2020-2024年高考數(shù)學(xué)試題分類(lèi)匯編：圓錐曲線（真題9個(gè)考點(diǎn)精準(zhǔn)練+模擬練）解析版

2020-2024年五年高考真題分類(lèi)匯編

4<12圓體曲餞(虎題9個(gè)考點(diǎn)精灌株+精運(yùn)諼樞株)

5年考情?探規(guī)律

5年考情

考題示例考點(diǎn)分析

拋物線的定義、拋物線的焦點(diǎn)與準(zhǔn)線，雙曲線的性質(zhì)、直線與雙曲線的位

2024年秋考7、20題

置關(guān)系

2024年春考8、20題

雙曲線的定義、離心率的計(jì)算公式，直線與圓錐曲線綜合問(wèn)題

與曲線方程有關(guān)的新定義，拋物線的定義及其性質(zhì)、直線與拋物線綜合應(yīng)

2023秋考16、20題

用

2023春考20題

離心率的求法、橢圓與雙曲線的幾何性質(zhì)、直線與橢圓的綜合

雙曲線的性質(zhì)，點(diǎn)到直線的距離公式、橢圓方程的求解、橢圓中最值與范

2022秋考2、20題圍等問(wèn)題

2022春考11、20題雙曲線的性質(zhì)，直線與橢圓綜合、涉及橢圓方程求解、直線交點(diǎn)求解、基

本不等式的應(yīng)用

直線斜率的定義與計(jì)算、拋物線的定義等知識(shí)，平面向量與圓錐曲線綜合

2021年秋考11、20題

題、直線與橢圓位置關(guān)系的應(yīng)用

2021年春考11、19題

橢圓的定義和性質(zhì)，雙曲線的方程在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用

2020年秋考10、20題橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，雙曲線與圓的定義和方程、直線與圓的方程、雙

2020年春考15、20題曲線的方程聯(lián)立

軌跡方程的求法與判斷，點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的求法、拋物線、直線方程等知識(shí)

5年真題?分點(diǎn)精準(zhǔn)練

一.橢圓的幾何特征(共2小題)

2

1.(2021?上海)已知橢圓x?+a=1(0<6<1)的左、右焦點(diǎn)為不、F2,以。為頂點(diǎn)，片為焦點(diǎn)作拋物線交

橢圓于尸，且乙喟工=45。，則拋物線的準(zhǔn)線方程是_x=l-0_.

K祥解》先設(shè)出橢圓的左右焦點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而可得拋物線的方程，設(shè)出直線尸片的方程并與拋物線方程聯(lián)立,

求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，由此可得和_1片鳥(niǎo)，進(jìn)而可以求出P片，的長(zhǎng)度，再由橢圓的定義即可求解.

【解答】解：設(shè)片(-c,0),鳥(niǎo)(c,0),則拋物線/=4”，

1

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直線尸片：y=x+c,聯(lián)立方程組，4cx,解得x=c,y=2c,

卜=x+c

所以點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（c,2c）,所以相_L片耳，又尸&=與片=2c,所以尸片=2"c

所以尸片+尸8=（2+2A/I）C=20=2,

則c=V2—1,

所以拋物線的準(zhǔn)線方程為：X=-C=\-41，

故答案為：x=l-V2.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了拋物線的定義以及橢圓的定義和性質(zhì)，考查了學(xué)生的運(yùn)算推理能力，屬于中檔題.

2.（2020?上海）已知橢圓C:土+匕=1的右焦點(diǎn)為尸，直線/經(jīng)過(guò)橢圓右焦點(diǎn)尸，交橢圓C于尸、。兩點(diǎn)

43

（點(diǎn)尸在第二象限），若點(diǎn)。關(guān)于x軸對(duì)稱點(diǎn)為2,且滿足尸0，尸2,求直線/的方程是_x+y-1=0_.

K祥解》求出橢圓的右焦點(diǎn)坐標(biāo)，利用已知條件求出直線的斜率，然后求解直線方程.

【解答】解：橢圓C：］+：=l的右焦點(diǎn)為尸（1,0）,

直線/經(jīng)過(guò)橢圓右焦點(diǎn)/，交橢圓C于尸、。兩點(diǎn)（點(diǎn)尸在第二象限），

若點(diǎn)。關(guān)于x軸對(duì)稱點(diǎn)為O,且滿足PQ1FQ',

可知直線/的斜率為-1,所以直線/的方程是：y=-（x-l）,

即x+y-l=0.

故答案為：x+y-l=0.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，直線與直線的對(duì)稱關(guān)系的應(yīng)用，直線方程的求法，是基本知識(shí)

的考查.

二.直線與橢圓的綜合（共1小題）

3.（2022?上海）已知橢圓「J+//、8兩點(diǎn)分別為「的左頂點(diǎn)、下頂點(diǎn)，。、。兩點(diǎn)均在

a

直線l:x=a上，且C在第一象限.

（1）設(shè)/是橢圓「的右焦點(diǎn)，且NNE8=工，求「的標(biāo)準(zhǔn)方程；

2

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(2)若C、D兩點(diǎn)縱坐標(biāo)分別為2、1,請(qǐng)判斷直線與直線5C的交點(diǎn)是否在橢圓「上，并說(shuō)明理由;

(3)設(shè)直線40、8c分別交橢圓「于點(diǎn)P、點(diǎn)。，若P、。關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，求|CO|的最小值.

K祥解X(1)根據(jù)條件可得tan//E8=」，解出c,利用02=b2+c2,求得°,即可求得答案；

C

(2)分別表示出此時(shí)直線5C、直線4。的方程，求出其交點(diǎn)，驗(yàn)證即可；

(3)設(shè)尸(Qcose,sin。)，。(一acos。,一sin6),表示出直線5P、直線N0方程，解出C、。坐標(biāo)，表示出|C0,

再利用基本不等式即可求出答案.

【解答】解：(1)由題可得5(0,-1),F(c,0),

因?yàn)橐?FB=三,所以=2=!=tan工=,解得c=Vs，

6cc63

所以=1+(6)2=4,故「的標(biāo)準(zhǔn)方程為,+y2=1；

(2)直線4。與直線4C的交點(diǎn)在橢圓上，

由題可得此時(shí)4(-見(jiàn)0),5(0,-1),。(見(jiàn)2),D(a,l),

(當(dāng)2

則直線=3%-1,直線4。,交點(diǎn)為(2,,y)，滿足5[+(i)2=1,

a2a25

故直線AD與直線BC的交點(diǎn)在橢圓上；

(3)5(0,-1),尸(acos6,sin6),貝U直線=包凹也%-1I、Iz-?zsinO+l

l,所以C(a,------------1)x,

4cos6cos。

、匚匚I、IZ2sine、

A(-a,0),Q(~acos0,-sin0),則直線40:〉=------(x+)a)，所以D(a,----------),

acosd-acos0-1

.60.202。A.30

?Z-)1c?八2sin—cos—Fsin—I-cos—4sm—cos—

所以=_~4_2…2。2T'i

cos6cos3-I2°.26

cos----sin—-2sm一

222

nii

設(shè)tan§=t,貝力。0=2(17+7)-2,

HTI4，114EG、1114*

因?yàn)橐?:…——-)所以——+-...------=4,

aba+b1—tt1—t+1

則|CO...6,即|C。的最小值為6.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線與橢圓的綜合，涉及橢圓方程的求解,直線交點(diǎn)求解，基本不等式的應(yīng)用，屬于中

檔題.

三.橢圓與平面向量(共1小題)

4.(2023?上海)已知橢圓「：三+匕=1(〃”0且〃-6).

(1)若加=2,求橢圓「的離心率；

3

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(2)設(shè)4、4為橢圓「的左右頂點(diǎn)，橢圓「上一點(diǎn)E的縱坐標(biāo)為1,且鬲?觀=-2,求實(shí)數(shù)機(jī)的值；

_22

(3)過(guò)橢圓r上一點(diǎn)尸作斜率為百的直線/,若直線/與雙曲線二-t=1有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)

5m25

m的取值范圍.

[[祥解』(1)由題意可得a,b,c,可求離心率；

2

(2)由已知得4(-加,0),A2(m,0)?設(shè)頤p,l),由已知可得/=§加2,—m+1=—2,求解即可；

(3)設(shè)直線＞=怎十%,與橢圓方程聯(lián)立可得匕3蘇+3,與雙曲線方程聯(lián)立可得”=5療-15,可求機(jī)的

取值范圍.

【解答】解：(1)若加=2,貝!JQ2=4,b?=3,a=2,c=yla2-b2=1,e=—=—；

a2

(2)由已知得4(-加,0),4(加,0),設(shè)E(p,l),

.?.與+'=1,即p2=2加2,

m33

EAy=(一加—/?,—1),E4—(jn—p,—1)，「.EA^?EA2—(—m—p,—1),(jn—p,—1)—+1=-2,

p1——m29代入求得m=3；

3

(3)設(shè)直線＞=氐+乙聯(lián)立橢圓可得=+(技+疔=1,

m23

整理得(3+3m2)%2+2G/x+(產(chǎn)一3)m2=0,

由3加2+3,

2

聯(lián)立雙曲線可得"?：')-9=1,整理得(3--)/+2?氏+(產(chǎn)一5機(jī)2)=0,

由△=0,t2=5加2—15,

5m2-15?3m2+3,

/.-3?m,,3,

又5加2一15…0,/.m...V3,，：m手道，

綜上所述：me(V3,3].

【點(diǎn)評(píng)】本題考查離心率的求法，考查橢圓與雙曲線的幾何性質(zhì)，直線與橢圓的綜合，屬中檔題.

四.拋物線的焦點(diǎn)與準(zhǔn)線(共2小題)

5.(2024?上海)已知拋物線『=4尤上有一點(diǎn)尸到準(zhǔn)線的距離為9,那么P到x軸的距離為_(kāi)4亞

K祥解X根據(jù)已知條件，結(jié)合拋物線的定義，即可求解.

【解答】解：設(shè)尸坐標(biāo)為(%,%),

產(chǎn)到準(zhǔn)線的距離為9,即/+1=9,解得％=8,代入拋物線方程，可得％=±4后，

4

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故尸到x軸的距離為4人.

故答案為：4c.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查拋物線的定義，屬于基礎(chǔ)題.

6.(2021?上海)已知拋物線r=2/(°>0),若第一象限的4,3在拋物線上，焦點(diǎn)為尸，|/尸|=2,|8尸|=4,

\AB\=3,求直線A8的斜率為

K祥解力將拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離，根據(jù)已知條件結(jié)合斜率的定義，求出直線N3

的斜率即可.

【解答】解：如圖所示，設(shè)拋物線的準(zhǔn)線為/,作/C_U于點(diǎn)C,AD_U于點(diǎn)D,AELBD于點(diǎn)、E,

BE=4-2=2,AE=^AB--BE2=4-4=后,

直線AB的斜率k,=tanZABE=——=—.

ABRBE2

故答案為：—.

2

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查直線斜率的定義與計(jì)算，拋物線的定義等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題.

五.直線與拋物線的綜合(共2小題)

7.(2023?上海)已知拋物線=以，在：T上有一點(diǎn)/位于第一象限，設(shè)/的縱坐標(biāo)為a(a>0).

(1)若/到拋物線「準(zhǔn)線的距離為3,求。的值；

(2)當(dāng)°=4時(shí)，若x軸上存在一點(diǎn)8,使N3的中點(diǎn)在拋物線「上，求。到直線N3的距離；

(3)直線/:x=-3,尸是第一象限內(nèi)「上異于/的動(dòng)點(diǎn)，P在直線/上的投影為點(diǎn)〃，直線/尸與直線/的

交點(diǎn)為。.若在尸的位置變化過(guò)程中，恒成立，求°的取值范圍.

5

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k祥解》(1)根據(jù)題意可得點(diǎn)/的橫坐標(biāo)為2,將其代入拋物線的方程，即可求得。的值；

(2)易知/(4,4),設(shè)8(6,0),由的中點(diǎn)在拋物線上，可得b的值，進(jìn)而得到直線的方程，再由點(diǎn)

到直線的距離公式得解；

(3)設(shè)尸(：/),/(?,*”(-3,/)(■0),表示出直線4P的方程，進(jìn)一步表示出點(diǎn)。的坐標(biāo)，再根據(jù)00|>4

恒成立，結(jié)合基本不等式即可得到。的范圍.

【解答】解：(1)拋物線「『=4尤的準(zhǔn)線為x=-l,

由于/到拋物線「準(zhǔn)線的距離為3,

則點(diǎn)/的橫坐標(biāo)為2,則/=4x2=8(a>0),

解得a=2V2;

42

(2)當(dāng)a=4時(shí)，點(diǎn)/的橫坐標(biāo)為一=4,則/(4,4),

4

設(shè)3(6,0),則的中點(diǎn)為(笠±2),

由題意可得22=4x3,解得6=-2,

2

所以3(-2,0),

7

由點(diǎn)斜式可得，直線48的方程為y=](x+2),即2x-3y+4=0,

所以原點(diǎn)。到直線AB的距離為

3213’

:(3)如圖，

設(shè)尸(L,a),wa>0),則的.=」^=士，

44￡_￡_t+a

4-4

4ci2

故直線AP的方程為y-a=-^-(x--rb

t+a乙

22

,a4a4

令x=-3,可得y=a-(—+3)-------，即。(一3,4-(―+3)------)，

4%+a4t+a

6

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Q4

則。+(一+3)——|,

4t+a

/4一

依題意，\t-a+(一+3)----1>4怛成立，

4t+a

又￡+。+(―+3)?----2a..4Jg--b3-2。〉0,

4t+aV4

則最小值為4總+3-20>4,即2總+3>2+a,即Ja：+12>2+a,

貝1Ja2+12>/+4a+4,解得0<a<2,

又當(dāng)。=2時(shí)，Z+2+---4...2,((+2)---4=4,當(dāng)且僅當(dāng)t=2時(shí)等號(hào)成立，

t+2Vt+2

而awt,即當(dāng)a=2時(shí)，也符合題意.

故實(shí)數(shù)。的取值范圍為(0,2].

【點(diǎn)評(píng)】本題考查拋物線的定義及其性質(zhì)，考查直線與拋物線的綜合運(yùn)用，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔

題.

8.(2020?上海)已知拋物線必=苫上的動(dòng)點(diǎn)/(%,%),過(guò)河分別作兩條直線交拋物線于P、。兩點(diǎn)，

交直線x=f于/、3兩點(diǎn).

(1)若點(diǎn)M縱坐標(biāo)為行，求”與焦點(diǎn)的距離；

(2)若y-1,尸(1,1),2(1,-1),求證：”?乃為常數(shù)；

(3)是否存在,,使得為?%=1且丹?為為常數(shù)？若存在，求出/的所有可能值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

K祥解R(1)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)與=(0)2=2,由/=》，得p=；,由此能求出M與焦點(diǎn)的距離.

(2)設(shè)MS；,%),直線p〃：y_i=與二當(dāng)x=-l時(shí)，北=及匚，同理求出為=口^，由

%-1%+1%T

此能證明〃?力為常數(shù).

4

(3)解設(shè)M(y^,y0),A(t,yA),直線MA：y-y0=,^'(x-,聯(lián)立y?=x,得

y0一t

22

/一支二L>+型二L為一為2=0,求出力=名曲二L,同理得了軍之二，由此能求出存在;1,使得

%-兀%一"為一刈%一%

yA-%=1且丹,坨為常數(shù)L

【解答】解：(1)解：?.?拋物線產(chǎn)=無(wú)上的動(dòng)點(diǎn)/(/,汽),

過(guò)M分別作兩條直線交拋物線于尸、。兩點(diǎn)，交直線x=f于/、B兩點(diǎn).

點(diǎn)M縱坐標(biāo)為41，

2

.?.點(diǎn)M的橫坐標(biāo)xM=(V2)=2,

7

2020-2024年五年高考真題分類(lèi)匯編

y2=x,p=—1,

與焦點(diǎn)的距離為披+^=2+-=-.

M244

(2)證明：設(shè)直線PA/:y-l=烏一-(x-1),

JoT

當(dāng)x=-1時(shí)，yA=—-，

坊+1

直線QM:y+]=熱+1(x-1),工=-1時(shí)，yB=-^---,yAyB=-1,

%-1%T

/.yA-yB為常數(shù)-1?

(3)解：設(shè)M(%2,%)，A(t,yA),直線(x—M)，

y0-t

22

聯(lián)立/=x,得/一+為一汽2=0,

yo-yAyQ-yA

2.

.1，_L1，_%—tRI1,-%為T(mén)

??M)+jp_,即y?—

y^-yA%-yA

同理得y業(yè)二,

y0-yB

”?力=i，

…為2-供）仇+%）+/

"pQ%2_%（乃+%）+1'

要使孫坨為常數(shù)，即，=i,此時(shí)處坨為常數(shù)i,

存在r=i,使得”?丹=i且%?坨為常數(shù)1.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離的求法，考查兩點(diǎn)縱坐標(biāo)乘積為常數(shù)的證明，考查滿足兩點(diǎn)縱坐標(biāo)乘積

為常數(shù)的實(shí)數(shù)值是否存在的判斷與求法，考查拋物線、直線方程等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔

題.

六.雙曲線的幾何特征（共4小題）

9.（2024?上海）三角形三邊長(zhǎng)為5,6,7,則以邊長(zhǎng)為6的兩個(gè)頂點(diǎn)為焦點(diǎn)，過(guò)另外一個(gè)頂點(diǎn)的雙曲線的

離心率為3.

K祥解X利用雙曲線的定義、離心率的計(jì)算公式即可得出結(jié)論.

【解答】解：由雙曲線的定義，2c=6,2a=2,

解得c=3,a=l,

8

2020-2024年五年高考真題分類(lèi)匯編

故答案為：3.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了雙曲線的定義、離心率的計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

10.（2022?上海）已知耳區(qū)，必），無(wú)）兩點(diǎn)均在雙曲線「一一/的右支上，若王%＞弘%

a

恒成立，則實(shí)數(shù)。的取值范圍為—[1.+8）_.

K祥解》取5的對(duì)稱點(diǎn)8H,-y2）,結(jié)合王/＞%%，可得麗?砒＞0，然后可得漸近線夾角NMON”90°,

代入漸近線斜率計(jì)算即可求得.

【解答】解：設(shè)乙的對(duì)稱點(diǎn)心（工2，-%）仍在雙曲線右支，由

得網(wǎng)七-乂力＞0，即西?西＞0恒成立，

4Pop3恒為銳角，即AMON,90°,

.?.其中一條漸近線y的斜率士,1,

aa

a..1＞

所以實(shí)數(shù)”的取值范圍為口，+00）.

故答案為：[1,+00）.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了雙曲線的性質(zhì)，是中檔題.

11.（2022?上海）雙曲線友-必=1的實(shí)軸長(zhǎng)為6.

K祥解X根據(jù)雙曲線的性質(zhì)可得°=3,實(shí)軸長(zhǎng)為2a=6.

【解答】解：由雙曲線工-必=1,可知：a=3,

9?

所以雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)2a=6.

故答案為：6.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線的性質(zhì)，是基礎(chǔ)題.

12.（2021?上海）（1）團(tuán)隊(duì)在。點(diǎn)西側(cè)、東側(cè)20千米處設(shè)有/、8兩站點(diǎn)，測(cè)量距離發(fā)現(xiàn)一點(diǎn)尸滿足

|己4|-|尸2|=20千米，可知P在/、B為焦點(diǎn)的雙曲線上，以。點(diǎn)為原點(diǎn)，東側(cè)為x軸正半軸，北側(cè)為y軸

正半軸，建立平面直角坐標(biāo)系，尸在北偏東60。處，求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程和尸點(diǎn)坐標(biāo).

9

2020-2024年五年高考真題分類(lèi)匯編

（2）團(tuán)隊(duì)又在南側(cè)、北側(cè)15千米處設(shè)有C、D兩站點(diǎn)，測(cè)量距離發(fā)現(xiàn)||-1|=30千米，\QC\-\QD\=\Q

千米，求（精確到1米）和。點(diǎn)位置（精確到1米，1。）

K祥解R（1）求出。，c,b的值即可求得雙曲線方程，求出直線。尸的方程，與雙曲線方程聯(lián)立，即可求

得尸點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）分別求出以N、3為焦點(diǎn)，以C,。為焦點(diǎn)的雙曲線方程，聯(lián)立即可求得點(diǎn)。的坐標(biāo)，從而求得

及。點(diǎn)位置.

【解答】解：（1）由題意可得。=10,c=20>所以6'=300,

22

所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為工-工=1,

100300

直線。聯(lián)立雙曲線方程，可得x="也，y①

322

即點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（苧，乎）.

(2)①104H2引=30，則a=15,c=20,所以/=175,

雙曲線方程為工-A

225

②|0C|-3|=1O,則a=5,c=15,所以〃=200,

22

所以雙曲線方程為匕-二-=1,

25200

兩雙曲線方程聯(lián)立，得0（j岑^，卷

所以|0。匿19米，。點(diǎn)位置北偏東66。.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查雙曲線方程在實(shí)際中的應(yīng)用，屬于中檔題.

七.曲線與方程（共1小題）

13.（2023?上海）已知P,。是曲線「上兩點(diǎn)，若存在〃■點(diǎn)，使得曲線「上任意一點(diǎn)尸都存在。使得

\MP\-\MQ\=1,則稱曲線「是“自相關(guān)曲線”.現(xiàn)有如下兩個(gè)命題：①任意橢圓都是“自相關(guān)曲線”；②存

在雙曲線是“自相關(guān)曲線”，則（）

A.①成立，②成立B.①成立，②不成立

C.①不成立，②成立D.①不成立，②不成立

K祥解》根據(jù)定義結(jié)合圖象，驗(yàn)證|九。HM0曰是否恒成立即可.

【解答】解：?.?橢圓是封閉的，總可以找到滿足題意的M點(diǎn)，使得1Mpi成立，故①正確，

在雙曲線中，I尸此“,加=0,當(dāng)|尸河|=0時(shí)，。點(diǎn)不存在；

當(dāng)產(chǎn)“需=力，0<“1時(shí)，|。河|」，

10

2020-2024年五年高考真題分類(lèi)匯編

但當(dāng)1PMi=2>工，M\QM\=-<n,這與1PM京=〃矛盾，故②錯(cuò)誤.

nn2

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查與曲線方程有關(guān)的新定義，根據(jù)條件結(jié)合圖象驗(yàn)證|"?|?|〃。六1是否成立是解決本

題的關(guān)鍵，是中檔題.

八.直線與圓錐曲線的綜合（共4小題）

2

14.（2024?上海）已知雙曲線（b>0）,左右頂點(diǎn)分別為4，4，過(guò)點(diǎn)”（-2,0）的直線/交

雙曲線「于尸、。兩點(diǎn)，且點(diǎn)P在第一象限.

（1）當(dāng)離心率e=2時(shí)，求b的值；

D[f.

（2）當(dāng)6=把，尸為等腰三角形時(shí)，求點(diǎn)尸的坐標(biāo)；

（3）連接O0并延長(zhǎng)，交雙曲線「于點(diǎn)夫，若乖.4?=1,求6的取值范圍.

K祥解力（1）由題意可得±=2,a=l,可得c=2,由a2+b2=c2求解即可；

a

（2）由題意可得〃4=尸4，P（x0,%）,%>0,%>0,則可得（%-1）2+了：=9,再由x；-等=1,求

O

3

解即可；

（3）設(shè)P（X],必）0（%2，y2）則尺（-%2，-%），設(shè)直線，：％=即-2（冽>（）,聯(lián)立直線與雙曲線方程，再

結(jié)合韋達(dá)定理可得%+%=加’必%=71當(dāng),又由4K乜尸=1，得（-/+1）（國(guó)-1）％=1，即

bm-1bm-I

有（冽2+1）必歹2-3加（必+%）+10=0,可得已=10/6>*,即可得答案.

【解答】解：（1）因?yàn)閑=2,即g=2,

a

2

所以3=4,

a

又因?yàn)?=1,

所以c?=4,

又因?yàn)?+/=c2,

所以/=3,

所以6=百（負(fù)舍）；

（2）因?yàn)槭瑸榈妊切危?/p>

11

2020-2024年五年高考真題分類(lèi)匯編

①若44為底，則點(diǎn)P在線段的中垂線，即》=上，與尸雙曲線上且在第一象限矛盾，故舍去;

②若4P為底，則必與人。＞〃4矛盾，故舍去；

③若w為底，則腿42=尸4，

即（％-iy+w=9,

2

又因?yàn)閄；-等=1,

O

3

Q

得（X。一1）2+（%-1）2X]=9，

得llx：-6%-32=0,

解得x0=2,y0=2A/2,

即P（2,2后）；

（3）由題可知4（-1,0），4（i，o），

當(dāng)直線/的斜率為0時(shí)，此時(shí)乖?”？=（）,不合題意;

貝Uk產(chǎn)。，

設(shè)直線l:x=my-2,

設(shè)尸（x「乂），。卜，力），

根據(jù)延長(zhǎng)。。交雙曲線于點(diǎn)及，

則R（—X2，—%），

12

2020-2024年五年高考真題分類(lèi)匯編

x=my-2

聯(lián)立得6ml-l)y2-Ab1my+3b2=0,

f-1

二次項(xiàng)系數(shù)

△=(_劭2加)2-12/02機(jī)2-1)=4/加2+]202>0,

4b2m3b2

-12b2m2-]1Z2b2m2-]

所以=(-4+1，-%)，4尸=(X]-1,yj,

又因?yàn)榧疽簧?1,

得(-x2+l)(x,-1)-yty2=1,

則(%-DUT)+乂%=T，

EP(my2-3)(“％-3)+y,y2=-1,

化簡(jiǎn)后可得到(加2+l)%%-3加(必+%)+10=0,

再由韋達(dá)定理得3b2(m2+1)-12"+10(b2m2-1)=0,

化簡(jiǎn)得//+3/-10=0,

所以“=3-3,

代入得/=10-3/71,

13

2020-2024年五年高考真題分類(lèi)匯編

所以/*3,

JLm1=9—3...0,

解得譏，12,

3

又因?yàn)?>0，

則0<氏，y，

綜上，ft2e(0,3)0(3,y],

所以6e(0,V3)U(A/3,粵](méi).

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了雙曲線的性質(zhì)、直線與雙曲線的位置關(guān)系及韋達(dá)定理的應(yīng)用，屬于中檔題.

V22

15.(2024?上海)在平面直角坐標(biāo)系X。中，已知點(diǎn)/為橢圓「:一+V乙=1上一點(diǎn)，F(xiàn)一凡分別為橢圓的

62

左、右焦點(diǎn).

(1)若點(diǎn)/的橫坐標(biāo)為2,求|工月|的長(zhǎng)；

(2)設(shè)「的上、下頂點(diǎn)分別為陷、M2,記△/月乙的面積為S「必的面積為瓦，若岳…S?,求

的取值范圍.

(3)若點(diǎn)/在X軸上方，設(shè)直線/耳與r交于點(diǎn)3,與y軸交于點(diǎn)K,附延長(zhǎng)線與r交于點(diǎn)C,是否存

在x軸上方的點(diǎn)C,使得品+而+京=〃7+瓦5+城)(2eR)成立？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)C的坐標(biāo)；若

不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

K祥解》(1)由題意，設(shè)出點(diǎn)/的坐標(biāo)，將點(diǎn)N的坐標(biāo)代入橢圓方程中再結(jié)合公式進(jìn)行求解即可；

(2)設(shè)出點(diǎn)/的坐標(biāo)，結(jié)合三角形面積公式以及題目所給信息，列出等式再進(jìn)行求解即可；

(3)設(shè)出/,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)對(duì)稱性得到點(diǎn)C的坐標(biāo)，利用向量的運(yùn)算以及題目所給信息求出

%+2“=0,設(shè)出直線/工的方程，將直線4月的方程與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理以及點(diǎn)/在直線/巴

上，即可求出滿足條件的C點(diǎn)坐標(biāo).

【解答】解：(1)因?yàn)辄c(diǎn)/的橫坐標(biāo)為2,

不妨設(shè)A(2,y),

因?yàn)辄c(diǎn)/在橢圓「上，

所以+匕=1,

62

解得「二，

3

易知耳(—2,0),

14

2020-2024年五年高考真題分類(lèi)匯編

所以|/月|=7[2-(-2)]2+(J-0)2；

(2)不妨設(shè)Z(x,y),xy^O,

此時(shí)4=(甲”川=23,邑=g|

因?yàn)镋…邑，

所以2|川…&|x|,

即2y2..j?,

所以2r…6-39,

解得士,/<2,

5

22

則|OA|=J/+,2—^（6—31y2）+y=^6—2y,

故|cu|的范圍為（亞，*

（3）不妨設(shè)/（占,乂），必>0,B（X2,y2）,

由對(duì)稱性可得4、C關(guān)于夕軸對(duì)稱，

所以C（-X],%）,

又久（-2,0）,乙（2,0）,

此時(shí)耳/=（七+2,必）,耳2=（迎+2,%）,片。=（一七+2,必），

所以FyA+F\B+JFJC=（x?+6,%+2%），

同理得月1+月方+斤=（%-6,%+2%），

因?yàn)榧?而+居=2（可+&+F）（4eR）,

所以即+而+京//月1+月方+爐，

解得力+2%=0或1％+2了產(chǎn)°（無(wú)解），

區(qū)+6=%-6

不妨設(shè)直線AF2:x=my+2,

x=my+2

聯(lián)立v%22,消去工并整理得（掰2+3）y2+4町_2=0,

——+—=1

15

2020-2024年五年高考真題分類(lèi)匯編

%%——2%——2-

由韋達(dá)定理得m+3,

4m

%+%=一%=—

Im+3

確牟得m=-，

5

此時(shí)yx=,

又再=myx+2，

解得再=2,

14

此時(shí)^.

44

故存在X軸上方的點(diǎn)。(一,使得郎+而+京=〃可+9+碇)(力€火)成立.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題，考查了邏輯推理和運(yùn)算能力，屬于中檔題.

22

16.(2022?上海)設(shè)有橢圓方程「:=+3=1(.>6>0),直線/:x+y-4后=0,「下端點(diǎn)為N,"在/上,

ab

左、右焦點(diǎn)分別為耳(-后，0)、工(血，0).

C1)4=2,中點(diǎn)在X軸上，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；

a

(2)直線/與歹軸交于8,直線4〃經(jīng)過(guò)右焦點(diǎn)g,在A45河中有一內(nèi)角余弦值為三，求6；

(3)在橢圓「上存在一點(diǎn)尸至I"距離為d,使|打;|+|尸名|+1=6,隨Q的變化，求d的最小值.

(2)由直線方程可知5(0,4A/2),分類(lèi)討論cos/A4M=1'和cosNBMA=1兩種情況確定b的值即可；

16

2020-2024年五年高考真題分類(lèi)匯編

|acos0+bsin0-4夜|

（3）設(shè)尸（acos。,6sin。），利用點(diǎn)到直線距離公式和橢圓的定義可得=6-2。，進(jìn)一

V2

步整理計(jì)算，結(jié)合三角函數(shù)的有界性求得L,%g即可確定d的最小值.

【解答】解：（1）由題意可得a=2,6=c=血,

r：=1,4(0,一行),

VAM的中點(diǎn)在x軸上,

M的縱坐標(biāo)為正,

代入x+y-4亞=0得河（3心揚(yáng).

（2）由直線方程可知3（0,4亞），

344

①若cos4W=],則tan"W="即tan/。盟=葭

:.b=-41.

4

34

②若cos/BMA=—,則sinZBMA=—,

55

jrV23J24J2

,//MBA=一，/.cos(ZMBA+/AMB)=——x---------x—=-------

4252510

cosZBAM=tanZBAM=7.

10

,3=",,6=正

即tanZ-OAF=7,

177

綜上6=3&或e.

47

(3)設(shè)尸(acos6,6sing),

|acos6+6sin6-4A/2|

由點(diǎn)到直線距離公式可得=6—2a，

V2

acos0+bsm0-4^/2

很明顯橢圓在直線的左下方，則-=6—2a，

41

即4^/2-yjcr+b1sin(。+0)=6&-2叵a,

v6/2=Z?2+2,42/-2sin(6+9)=2ea-2血，

據(jù)止匕可得yja1-1sin(。+<p)=2a-2,\sin(。+(p)|=率？,

Va2-1

17

2020-2024年五年高考真題分類(lèi)匯編

整理可得(a-l)(3a-5)?0,即L,a”,

'Q

從而d=6—2a...6—2x—=—.

33

即”的最小值為9.

3

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查橢圓方程的求解，點(diǎn)到直線距離公式及其應(yīng)用，橢圓中的最值與范圍問(wèn)題等知識(shí)，

屬于中等題.

2

17.(2021?上海)已知：T:、+「=l,K，g是其左、右焦點(diǎn)，直線/過(guò)點(diǎn)尸O,0)(利-行)，交橢圓于

2兩點(diǎn)，且4,5在X軸上方，點(diǎn)/在線段AP上.

(1)若8是上頂點(diǎn)，|西H所I，求小的值；

(2)若即.碎=),且原點(diǎn)。到直線/的距離為警，求直線/的方程；

(3)證明：對(duì)于任意加＜-夜，使得蟲(chóng)//標(biāo)的直線有且僅有一條.

K祥解X(1)利用橢圓的方程，求出。，b,c的值，求出|8月|和|尸片由|函H兩I，即可求出加的

值；

(2)設(shè)點(diǎn)/(V^cosO,sin。)，利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示化簡(jiǎn)片/.鳥(niǎo)/=g,求出點(diǎn)/的坐標(biāo)，設(shè)直

線/的方程為y=fcv+半發(fā)+字體＞0),然后利用點(diǎn)到直線的距離公式列出關(guān)于左的方程，求出后的值即可

得到答案.

(3)聯(lián)立直線/與橢圓的方程，得到韋達(dá)定理，利用向量平行的坐標(biāo)表示，化簡(jiǎn)可得網(wǎng)-憶=-口|^，然

后再利用韋達(dá)定理化簡(jiǎn)|為-芍1，由此得到關(guān)于后和加的等式，整理可得/=——二，利用加的取值范

4-2m

圍以及題中的條件，即可證明.

【解答】解：(1)因?yàn)椤傅姆匠蹋骸?/=1,

2

所以/=2,b2=1,

22

所以。2=a—b=1,

所以月(—1,0),7^(1,0),

若5為「的上頂點(diǎn)，則5(0,1),

所以|BFX\=V1+1=6,|PF1\=-1-m9

又15Gl=|3I，

18

2020-2024年五年高考真題分類(lèi)匯編

所以m=-1-V2；

（2）設(shè)點(diǎn)/（Vicos。，sin。），

1

則片4?F2A=（V2cos0+1）（^2COS。一1）+sin?9=2cos?9-1+sin6=j

因?yàn)?在線段5尸上，橫坐標(biāo)小于0,

解得cos"-左

3

—

設(shè)直線/的方程為了=丘+曰左+?依＞0）,

由原點(diǎn)。到直線/的距離為亞

15

I—+―|/7T

則J33；辿4，化簡(jiǎn)可得3左之—10左+3=0,解得左=3或左二,，

153

故直線/的方程為y=或y=3x+4f（舍去，無(wú)法滿足加〈-收）

所以直線/的方程為y=；x+乎;

y=kx-km

（3）聯(lián)立方程組1%2,可得（1+2左2）——4左2mx+2左2加2_2=0,

—+V2=1

12'

設(shè)A{xx，乂），B（X2，y2）,

4k2m2k2m2-2

則石+/=

1+2左24%-]+2左2

因?yàn)槎?//鳥(niǎo)5,

所以（工2-1）%=（占+l）y2,又丫=kx—km,

故化簡(jiǎn)為Xy-X2=一］+

▼IIn3AJ16—2-8左之加2+8

又|再一馬|二，（再+&）-4%工2=-------------------------

兩邊同時(shí)平方可得，4左2一2左2/+1=0,

整理可得尸=—1

4-2m2

1

當(dāng)根＜-V2時(shí)，k92=----------->0,

4-2m2

19

2020-2024年五年高考真題分類(lèi)匯編

因?yàn)辄c(diǎn)/,2在x軸上方，

所以上有且僅有一個(gè)解，

故對(duì)于任意〃?<-a,使得即//標(biāo)的直線有且僅有一條.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平面向量與圓錐曲線的綜合應(yīng)用，直線與橢圓位置關(guān)系的應(yīng)用，在解決直線與圓錐曲

線位置關(guān)系的問(wèn)題時(shí)，一般會(huì)聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，利用韋達(dá)定理和“設(shè)而不求”的方法進(jìn)行研究,

屬于難題.

九.圓錐曲線的軌跡問(wèn)題（共1小題）

18.（2020?上海）已知橢圓、+廿=1,作垂直于x軸的垂線交橢圓于/、8兩點(diǎn)，作垂直于y軸的垂線交

橢圓于C、。兩點(diǎn)，且=