吉林省白山市第七中學(xué)2018-2019學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試題理

白山七中2018—2019學(xué)年度下學(xué)期高二數(shù)學(xué)試卷（理科）第Ⅰ卷（選擇題共60分）一選擇題：(本大題共12小題,每小題5分，共60分,在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要求的)1．已知曲線y＝2x2上一點(diǎn)A(2,8)，則曲線在點(diǎn)A處的切線斜率為()A．4B．16C．8D．22如圖是函數(shù)y＝f(x)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)的圖象，則下面判斷正確的是()A．在區(qū)間(－2,1)上f(x)是增函數(shù)B．在(1,3)上f(x)是減函數(shù)C．在(4,5)上f(x)是增函數(shù)D．當(dāng)x＝4時(shí)，f(x)取極大值3．有甲、乙、丙、丁四位歌手參加比賽，其中只有一位獲獎(jiǎng)，有人走訪了四位歌手，甲說：“是乙或丙獲獎(jiǎng)．”乙說：“甲、丙都未獲獎(jiǎng)．”丙說：“我獲獎(jiǎng)了．”丁說：“是乙獲獎(jiǎng)．”四位歌手的話只有兩名是對的，則獲獎(jiǎng)的歌手是()A．甲B．乙C．丙 D．丁4．曲線y＝eq\f(1,3)x3－2在點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－\f(5,3)))處切線的傾斜角為()A．1B．eq\f(π,4)C.eq\f(5,4)π D．－eq\f(π,4)5用反證法證明命題：“若整系數(shù)一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有有理根，那么a、b、c中至少有一個(gè)是偶數(shù)”時(shí)，下列假設(shè)中正確的是()A．假設(shè)a、b、c都是偶數(shù)B．假設(shè)a、b、c都不是偶數(shù)C．假設(shè)a、b、c至多有一個(gè)偶數(shù)D．假設(shè)a、b、c至多有兩個(gè)是偶數(shù)6．用1，2，3，4，5這五個(gè)數(shù)字組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中偶數(shù)共有（）（A）24個(gè)（B）30個(gè)（C）40個(gè)（D）60個(gè)7．若n∈N且n<20，則(27－n)(28－n)……(34－n)等于（）（A）（B）（C）（D）8《論語·學(xué)路》篇中說：“名不正，則言不順；言不順，則事不成；事不成，則禮樂不興；禮樂不興，則刑罰不中；刑罰不中，則民無所措手足；所以，名不正，則民無所措手足．”上述推理用的是()A．類比推理B．歸納推理C．演繹推理 D．一次三段論9若點(diǎn)P是曲線y＝x2－lnx上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線y＝x－2的最小距離為()A．1B．eq\r(2)C.eq\f(\r(2),2) D．eq\r(3)10設(shè)△ABC的三邊長分別為a、b、c，△ABC的面積為S，內(nèi)切圓半徑為r，則r＝eq\f(2S,a＋b＋c)；類比這個(gè)結(jié)論可知：四面體P－ABC的四個(gè)面的面積分別為S1、S2、S3、S4，內(nèi)切球的半徑為r，四面體P－ABC的體積為V，則r＝()A.eq\f(V,S1＋S2＋S3＋S4) B．eq\f(2V,S1＋S2＋S3＋S4)C.eq\f(3V,S1＋S2＋S3＋S4) D．eq\f(4V,S1＋S2＋S3＋S4)11．已知函數(shù)f(x)＝x3－px2－qx的圖象與x軸切于(1,0)點(diǎn)，則f(x)的極大值、極小值分別為()A.eq\f(4,27)，0B．0，eq\f(4,27)C．－eq\f(4,27)，0 D．0，－eq\f(4,27)12設(shè)f(x)、g(x)分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，當(dāng)x<0時(shí)，f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0，且g(－3)＝0，則不等式f(x)g(x)<0的解集是()A．(－3,0)∪(3，＋∞)B．(－3,0)∪(0,3)C．(－∞，－3)∪(3，＋∞)D．(－∞，－3)∪(0,3)第Ⅱ卷（非選擇題共90分）二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13．復(fù)數(shù)eq\f(2＋i,1＋i)的共軛復(fù)數(shù)是________．14有6名男醫(yī)生、5名女醫(yī)生,從中選出2名男醫(yī)生、1名女醫(yī)生組成一個(gè)醫(yī)療小組,則不同的選法共有種15若，則的展開式中常數(shù)項(xiàng)為16已知f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)為4，則lieq\o(m,\s\do14(Δx→0))eq\f(fx0＋2Δx－fx0,Δx)＝三解答題17(10分)已知復(fù)數(shù)z＝(3＋bi)(1＋3i)(b∈R)是純虛數(shù)．求b的值；(2)若ω＝eq\f(3＋bi,2＋i)，求復(fù)數(shù)ω的模|ω|.18(12分)已知函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋bx(a、b∈R)的圖象過點(diǎn)P(1,2)，且在點(diǎn)P處的切線斜率為8.求a、b的值；(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間．19用數(shù)學(xué)歸納法12＋32＋52＋…＋(2n－1)2＝eq\f(1,3)n(4n2－1)(n∈N*)．20(12分)如圖，在直角坐標(biāo)系QUOTE中，過坐標(biāo)原點(diǎn)QUOTE作曲線QUOTE的切線，切點(diǎn)為QUOTE分別作QUOTE軸的垂線，垂足分別為A,B，求陰影部分的面積21(12分)用長為32cm，寬為20cm的長方形鐵皮做一個(gè)無蓋的容器，先在四個(gè)角分別截去一個(gè)小正方形，然后把四邊翻轉(zhuǎn)90°角，再焊接而成(如圖所示)，問該容器的高為多少時(shí)，容器的容積最大？最大容積是多少？22．(12分)已知函數(shù)f(x)＝x2－mlnx，h(x)＝x2－x＋a.(1)當(dāng)a＝0時(shí)，f(x)≥h(x)在(1，＋∞)上恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；圍．

高二期中參考答案1．已知曲線y＝2x2上一點(diǎn)A(2,8)，則曲線在點(diǎn)A處的切線斜率為()A．4B．16C．8D．2解析：因?yàn)閑q\f(Δy,Δx)＝eq\f(2x＋Δx2－2x2,Δx)＝4x＋2Δx，所以f′(x)＝lieq\o(m,\s\do14(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝lieq\o(m,\s\do14(Δx→0))(4x＋2Δx)＝4x.則點(diǎn)A處的切線斜率k＝f′(2)＝8.答案：C)如圖是函數(shù)y＝f(x)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)的圖象，則下面判斷正確的是()A．在區(qū)間(－2,1)上f(x)是增函數(shù)B．在(1,3)上f(x)是減函數(shù)C．在(4,5)上f(x)是增函數(shù)D．當(dāng)x＝4時(shí)，f(x)取極大值[答案]C3．有甲、乙、丙、丁四位歌手參加比賽，其中只有一位獲獎(jiǎng)，有人走訪了四位歌手，甲說：“是乙或丙獲獎(jiǎng)．”乙說：“甲、丙都未獲獎(jiǎng)．”丙說：“我獲獎(jiǎng)了．”丁說：“是乙獲獎(jiǎng)．”四位歌手的話只有兩名是對的，則獲獎(jiǎng)的歌手是()A．甲 B．乙C．丙 D．丁[答案]C[解析]若甲獲獎(jiǎng)，則甲、乙、丙、丁說的都是錯(cuò)的，同理可推知乙、丙、丁獲獎(jiǎng)的情況，最后可知獲獎(jiǎng)的歌手是丙．4．(2015·漳州模擬)曲線y＝x2在點(diǎn)M(eq\f(1,2)，eq\f(1,4))的切線的傾斜角的大小是()A．30° B．45°C．60° D．90°[答案]B[解析]y′＝2x，∴當(dāng)x＝eq\f(1,2)時(shí)，y′＝1，得切線的斜率為1，所以k＝1；∴1＝tanα，∵0°≤α<180°，∴α＝45°，故選B.5．用反證法證明命題：“若整系數(shù)一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有有理根，那么a、b、c中至少有一個(gè)是偶數(shù)”時(shí)，下列假設(shè)中正確的是()A．假設(shè)a、b、c都是偶數(shù)B．假設(shè)a、b、c都不是偶數(shù)C．假設(shè)a、b、c至多有一個(gè)偶數(shù)D．假設(shè)a、b、c至多有兩個(gè)是偶數(shù)[答案]B[解析]“至少有一個(gè)”的對立面是“一個(gè)都沒有”．6．用1，2，3，4，5這五個(gè)數(shù)字組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中偶數(shù)共有（A）（A）24個(gè)（B）30個(gè)（C）40個(gè)（D）60個(gè)7．若n∈N且n<20，則(27－n)(28－n)……(34－n)等于（D）（A）（B）（C）（D）8《論語·學(xué)路》篇中說：“名不正，則言不順；言不順，則事不成；事不成，則禮樂不興；禮樂不興，則刑罰不中；刑罰不中，則民無所措手足；所以，名不正，則民無所措手足．”上述推理用的是()A．類比推理 B．歸納推理C．演繹推理 D．一次三段論[答案]C[解析]這是一個(gè)復(fù)合三段論，從“名不正”推出“民無所措手足”，連續(xù)運(yùn)用五次三段論，屬演繹推理形式．9．(2015·吉林實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二期中)若點(diǎn)P是曲線y＝x2－lnx上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線y＝x－2的最小距離為()A．1 B．eq\r(2)C.eq\f(\r(2),2) D．eq\r(3)[答案]B[解析]過點(diǎn)P作y＝x－2的平行直線，當(dāng)與曲線y＝x2－lnx相切時(shí)，P到直線y＝x－2的距離最小，設(shè)P(x0，xeq\o\al(2,0)－lnx0)，則有k＝y(tǒng)′|x＝x0＝2x0－eq\f(1,x0).∴2x0－eq\f(1,x0)＝1，∴x0＝1或x0＝－eq\f(1,2)(舍去)，∴y0＝1，∴P(1,1)，∴d＝eq\f(|1－1－2|,\r(1＋1))＝eq\r(2).故選B.10．(2015·海南文昌中學(xué)高二期中)設(shè)△ABC的三邊長分別為a、b、c，△ABC的面積為S，內(nèi)切圓半徑為r，則r＝eq\f(2S,a＋b＋c)；類比這個(gè)結(jié)論可知：四面體P－ABC的四個(gè)面的面積分別為S1、S2、S3、S4，內(nèi)切球的半徑為r，四面體P－ABC的體積為V，則r＝()A.eq\f(V,S1＋S2＋S3＋S4) B．eq\f(2V,S1＋S2＋S3＋S4)C.eq\f(3V,S1＋S2＋S3＋S4) D．eq\f(4V,S1＋S2＋S3＋S4)[答案]C[解析]將△ABC的三條邊長a、b、c類比到四面體P－ABC的四個(gè)面面積S1、S2、S3、S4，將三角形面積公式中系數(shù)eq\f(1,2)，類比到三棱錐體積公式中系數(shù)eq\f(1,3)，從而可知選C.證明如下：以四面體各面為底，內(nèi)切球心O為頂點(diǎn)的各三棱錐體積的和為V，∴V＝eq\f(1,3)S1r＋eq\f(1,3)S2r＋eq\f(1,3)S3r＋eq\f(1,3)S4r，∴r＝eq\f(3V,S1＋S2＋S3＋S4).11．已知函數(shù)f(x)＝x3－px2－qx的圖象與x軸切于(1,0)點(diǎn)，則f(x)的極大值、極小值分別為()A.eq\f(4,27)，0 B．0，eq\f(4,27)C．－eq\f(4,27)，0 D．0，－eq\f(4,27)[答案]A[解析]f′(x)＝3x2－2px－q，由f′(1)＝0，f(1)＝0得，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3－2p－q＝0，,1－p－q＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(p＝2，,q＝－1，))∴f(x)＝x3－2x2＋x.由f′(x)＝3x2－4x＋1＝0得x＝eq\f(1,3)或x＝1，易得當(dāng)x＝eq\f(1,3)時(shí)f(x)取極大值eq\f(4,27).當(dāng)x＝1時(shí)f(x)取極小值0.12．(2015·吉林市實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二期中)設(shè)f(x)、g(x)分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，當(dāng)x<0時(shí)，f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0，且g(－3)＝0，則不等式f(x)g(x)<0的解集是()A．(－3,0)∪(3，＋∞)B．(－3,0)∪(0,3)C．(－∞，－3)∪(3，＋∞)D．(－∞，－3)∪(0,3)D．(－∞，－3)∪(0,3)[答案]D[分析]由x<0時(shí)，f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0可確定F(x)＝f(x)g(x)在x<0時(shí)的單調(diào)性，再由f(x)與g(x)的奇偶性可得出x>0時(shí)F(x)的單調(diào)性．再結(jié)合g(－3)＝0，可得結(jié)論．[解析]設(shè)F(x)＝f(x)g(x)，當(dāng)x<0時(shí)，∵F′(x)＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0.∴F(x)當(dāng)x<0時(shí)為增函數(shù)．∵F(－x)＝f(－x)g(－x)＝－f(x)·g(x)＝－F(x)．故F(x)為奇函數(shù)，∴F(x)在(0，＋∞)上亦為增函數(shù)．已知g(－3)＝0，必有F(－3)＝F(3)＝0.構(gòu)造如圖的F(x)的圖象，可知F(x)<0的解集為x∈(－∞，－3)∪(0,3)．故選D.填空題13．復(fù)數(shù)eq\f(2＋i,1＋i)的共軛復(fù)數(shù)是eq\f(3,2)＋eq\f(1,2)i14有6名男醫(yī)生、5名女醫(yī)生,從中選出2名男醫(yī)生、1名女醫(yī)生組成一個(gè)醫(yī)療小組,則不同的選法共有75種15若，則的展開式中常數(shù)項(xiàng)為672．16已知f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)為4，則lieq\o(m,\s\do14(Δx→0))eq\f(fx0＋2Δx－fx0,Δx)＝_____8___解答題17(10分)已知復(fù)數(shù)z＝(3＋bi)(1＋3i)(b∈R)是純虛數(shù)．(1)求b的值；(2)若ω＝eq\f(3＋bi,2＋i)，求復(fù)數(shù)ω的模|ω|.解析：(1)z＝(3＋bi)(1＋3i)＝(3－3b)＋(9＋b)i.∵z是純虛數(shù)，∴3－3b＝0，且9＋b≠0，∴b＝1.5分(2)ω＝eq\f(3＋i,2＋i)＝eq\f(3＋i2－i,2＋i2－i)＝eq\f(7－i,5)＝eq\f(7,5)－eq\f(1,5)i，8分∴|ω|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,5)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,5)))2)＝eq\r(2).10分18(12分)已知函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋bx(a、b∈R)的圖象過點(diǎn)P(1,2)，且在點(diǎn)P處的切線斜率為8.(1)求a、b的值；(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間．[解析](1)∵函數(shù)f(x)的圖象過點(diǎn)P(1,2)，∴f(1)＝2.∴a＋b＝1.①2分又函數(shù)圖象在點(diǎn)P處的切線斜率為8，∴f′(1)＝8，又f′(x)＝3x2＋2ax＋b，∴2a＋b＝5.②4分解由①②組成的方程組，可得a＝4，b＝－3.6分(2)由(1)得f′(x)＝3x2＋8x－3，令f′(x)>0，可得x<－3或x>eq\f(1,3)；8分令f′(x)<0，可得－3<x<eq\f(1,3).10分∴函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(－∞，－3)，(eq\f(1,3)，＋∞)，單調(diào)減區(qū)間為(－3，eq\f(1,3))．1219(12分)用數(shù)學(xué)歸納法證明12＋32＋52＋…＋(2n－1)2＝eq\f(1,3)n(4n2－1)(n∈N*)．19．證明：(1)當(dāng)n＝1時(shí)，左邊＝12，右邊＝eq\f(1,3)×1×(4×1－1)＝1，左邊＝右邊，等式成立．3分(2)假設(shè)當(dāng)n＝k時(shí)，等式成立，即12＋32＋52＋…＋(2k－1)2＝eq\f(1,3)k(4k2－1)，5分則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，12＋32＋52＋…＋(2k－1)2＋(2k＋1)2＝eq\f(1,3)k(4k2－1)＋(2k＋1)2＝eq\f(1,3)k(2k＋1)(2k－1)＋(2k＋1)2＝eq\f(1,3)(2k＋1)[k(2k－1)＋3(2k＋1)]8分＝eq\f(1,3)(2k＋1)(2k2＋5k＋3)＝eq\f(1,3)(2k＋1)(k＋1)(2k＋3)10分＝eq\f(1,3)(k＋1)(4k2＋8k＋3)＝eq\f(1,3)(k＋1)[4(k＋1)2－1]，即當(dāng)n＝k＋1時(shí)，等式成立．由(1)(2)可知，對一切n∈N*等式成立．12分20(12分)如圖，在直角坐標(biāo)系QUOTE中，過坐標(biāo)原點(diǎn)QUOTE作曲線QUOTE的切線，切點(diǎn)為QUOTE分別作QUOTE軸的垂線，垂足分別為A,B，求陰影部分的面積設(shè)，則4分解得，故點(diǎn)的坐標(biāo)為，6分，12分21．從長為32cm，寬為20cm的矩形薄鐵皮的四角剪去四個(gè)相等的正方形，做一個(gè)無蓋的箱子，問剪去的正方形邊長為多少時(shí)，箱子的容積最大？最大容積是多少？解析：設(shè)剪去的正方形的邊長為xcm，則箱子的容積V(x)＝x(32－2x)(20－2x)(0<x<10)＝4x3－104x2＋640x，3分V′(x)＝12x2－208x＋6406分＝4(3x2－52x＋160)＝4(3x－40)(x－4)．9分令V′(x)＝0，得x1＝eq\f(40,3)(舍去)，x2＝4.10分當(dāng)0<x<4時(shí)，V′(x)>0，當(dāng)4<x<10時(shí)，V′(x)<0，所以V(x)在(0