新高考數(shù)學二輪復習講義專題16 一元二次不等式和基本不等式問題（原卷版）

專題16一元二次不等式和基本不等式問題【考點專題】一元二次不等式的解集判別式Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a>0)的圖象方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根有兩相異實根x1，x2(x1<x2)有兩相等實根x1＝x2＝－eq\f(b,2a)沒有實數(shù)根ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集{x|x<x1或x>x2}eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠－\f(b,2a))))){x|x∈R}ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集{x|x1<x<x2}??1．基本不等式：eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)(1)基本不等式成立的條件：a>0，b>0.(2)等號成立的條件：當且僅當a＝b時取等號．2．幾個重要的不等式(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．(2)eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2(a，b同號)．(3)ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2(a，b∈R)．(4)eq\f(a2＋b2,2)≥eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2(a，b∈R)．以上不等式等號成立的條件均為a＝b.【方法技巧】1．利用基本不等式求最值問題已知a>0，b>0，則(1)如果積ab是定值p，那么當且僅當a＝b時，a＋b有最小值2eq\r(p).(簡記：積定和最小)(2)如果和a＋b是定值p，那么當且僅當a＝b時，ab有最大值eq\f(p2,4).(簡記：和定積最大)2.利用基本不等式求最值時，要注意其必須滿足的三個條件：（1）“一正二定三相等”中的“一正”就是各項必須為正數(shù)；（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時，必須驗證等號成立的條件，若不能取等號則這個定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯誤的地方，注意多次運用不等式，等號成立條件是否一致.【核心題型】題型一：含參數(shù)的一元二次不等式問題1．（2022·全國·高三專題練習）已知集合SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則實數(shù)a的取值范圍是A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．（2023·全國·高三專題練習）若關于x的不等式SKIPIF1<0的解集中恰有4個整數(shù)，則實數(shù)m的取值范圍為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．（2021·全國·高三專題練習）已知定義在SKIPIF1<0上的函數(shù)SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，且當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，則關于SKIPIF1<0的不等式SKIPIF1<0（其中SKIPIF1<0）的解集為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0題型二：一元二次不等式根分布問題4．（2021·全國·高三專題練習）已知SKIPIF1<0若函數(shù)SKIPIF1<0恰有5個零點，則實數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<05．（2022·安徽·南陵中學校聯(lián)考模擬預測）在區(qū)間SKIPIF1<0上任取兩個實數(shù)a，b，則方程SKIPIF1<0有兩個不同的非負根的概率為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<06．（2023·四川綿陽·四川省綿陽南山中學?？家荒＃┮阎瘮?shù)SKIPIF1<0有兩個不同的極值點SKIPIF1<0，且不等式SKIPIF1<0恒成立，則實數(shù)t的取值范圍是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0題型三：一元二次不等式恒成立問題、7．（2023·全國·高三專題練習）已知實數(shù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0滿足如下兩個條件：（1）關于SKIPIF1<0的方程SKIPIF1<0有兩個異號的實根；（2）SKIPIF1<0，若對于上述的一切實數(shù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，不等式SKIPIF1<0恒成立，則實數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<08．（2022·浙江·模擬預測）已知函數(shù)SKIPIF1<0，若對任意的實數(shù)x，恒有SKIPIF1<0成立，則實數(shù)a的取值范圍為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<09．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0恒成立，則實數(shù)m的取值范圍為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0題型四：一元二次不等式在某區(qū)間成立問題10．（2017·天津·高考真題）已知函數(shù)SKIPIF1<0設SKIPIF1<0，若關于x的不等式SKIPIF1<0在R上恒成立，則a的取值范圍是A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<011．（2022秋·湖北襄陽·高三）若命題“SKIPIF1<0”為假命題，則實數(shù)x的取值范圍為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<012．（2022·四川攀枝花·統(tǒng)考二模）已知函數(shù)SKIPIF1<0，若關于SKIPIF1<0的不等式SKIPIF1<0恒成立，則實數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0題型五：基本不等式求積最大值問題13．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是橢圓SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的兩個焦點，點SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，則SKIPIF1<0的最大值為（

）A．13 B．12 C．9 D．614．（2022·全國·高三專題練習）已知SKIPIF1<0的外心為點O，M為邊SKIPIF1<0上的一點，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的面積的最大值等于（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<015．（2022·全國·高三專題練習）已知△ABC的三邊分別為a，b，c，若滿足a2+b2+2c2＝8，則△ABC面積的最大值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0題型六：基本不等式求和最小值問題16．（2021秋·江蘇蘇州·高三張家港高級中學校考期中）在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0上一點，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0上任一點，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值是A．9 B．10C．11 D．1217．（2023·全國·高三專題練習）在平面四邊形SKIPIF1<0中，已知SKIPIF1<0的面積是SKIPIF1<0的面積的2倍.若存在正實數(shù)SKIPIF1<0使得SKIPIF1<0成立，則SKIPIF1<0的最小值為（

）A．1 B．2 C．3 D．418．（2023秋·天津濱海新·高三大港一中?？茧A段練習）已知SKIPIF1<0是橢圓與雙曲線的公共焦點，P是它們的一個公共點，且SKIPIF1<0，線段SKIPIF1<0的垂直平分線過SKIPIF1<0，若橢圓的離心率為SKIPIF1<0，雙曲線的離心率為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為（

）A．SKIPIF1<0 B．3 C．6 D．SKIPIF1<0題型七：二次或二次商式的最值問題19．（2023·全國·高三）若a，b，c均為正實數(shù)，則SKIPIF1<0的最大值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<020．（2022秋·吉林四平·高三四平市第一高級中學?？计谀┮阎獢?shù)列SKIPIF1<0的首項是SKIPIF1<0，前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，設SKIPIF1<0，若存在常數(shù)SKIPIF1<0，使不等式SKIPIF1<0恒成立，則SKIPIF1<0的取值范圍為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<021．（2023·全國·高三專題練習）設正實數(shù)SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，不等式SKIPIF1<0恒成立，則SKIPIF1<0的最大值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0題型八：基本不等式中1的秒用22．（2023·全國·高三專題練習）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為（

）A．13 B．19 C．21 D．2723．（2022秋·廣東深圳·高三深圳市南山區(qū)華僑城中學?？茧A段練習）已知a，b為正實數(shù)，直線SKIPIF1<0與曲線SKIPIF1<0相切，則SKIPIF1<0的最小值為（

）A．8 B．9 C．10 D．1324．（2022秋·福建泉州·高三福建省南安國光中學?？茧A段練習）在SKIPIF1<0中，點SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，過點SKIPIF1<0的直線與SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所在的直線分別交于點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為（

）A．3 B．SKIPIF1<0 C．1 D．SKIPIF1<0題型九：條件等式求最值25．（2023·全國·高三專題練習）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<026．（2023·全國·高三專題練習）已知a，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最大值為（

）A．2 B．3 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<027．（2023·全國·高三專題練習）設SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為（

）A．SKIPIF1<0 B．2 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0題型十：對勾函數(shù)求最值28．（2023·全國·高三專題練習）在銳角SKIPIF1<0中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，SKIPIF1<0的面積為S，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的取值范圍為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<029．（2022·天津?qū)氎妗ぬ旖蚴袑氎鎱^(qū)第一中學?？级＃┫铝薪Y(jié)論正確的是（

）A．當SKIPIF1<0且SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0的最大值是2C．SKIPIF1<0的最小值是2 D．當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0題型十一：基本不等式恒成立問題30．（2022·四川綿陽·四川省綿陽江油中學?？寄M預測）已知圓SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0(SKIPIF1<0是正實數(shù))相交于SKIPIF1<0兩點，SKIPIF1<0為坐標原點.當SKIPIF1<0的面積最大時，則SKIPIF1<0的最小值是（

）A．SKIPIF1<0 B．8 C．7 D．SKIPIF1<031．（2023·上?！じ呷龑ｎ}練習）已知P是曲線SKIPIF1<0上的一動點，曲線C在P點處的切線的傾斜角為SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<032．（2021秋·河南濮陽·高三濮陽外國語學校?？茧A段練習）若對任意正數(shù)SKIPIF1<0，不等式SKIPIF1<0恒成立，則實數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<033．（2022·山西朔州·統(tǒng)考三模）若存在實數(shù)x，y，使得SKIPIF1<0成立，且對任意a，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則實數(shù)t的取值范圍是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【高考必刷】一、單選題34．（2023·云南曲靖·統(tǒng)考一模）若SKIPIF1<0,則在“函數(shù)SKIPIF1<0的定義域為SKIPIF1<0”的條件下,“函數(shù)SKIPIF1<0為奇函數(shù)”的概率為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<035．（2023·河南·長葛市第一高級中學統(tǒng)考模擬預測）已知命題“SKIPIF1<0，SKIPIF1<0”為真命題，則實數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<036．（2023·遼寧·校聯(lián)考模擬預測）已知單位向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若對任意實數(shù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0恒成立，則向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的夾角的取值范圍為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<037．（2023·河南平頂山·校聯(lián)考模擬預測）已知某長方體的上底面周長為16，與該長方體等體積的一個圓柱的軸截面是面積為16的正方形，則該長方體高的取值范圍是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<038．（2023·山東菏澤·統(tǒng)考一模）設實數(shù)SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<039．（2023·安徽宿州·統(tǒng)考一模）已知SKIPIF1<0是雙曲線SKIPIF1<0上不同的三點，且SKIPIF1<0，直線AC，BC的斜率分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），若SKIPIF1<0的最小值為1，則雙曲線的離心率為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．240．（2023·吉林·統(tǒng)考二模）已知SKIPIF1<0，若直線SKIPIF1<0與直線SKIPIF1<0垂直，則SKIPIF1<0的最小值為（

）A．1 B．3 C．8 D．941．（2023·內(nèi)蒙古·校聯(lián)考模擬預測）已知拋物線SKIPIF1<0的焦點為SKIPIF1<0，過點SKIPIF1<0作兩條互相垂直的直線SKIPIF1<0，且直線SKIPIF1<0分別與拋物線SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0二、多選題42．（2022·海南·模擬預測）已知命題SKIPIF1<0:“SKIPIF1<0”，SKIPIF1<0"SKIPIF1<0”，則下列正確的是（

）A．SKIPIF1<0的否定是“SKIPIF1<0”B．SKIPIF1<0的否定是“SKIPIF1<0”C．若SKIPIF1<0為假命題，則SKIPIF1<0的取值范圍是SKIPIF1<0D．若SKIPIF1<0為真命題，則SKIPIF1<0的取值范圍是SKIPIF1<043．（2022·全國·模擬預測）已知二次函數(shù)SKIPIF1<0，若對任意SKIPIF1<0，則（

）A．當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0恒成立B．當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0恒成立C．SKIPIF1<0使得SKIPIF1<0成立D．對任意SKIPIF1<0，SKIPIF1<0