數(shù)學(xué)優(yōu)化訓(xùn)練：向量的概念

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精第二章平面向量2。1向量的線性運(yùn)算2.1。1向量的概念5分鐘訓(xùn)練（預(yù)習(xí)類訓(xùn)練，可用于課前）1.下列物理量：①質(zhì)量；②速度；③力；④加速度；⑤路程；⑥密度；⑦功。其中不是向量的有（）A.1個B.2個C.3個D。4個解析：一個量是不是向量就是看它是否具備向量的兩要素：大小和方向.②③④既有大小又有方向，所以是向量；而①⑤⑥⑦只有大小沒有方向，所以不是向量.答案：D2.下列命題中真命題的個數(shù)為(）①兩個有共同起點(diǎn)且相等的向量，其終點(diǎn)可能不同②若非零向量與共線,則A、B、C、D四點(diǎn)共線③若非零向量a與b共線，則a=b④四邊形ABDC是平行四邊形,則必有=⑤a∥b，則a、b方向相同或相反A.0B.1C解析:①顯然為假命題；②中與共線，只能說明AB、CD所在直線平行或在一條直線上，所以錯；③a與b共線，說明a與b方向相同或相反,a與b不一定相等，所以③錯；④對;⑤a可能為零向量，則a∥b，但零向量的方向?yàn)槿我獾?所以⑤錯。答案：B3。如圖2-1—1的四邊形ABCD中，=，則相等的向量是（）圖2—1-1A.與B。與C。與D.與解析：判斷出四邊形ABCD為平行四邊形即得出=.答案：D4。在⊙O中，以O(shè)點(diǎn)為起點(diǎn)，圓周上任一點(diǎn)為終點(diǎn)作向量，則該向量可以確定的要素是()A。方向B.大小C。大小和方向D.以上均不對解析：由于⊙O半徑的確定性，因此該向量的長度（大小)是確定的。答案：B10分鐘訓(xùn)練(強(qiáng)化類訓(xùn)練，可用于課中)1。下列各命題中,正確命題的個數(shù)為（)①若|a｜=｜b｜,則a=b或a=—b②若=,則A、B、C、D是一個平行四邊形的四個頂點(diǎn)③若a=b,b=c，則a=c④若a∥b，b∥c，則a∥cA.4B。3C.2解析：①|(zhì)a|=|b｜只說明兩向量大小相等，不能得出兩向量相等或反向,故此命題不正確；②由=可得||=｜|且∥，由于∥可能是A、B、C、D在同一條直線上，故此命題不正確；③正確；④b=0時，a∥c不一定成立，命題不正確。答案:D2.以下說法中正確的是(）A.長度相等的兩個向量一定是相等向量B.當(dāng)且僅當(dāng)兩個向量所在的直線恰為同一直線時，這兩個向量為共線向量C。零向量沒有方向D.單位向量的長度一定是1解析：相等向量不僅長度相等,而且方向相同,A錯；共線向量所在直線可以相互平行，也可以是同一條直線，B錯；零向量方向?yàn)槿我夥较?C錯。答案:D3。如圖2—1—2所示，D、E分別是△ABC的邊AB、AC的中點(diǎn)，則圖中,,,,，向量中共線的向量有()圖2-1—2A.1組B.2組C。3組D。4組解析：與、與、與分別共線。答案：C4.在四邊形ABCD中，若∥,且｜｜≠｜|，則四邊形為_________________。解析：由梯形的定義及向量的概念判斷。答案：梯形5。在四邊形ABCD中，若=且｜|=｜｜，則四邊形為_________________.解析：∵=，∴四邊形ABCD為平行四邊形，又｜｜=｜｜.∴四邊形ABCD為菱形。答案:菱形6。如圖2-1-3，D、E、F分別為正△ABC的各邊中點(diǎn),則在以A、B、C、D、E、F六個點(diǎn)中任意兩點(diǎn)為起點(diǎn)與終點(diǎn)的向量中:圖2-1—3(1）找出與向量相等的向量；(2）是否存在與向量長度相等,方向相反的向量？（3）與向量共線的向量有幾個？(4）若△ABC為任意三角形，以上幾問的答案會發(fā)生變化嗎?解析:由向量相等與向量共線的定義可知：（1）與相等的向量有、；(2)存在，例如、；（3)有7個，分別為、、、、、、；（4）不會。30分鐘訓(xùn)練(鞏固類訓(xùn)練，可用于課后）1.在下列命題中，正確的是（)A.若｜a|〉|b｜，則a〉bB.若｜a｜=|b|，則a=bC。若a=b，則a與b共線D.若a≠b，則a一定不與b共線解析：A錯.因?yàn)橄蛄坑写笮『头较騼蓚€要素，無法比較大小;B錯.相等向量不僅要模長相等，方向也要相同；C對.相等向量方向一定相同,因此共線；D錯.因?yàn)橄蛄坎幌嗟?可能僅由于模長不等，方向仍可能是相同的，所以a與b有共線的可能。答案:C2.設(shè)O為△ABC外心，則、、是(）A.相等向量B.平行向量C.模相等向量D。起點(diǎn)相同的向量解析：∵O為△ABC外心,∴OA=OB=OC，即||=｜｜=||.答案:C3.在矩形ABCD中，AB=2AD，M、N分別為AB和CD的中點(diǎn)，則在以A、B、C、D、M、N六點(diǎn)中任一點(diǎn)為起點(diǎn)，與起點(diǎn)不同的另一點(diǎn)為終點(diǎn)的所有向量中，相等向量有()A。9對B.11對C。18對D。22對解析：其中===;==；=；=.以上分別取相反向量（如變?yōu)椋┯钟?組。經(jīng)計算,共有22對。答案：D4。如圖2-1—4,點(diǎn)O是正六邊形ABCDEF的中心，則在以A、B、C、D、E、F、O七點(diǎn)中的任一點(diǎn)為始點(diǎn)，與始點(diǎn)不同的另一點(diǎn)為終點(diǎn)的所有向量中，設(shè)與相等的向量個數(shù)為m，與模相等的向量個數(shù)為n，則m、n的值分別是(）圖2-1—4A。3，23B.3，11C.3，24解析：（1)與方向相同的向量僅有、、、四個，而｜|≠｜｜，｜｜=｜｜=｜|，故m=3。(2）與的模相等的向量有兩類：一是以O(shè)為起點(diǎn)，以正六邊形的頂點(diǎn)為終點(diǎn)或以正六邊形頂點(diǎn)為起點(diǎn)，以O(shè)為終點(diǎn)的向量，有2×6—1=11個;還有六邊形的六條邊2×6=12個。答案:A5。下列命題中正確的是()A。|a|=｜b｜a=bB.|a|>|b|a>bC。a=ba∥bD。a∥ba=b解析:由向量相等的概念知A錯,C對；向量不能比較大小，B錯；向量平行不能推出相等，D錯。答案：C6。一架飛機(jī)向西飛行100km，然后改變方向向南飛行100km,則飛機(jī)兩次位移的和是_____________。解析：如圖,令起點(diǎn)為A，向西飛行100km到達(dá)B，由B向南飛行100km到達(dá)C，則飛機(jī)兩次飛行后的位移向量為，且||=km。答案:km7.如圖2-1—5,四邊形ABCD和ABDE都是平行四邊形.圖2-1-5（1）與向量ED相等的向量為_____________；(2）若｜｜=3，則向量的模等于_____________.答案：(1），(2）68.如圖2—1-6，B、C、D是線段AE的四等分點(diǎn),分別以A、B、C、D、E為起點(diǎn)和終點(diǎn)，最多可以寫多少個互不相等的非零向量?圖2-1—6解：設(shè)｜|=1，則與方向相同，模為1的向量算一個向量，與方向相同,模為2的向量算一個向量，與方向相同，模為3的向量算一個向量，與方向相同,模為4的向量算一個向量，∴與方向相同，互不相等的向量共有4個。同理與方向相反，互不相等的向量共有4個.∴共8個。9.已知飛機(jī)從甲地按北偏東30°的方向飛行2000km到達(dá)乙地，再從乙地按南偏東30°的方向飛行2000km到達(dá)丙地，再從丙地按西南方向飛行km到達(dá)丁地,問丁地在甲地什么地方?丁地距甲地多遠(yuǎn)？解：如圖，A、B、C、D分別表示甲地、乙地、丙地、丁地,依題意知△ABC為正三角形,∴AC=2000km.又∵∠ACD=45°，CD=10002，∴△ACD為等腰直角三角形，即AD=km,∠CAD=45°.答：丁