2020-2024年高考數(shù)學(xué)試題分類匯編：數(shù)列（解析版）

4<06裁列

■

5年考情?探規(guī)律

考點(diǎn)五年考情（2020-2024）命題趨勢

考點(diǎn)1數(shù)列基

2023天津卷：等比數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算

本量的計(jì)算

利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求數(shù)列中的項(xiàng)；

（5年1考）

2023天津卷：等差數(shù)列與等比數(shù)列綜合應(yīng)用等

差數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算求等差數(shù)列前n

項(xiàng)和寫出等比數(shù)列的通項(xiàng)公；

2022天津卷：等差數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算

等比數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算錯(cuò)位相減法求

考點(diǎn)2數(shù)列通

和分組（并項(xiàng)）法求和；

項(xiàng)

2021天津卷：等差數(shù)列前n項(xiàng)和的基本量計(jì)算1.數(shù)列在高考的考查主要包含了，

（5年4考）

由定義判定等比數(shù)列錯(cuò)位相減法求和數(shù)列不數(shù)列的基本量運(yùn)算，主要包含了等

等式恒成立問題；差、等比的通項(xiàng)與求和運(yùn)算。

2020天津卷：等差數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算2.數(shù)列的通項(xiàng)公式在高考中的考察

求等差數(shù)列前n項(xiàng)和等比數(shù)列通項(xiàng)公式的基本主要包含了，等差等比數(shù)列的通

量計(jì)算分組（并項(xiàng)）法求和；項(xiàng)，前n項(xiàng)和與通項(xiàng)的關(guān)系，累加

2024天津卷：由遞推數(shù)列研究數(shù)列的有關(guān)性質(zhì)累成等。

等比數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算求等比數(shù)列前3.數(shù)列的求和在高考中的考察主

n項(xiàng)和裂項(xiàng)相消法求；要包含了，裂項(xiàng)相消法，錯(cuò)位相減

2023天津卷：等差數(shù)列與等比數(shù)列綜合應(yīng)用等法，分組求和法等.

差數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算求等差數(shù)列前n

考點(diǎn)3數(shù)列求項(xiàng)和寫出等比數(shù)列的通項(xiàng)公；

和2022天津卷：等差數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算

（5年5考）等比數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算錯(cuò)位相減法求

和分組（并項(xiàng)）法求和；

2021天津卷：等差數(shù)列前n項(xiàng)和的基本量計(jì)算

由定義判定等比數(shù)列錯(cuò)位相減法求和數(shù)列不

等式恒成立問題；

2020天津卷：等差數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算

求等差數(shù)列前n項(xiàng)和等比數(shù)列通項(xiàng)公式的基本

量計(jì)算分組(并項(xiàng))法求和；

5年真題?分點(diǎn)精準(zhǔn)練

考點(diǎn)01數(shù)列基本量的計(jì)算

1.(2023?天津?高考真題)已知數(shù)列｛即｝的前n項(xiàng)和為%,若的=2fan+1=2Sn+2(nGN*),則以=

()

A.16B.32C.54D.162

【答案】C

K祥解]由題意確定該數(shù)列為等比數(shù)列，即可求得的值.

【詳析】當(dāng)幾22,幾WN*時(shí)，an=2Sn_r+2,所以為一a九=2冊(cè)，即即+1=3M，

當(dāng)ri=1時(shí)，a2=2Sn+2=2al+2=6=3al,

所以數(shù)列是首項(xiàng)為2,公比為3的等比數(shù)列，

則。4=—54.

故選：C.

考點(diǎn)02數(shù)列通項(xiàng)

2.(2024?天津?高考真題)己,知數(shù)列｛a"是公比大于。的等比數(shù)列.其前ri項(xiàng)和為5.若％=1,S2=a3-l.

(1)求數(shù)列｛5｝前n項(xiàng)和工；

⑵設(shè)與=[一丁=).fceN*,/c>2.

l^n-i+2kfak<n<ak+1

(i)當(dāng)k>2,n=Q/c+i時(shí)，求證：bn_1>ak?bn；

(ii)求￡落伍.

【答案】⑴Sn=2n—1

⑵①證明見詳析；②監(jiān)上仇=刖-1｝+1

K祥解X(1)設(shè)等比數(shù)列｛%J的公比為q>0,根據(jù)題意結(jié)合等比數(shù)列通項(xiàng)公式求q,再結(jié)合等比數(shù)列求和

公式分析求解；

(2)①根據(jù)題意分析可知ak=2&T,6?^=k+l，^^-l=k(2k-l),利用作差法分析證明；②根據(jù)題意結(jié)

合等差數(shù)列求和公式可得2修已仇=][(3k-1)小-(3k-4)小-打，再結(jié)合裂項(xiàng)相消法分析求解.

【詳析】(1)設(shè)等比數(shù)列｛即｝的公比為q>0,

因?yàn)镼l=1,S2=%—1，即%+的=。3—1，

可得1+q=q2_1,整理得q2-Q-2=0,解得q=2或q=-1(舍去)，

所以配=轉(zhuǎn)=2"—1.

(2)(i)由(1)可知即=2"-1,且k€N*,k22,

k1

當(dāng)九=ak+1=2>40t,則代—：_：2~,即以<n-1<ak+1

In—1—Q/c+i_1<ttfc+i

k-1

可知以=2,bn=k+1,

fc-1k

bn-i=bak+(afc+1-afc-1)-2fc=fc+2fc(2-1)=k(2-1),

=

可得匕-i—Q/c,bn=fc(2^—1)—(fc+1)2'-1=(fc-1)2"-1—kN2(k—1)—kk—2之0,

當(dāng)且僅當(dāng)/c=2時(shí)，等號(hào)成立，

所以bn_i>ak-bn；

n

(ii)由(1)可知：Sn=2-1=an+1-lf

若九=1,則Si=1,瓦=1；

若九>2,則縱+1—CLk=2k-1,

當(dāng)<2工2上一1時(shí)，氏一瓦_(dá)1=2匕可知｛仇｝為等差數(shù)列，

可得鼠口bt=k-2k—+2rkT(2；±i)=k.4fc-i=1[(3卜_i)4fc_(3fc_4)41],

所以瓊ih；=l+i[5x42-2x4+8x43-5x42+-+(3n-l)4n-(3n-4)4nf=03叫”+1,

且n=l,符合上式，綜上所述：￡落伍=(3"T："+I.

【『點(diǎn)石成金』】關(guān)鍵點(diǎn)『點(diǎn)石成金』：1.分析可知當(dāng)#T<i三2欠一1時(shí)，仇一灰_】=2k,可知｛仇｝為等差

數(shù)列；

2.根據(jù)等差數(shù)列求和分析可得膛口瓦=[(3k-l)4fc一(3k-4)4i].

3.(2023?天津?高考真題)已知｛心｝是等差數(shù)列，a2+as-16,cz5—a3=4.

⑴求｛an｝的通項(xiàng)公式和￡魯孟i見5eN*).

(2)設(shè)｛3｝是等比數(shù)列，且對(duì)任意的keN*,當(dāng)2仆1—1時(shí)，則尻<與(尻+1，

(I)當(dāng)k>2時(shí)，求證：2上一1<尻<2上+1；

(II)求｛%｝的通項(xiàng)公式及前幾項(xiàng)和.

1

【答案】(l)an=2n+l,S&iOi=3-4"-；

nr

(2)(1)證明見解析；(ll)bn=2,前幾項(xiàng)和為2-2.

K祥解》(1)由題意得到關(guān)于首項(xiàng)、公差的方程，解方程可得的=3,d=2,據(jù)此可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式,

然后確定所給的求和公式里面的首項(xiàng)和項(xiàng)數(shù)，結(jié)合等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式計(jì)算可得端一%=3?乎一1.

(2)(1)利用題中的結(jié)論分別考查不等式兩側(cè)的情況，當(dāng)Wn32^-1時(shí)，bk<an,

取幾=2k-1,當(dāng)2fc^2《九32人】-1時(shí)，即<尻，取n=-1,即可證得題中的不等式；

(II)結(jié)合(I)中的結(jié)論，利用極限思想確定數(shù)列的公比，進(jìn)而可得數(shù)列的通項(xiàng)公式，最后由等比數(shù)列前71項(xiàng)

和公式即可計(jì)算其前n項(xiàng)和.

【詳析】⑴由題意可得產(chǎn)+。5=2的。54;16,解得您=,

(曲一@3=24=4Id=2

則數(shù)列3J的通項(xiàng)公式為Qn=%+(n一l)d=2n+1,

求和得2葭乙%=//T⑵+1)=2葭就Ti+(2"-1-2"T+1)

=2[2n-1+(271-1+1)+(2"-1+2)+-+(2n-1)]+2"T

=2(2"-\2"-1>2吁1+23=3.4n-l

(2)(I)由題意可知，當(dāng)2^-1W幾<2卜—1時(shí)，bk<an,

fek

取幾=2f貝I]尻<a2k-i=2x2"1+1=2+1,即氏<2+l,

k-1

當(dāng)2k—<n<2—1.時(shí)，an<■bk，

k1k-1k

??？i=2~—1,此時(shí)％=a2k-i_1=2(2-1)+1=2—1,

據(jù)此可得2k-l<bk,

kfe

綜上可得：2-1<bfc<2+1.

k+1k+1

(II)由(I)可知：2卜-1<bk<2卜+1,2-1<bk+1<2+1

則數(shù)列｛aJ的公比q滿足(=2—/<勺=答<券=2+六，

當(dāng)k€N*,kT+8時(shí)，(2-3mJ-2,(2+豕1J—2,所以q=2,

所以/—1<<2欠+1,即會(huì)=2一+<&<言=2+a，

當(dāng)kCN*,々—+8時(shí)，(2-2,(2+—2,所以瓦=2,

所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為bn=2%

2X；：n)

其前71項(xiàng)和為：Sn==2n+l_2.

【『點(diǎn)石成金』】本題的核心在考查數(shù)列中基本量的計(jì)算和數(shù)列中的遞推關(guān)系式，求解數(shù)列通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)

和的核心是確定數(shù)列的基本量，第二問涉及到遞推關(guān)系式的靈活應(yīng)用，先猜后證是數(shù)學(xué)中常用的方法之一，

它對(duì)學(xué)生探索新知識(shí)很有裨益.

考點(diǎn)03數(shù)列求和

4.(2022?天津?高考真題)設(shè)是等差數(shù)列，｛%｝是等比數(shù)列，且的=-a2-b2=a3-b3=1.

(1)求｛斯｝與｛%｝的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)｛%J的前n項(xiàng)和為求證：(Sn+1+an+1)bn?Sn+1bn+1-Snbn；

⑶求22跖+1一(T)%口跖

【答案】(1)廝=271-1,如=2"T

⑵證明見解析

n+1

/ox(6n-2)4+8

(祥解》(1)利用等差等比數(shù)列的通項(xiàng)公式進(jìn)行基本量運(yùn)算即可得解;

(2)由等比數(shù)列的性質(zhì)及通項(xiàng)與前n項(xiàng)和的關(guān)系結(jié)合分析法即可得證；

(3)先求得［a2k-(―1)2'—1。2上-1］歷上一1+［。2上+1-(―1)2%2上］62上，進(jìn)而由并項(xiàng)求和可得〃=k,4fc+1,

再結(jié)合錯(cuò)位相減法可得解.

【詳析】（1）設(shè)｛。律｝公差為d,｛b九｝公比為q,則=1+（n-l）d,bn=q"T,

由的-b2=CL3—b3=1可得｛42）=d=q=2（d=q=0舍去），

1十Zu—q=1

n-1

所以a九=2n—1,bn=2；

（2）證明：因?yàn)樨?i=2%W0,所以要證（S九+i+a九+i）g=S九+1%+1-S"小

即證（S九+i+。71+1）6九=S九+i?2bn—Snbn,即證S九+i+an+1=2Sn+1—Sn,

即證a九+1=S7T+i—Sn,

而出i+i=Sn+i—S九顯然成上，所以(S^+i+。九+1)砥=Sn+1,bn+1-Sn-bn；

(3)因?yàn)閇a2k一(-1)2"一"21-1]力21-1+[@2k+l一(-1)2上。2火]力2比

=(4fc-1+4fc-3)x22k-2+[4fc+1-(4fc-1)]x22fe-1=2k,小,

a--2/C-la

所以2：二』以+1一(一1)%口尻=Sfc=i[(2k(l)2k-l)^2k-l+(。2上+1一(-1)2"。2上?2人]

=22]2左?空，

設(shè)〃=2212k?小

所以a=2X4+4X42+6X43+…+2nx4n,

貝IJ4&=2X42+4X43+6X44+…+2nx4n+1,

作差得一3〃=2(4+42+43+44+???+4n)-2n-4n+1=?女[丁)-2nx4n+1

_(2-6n)4n+1-8

=,

3

所以*=(6吁2):+8,

所以21』以+】—(一1)%圖尻=(6n-2)f1+8

5.(2021?天津?高考真題)已知｛廝｝是公差為2的等差數(shù)列，其前8項(xiàng)和為64.伯?｝是公比大于0的等比

數(shù)列，瓦=4,b3-b2=48.

(I)求｛%｝和｛匕｝的通項(xiàng)公式；

(II)記C九=b2n~,TlGN*,

匕九

(i)證明｛/一?2工是等比數(shù)列；

n_______

Z<2V2(n￡N*)

fn

【答案】(I)an=2n-l,neN,bn^4,neN*；(II)(i)證明見解析；(ii)證明見解析.

K祥解》(I)由等差數(shù)列的求和公式運(yùn)算可得｛廝｝的通項(xiàng)，由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式運(yùn)算可得出力的通項(xiàng)公

式；

(ID(i)運(yùn)算可得若-0九=2,4九，結(jié)合等比數(shù)列的定義即可得證;

n

（H）放縮得粵皿〈篇，進(jìn)而可得）母豆嘉，結(jié)合錯(cuò)位相減法即可得證.

2n1

號(hào)-c2n2-2/7cme21ce乙上12k

^^k=lY

【詳析】（I）因?yàn)槭枪顬?的等差數(shù)列，其前8項(xiàng)和為64.

所以的+a?+…+。8=8alH——X2=64,所以的=1,

所以G九=%+2（71-1）=2.71—1,nGN*；

設(shè)等比數(shù)列｛匕｝的公比為q,（q>0）,

2

所以/-b2=brq-瓦q=4（q2-q）=48,解得q=4（負(fù)值舍去），

n

所以g=瓦qZ=4tnEN*；

（II）（i）由題意，=厲幾+白=4?71+4，

所以以-c2n=（42九+*）2_（4=+專）=2.4T

所以或一C2n力0,且萼貨=妥;=4，

所以數(shù)列｛或-C2"是等比數(shù)列；

(2n-l)(2n+l)4n2-l4n2

（ii）由題意知，竽色2n2n，

-2^-2-2'2-2

ana?i+i4n22n1n

所以<2nnn

cn~^2n2-2-V2-2-?2t'

n

感"+1<k

所以kr，

ck-c2kk=l2~

nk_1,2,3n

設(shè)布=為+三+布，

k=l7+…+

貝嚀&=?■+[+…+摟

nrn+2

兩式相減得丸=1+|+^+'"+蔡丁/亓=2-k

所以T“=4—券

所以

【『點(diǎn)石成金』】關(guān)鍵點(diǎn)『點(diǎn)石成金』:

最后一問考查數(shù)列不等式的證明,無法直接求解，應(yīng)先放縮去除根號(hào)，再由錯(cuò)位相減法

即可得證.

6.（2020?天津?高考真題）已知｛an｝為等差數(shù)列，｛%｝為等比數(shù)列,9=瓦=1，。5：=5（。4一。3），壇=

?/一歷）.

（I）求S"｝和｛匕｝的通項(xiàng)公式;

（II）記｛/3的前n項(xiàng)和為治,求證：SnSn+2<S2+1（nGW*）；

（n）R為奇數(shù),

（III）對(duì)任意的正整數(shù)n,設(shè)％af"+2求數(shù)列&｝的前2n項(xiàng)和.

產(chǎn)，n為偶數(shù).

V°n+l

【答案】（I）即=〃%=2心】；（II）證明見解析；（UD白一翳一

《祥解》（I）由題意分別求得數(shù)列的公差、公比，然后利用等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式得到結(jié)果;

（II）利用（I）的結(jié)論首先求得數(shù)列｛aj前n項(xiàng)和，然后利用作差法證明即可；

（III）分類討論n為奇數(shù)和偶數(shù)時(shí)數(shù)列的通項(xiàng)公式，然后分別利用指數(shù)型裂項(xiàng)求和和錯(cuò)位相減求和計(jì)算

￡憶/2八1和￡2=iC2k的值，據(jù)此進(jìn)一步計(jì)算數(shù)列｛”｝的前2n項(xiàng)和即可.

【詳析】（I）設(shè)等差數(shù)列｛a"的公差為d,等比數(shù)列｛'｝的公比為q.

由的=1,與=5（。4一。3），可得d=l.

從而｛a九｝的通項(xiàng)公式為a九=n.

由瓦=1,85=4cb4一力3），

又q—O,可得q2-4q+4=O,解得q=2,

從而｛e｝的通項(xiàng)公式為匕=2九t.

(H)證明：由(I)可得%=竺羅，

22

故SnSn+2=：n(n+l)(n+2)(?i+3),S^+1=J(n+l)(n+2),

從而SnSn+2-S￡+i=-+1)(?i+2)<0,

所以SnSn+2<■S,JI+I-

(3a-2)6(3九一2)2nT_2T2n-

（III）當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，c7tn

nanan+2n(n+2)n+2n

當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，5=產(chǎn)=展

bn+l2

對(duì)任意的正整數(shù)n,有￡biC2kT=yn/22k224一222M

------；-----)=------------1，

k=l2k+12fc-l72n+l

n

和￡2=1c2k=W2fc-l1,3,5,,2n-3,2n-lg

"qpr=1+哀+.+,,,+^T+~？r①

k=l

1,3,52n-3

由①得1￡￡=1。2比=-H—~H--7+…d...-

4243444九+辭②

1

22n-l_a?一揖12n-l

由①②得衣心/2k="喜

4n4n+l4471+1

(專)_一

511_21122112n-l156TI+5

由于:---------X--------------------------X-=

1-144n+1334n44n4123x4n+1

4

從而得：2ble2k=36n+5

9x4n

因此，Ck=￡￡=1C2k-1+Xk=ic2k=-a

所以，數(shù)列｛c九｝的前2n項(xiàng)和為2：+1—6n+54

9x4n9,

【『點(diǎn)石成金』】本題主要考查數(shù)列通項(xiàng)公式的求解，分組求和法，指數(shù)型裂項(xiàng)求和，錯(cuò)位相減求和等，屬

于中等題.

1年模擬?精選?？碱}

7.（2024?天津河北?二模）在數(shù)列｛即｝中，若對(duì)任意的neN+都滿足"-皿=d（其中d為常數(shù)），則

an+lan

稱數(shù)列｛廝｝為等差比數(shù)列.已知等差比數(shù)列｛&J中，的=a2=1，口3=3,則等于（）

A.5B.9C.15D.105

【答案】D

（祥解工根據(jù)等差比數(shù)列的定義求解即可.

【詳析】因?yàn)椋矗秊榈炔畋葦?shù)列，所以生一9=幺—血=%一絲=：—：=2,

a4a3a3a2a2al11

所以譬一|=2,解得。4=15,由詈一苧=2,解得：a5=105

故選：D

8.（2024?天津河西?三模）若數(shù)列｛廝｝滿足an+i=2an-1,則稱｛即｝為“對(duì)奇數(shù)列”.已知正項(xiàng)數(shù)列

｛bn+1｝為“對(duì)奇數(shù)列”，且瓦=2,貝帕2024=（）

A.2X32023B.22°23C.22°24D,22025

【答案】C

K祥解》根據(jù)新定義可證得數(shù)列｛匕｝是等比數(shù)列，從而可利用等比數(shù)列通項(xiàng)求解問題.

【詳析】因?yàn)檎?xiàng)數(shù)列｛,+1｝為“對(duì)奇數(shù)列"，所以g+1+1=2（bn+1）-1,

則bn+i=2bn,即數(shù)列｛g｝是公比為2的等比數(shù)列，又因?yàn)?=2,

所以62024=2X22023=22024,

故選：C.

9.（2024?天津河北?二模）已知｛5｝是等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn,｛,｝是等比數(shù)列，已知的=1，S3=6,

b]=a2＞是（Z4和n的等比中項(xiàng).

（1）求｛&J和｛%｝的通項(xiàng)公式;

（2）求數(shù)列｛最｝的前n項(xiàng)和七；

（3）記分求證：為-5+焉

71n11Ln

bn+1-l222+1242+2

【答案】（1）%1=71,加=2n

⑵Tn=2—嚎

（3）證明見解析

（祥解』（1）由的=1,53=6求出的J,利用又。8是和的等比中項(xiàng)、瓦=求出加；

（2）利用錯(cuò)位相減法求出此；

（3）利用放縮法求和可得答案.

【詳析】（1）由題意的=1,S3=3al+芋d=3al+3d=6,

???d=1,an=1+(n—1)=n,

又b\=Ct2=2,期是04和54的等比中項(xiàng)，得成=。4b4,

33

又。4=4,aQ=8,64=4b4，=b1q=2q=16,角星得q=2,

rln

???bn=2,2t=2；

⑵一

設(shè)6=lx|+2xi+3x^+--+n~)

則1=1＞蠢+2義強(qiáng)+3x蠢+…+聯(lián)盛

將以上兩式相減得］及=：+*+*+—卜日-n，^+i

n+2

n

bn-l_2-l

(3)cn

bn+1-l~2?+i-l

2n-l2n-l11

Cn=2n+1-1>2n+1=2-2n+1，

n11

22+2n+1

2?="i____M<i--

n+1n

2九+1-12V2-1722+2

結(jié)論得證.

10.(2024?天津南開?二模)己知Sn｝是等差數(shù)列，公差d力0,a±+a5=8,且(Z3是的與a7的等比中項(xiàng)?

(1)求｛斯｝的通項(xiàng)公式

⑵數(shù)列｛“｝滿足誓皿=2an,且b=

^n^n+l2

(i)求也｝的前n項(xiàng)和Sn.

(ii)是否存在正整數(shù)m,n(mn),使得S4,S2m,S2n成等差數(shù)列，若存在，求出m,n的值；若不存

在，請(qǐng)說明理由.

【答案】(1)廝=71+1

(2)(i)S=-^―；(ii)存在，m—4,n=22.

n“n+l

(祥解』(1)由等差中項(xiàng)得到。3=4,由等比中項(xiàng)得到送=。遂7,解出d=L求得｛時(shí)｝的通項(xiàng)公式；

(2)(i)根據(jù)a一(=2即，由累加法得到數(shù)列怖｝的通項(xiàng)公式進(jìn)而得到數(shù)列｛g｝的通項(xiàng)公式辦=而看，

裂項(xiàng)相消法求和；

(ii)假設(shè)存在，分別表示出54，S2m,S2n,由等差中項(xiàng)得至！J2ni=9-言，得到n+3=5或n+3=25,

解得771=4,H=22符合題意.

【詳析】(1)因?yàn)椋矗秊榈炔顢?shù)列，且的+劭=8,所以的=4.

又的是的與劭的等比中項(xiàng)，所以試=。1。7，即16=(4-2d)(4+4d).

化簡得醫(yī)—d=0,解得d=1或d=0(舍)，

所以a九—西+(九一3)x1=九+1.

⑵⑴由震"2a”,得上-…，所以=六=2小42),又瓦.

當(dāng)門22時(shí)，搟=仕一六)+G^；—￡)+???+信—()+(

=2a九一1+2cl_2+…4~2al+--=4(九—1)+---——-X2+2=TL(TL+1),

n匕12

又瓦=［也適合上式，所以,=n(幾+1),

則%=而5?一訴

所以%=(1_￡)+(|-9)+--+@-去)=11_n

n+1n+1

(ii)假設(shè)存在正整數(shù)m,n,使得S*S2m,S2n成等差數(shù)列，

則S4+S2n=2S2小，即1一2+1_*=2(1-焉｝整理得2巾=9一急,

顯然n+3是25的正約數(shù)，又n+324,則n+3=5或n+3=25,

當(dāng)九+3=5,即九=2時(shí)，m=2與?nW九矛盾；

當(dāng)九+3=25,即九=22時(shí)，zn=4,符合題意，

所以存在正整數(shù)使得S4，S2m,S2rl成等差數(shù)列，此時(shí)m=4,n=22.

【『點(diǎn)石成金』】方法『點(diǎn)石成金』：裂項(xiàng)相消法求和常見的裂項(xiàng)方法

(D』=3(工一吃)，特別地當(dāng)k=1時(shí)，f二工一吃；

n(n+k)k\nn+kjn(n+i)nn+1

(2)f；~-j=—；(A/2+k—，特另U地當(dāng)k=1時(shí)，/i~~T==y/n+1—y/n；

y/n+k+y/nkv7Vn+l+vn

⑶■=(2n-，n+l)=1+1導(dǎo)I-七)

(4)a=___i____=1(^___________1)

nn(n+l)(n+2)2\n(n+l)(n+l)(n4-2)7

(5)-=(p<q)

pqq-pVpQ/

11.(2024?天津北辰?三模)已知｛an｝為等差數(shù)列，前n項(xiàng)和為上,若。2=3,S8=6S3+10；數(shù)列｛6?｝滿

足：(1一9(1一3…(1一3=2n€N*.

(1)求｛an｝和｛叢｝的通項(xiàng)公式;

(2)對(duì)任意的機(jī)eN*,將｛an｝中落入?yún)^(qū)間(2T22刃內(nèi)項(xiàng)的個(gè)數(shù)記為｛%｝.

(i)求Y；

(ii)記%='｛4｝的前小項(xiàng)和記為弓，是否存在機(jī)，teN*,使得矢詈=dt+1成立？若存

在，求出mt的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.

【答案】(Dan=2九一1，bn=n+1

2mr

(2)(i)cm=2^-2-(ii)存在巾t=9

(祥解［(1)｛an｝的通項(xiàng)通過基本量法求解，｛%｝的通項(xiàng)通過令幾=幾-1，兩式作商求解.

(2)(i)求出2吁1+l<n<22時(shí)1即可得出答案；

(ii)根據(jù)題意求出t和巾的關(guān)系，在利用取值范圍求出山和t.

。2=3@i+d=3ra=1

【詳析】(1)t

58=6s3+108al+28d=6(3%+3d)+10=Id=2'

所以的t=1+2(?i-1)=2n—1,

(1一()(1一2)……=

當(dāng)nN2時(shí)，令n=『1得：(1-3(1-……(1

①十②得：1一於=4=6n=所以｛%｝是公差為1的等差數(shù)歹U，

當(dāng)n=1時(shí)有：1--_1=>瓦=2,所以勾=2+(荏-1)=71+1

bi_bi

(2)(i)2m<2n-1<22m=><n<2^+-<n<22m-1+-

2222

因?yàn)榫艀N*,所以2僧一1+1W九4227nt,所以c優(yōu)=22徵-1-27nt

2

(ii)h(?n-i)=2m-1,把％=22m-1-2加-1代入4得：d=

2nm22m-l_(22rn-1—2m-1)

2

Tm+「t

-i-(r]^n+d?n+i.-t=&+ln&=dt，

所以An==4=dt+1=>

Tm-tTm-trTm-tt

d

所以哈一「=罟=(5)m+l-t=4—4《)-t=

,2.

因?yàn)?優(yōu)>°,4+Q)1f>0,所以4-t>0=>te{123},

當(dāng)力=1時(shí)，TH=log工|(舍去)，當(dāng)t=2時(shí)，771=log、(舍去),

2523

當(dāng)t=3時(shí)，m=3,所以存在t,血，mt=9.

【『點(diǎn)石成金』】關(guān)鍵點(diǎn)『點(diǎn)石成金』：本題考查數(shù)列等差數(shù)列的基本量計(jì)算，數(shù)列與不等式的綜合應(yīng)用.解

題的關(guān)鍵是設(shè)出公差，列式求解求得即，進(jìn)而通過得2M<2n-1<22加求出cm，此外，對(duì)于探究性問題,

一般解法是先假設(shè)存在，再根據(jù)已知條件推出結(jié)論或矛盾，本題在解答過程中核心是借助聯(lián)+1=7+dm+1

化簡整理得G)'"=—考查數(shù)學(xué)運(yùn)算求解能力，邏輯推理能力.

4+\2/

12.(2023?天津和平?三模)等差數(shù)列｛時(shí)｝的前ri項(xiàng)和為%,%=a(aER且aH0),S3=6a.

(1)求的通項(xiàng)公式與前71項(xiàng)和先；

(2)記七=>"=,Qn=\—?當(dāng)neN*,幾22時(shí)，試比較心與冊(cè)的大小；

j=lSi/八。2一

⑶若a=2,正項(xiàng)等比數(shù)列｛嵋｝中，首項(xiàng)瓦=2,數(shù)歹(]｛%“｝是公比為4的等比數(shù)列(nCN*),且4=

為奇數(shù)，

:%倔物5€獷)，求｛與｝的通項(xiàng)公式與￡絲1以”56“).

(包,?1為偶數(shù).

n<Jl

【答案】(l)an=na,Sn=^a

(2)當(dāng)a>0時(shí)，Pn<Qn-,當(dāng)a〈0時(shí)，Pn>Qn

n2n+1

(3)bn=2；n+(4n-4)-2+8

K祥解工(1)由已知，根據(jù)公式%=mii+"產(chǎn)小an=ai+(n-l)d,即可得到結(jié)果；

⑵由2=式/W)，求得6=：(i—a)，由自求得表)，又會(huì)2時(shí)，

1—《工V1—5，所以，當(dāng)a>0時(shí)，Pn<Qn；當(dāng)a〈0時(shí)，Pn>Qn；

(3)由a=2,得即=2n,由首項(xiàng)名=2,數(shù)歹是公比為4的等比數(shù)列，可得匕=2九，則￡思1%以=

n2+(4x21+8x22+…+4九?2n),用錯(cuò)位相減法可求得4x21+8X22+…+4幾?2n=(4n-4)-2n+1+

8,則可得2蹌1以以.

【詳析】(1)設(shè)數(shù)列｛冊(cè)｝公差為d,由公式S九=71al+1)d,an=ar+(ji—l)d,

又的=a,有S3=3a+3d=6a,所以a=d.貝！Ja九=na,Sn=a.

(2)因?yàn)镼H0,所以有

1_21=—1I,--1-1-H--1=2

n(n+l)=式；_馬，&=X=ASiS

Sna2Sna

當(dāng)71EN*,?i之2時(shí)，2n=C：+C：H—+C4>72+1,即1----<1——j

所以，當(dāng)a>0時(shí)，Pn<Qn;當(dāng)水0時(shí)，Pn>Qn.

(3)因?yàn)閍=2,所以與=2幾，設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列｛e｝的公比為q,

誓1=9=02=4,所以q=2,因?yàn)橥?2,所以狐=2%

bb

an2n

二，九為奇數(shù)

又dh*/甲45eN*)

版,n為偶數(shù)

I2

2n1

｛akck=alcl+a2c2+-----1"ancn=](al+。3+-----a2n-l)+S2bl+。2b2+--------1"a2nbn)

k=l

=I[2n+x4]+(4x21+8x22+…+4n-2n)=n2+(4x21+8x22+…+4n-2n),

設(shè)〃=4x21+8x22+???+4n?2九①，貝屹〃=4x22+8x23+???+4n?2九+I②,

①式-②式得一〃=8+4X(22+23+■??+2n)-4n-2n+1,

=8+4x蘭舉-4n-2n+1=-8-(4n-4)-2n+1,

n+1

所以，Tn=(4n-4)-2+8,

2n+1

所以,Efc=i以cfe=n+(4n—4)-2+8.

13.(2024?天津河西?三模)已知遞增數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和為區(qū),且4Sn=磷+4n,n￡N*.

⑴求數(shù)列｛5｝的通項(xiàng)公式；

⑵設(shè)bn=atCn+a2C?+a3C^+???+anC^.

(i)求數(shù)列｛5｝的通項(xiàng)公式；

(ii)求產(chǎn)空).

\aVai+2)

【答案】(1)冊(cè)=2n

QTI+2n71+1

(2)(i)h=n-2n；(ii)—+-——4

nn+2n+1

(祥解力(1)根據(jù)工,廝的關(guān)系式，采用相減的方法，結(jié)合數(shù)列性質(zhì)，即可求得答案；

(2)(i)根據(jù)已知等式，結(jié)合組合數(shù)性質(zhì)，利用倒序相加法，即可求得答案；(ii)求出強(qiáng)包的表達(dá)式,

aVai+2

利用裂項(xiàng)相消法，即可求得答案.

【詳析】(1)因?yàn)?s九=嗎+4n,當(dāng)九=1時(shí),4sl=於+4,則的=2；

2

當(dāng)n>2時(shí)，4szi_1=嫌一1+4(n-1),則4a九=W-CLn-i+%即=(an-2),

而｛%J為遞增數(shù)列，故-a71T=2,

即｛4；｝為首項(xiàng)為2,公差為2的等差數(shù)列,

故。九=2n；

(2)(i)bn=ci^n+a2cz+。3鬣+,,?+(/.，

所以匕=0C：+2Cjj+4cM+6c烹+…+2nC^9

1

***bn=271cr+(2n-2)CJJ+…+2ct+0C：,

nn

兩式相加可得2b九=2n(C°+C：+—F禺)=2n-2,:.bn=n-2,

故數(shù)列｛?。耐?xiàng)公式為%=ri?2%

..、12%-2n+312n-2n-2n+3(3n-2)-2n2n+22n

11J-----------=--------------=-----------------------

an-an+22n-2(n+2)n(n+2)n+2n

xZ12bi-2l+3\2321,2422,2523,,2n+22n2n+2,2n+1.

4故4r〉-------=-----+------H--------F…H--------=——+------4.

//jq\ai-ai+2/314253n+2nn+2n+1

12n-2n-2n+3

【『點(diǎn)石成金』】關(guān)鍵點(diǎn)『點(diǎn)石成金』：解答本題的關(guān)鍵在于第二問的求和，要將12%-2"+3裂項(xiàng)

an'an+22?i,2(7i+2)

on+2on

為一―二,即可求解.

n+2n

14.(2024?天津?模擬預(yù)測)已知數(shù)列｛&J是正項(xiàng)等比數(shù)列，｛.｝是等差數(shù)列,且的=瓦=1,a3=b4,

⑴求數(shù)列｛冊(cè)｝和｛匕｝的通項(xiàng)公式;

(2)設(shè)”=g(%;:；：=16數(shù)列｛%｝的前n項(xiàng)和為除，求證：T<l-若P

kan+1~LJ\an+2~nz

⑶［制表示不超過X的最大整數(shù)，dn=觸+1?圖;

求(i)d3n-2+^3n-1+^3n；

(ii)鵡在

【答案】(DanuZ^T,bn=n；

(2)證明見解析；

(3)(i)(2n-l)2n；(ii)6+(2n-3)2n+1.

(祥解工(1)設(shè)等比數(shù)列｛%J的公比為q(q>0),等差數(shù)列｛%｝的公差為d,由已知列方程組求解d

與q,則數(shù)列和｛bn)的通項(xiàng)公式可求；

(2)把數(shù)列｛aj和｛g｝的通項(xiàng)公式代入d=，(如二：次"|整理后利用裂項(xiàng)相消法求7；；

l?n+l_1A?n+2-lJ

(3)(i)由d九=a［制+1愕，求出d3rl_2&九_(tái)1，&九，作和即可求得d?n-2+^3n-l+^3n

(ii)利用錯(cuò)位相減法求H=idf.

【詳析】(1)(1)設(shè)等比數(shù)列｛3J的公比為q(Q>0),等差數(shù)列｛g｝的公差為d,

由(2］—b］—1,。3=匕41+。3=力6，

?G_1

得］工解得憶;或「(舍去)；

W+q=1+5d(q=2a=--

I”2

故%,=2九T,

bn=1+1x(n—1)=n;

n_1

(2)由(1)知，an=2,bn=n,則%+1=2九

n

證明：c=(bn—_(0-I)2〈舟一n+1

n(an+l-1)(an+2-1)(2n-l)(2n+1-l)2n+1-1

則

T,1223,nn+1_.n+1

%+…+后一即==1一即三；

(3)(i)dn=牛]+1圖,

a3nn_1

d3n_2=11="2=O_l)2

1n-1

d-3n-i=a[Q]+i=an[^]=(n-l)2,