2023-2024學(xué)年華師大版九年級數(shù)學(xué)上學(xué)期期末復(fù)習(xí)：與相似有關(guān)的 壓軸解答題（原卷版）

與相似有關(guān)的壓軸題

1.如圖1,在梯形A8CD中，AD//BC,BC=2AD,￡為邊8c的中點，請僅用無刻度的直尺作圖：

(1)作8。的中點尸；

(2)作BE的中點G；

(3)如圖2,ABDE的中線EF、DG交于點H,若AEGH的面積為1,則四邊形BGHF的面積為

（圖1）（圖2）

2.如圖1,矩形ABC。中，點E是CD邊上的動點(點E不與點C、。重合)，連接AE,過點A作

AE交C8延長線于點F,連接EF,點G為EF的中點，連接BG.

1r)F

(1)如圖2,若四邊形A8C￡＞為正方形，其面積為S,四邊形8CEG的面積為Si,當(dāng)Si=：S時，求一

4DC

的值.

FC

(2)如圖1,若48=20,AD=1Q,設(shè)DE=x，點G到直線2C的距離為y,求出y與尤的關(guān)系式；當(dāng)了二

BG

=可時，求x的值.

試卷第2頁，共43頁

3.在菱形ABC。中，CD=CA=6,對角線AC、3。交于點。，E為邊BC上一點,直線E。分別交邊A。、

射線于點G、F.

(1)求菱形A3CD的面積；

(2)請判斷上+二是否為定值？若是，請求出該定值；若不是，請說明理由；

BEBF

S4

(3)設(shè)的面積為Si,四邊形ABE。的面積為S2,試確定點E的位置，使得亍=三.

4.如圖，銳角△AOC,A0垂直平分5。交CO于。點，B是AO上一點，若記△AOC面積為Si,△30。

的面積Sz,△A。。的面積為S3;

(1)求證：SAABO=SAACO；

(2)右不二q.

①求證：BD^ACAD,

0P

②若。4=1,求W的值.

試卷第4頁，共43頁

5.把兩塊全等的直角三角形ABC和。所疊放在一起，使三角板廠的銳角頂點。與三角板ABC的斜邊

中點O重合，其中NABC=/。跖=90。，ZC=ZF=45°,AB=DE=4,把三角板ABC固定不動，讓三

角板。EE繞點。旋轉(zhuǎn)，設(shè)射線。E與射線AB相交于點尸，射線。尸與線段BC相交于點Q.

(1)如圖，當(dāng)射線。尸經(jīng)過點B,即點。與點8重合時，易證此時，APCQ=.

(2)將三角板DEF由圖所示的位置繞點O沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為a.其中0。＜口＜90。，問APCQ

的值是否改變？說明你的理由.

(3)在(2)的條件下，設(shè)2cx＜4,兩塊三角板重疊面積為?求y與x的函數(shù)關(guān)系式.

6.如圖，在矩形ABCD中，AD=4cm,AB=8cm,點P從點A出發(fā)在邊AB上向點8勻速運動，同時

點。從點A出發(fā)在邊上向點。勻速運動，速度都是lcm/s,運動時間是窗(0<f<4),PELAB,交

3。于點E,點。關(guān)于PE的對稱點是R射線尸尸分別與BZ),CD交于點M,N.

(1)求N8PN度數(shù)，并用含/的代數(shù)式表示PE的長;

(2)在點P,。運動過程中，過點M作M/_LA5于點H,

①求證：%

3

②t為何值時,以點尸，Q,E為頂點的三角形與△產(chǎn)誰相似？

試卷第6頁，共43頁

7.在菱形ABC。中，對線AC,BO交于點。，且AC=16CMI,8。=12°相；點尸從點3出發(fā)，沿2C方向勻

速運動，速度為2c7W/S;點。從點。出發(fā)，沿。。方向勻速運動，速度為15血；若尸，。兩點同時出發(fā),

當(dāng)一個點停止運動時，另一個點也停止運動.過點。作EFLBD,交于點E,交CD于點E設(shè)運動

時間為f(s).解答下列問題：

(1)求菱形的邊長，并用含/的代數(shù)式表示。E的長度；

(2)當(dāng)，為何值時，線段PE〃AB?

(3)設(shè)四邊形CPEP的面積為S(CM?),求S關(guān)于f的函數(shù)關(guān)系式；

(4)是否存在某一時刻f,使得以2,P,。為頂點的三角形是等腰三角形？若存在，請求出/的值；若不

存在，請說明理由.

(備用圖)(備用圖)

8.如圖(1),在四邊形ABCZ)中，AB//DC,CB±AB,AB=16cm,8C=6cm,CD=8cm,動點P從點。

開始沿D4邊勻速運動，動點。從點A開始沿AB邊勻速運動，它們的運動速度均為2cm/s.點P和點。

同時出發(fā)，設(shè)運動的時間為t(s),0</<5

(1)用含/的代數(shù)式表示AP;

(2)當(dāng)以點A、P、。為頂點的三角形與△A3。相似時，求r的值；

(3)如圖(2),延長。尸、BD,兩延長線相交于點當(dāng)△QMB為直角三角形時，求，的值.

試卷第8頁，共43頁

9.如圖，在△ABC中，ZACB=90°,CO是高，BE平分/ABC.BE分別與AC,CD相交于點E,F.

(1)求證：LAEBsACFB；

(2)若CE=5,EF=2不，BD=6.求A。的長.

10.如圖，在矩形ABC。中，AB=4,BC=3,點E是邊CO上任意一點(點E與點C、。不重合)，過點

A作交邊CB的延長線于點凡連接￡尸，交邊于點G.設(shè)。E=x,BF=y.

(1)求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出自變量x的取值范圍；

(2)如果尸，求證：AAEFSADEA；

(3)當(dāng)點E在邊。上移動時，AAEG能否成為等腰三角形？如果能，請求出線段。E的長；如果不能,

請說明理由.

試卷第10頁，共43頁

11.（問題）如圖①，在△ABC中，。是BC的中點，￡是AB上一點，延長DE,CA交于點R若DE=EF,

AB=4,求AE的長.（提示：如圖②，過點E作EH〃BC交AC于H,再通過相似三角形的性質(zhì)得到AE

和A8的比，從而得到AE的長.請你按照這個思路完成解答.）

（探究）在原問題的條件下，可以得到AF和AC的數(shù)量關(guān)系是.

（拓展）如圖③，在△ABC中，是中線，點E在線段上，且AE：4）=1：3,連結(jié)BE并延長，交

①②③

12.如圖，矩形ABCD中，AB=2,AD=4,動點E在邊BC上，與點3、C不重合，過點A作”;的垂

線，交直線CD于點設(shè)DF=x,EC=y.

(1)求》關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍.

(2)若點F在線段CD上，當(dāng)C/=1時，求EC的長.

(3)若直線A尸與線段BC延長線交于點G,當(dāng)ADBE與ADFG相似時，求的長.

試卷第12頁，共43頁

13.已知，如圖，在矩形ABC。中，AB=6cm,BC=8cm,對角線AC,BD交于點O.點尸從點A出發(fā)，

沿4。方向勻速運動，速度為lcm/s；同時，點。從點。出發(fā)，沿。C方向勻速運動，速度也為lcm/s：

當(dāng)一個點停止運動時，另一個點也停止運動：聯(lián)結(jié)尸。并延長，交BC于點E,過點。作。尸〃AC,交BD

與點尸,設(shè)運動時間為t⑸（0。＜6）.

（1）當(dāng)f為何值時，AAOP是等腰三角形；

（2）設(shè)五邊形。ECQE的面積為S（cm2）,求S關(guān)于/的函數(shù)關(guān)系式；

（3）在運動過程中，是否存在某一時刻f,使。。平分/COP?若存在求出f的值；若不存在，請說明理由.

14.(探究)如圖①，在AABC中，點、D、E、尸分別在邊AB、AC,BC上，DE//BC,EF//AB.

(1)求證：AADEsAEFC.

An

(2)若△￡人?的面積分別為1和3,則F的值為

(拓展)如圖②，在AABC中，點。、E分別在邊A3、AC上，點、F、G在邊8C上，豆DEHBC,DFHEG.若

AADE、ADBF、VEGC的面積分別為3,7,5,則AAHC的面積為

試卷第14頁，共43頁

15.如圖，MAABC中，ZACB=90°,AC=6cm,BC=8cm.動點M從點5出發(fā)，在54邊上以3cm/s的

速度向定點A運動，同時動點N從點C出發(fā)，在CB邊上以2cm/s的速度向點8運動，運動時間為f

5（0<r<y）,連接MN.

（1）當(dāng)t為何值時，與AABC相似？

（2）連接AN,CM,如圖1所示，若AN_LCM,求f的值.

（3）當(dāng)t為何值時，是等腰三角形？

（圖1）（備用圖1）（備用圖2）

16.如圖1,在正方形ABC。中，點￡是C。上一點(不與C,。兩點重合)，連接BE,過點C作CH,

BE于點F,交對角線8D于點G,交AD邊于點“，連接GE.

(1)求證：DH—CE；

(2)如圖2,若點E是C。的中點，當(dāng)8E=8時，求線段G”的長；

(3)設(shè)正方形A8CD的面積為Si,四邊形。EG8的面積為S2,當(dāng)g時，今值為.(直

接寫答案)

試卷第16頁，共43頁

17.如圖，在直角AABC中，ZC=90°,AB=5,AC=3,點。是BC的中點，點E是AB邊上的動點,

DF±DE交射線AC于點尸.

（備用因）（備用圖）

（1）求BC的長；

（2）連接所，當(dāng)防〃3c時，求8E的長；

（3）連接所，當(dāng)和AABC■相似時，請直接寫出8E的長.

18.已知：如圖，在放△ABC中，ZC=90°,AC=4cm,BC=3cm,點P由8點出發(fā)沿A4方向向點A

勻速運動，速度為Icm/s,點。由A點出發(fā)沿AC方向向點C勻速運動，速度為2cm/s；若設(shè)運動的時間

為f(s)(0<r<2),解答下列問題：

(1)如圖①，連接PQ,直接寫出仁時，以A、尸、。為頂點的三角形與△ACB相似.

(2)如圖②，當(dāng)點P,。運動時，是否存在某一時刻3使得PQ=PC,若存在，求出t的值，若不存在，

請說明理由；

(3)如圖③，當(dāng)點尸，。運動時，線段上是否存在一點G,使得四邊形PQGB為菱形？若存在，試求

出BG長；若不存在，請說明理由.

試卷第18頁，共43頁

19.如圖，已知：在矩形A3C。中，AB^6cm,BC=8c根，點尸從點B出發(fā)，沿2C方向勻速運動，速度

為2cmis；與點尸同時，點。從。點出發(fā)，沿方向勻速運動，速度為ltv"/s；過點。作QE〃AC,交

。。于點E.設(shè)運動時間為f(s),(0</<4),解答下列問題：

Q

(1)當(dāng)時，BP長為cm,A。長為cm；

(2)在運動過程中，是否存在某一時刻。使尸。平分/APC?若存在，求出f的值；若不存在，請說明

理由；

Q

(3)當(dāng)0</<§時，是否存在某一時刻f,使△尸QE是直角三角形？若存在，直接寫出f的值；若不存在，

請說明理由.

備用圖備用圖

20.如圖，已知矩形ABC。中，AB=6cm,BC=8cm.

備用圖

(1)如圖①，若動點0從點C出發(fā)，在CA邊上以每秒5cm的速度向點A勻速運動，同時動點尸從點2

出發(fā)，在邊上以每秒4cm的速度向點C勻速運動,運動時間為f秒(0V/<2),連接BQ、AP,若PQHAB,

求f的值；

(2)若點。在對角線AC上，CQ=4cm,動點P從3點出發(fā)，以每秒1cm的速度沿BC運動至點C止.設(shè)

點P運動了/秒，請你探索：從運動開始，經(jīng)過多少時間，以點Q、尸、C為頂點的三角形是等腰三角形？

請求出所有可能的，的值.

試卷第20頁，共43頁

21.如圖，在△ABC中，BA=BC,A8=fc4C.點/在AC上，點E在8/上，2￡=2￡足點。在2C延長線

上，連接A。、AE,ZACD+ZDAE=ISQ°.

(1)證明：NCAD=NEAB；

（2）求合的值（用含左的式子表示）；

AE

AR

（3）如圖2,若DH、3AH,求急的值（用含左的式子表示）.

2c/7

22.如圖，在矩形A2CD中，AB^6cm,BC=8cm,如果點E由點8出發(fā)沿BC方向向點C勻速運動，同

時點F由點D出發(fā)沿DA方向向點A勻速運動，它們的速度分別為每秒2cm和lcm,FQ±BC,分別交AC、

BC于點尸和。，設(shè)運動時間為f秒(0</<4).

2

(1)連接EF若運動時間r=］秒時，求證：AEQF是等腰直角三角形.

(2)連接“，當(dāng)AEPC的面積為3°源，求"直.

(3)當(dāng)EFLAC時，求運動時間

試卷第22頁，共43頁

23.如圖，在平行四邊形中，ZADB=90°,AB=10cm,AD=8cm，點尸從點。出發(fā)，沿DA方向

勻速運動，速度為2cm/s；同時，點。從點8出發(fā)，沿BC方向勻速運動，速度為lcm/s.當(dāng)一個點停止運動，

另一個點也停止運動.過點P作PE//BD交AB于點、E,連接PQ,交BD于點、F.設(shè)運動時間為f(s)(0<t<4).

解答下列問題：

備用圖

(1)當(dāng)f為時，PQHAB1

(2)連接EQ,設(shè)四邊形APQE的面積為Men?),求>與f的函數(shù)關(guān)系式?

(3)當(dāng)f為何值時，點E在線段尸。的垂直平分線上？

(4)若點尸關(guān)于A3的對稱點為F,是否存在某一時刻心使得點尸，E,尸三點共線？若存在，求出?的

值；若不存在，請說明理由.

24.如圖，平面直角坐標(biāo)系中有一個邊長為2的正方形AOBC,M為08的中點,沿直線40對

折，使。點落在。'處，連接過。'點作于N.

(1)寫出點A、B、C的坐標(biāo)；

(2)判斷AAOM與△ONO是否相似，若是，請給出證明;

(3)求O1點的坐標(biāo).

試卷第24頁，共43頁

25.如圖(1),在四邊形ABCD中，AB//CD,CBLAB,AB=16cm,BC=6cm,CD=8cm,動點P從

點。開始沿ZM邊勻速運動，動點。從點A開始沿48邊勻速運動，它們的運動速度均為2cm/s.點P和點

。同時出發(fā)，設(shè)運動的時間為f(s),0<?<5.

(2)當(dāng)以點A,P,。為頂點的三角形與△ABD相似時，求，的值；

(3)如圖(2),延長QP,BD,兩延長線相交于點當(dāng)AQMB為直角三角形時，求f的值.

26.如圖，在AABC中，AB^AC,P,。分別是8C,AC邊上的點，S.ZAPD=ZB.若AB=10,BC=16,

當(dāng)△APD為直角三角形時，求BP的長.

試卷第26頁，共43頁

27.已知：如圖，在AABC中，ABAC^90°,AB=3cm,BC=5cm,點尸從A點出發(fā)，沿CB方向勻速

運動速度為lcm/s；同時，點。從點C出發(fā)，沿CB方向勻速運動速度為lcm/s.設(shè)運動時間為“s)(0</<4).解

答下列問題：

(1)當(dāng)f為何值時，PQHAB2

(2)是否存在某一時刻f,使％2?c：S四邊/陽？=1：4?若存在，求出r的值；若不存在，請說明理由.

(3)是否存在某一時刻r,使△PQC為等腰三角形？若存在，求出r的值；若不存在，請說明理由.

28.在AABC中，NACB=90。，E為AC上一點，連接BE.

(1)如圖1,當(dāng)AC=3C時，將OCE繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)90。得到AAC尸，點E的對應(yīng)點p落在BC延長

線上，求證：BE±AF；

(2)過點C作CP,鹿，垂足為P,連接AP并延長交BC于點Q.

APCE

①如圖2,若AC=5。，求證：—=—；

②如圖3,若AC=3a,AE=2EC,BC=kAC,求AP的長(用含〃、％的式子表示).

試卷第28頁，共43頁

29.如圖1,已知在Rt^ABC中，AB=5cm,8c=12cm,以8C為邊作正方形8CDE,點尸從點A出發(fā),

沿ABE方向勻速運動，速度為lcm/s；同時，點。從點C出發(fā)，沿CA方向勻速運動，速度為2cm/s,連

接P。.設(shè)運動時間為f(s)(0</<6.5),解答下列問題：

(1)當(dāng)，為何值時，PQ//BC2

(2)如圖2,連接尸。，交3C于點孔是否存在某一時刻3使48尸尸與△QEC相似？

(3)用含/的代數(shù)式表示出五邊形PEDC。的面積.

備用圖

30.矩形ABC。中，A8=CO=3cm,AO=8C=4cm,AC是對角線，動點尸從點A出發(fā)沿AC方向向點C

勻速運動，速度為lcm/s；動點。從點C出發(fā)沿。方向向點。勻速運動，速度為2cm/s.過點P作BC

的垂線段PH,運動過程中始終保持PH與BC互相垂直,連接HQ交AC于點O.若點P和點。同時出發(fā)，

設(shè)運動的時間為，(s)(0</<1.5),解答下列問題：

(1)求當(dāng)/為何值時，四邊形P8CQ為矩形;

(2)是否存在一個時刻，使與AC互相垂直？如果存在請求出f值；如果不存在請說明理由；

75

(3)是否存在一個時刻，使矩形ABC。的面積是四邊形PHC。面積的五，如果存在請求出"直；如果不

存在請說明理由.

試卷第30頁，共43頁

31.如圖1,點E,尸在正方形ABC。的對角線AC上，/EBF=45°.

圖1圖2

(1)當(dāng)BE=8P時，求證：AE=CF；

(2)求證：AABF^ACEB-,

(3)如圖2延長BP交C。于點G,連接EG.判斷線段BE與EG的關(guān)系，并說明理由.

32.(感知)小明同學(xué)復(fù)習(xí)“相似三角形”的時候遇到了這樣的一道題目:

如圖，在“ABC中，AB=AC,。為上一點，

過點。作=交AC于點E.

求證：ZxABDs.DCE.

小明同學(xué)分析后發(fā)現(xiàn)，2ADC是△"￡＞的外角，可得ZADE+NEDC=ZBAD+ZB,再結(jié)合已知條件可以

得到△ABDSADCE.請根據(jù)小明的分析，結(jié)合圖①，寫出完整的證明過程.

(探究)在AABC中，AB=AC=10,BC=16,。為8c上一點.

圖①圖②圖③

(1)如圖②，過點。作=交AC于點E.當(dāng)DE7A4B時，的長為.

(2)如圖③,過點D作NFDE=NB,分別交AB.AC于點F、E.當(dāng)CD=4時，班'的長的取值范圍為

試卷第32頁，共43頁

33.已知，在△ABC中，。是BC上一點，AB=AD.

(1)如圖1,當(dāng)BD=CD,F是中點時，連8尸并延長交AC于E.

①判斷△ABC與△BED是否相似，并說明理由.

②連接DE,求證：DELBC.

(2)在(1)的條件下，當(dāng)尸SAEDF時，求/8AC的度數(shù).

(3)如圖2,當(dāng)2c。時，作DELLBC交AC于E,連2E交AD于F求AF：尸￡＞的值.

圖1圖2

34.△ABC中，點D是BC邊上的一點，點廠在4。上，連接并延長交AC于點E；

AF1

(1)如圖1,若。為BC的中點，—求證：AF=FD；

七C2

(2)尺規(guī)作圖：在圖2中，請利用圓規(guī)和無刻度的直尺在AC上找一點E,使得A等p=：1;

七C2

(3)若尸為4。的中點，設(shè)絲=〃?,莫=〃，請求出機(jī)、w之間的等量關(guān)系.

圖1圖2圖3

試卷第34頁，共43頁

35.（1）（問題背景）

如圖1,在等邊△ABC中，點M是邊上一點，連接以AM為邊作等邊△AMN（A,M,N按逆時

針方向排列），連接CN,求證：AC=CM+CN

（2）（變式探究）

如圖2,已知△ABCs請指出圖中的另外一對相似三角形并進(jìn)行證明；

（3）（拓展應(yīng)用）如圖3,在△ABC和△ADE中，ZBAC=ZDAE=90°,ZABC=ZADE=3Q°,點。在BC

邊上，求空的值和的度數(shù).

CB

36.在平行四邊形ABCD中，AD=8,DC=6,/FED的頂點在BC上，EF交直線AB于/點.

(1)如圖1,若NFED=NB=90°,BE=5,則BF=.

圖1

ppBE

(2)如圖2,在AB上取點G,使BG=BE,連接EG,若NB=/FED=60°,求證：-.

圖2

(3)如圖3,若/ABC=90。，點C關(guān)于3。的對稱點為點C',CC'交BD于點、M,對角線AC、BD交于

點。，連接OC'交AD于點G,求AG的長.

圖3

試卷第36頁，共43頁

37.已知：如圖①，在平行四邊形A8C。中，AB=3cm,2C=5cm,ACLAB.△ACD沿AC方向以速度

為lcm/s勻速平移得到同時，點。從點C出發(fā)，沿CB方向勻速運動，速度為lcm/s.當(dāng)APMN

停止平移時，點Q也停止運動，如圖②設(shè)運動時間為f(s)(0<Z<4).解答下列問題：

(1)當(dāng)f為何值時△ABC與APQC相似？

(2)當(dāng)f為何值時NQPC=45。？

(3)是否存在某一時刻f,SAQMC：S四邊形AB°P=1：35.若存在，求出/的值；若不存在，請說明理由.

38.(1)如圖1,正方形ABC。和正方形。EFG(其中yW>/)E),連接CE,AG交于點H,請直接寫出

線段AG與CE的數(shù)量關(guān)系，位置關(guān)系

(2)如圖2,矩形和矩形。跖G,AD=2DG,AB=2DE,AD=DE,連接AG,CE交于點”，(1)

中線段關(guān)系還成立嗎？若成立，請寫出理由；若不成立，請寫出線段AG,CE的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并

說明理由;

(3)矩形ABCO和矩形。EEC,AD=2DG=6,AB=2DE=8,直線AG,CE交于點X,當(dāng)點E與點H重

合時，請直接寫出線段AE的長.

圖1圖2

試卷第38頁，共43頁

39.（模型呈現(xiàn)：材料閱讀）

如圖，點8,C,E在同一直線上，點A,。在直線CE的同側(cè)，ZVIBC和△COE均為等邊三角形，AE,

BD交于點F.

對于上述問題，存在結(jié)論（不用證明）：

（1）ABCD^AACE.

（2）可以看作是由繞點C旋轉(zhuǎn)而成；

（模型改編：問題解決）

點A,。在直線CE的同側(cè)，AB^AC,ED=EC,ZBAC^ZDEC^50°,直線AE,BD交于F.

如圖1：點8在直線CE上.

①求證：ABCDsAACE；

②求/AFB的度數(shù).

如圖2：將△ABC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)一定角度.

③補(bǔ)全圖形，則/AEB的度數(shù)為；

④若將“NBAC=N。EC=50?！备臑椤癗8AC=Nr>EC=根。"，則的度數(shù)為.（直接寫結(jié)論）

（模型拓廣：問題延伸）

如圖3：在矩形A8CD和矩形。EFG中，AB=1,AD=ED=6,DG=3,連接AG,BF,求變的值.

40.問題背景：如圖1,點石在上，AB±BCAELED,DCLBC,求證：籌=蕓.