山西省呂梁市2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題

高二第一學(xué)期期末調(diào)研測(cè)試數(shù)學(xué)試題（本試題滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.答案一律寫在答題卡上）注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上，認(rèn)其核對(duì)條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)，并將條形碼粘貼在答題卡的指定位置上.2.答題時(shí)使用0.5毫米的黑色中性（簽字）筆或碳素筆書寫，字體工整、筆跡清楚.3.請(qǐng)按照題號(hào)在各題的答題區(qū)域（黑色線框）內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效.4.保持卡面清潔，不折疊，不破損.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知圓，則圓心和半徑分別為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】將圓的一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，由此確定圓心坐標(biāo)及半徑.【解析】圓的方程可化為.所以圓心的坐標(biāo)為，半徑為，故選：B.2.雙曲線，則雙曲線的漸近線方程為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意，結(jié)合雙曲線的幾何性質(zhì)，即可求解.【解析】由雙曲線，可得，又由雙曲線的焦點(diǎn)在軸上，所以雙曲線的漸近線方程為.故選：C.3.已知正項(xiàng)等比數(shù)列滿足，則（）A.62 B.30或10 C.62或 D.30【答案】A【解析】【分析】運(yùn)用等比數(shù)列通項(xiàng)公式基本量的計(jì)算，先求出首項(xiàng)和公比，然后再運(yùn)用等比數(shù)列前項(xiàng)和公式求出前項(xiàng)和.【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，因?yàn)樵撜?xiàng)等比數(shù)列滿足，所以，解得，故.故選：A.4.若函數(shù)在處有極小值，則（）A. B. C.或 D.【答案】A【解析】【分析】求得，由，求得或，分別求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，結(jié)合函數(shù)極值點(diǎn)的定義，即可求解.【解析】由函數(shù)，可得，因?yàn)楹瘮?shù)在處取得極小值，可得，解得或，當(dāng)時(shí)，令，解得或；令，解得，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以在處有極大值，不符合題意，舍去；當(dāng)時(shí)，令，可得或；令，可得，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以在處有極小值，符合題意，綜上可得，.故選：A.5.函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】求導(dǎo)可得函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而結(jié)合零點(diǎn)存在性定理即可求.【解析】，令，則，令，解得，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故當(dāng)時(shí)取最小值，又，，所以=0在上各有一解，所以有兩個(gè)零點(diǎn)，故選：B.6.如圖，正三棱柱的各棱長相等，為的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為（）A. B. C. D.0【答案】D【解析】【分析】取中點(diǎn)，證得平面，得到，再證得，從而證得平面，得到，即可求解.【解析】取中點(diǎn)，因?yàn)椋傻?，又因?yàn)槠矫?，且平面，所以，因?yàn)?，且平面，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所以，在正方形中，分別為的中點(diǎn)，設(shè)可得，可得，所以，所以，即，因?yàn)榍移矫妫云矫?，又因?yàn)槠矫?，所以，所以異面直線與所成的角為.故選：D.7.某工廠去年12月試產(chǎn)1060個(gè)高新電子產(chǎn)品，產(chǎn)品合格率為.從今年1月份開始，工廠在接下來的兩年中將生產(chǎn)這款產(chǎn)品.1月按去年12月的產(chǎn)量和產(chǎn)品合格率生產(chǎn)，以后每月的產(chǎn)量都在前一個(gè)月的基礎(chǔ)上提高，產(chǎn)品合格率比前一個(gè)月增加，則今年4月份的不合格產(chǎn)品的數(shù)量是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由條件依次求出月的產(chǎn)量和合格率，由此可求4月份的不合格產(chǎn)品的數(shù)量.【解析】由題知：1月份的產(chǎn)量為個(gè)，合格率是，那么，2月份的產(chǎn)量為，合格率為，3月份的產(chǎn)量為，合格率為，則4月份的產(chǎn)量為，合格率為，則4月份的不合格數(shù)量是，故選：B.8.若，則的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)，，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最小值，得到和，令即可比較大小.【解析】令，則，當(dāng)時(shí)，，所以，所以在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，所以，所以在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，，所以，即，所以，所以，令，則，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減；所以，當(dāng)時(shí)，，所以，即，所以，所以，所以.故選：A.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)是符合題目要求的，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，點(diǎn)是拋物線上不同的兩點(diǎn)，且，則（）A. B.以線段為直徑的圓必與準(zhǔn)線相切C.線段的長為定值 D.線段的中點(diǎn)到軸的距離為定值【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)題意，求得拋物線及焦點(diǎn)，結(jié)合拋物線的幾何性質(zhì)，逐項(xiàng)判定，即可求解.，【解析】對(duì)于A中，由拋物線的準(zhǔn)線為，可得，解得，所以拋物線的焦點(diǎn)為且，所以A正確；對(duì)于B中，如圖，當(dāng)線段過焦點(diǎn)時(shí)，過作，取的中點(diǎn)作，可得，此時(shí)以線段為直徑的圓與準(zhǔn)線相切，因?yàn)橹本€不一定過拋物線的焦點(diǎn)，則不一定成立，故B錯(cuò)誤.對(duì)于C中，設(shè)，由拋物線得的定義得，所以，當(dāng)直線過原點(diǎn)時(shí)，設(shè)，則，此時(shí)，可得，當(dāng)直線為時(shí)，可得，不妨設(shè)，可得，所以的長不是定值，所以C錯(cuò)誤；對(duì)于D中，由，則線段的中點(diǎn)到軸的距離為，所以D正確.故選：AD.10.已知等差數(shù)列的首項(xiàng)，公差，在中每相鄰兩項(xiàng)之間都插入3個(gè)數(shù)，使它們和原數(shù)列的數(shù)一起構(gòu)成一個(gè)新的等差數(shù)列是數(shù)列的前項(xiàng)和.以下說法正確的是（）A. B.是數(shù)列的第8項(xiàng)C.當(dāng)時(shí)，最大 D.是公差為的等差數(shù)列【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)題意，求得，結(jié)合題意，得到，結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)的求和公式，逐項(xiàng)判定，即可求解.【解析】由等差數(shù)列的首項(xiàng)，公差，可得，對(duì)于A中，根據(jù)題意，可得，所以公差為，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B中，由，令，解得，所以B正確；對(duì)于C中，令，解得，所以或時(shí)，取得最大值，所以C正確；對(duì)于D中，由，可得，所以是公差為，所以D錯(cuò)誤.故選：BC.11.已知函數(shù)，下列說法正確的是（）A.單調(diào)遞減區(qū)間是B.在點(diǎn)處的切線方程是C.若方程只有一個(gè)解，則D.設(shè)，若對(duì)，使得成立，則【答案】BD【解析】【分析】對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，分析其單調(diào)性得到其圖象，可判斷ABC，對(duì)應(yīng)選項(xiàng)D，設(shè)函數(shù)的值域?yàn)?，的值域?yàn)镚，由求解判斷.【解析】函數(shù)，，，令，得或；令，得；可得函數(shù)在和上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，其大致圖象如圖：對(duì)于，由上述分析可得A錯(cuò)誤；，由，，得，所以切線為，故B正確；對(duì)于C，由方程只有一解，由圖象可知，或，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，設(shè)函數(shù)的值域?yàn)?，函?shù)的值域?yàn)?，?duì)于，，，對(duì)于，，，若，，使得成立，則，故D正確，故選：BD.12.已知正方體的棱長為是空間中的一動(dòng)點(diǎn)，下列結(jié)論正確的是（）A.若分別為的中點(diǎn)，則平面B.平面平面C.若，則最小值為D.若，則平面截正方體所得截面面積的最大值為【答案】BCD【解析】【分析】由線面垂直，面面平行判斷AB,由平面展開求最值判斷C,由截面變化求最值判斷D.【解析】對(duì)于A，若分別為的中點(diǎn)，則，又，則，又由正方體性質(zhì)易知:平面平面故，又平面，故平面，又平面，則，同理可得平面又平面，則，又平面，故平面，若平面，則，而相交，故與平面不垂直，故A不正確；對(duì)于B，在正方體中，易知，故為平行四邊形，則又平面，平面，故平面，同理可得平面，又平面，故平面平面成立.故B正確；對(duì)于C，正方體的棱長為2，是空間中的一動(dòng)點(diǎn)，在上取點(diǎn)，使得，在上取點(diǎn)，使得，如圖，由，得，即，故是線段上一點(diǎn)．將平面沿展開至與平面共面，易知，則，平面圖中，當(dāng)，O，三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值，故C正確；對(duì)于D，由，可知是線段上一點(diǎn)．連接并與交于點(diǎn)．當(dāng)與重合時(shí)，平面與平面重合，截面為正方形，面積為4．當(dāng)在線段（不含點(diǎn)上時(shí)，平面截正方體所得截面為三角形，且易知當(dāng)從D運(yùn)動(dòng)到時(shí)，三角形面積逐漸增大，當(dāng)與重合時(shí)截面為，由三角形三邊長均為，故此時(shí)截面面積為．當(dāng)在線段（不含點(diǎn)，上時(shí)，延長并與交于點(diǎn)，作并與交于點(diǎn)，由選項(xiàng)B易知,且，易知,則截面為等腰梯形，設(shè)，則，．梯形的高，故梯形面積為．設(shè)，設(shè)，恒成立，則在單調(diào)遞減，故，則當(dāng)與重合時(shí)，截面為矩形，面積為．綜上可知，平面截正方體所得截面積的最大值為，故D正確；故選：BCD.【小結(jié)】關(guān)鍵點(diǎn)小結(jié):本題考查線面垂直及面面平行證明，截面問題，解決D選項(xiàng)的關(guān)鍵是利用動(dòng)態(tài)變化討論O的變化情況.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.若直線與直線平行，則______.【答案】##【解析】【分析】由直線平行的充要條件即可求解.【解析】由與平行，則，所以.故答案為：.14.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則______.【答案】【解析】【分析】由的關(guān)系對(duì)分類討論即可求解.【解析】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，不滿足上式，所以.故答案為：.15.已知函數(shù)，若成立，則的最小值為______.【答案】##【解析】【分析】根據(jù)給定條件，構(gòu)造函數(shù)并利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最小值即得.【解析】函數(shù)，由，得，則，令，求導(dǎo)得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因此函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則，所以的最小值為.故答案為：16.已知是橢圓的左、右焦點(diǎn)，直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，的平分線交于點(diǎn)，且，則橢圓的離心率為______.【答案】##【解析】【分析】根據(jù)橢圓的對(duì)稱性，角平分線性質(zhì)可得，結(jié)合橢圓定義可求，利用余弦定理列出關(guān)于的方程，由此可求離心率.【解析】連接、，根據(jù)橢圓的對(duì)稱性可知四邊形為平行四邊形，所以，根據(jù)角平分線定理得：，所以，又，又，又在中，由余弦定理得：，所以故答案為：.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.如圖所示，平行六面體中，，.（1）用向量表示向量，并求；（2）求.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算，得到，結(jié)合向量的數(shù)量積的運(yùn)算法則，即可求解；（2）由空間向量的運(yùn)算法則，得到，結(jié)合向量的數(shù)量積的運(yùn)算公式，即可求解.【小問1解析】解：根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算，可得，可得，所以.【小問2解析】解：由空間向量的運(yùn)算法則，可得，因?yàn)榍遥?18.已知圓.（1）求的取值范圍；（2）當(dāng)取最小正整數(shù)時(shí)，若點(diǎn)為直線上的動(dòng)點(diǎn)，過作圓的一條切線，切點(diǎn)為，求線段的最小值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，結(jié)合方程表示圓的條件，列出方程，即可求解；（2）由（1）得到圓心，半徑為，得到，結(jié)合圓心到直線的距離，即可求解.【小問1解析】由方程表示圓，則滿足，即，解得或，所以的取值范圍是.【小問2解析】由（1），因?yàn)槿∽钚≌麛?shù)，所以，所以圓，可得圓心，半徑為，又因?yàn)?，所以取最小值時(shí)取最小值，而取最小值，即為圓心到直線的距離，可得，所以.19.已知數(shù)列的首項(xiàng)，且滿足.（1）求證：是等比數(shù)列，并求出的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）證明見解析，（2）【解析】【分析】（1）由遞推關(guān)系把拆到等號(hào)兩邊，變成后推出即可；（2）求出數(shù)列的通項(xiàng)，再用錯(cuò)位相減法求出即可.【小問1解析】證明：所以是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列.所以，所以.【小問2解析】因?yàn)?，所有，，，作差可得，所?20.已知橢圓的左右頂點(diǎn)分別為，長軸長為，點(diǎn)在橢圓上（不與重合），且，左右焦點(diǎn)分別為.（1）求的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)過右焦點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，求直線的方程.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由橢圓的性質(zhì)得到，設(shè)點(diǎn)，表示出，再代入橢圓方程，求出，得到橢圓方程；（2）設(shè)直線的方程：，直曲聯(lián)立，韋達(dá)定理表示出，再用其表示出三角形面積，最后結(jié)合基本不等式求出結(jié)果.【小問1解析】依題意可得，，所以.設(shè)，則，又因?yàn)樗?，所以，所以的?biāo)準(zhǔn)方程為.【小問2解析】因?yàn)樵谥本€上，設(shè)直線的方程：，聯(lián)立，整理得，，由題可知∶當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，面積最大為，此時(shí)直線的方程是∶.21.如圖，多面體由正四面體和正四面體組合而成，棱長為.（1）證明：；（2）求與平面所成角的正弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）取的中點(diǎn)，證得，利用線面垂直的判定定理，證得平面，進(jìn)而證得；（2）取的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，再取的中心為，求得，得到向量和平面的一個(gè)法向量，結(jié)合向量的夾角公式，即可求解.【小問1解析】取的中點(diǎn)，連接，在正四面體和正四面體中，可得和均為等邊三角形，所以，因?yàn)榍移矫?，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所?【小問2解析】取的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，過作的平行線為軸正方向，為軸正方向，為軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，因?yàn)檎拿骟w的棱長是，可得，則,所以，則，再取的中心為，因?yàn)椋O(shè)，可得，解得，即，所以，，可得，則又由平面的一個(gè)法向量，設(shè)直線與平面所成的角為，可得，所以直線與平面所成角的正弦值是.22.已知函數(shù).（1）討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）答案見解析（2）【解析】【分析】（1）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，分別討論和兩種情況，即可求出結(jié)果；（2）先分離參數(shù)，將原式化為，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷的單調(diào)性