另一個(gè)平面平行,則這兩個(gè)平面平行D.一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的無數(shù)條直線垂直,則這條直線和這個(gè)平面垂直答案：D解析：由線面垂直的性質(zhì)定理可得選項(xiàng)A正確;由面面垂直的性質(zhì)定理知選項(xiàng)B正確;由面面平行的判定定理知選項(xiàng)C正確;由直線與平面垂直的定義知,選項(xiàng)D錯(cuò)誤.

例2.已知l,m是平面α外的兩條不同直線.給出下列三個(gè)論斷:①l⊥m;②m∥α;③l⊥α.以其中的兩個(gè)論斷作為條件,余下的一個(gè)論斷作為結(jié)論,寫出一個(gè)正確命題:.

答案：若l⊥α,m∥α,則l⊥m解析：將所給論斷,分別作為條件、結(jié)論,得到如下三個(gè)命題:(1)如果l⊥α,m∥α,則l⊥m,正確;(2)如果l⊥α,l⊥m,則m∥α,不正確,有可能m在平面α內(nèi);(3)如果l⊥m,m∥α,則l⊥α,不正確,有可能l與α斜交、l∥α.故答案為:如果l⊥α,m∥α,則l⊥m.

例3.圖1是由矩形ADEB,Rt△ABC和菱形BFGC組成的一個(gè)平面圖形,其中AB=1,BE=BF=2,∠FBC=60°.將其沿AB,BC折起使得BE與BF重合,連接DG,如圖2.(1)證明:圖2中的A,C,G,D四點(diǎn)共面,且平面ABC⊥平面BCGE;(2)求圖2中的四邊形ACGD的面積.解：(1)證明由已知得AD∥BE,CG∥BE,所以AD∥CG,故AD,CG確定一個(gè)平面,從而A,C,G,D四點(diǎn)共面.由已知得AB⊥BE,AB⊥BC,BE∩BC=B,故AB⊥平面BCGE.又因?yàn)锳B?平面ABC,所以平面ABC⊥平面BCGE.(2)解取CG的中點(diǎn)M,連接EM,DM.因?yàn)锳B∥DE,AB⊥平面BCGE,所以DE⊥平面BCGE,故DE⊥CG.由已知,四邊形BCGE是菱形,且∠EBC=60°得EM⊥CG,DE∩EM=E,故CG⊥平面DEM.因此DM⊥CG.在Rt△DEM中,DE=1,EM=,故DM=2.所以四邊形ACGD的面積為4.二立體幾何解題技巧1.異面直線判定的一個(gè)定理過平面外一點(diǎn)和平面內(nèi)一點(diǎn)的直線,與平面內(nèi)不過該點(diǎn)的直線是異面直線.2.唯一性定理(1)過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行.(2)過直線外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與已知直線垂直.(3)過平面外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與已知平面平行.(4)過平面外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知平面垂直.3.共面、共線、共點(diǎn)問題的證明(1)證明點(diǎn)或線共面問題的兩種方法:①首先由所給條件中的部分線(或點(diǎn))確定一個(gè)平面,然后證其余的線(或點(diǎn))在這個(gè)平面內(nèi);②將所有條件分為兩部分,然后分別確定平面,再證兩平面重合.(2)證明點(diǎn)共線問題的兩種方法:①先由兩點(diǎn)確定一條直線,再證其他各點(diǎn)都在這條直線上;②直接證明這些點(diǎn)都在同一條特定直線上.(3)證明線共點(diǎn)問題的常用方法是:先證其中兩條直線交于一點(diǎn),再證其他直線經(jīng)過該點(diǎn).4.求解異面直線所成角的方法方法解讀平移法通過作圖(如結(jié)合中位線、平行四邊形補(bǔ)形等)來構(gòu)造平行線,作出異面直線所成的角,通過解三角形來求解補(bǔ)形法補(bǔ)成長(zhǎng)方體或正方體轉(zhuǎn)化法當(dāng)異面直線所成角為時(shí),可轉(zhuǎn)化為證明垂直典型例題

例1(多選)已知空間中兩條直線a,b所成的角為50°,P為空間中給定的一個(gè)定點(diǎn),直線l過點(diǎn)P且與直線a和直線b所成的角都是θ(0°<θ≤90°),則下列選項(xiàng)正確的是()A.當(dāng)θ=15°時(shí),滿足題意的直線l不存在B.當(dāng)θ=25°時(shí),滿足題意的直線l有且僅有1條C.當(dāng)θ=40°時(shí),滿足題意的直線l有且僅有2條D.當(dāng)θ=60°時(shí),滿足題意的直線l有且僅有3條答案：ABC解析：過P作a'∥a,b'∥b,則l與a,b成的角即l與a',b'成的角.設(shè)直線a',b'確定的平面為α,∵異面直線a,b成50°角,∴直線a',b'所成銳角為50°.當(dāng)直線l在平面α內(nèi)時(shí),若直線l平分直線a',b'所成的鈍角,則直線l與a,b都成65°角,適當(dāng)調(diào)整l的位置,l與a,b所成角的范圍為[65°,90°];若直線l平分直線a',b'所成的銳角,則直線l與a,b都成25°角,適當(dāng)調(diào)整l的位置,l與a,b所成角的范圍為[25°,90°],故A,B,C都正確,當(dāng)θ=60°時(shí),滿足題意的直線l有且僅有2條,所以D錯(cuò)誤.故選ABC.例2以下四個(gè)命題中:①不共面的四點(diǎn)中,其中任意三點(diǎn)不共線;②若點(diǎn)A,B,C,D共面,點(diǎn)A,B,C,E共面,則點(diǎn)A,B,C,D,E共面;③若直線a,b共面,直線a,c共面,則直線b,c共面;④依次首尾相接的四條線段必共面.真命題的個(gè)數(shù)是()A.0

B.1

C.2

D.3答案：B解析：①正確,否則三點(diǎn)共線和第四點(diǎn)必共面;②錯(cuò),如圖三棱錐,能符合題意,但A,B,C,D,E不共面;從②的幾何體知,③錯(cuò);由空間四邊形可知,④錯(cuò).例3如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,M,N分別為棱C1D1,C1C的中點(diǎn),有以下四個(gè)結(jié)論:①直線AM與CC1是相交直線;②直線AM與BN是平行直線;③直線BN與MB1是異面直線;④直線AM與DD1是異面直線.其中正確的結(jié)論為(注:把你認(rèn)為正確的結(jié)論序號(hào)都填上).

答案：③④解析：因?yàn)辄c(diǎn)A在平面CDD1C1外,點(diǎn)M在平面CDD1C1內(nèi),直線CC1在平面CDD1C1內(nèi),CC1不過點(diǎn)M,所以AM與CC1是異面直線,故①錯(cuò);取DD1中點(diǎn)E,連接AE,則BN∥AE,但AE與AM相交,故②錯(cuò);因?yàn)锽1與BN都在平面BCC1B1內(nèi),M在平面BCC1B1外,BN不過點(diǎn)B1,所以BN與MB1是異面直線,故③正確;同理④正確,故填③④.三立體幾何解題技巧1.平面與平面平行的三個(gè)性質(zhì)(1)兩個(gè)平面平行,其中一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線平行于另一個(gè)平面；(2)夾在兩個(gè)平行平面間的平行線段長(zhǎng)度相等；(3)兩條直線被三個(gè)平行平面所截,截得的對(duì)應(yīng)線段成比例.2.判斷兩個(gè)平面平行的三個(gè)結(jié)論(1)垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行；(2)平行于同一平面的兩個(gè)平面平行；(3)如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線分別平行于另一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線,那么這兩個(gè)平面平行.3.判斷或證明線面平行的常用方法有(1)利用線面平行的定義(無公共點(diǎn))；(2)利用線面平行的判定定理(a?α,b?α,a∥b?a∥α)；(3)利用面面平行的性質(zhì)(α∥β,a?α?a∥β).4.證明線面平行往往先證明線線平行,證明線線平行的途徑有:利用幾何體的特征,合理利用中位線定理、線面平行的性質(zhì),或者構(gòu)造平行四邊形、尋找比例式證明兩直線平行.5.空間中證明兩條直線平行的常用方法(1)利用線面平行的性質(zhì)定理,即a∥α,a?β,α∩β=b?a∥b；(2)利用平行公理推論:平行于同一直線的兩條直線互相平行；(3)利用垂直于同一平面的兩條直線互相平行.6.在推證線面平行時(shí),一定要強(qiáng)調(diào)直線不在平面內(nèi),否則會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤；在解決線面、面面平行的判定時(shí),一般遵循從“低維”到“高維”的轉(zhuǎn)化,即從“線線平行”到“線面平行”,再到“面面平行”;而在應(yīng)用性質(zhì)定理時(shí),其順序恰好相反,但也要注意,轉(zhuǎn)化的方向總是由題目的具體條件而定,決不可過于“模式化”.例1.(多選)下列命題中正確的是()A.平面α∥平面β,一條直線a平行于平面α,則a一定平行于平面βB.平面α∥平面β,則α內(nèi)的任意一條直線都平行于平面βC.一個(gè)三角形有兩條邊所在的直線分別平行于一個(gè)平面,那么該三角形所在的平面與這個(gè)平面平行D.分別在兩個(gè)平行平面內(nèi)的兩條直線只能是平行直線或異面直線答案：BCD解析：平面α∥平面β,一條直線a平行于平面α,則a可能在平面β內(nèi),故A錯(cuò)誤;平面α∥平面β,則α內(nèi)的任意一條直線都平行于平面β,故B正確;一個(gè)三角形有兩條邊所在的直線平行于一個(gè)平面,由面面平行的判定知,三角形所在的平面與這個(gè)平面平行,故C正確;分別在兩個(gè)平行平面內(nèi)的兩條直線只能是平行直線或異面直線,故D正確.故選BCD.例2.已知空間幾何體ABCDE中,△BCD與△CDE均為邊長(zhǎng)為2的等邊三角形,△ABC為腰長(zhǎng)為3的等腰三角形,平面CDE⊥平面BCD,平面ABC⊥平面BCD,M,N分別為DB,DC的中點(diǎn).(1)求證:平面EMN∥平面ABC;(2)求三棱錐A-ECB的體積.

(1)證明取BC中點(diǎn)H,連接AH,∵△ABC為等腰三角形,∴AH⊥BC,又平面ABC⊥平面BCD,平面ABC∩平面BCD=BC,∴AH⊥平面BCD,同理可證EN⊥平面BCD,∴EN∥AH,∵EN?平面ABC,AH?平面ABC,∴EN∥平面ABC,又M,N分別為BD,DC中點(diǎn),∴MN∥BC,∵M(jìn)N?平面ABC,BC?平面ABC,∴MN∥平面ABC,又MN∩EN=N,∴平面EMN∥平面ABC.(2)解連接DH,取CH中點(diǎn)G,連接NG,則NG∥DH,由(1)知EN∥平面ABC,所以點(diǎn)E到平面ABC的距離與點(diǎn)N到平面ABC的距離相等,又△BCD是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形,∴DH⊥BC,又平面ABC⊥平面BCD,平面ABC∩平面BCD=BC,DH?平面BCD,∴DH⊥平面ABC,∴NG⊥平面ABC,∴DH=,又N為CD中點(diǎn),∴NG=,又AC=AB=3,BC=2,∴S△ABC=1/2·|BC|·|AH|=,∴VE-ABC=VN-ABC=1/3·S△ABC·|NG|=

四立體幾何解題技巧1.常用結(jié)論（1）對(duì)空間任一點(diǎn)O,若(x+y=1),則P,A,B三點(diǎn)共線.（2）對(duì)空間任一點(diǎn)O,若(x+y+z=1),則P,A,B,C四點(diǎn)共面.2.空間向量數(shù)量積的應(yīng)用(1)求夾角.設(shè)向量a,b所成的角為θ,則cosθ=,進(jìn)而可求兩異面直線所成的角.(2)求長(zhǎng)度(距離).運(yùn)用公式|a|2=a·a,可使線段長(zhǎng)度的計(jì)算問題轉(zhuǎn)化為向量數(shù)量積的計(jì)算問題.(3)解決垂直問題.利用a⊥b?a·b=0(a≠0,b≠0),可將垂直問題轉(zhuǎn)化為向量數(shù)量積的計(jì)算問題.3.共線定理、共面定理的應(yīng)用（1）證明點(diǎn)共線的問題可轉(zhuǎn)化為證明向量共線的問題,如證明A,B,C三點(diǎn)共線,即證明共線,亦即證明(λ≠0).（2）證明點(diǎn)共面問題可轉(zhuǎn)化為證明向量共面問題,如要證明P,A,B,C四點(diǎn)共面,只要能證明,或?qū)臻g任一點(diǎn)O,有,或(x+y+z=1)即可.4.注意事項(xiàng)（1）向量的數(shù)量積滿足交換律、分配律,但不滿足結(jié)合律,即a·b=b·a,a·(b+c)=a·b+a·c成立,(a·b)·c=a·(b·c)不一定成立.（2）在利用①證明MN∥平面ABC時(shí),必須說明點(diǎn)M或點(diǎn)N不在平面ABC內(nèi)(因?yàn)棰偈街槐硎竟裁?.（3）求異面直線所成的角,一般可以轉(zhuǎn)化為兩向量的夾角,但要注意兩種角的范圍不同,最后應(yīng)進(jìn)行轉(zhuǎn)化.02典型例題精準(zhǔn)剖析例1.若x,y∈R,有下列命題:①若p=xa+yb,則p與a,b共面;②若p與a,b共面,則p=xa+yb;③,則P,M,A,B共面;④若點(diǎn)P,M,A,B共面,則.其中真命題的個(gè)數(shù)是()A.1

B.2

C.3

D.4答案：B解析：①正確,②中若a,b共線,p與a不共線,則p=xa+yb就不成立.③正確.④中若點(diǎn)M,A,B共線,點(diǎn)P不在此直線上,則不成立.例2.如圖,已知斜三棱柱ABC-A1B1C1,點(diǎn)M,N分別在AC1和BC上,且滿足(0≤k≤1).(1)向量是否與向量共面?(2)直線MN是否與平面ABB1A1平行?解：例3：如圖,在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中,M,P,Q分別是棱A1D1,AB,BC的中點(diǎn),若經(jīng)過點(diǎn)M,P,Q的平面與平面CDD1C1的交線為l,則l與直線QB1所成角的余弦值為()A.

B.

C.

D.答案：B解析：取C1D1中點(diǎn)E,則平面PQEM是點(diǎn)M,P,Q的平面,延長(zhǎng)PQ,交DC延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,則EF是經(jīng)過點(diǎn)M,P,Q的平面與平面CDD1C1的交線l,以D為原點(diǎn),DA,DC,DD1所在直線分別為x,y,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,則設(shè)l與直線QB1所成角為θ,則cosθ=,所以l與直線QB1所成角的余弦值為.五立體幾何解題技巧1.直線的方向向量的確定:l是空間一直線,A,B是l上任意兩點(diǎn),則及與平行的非零向量均為直線l的方向向量.2.平面的法向量的確定:設(shè)a,b是平面α內(nèi)兩不共線向量,n為平面α的法向量,則求法向量的方程組為3.用向量證明平行的方法(1)線線平行:證明兩直線的方向向量共線.(2)線面平行:①證明直線的方向向量與平面的某一法向量垂直;②證明直線的方向向量與平面內(nèi)某直線的方向向量平行.(3)面面平行:①證明兩平面的法向量為共線向量;②轉(zhuǎn)化為線面平行、線線平行問題.4.用向量證明垂直的方法(1)線線垂直:證明兩直線的方向向量互相垂直,即證它們的數(shù)量積為零.(2)線面垂直:證明直線的方向向量與平面的法向量共線.(3)面面垂直:證明兩個(gè)平面的法向量垂直.5.利用向量法求異面直線所成的角時(shí),是通過兩條直線的方向向量的夾角來求解,而兩異面直線所成角θ的范圍是,兩向量的夾角α的范圍是[0,π],所以要注意二者的區(qū)別與聯(lián)系,應(yīng)有cosθ=|cosα|.6.利用向量法求線面角的方法①分別求出斜線和它在平面內(nèi)的射影直線的方向向量,轉(zhuǎn)化為求兩個(gè)方向向量的夾角(或其補(bǔ)角);②通過平面的法向量來求,即求出斜線的方向向量與平面的法向量所夾的銳角或鈍角的補(bǔ)角,取其余角就是斜線和平面所成的角.7.利用空間向量求二面角的方法①分別在二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)找到與棱垂直且從垂足出發(fā)的兩個(gè)向量,則這兩個(gè)向量的夾角的大小就是二面角的平面角的大小;②通過平面的法向量來求,即設(shè)二面角的兩個(gè)半平面的法向量分別為n1和n2,則二面角的大小等于<n1,n2>(或π-<n1,n2>).應(yīng)注意結(jié)合圖形判斷二面角是銳角還是鈍角.8.用向量知識(shí)證明立體幾何問題有兩種基本思路:一種是用向量表示幾何量,利用向量的運(yùn)算進(jìn)行判斷.另一種是用向量的坐標(biāo)表示幾何量,共分三步:(1)建立立體圖形與空間向量的聯(lián)系,用空間向量(或坐標(biāo))表示問題中所涉及的點(diǎn)、線、面,把立體幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題;(2)通過向量運(yùn)算,研究點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系;(3)根據(jù)運(yùn)算結(jié)果的幾何意義來解釋相關(guān)問題.典型例題精準(zhǔn)剖析例1.

如