2023-2024學年廣西桂林市高二（上）期末數(shù)學試卷（含答案）

2023-2024學年廣西桂林市高二（上）期末數(shù)學試卷

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求

的。

1.在空間直角坐標系O-xyz中，點（1,1,2）到坐標原點。的距離為（）

A."B.A/3C.A/6D.也

2.一個科技小組中有4名女同學、5名男同學，現(xiàn)從中任選1名同學參加學科競賽，則不同的選派方法數(shù)為

A.4B.5C.9D.20

3.橢圓卷+9=1的長軸長是（）

A.2B.3C.4D.6

4.已知在10件產(chǎn)品中有2件次品，現(xiàn)從這10件產(chǎn)品中任取3件，用X表示取得次品的件數(shù)，貝IJP（X=1）=

r,1廠1廠2廠2廠1

D也

A.kB.-73—C.-73—D-匾

「ioGoCi。

5.圓Cl：X2+、2=1與圓。2：（久一3）2+y2=9的位置關系是（）

A,外切B.內含C.相交D.外離

6.已知m=（1,2,4）,Ji=（2,1,x）分別為直線a,6的一個方向向量，且a1b,則久=（）

A.1B.-1C.2D.-2

7.設小明乘汽車、火車前往某目的地的概率分別為0.6,0.4.汽車和火車正點到達目的地的概率分別為0.7,

0.9,則小明正點到達目的地的概率為（）

A.0.78B,0.82C,0.87D,0.49

8.已知點P（3,4）,A,B是圓C：/+*=4上的兩個動點，且滿足=2,M為線段4B的中點，則|PM|

的最大值為（）

A.S-鄧B.5+^/3C.3D.7

二、多選題：本題共4小題，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。

9.某服裝公司對1-5月份的服裝銷量進行了統(tǒng)計，結果如下：

月份編號x12345

銷量y（萬件）5096142185227

若y與x線性相關，其線性回歸方程為y=+7.1,則下列說法正確的是（）

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A.線性回歸方程必過(3,140)B.b=44.3

C.相關系數(shù)r<0D,6月份的服裝銷量一定為272.9萬件

10.某市對歷年來新生兒體重情況進行統(tǒng)計，發(fā)現(xiàn)新生兒體重X?N(3.5,0.25),則下列結論正確的是()

A.該正態(tài)分布的均值為3.5B.P(X>3.5)=|

C.P(4<X<4.5)>|D.P(X>4.5)=P(XW3)

11.已知雙曲線M：9—卷=1，則下列說法正確的是()

A.M的離心率e=亨B.M的漸近線方程為3x+2y=0

C.M的焦距為6D.M的焦點到漸近線的距離為3

12.如圖，在棱長為2的正方體4BCD-AiaCiDi中，E,F分別為D￡)i，3比的中點，則下列選項正確的是

()5G

A.直線FQ與直線2E平行

B.直線FCi與底面4BCD所成的角為30°

C.直線FCi與直線4E的距離為^^

AB

D.直線FCi到平面4BF的距離為|

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知直線小3x-4y+5=0,l2：3x-4y-10=0,則A與％的距離為一

14.(久+2尸展開式中含壯項的系數(shù)等于.

15.用0,2,4,6,8這5個數(shù)字，組成沒有重復數(shù)字的三位數(shù)的個數(shù)為一――(用數(shù)字作答).

16.古希臘數(shù)學家阿波羅尼奧斯在研究圓錐曲線時發(fā)現(xiàn)了橢圓的光學性質：從橢圓的一個焦點射出的光

線，經(jīng)橢圓反射，其反射光線必經(jīng)過橢圓的另一焦點.設橢圓^4-￡=l(a〉6>0)的左、右焦點分別

為Fi，F(xiàn)2,若從M右焦點&發(fā)出的光線經(jīng)過M上的點a和點B反射后,滿足AB1AD,^cosZ-ABC=則

M的離心率為______.

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四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

17.(本小題10分)

已知直線h：x-2y+3=0與直線%：%+2y-5=0相交于點A.

(1)求點/的坐標；

7T

(2)求過點4且傾斜角為4的直線I的方程.

18.(本小題12分)

2021年5月31日，中共中央政治局召開會議，審議《關于優(yōu)化生育政策促進人口長期均衡發(fā)展的決定》并

指出，為進一步優(yōu)化生育政策，實施一對夫妻可以生育三個子女政策及配套支持措施.某市為了解政策開放

后已婚女性生育三孩意愿的情況，選取“70后”和“80后”已婚女性作為調查對象，隨機調查了100位，

得到數(shù)據(jù)如表：

生育三孩意愿無生育三孩意愿合計

“70后”30X45

“80后”y1055

合計7525100

(1)請根據(jù)題目信息，依據(jù)2x2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)求出x,y的值；

(2)根據(jù)調查數(shù)據(jù)，是否有90%以上的把握認為“已婚女性生育三孩意愿與年齡有關”，并說明理由.參考

在平面直角坐標系中，。為坐標原點，已知直線I：y=x-1與拋物線C：必=以相交于a,呂兩點.

(1)求C的焦點坐標及準線方程；

(2)求△04B的面積.

20.(本小題12分)

某校高二(1)班的元旦聯(lián)歡會設計了一項抽獎游戲：準備了10張相同的卡片，其中只在6張卡片上印有

“獎”字.

(1)采取放回抽樣方式，從中依次抽取3張卡片，求抽到印有“獎”字卡片張數(shù)X的分布列、數(shù)學期望及方

差；

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(2)采取不放回抽樣方式，從中依次抽取3張卡片，求第一次抽到印有“獎”字卡片的條件下，第三次抽到

未印有“獎”字卡片的概率.

21.(本小題12分)

TT

如圖，在直三棱柱ABC-AiBiCi中，N4BC=2,AAt=1,AB=BC=2,點E,M分另1J為BC,HE的中

點.

⑴求二面角A—CiE—C的余弦值；

(2)若點G滿足京=2GM,求直線與直線CG所成角的正弦值.

22.(本小題12分)

已知橢圓E：今+y2=l(a>1)的上頂點為4右頂點為B,直線48與直線x+2y=0平行.過點P(—1,0)且

斜率為依因<1)的直線2與E相交于C,D兩點.

(1)求E的方程；

(2)記直線4C,2。的斜率分別為的，七，求|任一句的最小值.

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參考答案

l.c

2.C

3.0

4.B

5.C

6.B

7.4

8.B

9sB

IQ.AB

11.ABD

12.ACD

13.3

14.24

15.48

16;

17.解：⑴咪%解需三；

故4(1,2)；

7T

(2)過點2(1,2)且直線的傾斜角為I的直線方程為y-2=(x-l),整理得x-y+1=0.

18.解：⑴由2X2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)可知，x=45-30=15,y=55-10=45；

(2)2x2列聯(lián)表如下：

生育三孩意愿無生育三孩意愿合計

“70后”301545

“80后”451055

合計7525100

因為依=I%'%?""黑⑸2?3.03。＞2,706,

所以沒有90%以上的把握認為“已婚女性生育三孩意愿與年齡有關”.

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19.解：(1)由拋物線C的方程y=4%得，p=2,

所以焦點坐標為(1,0),準線方程為“=-1；

(2)設4(*1,%),8(>2,丫2)，

聯(lián)立直線Z與拋物線C的方程消去y并整理得，%2-6%+1=0,

貝！U1+%2=6,%1%2=1，

所以=V1+fe2-+%2)2—4%1久2

=y/1+1x^/62—4=8,

點。到直線珀勺距離d=孝，

所以S44OB=]|AB[xd=x8x=2^/2,

△。/IB的面積為2避.

20.解：(1)解：由題意可知，X?B(3,|),

則P(X=0)=。)3=荔P(X=1)=瑪?|?。)2=需，

P(X=幻=鬣?弓產(chǎn).卜耗P(X=3)=(|)3=冬,

所以，隨機變量X的分布列如下表所示:

X0123

8365427

P

125125125125

所以￡(X)=3x|=1,Z)(X)=3x|x|=if；

(2)解：記事件4第一次抽到印有“獎”字卡片，事件8：第三次抽到未印有“獎”字卡片，

…636x4x84

則P(4)=I5=*P(4B)=島=1?

1UD810X3

由條件概率公式可得P(B|4)=，罌)=2X1=*

所以，在第一次抽到印有“獎”字卡片的條件下，第三次抽到未印有“獎”字卡片的概率為*

21.1?：(1)在直三棱柱ABC—AiBiCi中，BBil平面ABC/2BC=全

以點B為坐標原點，BC、BA,BBi所在直線分別為x,y、z軸建立如下圖所示的空間直角坐標系,

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由題意,4(0,2,0)、C(2,0,0)、G(2,0,l)、E(l,0,0),

設平面4C1E的法向量為何=Q,y,z),麗=(—1,2,0),阮=(1,0,1),

.(m-EA=—x+2y=0?,,一一

則匕.萬六一K+Z—O'?。?2，可侍6=(2,1,-2)，

\IILJDL*1—A.T4—U

易知平面CQE的一個法向量為元=(0,1,0),貝kos<m,n>=2n2=

\m\?\n\3

由圖可知，二面角A-CiE-C的平面角為鈍角，

故二面角4-CiE-C的余弦值為一最

-1

(2)易知41(0,2,1)、8(0。0)、的(2。1)、M(-,l,0),

點G滿足C]G=2GM,則C]G=I,CiM=^1,—1)=(-1,一日),

則萬=CQ+C^=(0,0,1)+(-1,|-|)=(-1,輔，且兩=(0,2,1),

所以cos(瓦?1，花〉=嵩第=下餐=備'

則sinM，硒=Jl—cos2〈麗;，麗==嚕，

因此，直線與直線CG所成角的正弦值為嗜.

22.解：(1)由題意可知點4(0,1)、B(a,0),直線久+2y=0的斜率為一最

因為直線與直線x+2y-0平行,

則%B=7^—=--=一4，解得a=2,

0—aa2

7

因此，橢圓E的方程為與+產(chǎn)=1.

(2)設點C