方法技巧專(zhuān)題06 直線與圓問(wèn)題（解析版）

方法技巧專(zhuān)題6直線與圓問(wèn)題解析版一、直線與圓知識(shí)框架二、直線與圓的方程問(wèn)題【一】直線的方程及其應(yīng)用直線方程的5種形式直線方程的5種形式點(diǎn)斜式：斜截式：兩點(diǎn)式：截距式：一般式：（A，B不同時(shí)為0）2、三種距離公式兩點(diǎn)間的距離：.點(diǎn)到直線的距離：（其中點(diǎn)，直線方程：）.兩平行直線間的距離：（其中兩平行線方程分別為：）.3、兩條直線平行與垂直的判定3、兩條直線平行與垂直的判定若兩條不重合的直線的斜率存在，則;若給出的直線方程中存在字母系數(shù)，則要考慮斜率是否存在.1.例題【例1】設(shè)，則“是直線與直線平行”的（）充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件【解析】當(dāng)時(shí)，兩條直線的方程分別為，此時(shí)兩條直線平行；若兩條直線平行，則，所以或，經(jīng)檢驗(yàn)，兩者均符合；綜上：“是直線與直線平行”的充分不必要條件，故選A.【答案】A【例2】過(guò)點(diǎn)（1，2）的直線與兩坐標(biāo)軸分別交于A、B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，當(dāng)?shù)拿娣e最小時(shí)，直線的方程為（）B.C.D.【解析】設(shè)的方程為，則有，因?yàn)?，所以，即，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取“=”.即當(dāng)時(shí)，的面積最小.此時(shí)的方程為，即.故選A.【答案】A2.鞏固提升綜合練習(xí)【練習(xí)1】若兩平行直線與之間的距離是，則（）A.0B.1C.-2D.-1【解析】因?yàn)槠叫?，所以，解得，所以直線的方程是，又之間的距離是，所以，解得m=2或m=-8（舍去），所以，故選C.【答案】C【練習(xí)2】直線過(guò)點(diǎn)P（1，4），分別交x軸的正半軸和y軸的正半軸于點(diǎn)A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，當(dāng)最小時(shí)，的方程為.【解析】經(jīng)檢驗(yàn)直線的斜率存在，且斜率為負(fù)，設(shè)直線的斜率為，則直線的方程為，令y=0得，令x=0得，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取得最小值.此時(shí)的方程為.【答案】【二】圓的方程及其應(yīng)用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程圓的標(biāo)準(zhǔn)方程以為圓心，為半徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.特別地，的圓心為（0，0），半徑為.圓的一般方程方程變形為.當(dāng)時(shí)，方程表示以為圓心，為半徑的圓；當(dāng)時(shí)，方程表示一個(gè)點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，該方程不表示任何曲線。點(diǎn)與圓的位置關(guān)系對(duì)于和圓C:,則P在圓C內(nèi)；P在圓C上；P在圓C外.1.例題【例1】已知圓C的圓心在x軸的正半軸上，點(diǎn)在圓C上，且圓心到直線的距離為，則圓C的方程為.【解析】設(shè)圓心為，則圓心到直線的距離，解得，半徑，所以圓C的方程為.【答案】【例2】圓心為點(diǎn)，并且截直線所得的弦長(zhǎng)為的圓的方程（）A． B．C． D．【答案】B【解析】圓心到直線的距離，在直線上截的的弦長(zhǎng)為8圓的半徑圓的方程為故選：B求圓的方程的方法幾何法：利用圓的性質(zhì)、直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系，數(shù)形結(jié)合直接求出圓心坐標(biāo)、半徑，進(jìn)而求出圓的方程.待定系數(shù)法：先設(shè)出圓的方程，再由條件構(gòu)建系數(shù)滿足的方程（組）求得各系數(shù)，進(jìn)而求出圓的方程.2.鞏固提升綜合練習(xí)【練習(xí)1】已知圓C關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，0）且被x軸分成兩段弧長(zhǎng)比為1：2，則圓C的方程為（）B.C.D.【解析】由題意知圓心在y軸上，且被x所分的劣弧所對(duì)的圓心角為，設(shè)圓心為，半徑為，則，解得，即，則，故圓C的方程為.【答案】C【練習(xí)2】以為圓心，并且與圓外切的圓的方程是()A． B．C． D．【答案】B【解析】根據(jù)題意，設(shè)圓的半徑為，圓，即，其圓心為，半徑，設(shè)，若圓與圓外切，則有，則，則所求圓的方程為；故選：B．【三】直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系直線與圓的位置關(guān)系的判斷直線直線與圓的位置關(guān)系的判斷直線（A，B不全為0）與圓的位置關(guān)系的判斷方法有：幾何法：圓心到直線的距離為，直線與圓相交；直線與圓相切；直線與圓相離.代數(shù)法：由消元，得到的一元二次方程的判別式為，則直線與圓相交；直線與圓相切；直線與圓相離.圓與圓的位置關(guān)系的判斷圓與圓的位置關(guān)系的判斷（圓，圓的半徑分別為）兩圓外離，兩圓外切，兩圓相交，兩圓內(nèi)切，兩圓內(nèi)含.3、有關(guān)弦長(zhǎng)問(wèn)題的兩種求法設(shè)直線被圓C截得的弦長(zhǎng)為AB，圓的半徑為，圓心到直線的距離為，則弦長(zhǎng)公式：.若斜率為的直線與圓交于兩點(diǎn)，則（其中），特別地，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)斜率不存在時(shí)，.【知識(shí)拓展】1．圓的切線方程常用結(jié)論(1)過(guò)圓x2＋y2＝r2上一點(diǎn)P(x0，y0)的圓的切線方程為x0x＋y0y＝r2.(2)過(guò)圓(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一點(diǎn)P(x0，y0)的圓的切線方程為(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.(3)過(guò)圓x2＋y2＝r2外一點(diǎn)M(x0，y0)作圓的兩條切線，則兩切點(diǎn)所在直線方程為x0x＋y0y＝r2.2．圓與圓的位置關(guān)系的常用結(jié)論(1)兩圓的位置關(guān)系與公切線的條數(shù)：①內(nèi)含：0條；②內(nèi)切：1條；③相交：2條；④外切：3條；⑤外離：4條．(2)當(dāng)兩圓相交時(shí)，兩圓方程(x2，y2項(xiàng)系數(shù)相同)相減便可得公共弦所在直線的方程．1.例題【例1】已知圓截直線所得弦的長(zhǎng)度為4，則實(shí)數(shù)（）A.B.C.D.【解析】圓心到直線的距離為，由弦長(zhǎng)公式得解得，故選B.【答案】B【例2】若直線ax+by＝1與圓x2+y2＝1有兩個(gè)公共點(diǎn)，則點(diǎn)P（a，b）與圓x2+y2＝1的位置關(guān)系是（）A．在圓上 B．在圓外 C．在圓內(nèi) D．以上都有可能【解析】根據(jù)題意，直線ax+by＝1與圓x2+y2＝1有兩個(gè)公共點(diǎn)，即直線與圓相交，則有圓心到直線ax+by＝1的距離dr＝1，變形可得a2+b2＞1，則點(diǎn)P（a，b）在圓x2+y2＝1的外部；故選：B．【例3】若圓C：x2+y2＝5﹣m與圓E：（x﹣3）2+（y﹣4）2＝16有三條公切線，則m的值為（）A．2 B． C．4 D．6【解析】若兩圓有三條公切線，等價(jià)為兩圓相外切，圓E（3，4），半徑R＝4，圓C（0，0），半徑r，則|EC|＝45，即1，得5﹣m＝1，則m＝4，故選：C．【例4】已知圓與圓的公共弦所在直線恒過(guò)定點(diǎn)，且點(diǎn)P在直線上，則mn的取值范圍是（）A.B.C.D.【解析】將與相減，得公共弦所在的直線方程為，即，由得，所以定點(diǎn)為，因此，所以，故選D.【答案】D【例5】已知點(diǎn)M（3，1）及圓，則過(guò)點(diǎn)M的圓的切線方程為.【解析】由題意得圓心C（1，2），半徑，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，方程為,由圓心C（1，2）到直線的距離知，這條直線與圓相切；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)方程為，即，因?yàn)橄嗲?，所以，解得，故方程為，即；綜上所述：過(guò)點(diǎn)M的圓的切線方程為或.【答案】或2.鞏固提升綜合練習(xí)【練習(xí)1】已知直線與圓相交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且，則實(shí)數(shù)m的值為.【解析】由且，可知為等腰直角三角形，則點(diǎn)O到AB所在直線的距離為1.由，得.【答案】【練習(xí)2】已知兩條平行直線l1，l2之間的距離為1，l1與圓C：x2+y2＝4相切，l2與C相交于A，B兩點(diǎn)，則|AB|＝（）A． B． C． D．【解析】根據(jù)題意，l1與圓C：x2+y2＝4相切，則圓心C到直線l1的距離為2，又由兩條平行直線l1，l2之間的距離為1，則圓心C到直線l2的距離d＝2﹣1＝1，則|AB|＝22；故選：D．【練習(xí)3】若直線l：ax+y+2a＝0被圓C：x2+（y﹣4）2＝4所截得的弦長(zhǎng)為，則a的值為（）A．﹣7或﹣1 B．7或1 C．7或﹣1 D．﹣7或1【解析】圓心為C（0，4），半徑R＝2，∵直線l：ax+y+2a＝0被圓C：x2+（y﹣4）2＝4所截得的弦長(zhǎng)為，∴圓心到直線的距離d滿足d2＝R2﹣（）2＝4﹣2＝2，即d，平方得2a2+2＝16+16a+4a2，即a2+8a+7＝0，即（a+1）（a+7）＝0，得a＝﹣1或a＝﹣7，故選：A．【練習(xí)4】已知圓x2+y2＝1的圓心為O，點(diǎn)P是直線l：mx﹣3y+3m﹣2＝0上的動(dòng)點(diǎn)，若該圓上存在點(diǎn)Q使得∠QPO＝30°，則實(shí)數(shù)m的最大值為【解析】直線l的方程可化為（x+3）m﹣（y+2）＝0，令，得，即直線l過(guò)定點(diǎn)（﹣3，﹣2），因?yàn)樵搱A上存在點(diǎn)Q使得∠QPO＝30°，故，即OP≥2，所以O(shè)P2，解得，故填：4【練習(xí)5】過(guò)直線l：y＝x﹣2上任意點(diǎn)P作圓C：x2+y2＝1的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，當(dāng)切線最小時(shí)，△PAB的面積為．【解答】如圖，要使切線長(zhǎng)最小，則|OP|最小，過(guò)O作直線y＝x﹣2的垂線，則垂足為P，可得|OP|，∴A，B為圓C：x2+y2＝1與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，則PA＝PB＝1，∠APB＝90°，∴△PAB的面積為．故答案為：．三、課后自我檢測(cè)1．已知圓，直線，則直線與圓的位置關(guān)系（）A．相離 B．相切 C．相交 D．以上皆有可能【答案】C【解析】方法一：直線方程可整理為：由圓方程可知，圓心：；半徑：圓心到直線的距離：若，則，此時(shí)直線與圓相交若，則又（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）則，此時(shí)直線與圓相交綜上所述：直線與圓相交方法二：因?yàn)橹本€過(guò)定點(diǎn)（-1,1），點(diǎn)（-1,1）在圓內(nèi)，所以直線與圓相交。2．過(guò)點(diǎn)的直線與圓相交于，兩點(diǎn)，若，則該直線的斜率為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意設(shè)直線的方程為，因?yàn)閳A的圓心為，半徑為，又弦長(zhǎng)，所以圓心到直線的距離為，所以有，解得.故選A3．已知圓，圓，圓與圓的公切線的條數(shù)的可能取值共有（）A．2種 B．3種 C．4種 D．5種【答案】D【解析】?jī)蓤A的圓心和半徑分別為A（0，0），半徑R=1，B（2，0），半徑為r，|AB|=2，半徑之和為1+r，半徑之差為r-1，若兩圓相外切，即1+r=2，即r=1時(shí)，此時(shí)兩圓公切線有3條，若兩圓外離，則1+r＜2，即0＜r＜1時(shí)，兩圓公切線有4條，若兩圓相交，則r-1＜2且2＜1+r，即1＜r＜3時(shí)，兩圓相交，此時(shí)公切線有2條，若兩圓內(nèi)切，即r-1=2，即r=3時(shí)，此時(shí)兩圓公切線有1條，若兩圓內(nèi)含，即r-1＞2，即r＞3，此時(shí)兩圓公切線為0條，即圓A與圓B的公切線的條數(shù)的可能取值有5種，故選：D．4．設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線與圓的兩個(gè)交點(diǎn)為，若，則=（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意，設(shè)，直線的方程為，由得，則，又，所以，故，即，代入得：，故，又，即，整理得：，解得或，又，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；綜上.故選A5．設(shè)直線與圓相交于，兩點(diǎn)，若，則（）A．-1或1 B．1或5 C．-1或3 D．3或5【答案】B【解析】由題得圓的方程為，所以圓心為(-1,2),半徑為.所以圓心到直線的距離為.故選：B6．已知點(diǎn)，點(diǎn)是圓上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)是圓上的動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為（）A．B．C．D．【答案】D【解析】如圖：依題意得點(diǎn)在直線上，點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)的點(diǎn),點(diǎn)在圓關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)的圓上，則，設(shè)圓的圓心為，因?yàn)?，，所以，?dāng)五點(diǎn)共線，在線段上，在線段上時(shí)“=”成立.因此，的最大值為4.直線x+y+2=0分別與x軸,y軸交于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)P在圓QUOTEx?22x?22+y2=2上,則△ABP面積的取值范圍是()A.QUOTE2,62,6 B.QUOTE4,84,8 C.QUOTE2,322,32 D.QUOTE22,3222,32【解析】選A.由A(-2,0),B(0,-2),則三角形ABP的底邊|AB|=2QUOTE22,圓心(2,0)到直線x+y+2=0的距離為d=QUOTE|2+0+2|2|2+0+2|2=2QUOTE22,又因?yàn)榘霃綖閞=QUOTE22,所以點(diǎn)P到直線x+y+2=0的距離的最大值為2QUOTE22+QUOTE22=3QUOTE22,最小值為2QUOTE22-QUOTE22=QUOTE22,則三角形ABP的面積的最大值為Smax=QUOTE1212×2QUOTE22×3QUOTE22=6,最小值為Smin=QUOTE1212×2QUOTE22×QUOTE22=2,故△ABP面積的取值范圍為[2,6].在平面直角坐標(biāo)系中,記d為點(diǎn)P(cosθ,sinθ)到直線x-my-2=0的距離,當(dāng)θ,m變化時(shí),d的最大值為()A.1 B.2 C.3 D.4【解析】選C.方法一:由已知d=QUOTE|cosθ-msinθ-2|1+m2|cosθ-msinθ-2|1+m2=QUOTE11+m2QUOTEsin(θ+φ)?21+m2sin(θ+φ)?21+m2≤|sin(θ+φ)|+|QUOTE21+m當(dāng)且僅當(dāng)QUOTE21+m221+m2=2,且sin(θ此時(shí)m=0,d=|cosθ-2|,cosθ能取到-1,所以d的最大值為3.方法二:由已知及sin2θ+cos2θ=1,點(diǎn)P(cosθ,sinθ)在圓x2+y2=1上.又直線x-my-2=0過(guò)定點(diǎn)(2,0),當(dāng)d取得最大值時(shí),即圓x2+y2=1上的動(dòng)點(diǎn)P到動(dòng)直線x-my-2=0距離最大,此時(shí)圓x2+y2=1的圓心(0,0)到動(dòng)直線x-my-2=0距離最大,數(shù)形結(jié)合,可知?jiǎng)又本€為x=2時(shí),圓心(0,0)到動(dòng)直線x-my-2=0距離最大值為2,所以圓x2+y2=1上的動(dòng)點(diǎn)P到動(dòng)直線x-my-2=0的距離最大值為2+1=3,即d的最大值為3.圓x2+y2-2x-8y+13=0的圓心到直線ax+y-1=0的距離為1,則a=()A. B.C. D.2【解析】選A.圓x2+y2-2x-8y+13=0化為標(biāo)準(zhǔn)方程為:(x-1)2+(y-4)2=4,故圓心為(1,4),d==1,解得a=.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,A為直線l:y=2x上在第一象限內(nèi)的點(diǎn),B(5,0),以AB為直徑的圓C與直線l交于另一點(diǎn)D.若·=0,則點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為.

【解析】因?yàn)锳B為直徑,所以AD⊥BD,所以BD即B到直線l的距離,BD=QUOTE|0-2×5|12+22|0-2×5|12+22=2QUOTE因?yàn)镃D=AC=BC=r,又CD⊥AB,所以AB=2BC=2QUOTE1010,設(shè)A(a,2a),AB=QUOTE(a-5)2+4a2(a-5)2+4a2=2QUOTE1010?a答案:3在平面直角坐標(biāo)系xOy中,A(-12,0),B(0,6),點(diǎn)P在圓O:x2+y2=50上,若QUOTEPA→·≤20,則點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的取值范圍是.【解析】設(shè)P(x,y),由·QUOTEPB→≤20,易得2x-y+5≤0,由QUOTE2x?y+5=0,x2+y2=50,可得A:QUOTEx=?5,y=?5或B:QUOTEx=1,y=7,由2x-y+5≤0得P點(diǎn)在圓左邊弧QUOTEAB上,結(jié)合限制條件-5QUOTE2≤x≤5可得點(diǎn)P橫坐標(biāo)的取值范圍為[-5QUOTE2,1].答案:[-5QUOTE2,1]已知直線l:mx+y+3m-=0與圓x2+y2=12交于A,B兩點(diǎn),過(guò)A,B分別作l的垂線與x軸交于C,D兩點(diǎn),若|AB|=2,則|CD|=.【解析】取AB的中點(diǎn)E,連接OE,過(guò)點(diǎn)C作BD的垂線,垂足為F,圓心到直線的距離d=,所以在Rt△OBE中,BE2=OB2-d2=3,所以d==3,得m=-,又在△CDF中,∠FCD=30°,所以CD==4.答案:413．圓的方程為，圓的圓心．若圓與圓外切，求圓的方程；若圓與圓交于A、B兩點(diǎn)，且求圓的方程．【解析】圓的方程為，圓心坐標(biāo)，半徑為：2，圓的圓心．圓心距為：，圓與圓外切，所求圓的半徑為：，圓的方程，圓與圓交于A、B兩點(diǎn)，且．所以圓交到AB的距離為：，當(dāng)圓到AB的距離為：，圓的半徑為：．圓的方程：．當(dāng)圓到AB的距離為：，圓的半徑為：．圓的方程：．綜上：圓的方程：或．14．已知圓，點(diǎn)．（1）設(shè)點(diǎn)是圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求的中點(diǎn)的軌跡方程；（2）直線與圓交于，求的值．【解析】（1）由題意，設(shè)，由點(diǎn)是圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則，又由Q是AP的中點(diǎn)，根據(jù)中點(diǎn)公式得，解得．代入圓的方程可得：，整理得．∴的中點(diǎn)的軌跡方程為：．（2）由直線與圓交于，把直線的方程代入圓的方程可得：，整理得．則，∴=.15．已知圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，為圓上的動(dòng)點(diǎn)，直線的方程為，動(dòng)點(diǎn)在直線上．（1）求的最小值，并求此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）若點(diǎn)的坐標(biāo)為，過(guò)作直線與圓交于，兩點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求直線的方程．【解析】（1）依題意知：的最小值為圓心到直線的距離減去圓的半徑，且點(diǎn)，故，∴的最小值為．又過(guò)圓心且與直線垂直的直線方程為：，聯(lián)立解得，，綜上可知，的最小值為，此時(shí)點(diǎn)；（2）把點(diǎn)代入直線的方程可得，即，由，半徑得圓心到直線的距離，當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，直線的方程為：，符合題意，當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為：，即，∴，解得，故直線的方程為：.綜上可知，直線的方程為：或．16．已知圓關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)的圓為．（1）求圓C的方程；（2）過(guò)點(diǎn)（1，0）作直線l與圓C交于A，B兩點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，是否存在直線l，使得∠AOB=90°？若存在，求出所有滿足條件的直線l的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【解析】（Ⅰ）圓C1化為標(biāo)準(zhǔn)方程為（x-1）2+y2＝9，設(shè)圓心（1，0）關(guān)于直線l1：y＝x+1的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為C（a，b），則，且CC1的中點(diǎn)在直線l1：y＝x+1上，∴有，解得：，∴圓C的方程為，（Ⅱ）假設(shè)存在直線l，顯然直線l有斜率，設(shè)直線，設(shè)經(jīng)過(guò)直線l和圓C的圓的方程為：即，依題意該圓過(guò)原點(diǎn)且圓心