北京市昌平區(qū)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末試題 數(shù)學(xué)

數(shù)學(xué)試卷本試卷共4頁，共150分.考試時長120分鐘.考生務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效.考試結(jié)束后，將答題卡交回.第一部分（選擇題共40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項.1.已知直線過點，且傾斜角是，則直線不經(jīng)過（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意，求出直線方程，畫出圖象，結(jié)合圖象得到答案.【解析】直線過點，且傾斜角是，所以直線斜率，所以直線方程為，即，畫出直線圖象為結(jié)合圖象可知，直線不過第四象限，故選：D.2.若，則（）A.8 B.16 C.32 D.64【答案】C【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用賦值法計算作答.【解析】因為，所以當(dāng)時，，故選：C.3.某氣象臺天氣預(yù)報的準(zhǔn)確率為80%，則3次預(yù)報中恰有1次預(yù)報準(zhǔn)確的概率是（）A.9.6% B.10.4% C.80% D.99.2%【答案】A【解析】【分析】根據(jù)獨(dú)立重復(fù)實驗的概率公式可求出結(jié)果.【解析】由天氣預(yù)報的準(zhǔn)確率為80%，則3次預(yù)報中恰有1次預(yù)報準(zhǔn)確的概率為：，即.故選：A.4.如圖，在正方體中，直線與直線所成角的大小為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】連接、，可得且為等邊三角形，即可得直線與直線所成角的大小.【解析】連接，，在正方體中，易得，故直線與直線所成角的大小與直線與直線所成角大小相等，又，故等邊三角形，故，即直線與直線所成角大小為.故選：C.5.已知某班級中，喜歡文學(xué)閱讀的學(xué)生占75%，喜歡文學(xué)閱讀而且喜歡科普閱讀的學(xué)生占30%.若從這個班級的學(xué)生中任意抽取一人、則在抽到的學(xué)生喜歡文學(xué)閱讀的條件下，該學(xué)生也喜歡科普閱讀的概率為（）A.22.5% B.30% C.40% D.75%【答案】C【解析】【分析】由條件概率的公式計算即可得.【解析】設(shè)事件為“抽到喜歡文學(xué)閱讀的學(xué)生”，設(shè)事件為“抽到喜歡科普閱讀的學(xué)生”，則，，則，即在抽到的學(xué)生喜歡文學(xué)閱讀的條件下，該學(xué)生也喜歡科普閱讀的概率為.

故選：C.6.已知雙曲線的實軸長為4，則雙曲線的漸近線方程為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)實軸長得到，再根據(jù)漸近線公式得到答案.【解析】因為雙曲線的實軸長為4，即，解得，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，即，所以雙曲線的漸近線方程為，故選：A.7.為了迎接在杭州舉行的第十九屆亞運(yùn)會，學(xué)校開展了“爭做運(yùn)動達(dá)人，喜迎杭州亞運(yùn)”活動.現(xiàn)從某班的4名男生和3名女生中選出3人參加活動，則這3人中既有男生又有女生的選法種數(shù)為（）A.20 B.30 C.35 D.60【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，分為兩類：一男兩女或兩男一女，結(jié)合組合數(shù)公式，即可求解.【解析】由題意，可分為兩類：一男兩女或兩男一女，當(dāng)一男兩女時，有種不同的選法；當(dāng)兩男一女時，有種不同的選法，由分類計數(shù)原理得，共有種不同的選法.故選：B.8.已知直線，，則“”是“”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】由，求得即或，結(jié)合充分條件、必要條件的判定方法，即可求解.【解析】因為直線，，所以當(dāng)時，，即，即或，所以“”能推出“”，“”不能推出“”，所以“”是“”充分不必要條件，故選：A.9.《九章算術(shù)》中的方亭指的是正四面形棱臺體建筑物，正四面形棱臺即今天的正四棱臺.如圖，某方亭的上底面與下底面的邊長分別為4和8，每個側(cè)面與下底面夾角的正切值均為，則方亭的側(cè)面積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用側(cè)面與下底面的夾角的正切值均為，求得正棱臺的高，進(jìn)而求得其斜高，結(jié)合側(cè)面積公式，即可求解.【解析】設(shè)上底面為，下底面為，取的中點，的中點，連接，設(shè)上底面的中心為，下底面的中心為，連接，過點作于點，如圖所示，因為，所以即為側(cè)面與下底面夾角的平面角，即，又因為，所以，所以，所以，所以方亭的側(cè)面積為.故選：B.10.如圖，在長方體中，，，，分別是棱和上的兩個動點，且，則的中點到的距離為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】取的中點，連接，以為坐標(biāo)原點建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合，利用兩點間距離公式，求出的長即可．【解析】取的中點，連接，以為坐標(biāo)原點，，，所在直線分別為，，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，因為是的中點，所以，所以，而，所以，即，所以點到的距離就是，因為，所以，即，所以，即，所以的中點到的距離為.故選：D.【小結(jié)】關(guān)鍵小結(jié)：本題解決的關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)，再利用整體法即可得解.第二部分（非選擇題共110分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.11.在的展開式中，的系數(shù)為___________.【答案】【解析】【分析】求出二項展開式的通項，進(jìn)而得到的系數(shù).【解析】展開式的通項為，令，即，所以，所以的系數(shù)為，故答案為：.12.設(shè)為拋物線的焦點，則點的坐標(biāo)為__________；若拋物線上一點滿足，那么點的橫坐標(biāo)為___________.【答案】①.②.4【解析】【分析】根據(jù)拋物線方程易得，即得焦點坐標(biāo)；利用拋物線的定義將焦半徑轉(zhuǎn)化，即可求得點的橫坐標(biāo).【解析】由可得拋物線的焦準(zhǔn)距為，故焦點的坐標(biāo)為；不妨設(shè)，由可得：，即得：，即點的橫坐標(biāo)為.故答案為：；4.13.北京的三條文化帶——大運(yùn)河文化帶、長城文化帶、西山永定河文化帶，是北京文化脈絡(luò)乃至中華文明的精華所在.為了讓同學(xué)們了解這三條文化帶的內(nèi)涵，現(xiàn)從4名老師中選3名老師，每人講述一條文化帶，每條文化帶由一名老師講述，則不同的分配方案種數(shù)是__________.【答案】24【解析】【分析】根據(jù)排列的含義結(jié)合排列數(shù)的計算，即可得答案.【解析】從4名老師中選3名老師，每人講述一條文化帶，每條文化帶由一名老師講述，相當(dāng)于從4個不同元素中選3個元素的排列問題，則不同的分配方案種數(shù)為，故答案為：2414.已知圓，則圓的半徑為________；與圓和圓都相切的直線的方程為___________.（只需寫出一條直線的方程）【答案】①.②.（答案不唯一，或亦可）【解析】【分析】將圓的一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程即可得圓心；設(shè)出兩圓的公切線方程，注意討論斜率是否存在，由切線的性質(zhì)列式計算即可得公切線方程.【解析】由，即，故圓的半徑為，圓心坐標(biāo)為，設(shè)直線與圓和圓都相切，若直線斜率不存在，設(shè)直線為，需有，解得，故符合要求；若直線斜率存在，設(shè)直線為，即，需有，兩式相除得，故或，化簡得或，由可得，故有或，化簡得或，即或，則或，故該直線為或，即或，綜上所述，與圓和圓都相切的直線的方程有：、、.故答案為：；（答案不唯一，或亦可）15.數(shù)學(xué)中有許多形狀優(yōu)美的曲線，曲線就是其中之一.給出下列四個結(jié)論：①曲線關(guān)于坐標(biāo)原點對稱；②曲線上任意一點到原點的距離的最小值為2；③曲線恰好經(jīng)過8個整點（即橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點）；④曲線所圍成的區(qū)域的面積大于8.其中所有正確結(jié)論的序號是____________.【答案】①③④【解析】【分析】對①：將點代入，依舊滿足該方程即可得；對②：找出反例即可得；對③：由曲線可得，將所有整點求出即可得；對④：借助曲線的對稱性，證明該曲線在第一象限部分與坐標(biāo)軸圍成的面積大于直線與坐標(biāo)軸圍成的面積即可得.【解析】對①：將點代入，可得，故①正確；對②：令，則，故在曲線上，該點到原點的距離為，故②錯誤；對③：由、，故，令，有，解得，令，則，解得，令，則，此時不為整數(shù)，令，則，解得，故曲線恰好經(jīng)過整點、、、，共8個整點，故③正確；對④：將點代入，可得，故曲線關(guān)于軸對稱，令點在曲線上，且該點在第一象限，則，，則有，故，令，則，即，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故有，整理得，因式分解可得，由，故，故有，即，即，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故除點在直線上外，點恒在直線上方，直線與坐標(biāo)軸交點為、，則直線與坐標(biāo)軸圍成的面積，則曲線在第一象限部分與坐標(biāo)軸圍成的面積大于，由曲線關(guān)于坐標(biāo)原點對稱且關(guān)于軸對稱，故，即故曲線所圍成的區(qū)域的面積大于8，故④正確.故答案為：①③④.【小結(jié)】關(guān)鍵小結(jié)：本題結(jié)論④關(guān)鍵在于將曲線所圍成的區(qū)域的面積大于8轉(zhuǎn)化為求證曲線在第一象限部分與坐標(biāo)軸圍成的面積大于2，結(jié)合點在曲線上，轉(zhuǎn)化為證明除點外其余點恒在直線上方，即證當(dāng)，時，恒成立.三、解答題（本大題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）16.已知圓的圓心為，且過坐標(biāo)原點.（1）求圓的方程；（2）若過點的直線與圓相交于，兩點，且，求直線的方程.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）依題意，設(shè)出直線方程，代入原點，即可得圓的方程；（2）根據(jù)斜率有無分別設(shè)出直線方程，根據(jù)，求出直線方程即可.【小問1解析】設(shè)圓的方程為,依題意，，所以圓的方程為.【小問2解析】設(shè)圓心到直線的距離為，由，，解得.若直線的斜率不存在，則直線的方程為，滿足條件；若直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，即.可得，解得，此時，直線的方程為.所以直線的方程為或.17.如圖，在三棱柱中，平面，，，.（1）求直線與平面所成角的正弦值；（2）求點到平面的距離.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由平面得，又，建立空間直角坐標(biāo)系，由線面角公式即可求出結(jié)果.（2）由點到平面的距離公式即可求出結(jié)果.【小問1解析】因為平面，平面，所以，又因為，以所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，,,,,,,設(shè)平面的法向量為得，取，設(shè)直線與平面所成角為，所以.【小問2解析】因為,設(shè)點到平面的距離為，所以.18.某網(wǎng)站為研究新聞點擊量的變化情況，收集得到了該網(wǎng)站連續(xù)30天的新聞點擊量變化數(shù)據(jù)，如下表所示.在描述新聞點擊量變化時，用“↑”表示“上漲”，即當(dāng)天新聞點擊量比前一天新聞點擊量高；用“↓”表示“下降”，即當(dāng)天新聞點擊量比前一天新聞點擊量低；用“－”表示“不變”，即當(dāng)天新聞點擊量與前一天新聞點擊量相同.時段新聞點擊量第1天到第15天↑-↑↓↑-↓↑-↓↑↓-↓↓第16天到第30天-↑-↑-↑↓↑↓↑-↓↑↓↑用頻率估計概率.（1）試估計該網(wǎng)站新聞點擊量“下降”的概率；（2）從樣本中的前15天和后15天中各隨機(jī)抽取1天，記表示其中該網(wǎng)站新聞點擊量“上漲”的天數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（3）從樣本給出的30天中任取1天，用“”表示該天新聞點擊量“上漲”，“”表示該天新聞點擊量“下降”或“不變”，然后繼續(xù)統(tǒng)計接下來的10天的新聞點擊量，其中有6天“上漲”、3天“下降”、1天“不變”，相應(yīng)地，從這40天中任取1天，用“”表示該天新聞點擊量“上漲”，“”表示該天新聞點擊量“下降”或“不變”，直接寫出方差，大小關(guān)系.【答案】（1）（2）分布列見解析，（3），理由見解析【解析】【分析】（1）30天中，有10天點擊量下降，從而估計出相應(yīng)的概率；（2）求出的可能取值及對應(yīng)的概率，得到分布列，求出數(shù)學(xué)期望；（3）求出，，得到，同理得到，比較出大小.【小問1解析】30天中，有10天點擊量下降，故估計該網(wǎng)站新聞點擊量“下降”的概率為；【小問2解析】前15天中，有5天的點擊量上漲，后15天中，有7天上漲，故可能取值為，則，，，故的分布列如下：012；【小問3解析】，理由如下：由（2）知，樣本給出的30天中點擊量上漲的天數(shù)為12，故，，則，，這40天中點擊量上漲的天數(shù)為，故，，故，，由于，故.19.已知橢圓C：(a>b>0)的一個頂點為A(2,0)，離心率為.直線y＝k(x－1)與橢圓C交于不同的兩點M，N.(1)求橢圓C的方程；(2)當(dāng)△AMN的面積為時，求k的值．【答案】（1）（2）1或－1.【解析】【解析】（1）由題意得解得．所以橢圓C的方程為．（2）由得．設(shè)點M，N的坐標(biāo)分別為，，則，，，．所以|MN|===．由因為點A（2,0）到直線的距離，所以△AMN的面積為．由，解得，經(jīng)檢驗，所以．20.如圖，在四棱錐中，平面，，，，是的中點.（1）求證：平面；（2）再從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為已知，求二面角的余弦值.條件①：；條件②：.注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個解答計分.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）連接點與中點，連接，由題意可證四邊形是平行四邊形，故，由線面平行的判定定理即可得證；（2）若選條件①，則可由結(jié)合題意推出平面，從而得到，借助幾何性質(zhì)及勾股定理從而計算出，再得到、、兩兩垂直，即可建立空間直角坐標(biāo)解決二面角問題；若選條件②，由結(jié)合直角三角形幾何性質(zhì)可推出，即可重復(fù)選條件①時步驟解決問題.【小問1解析】連接點與中點，連接，由是中點，故為中位線，故且，又且，故且，故四邊形是平行四邊形，故，又平面，平面，故平面；【小問2解析】若選條件①：，由平面，且平面，故，又，，、平面，故平面，又平面，故，連接點與中點，由，則，又，，故四邊形為矩形，故，故，則，即，則，由平面，、平面，故、，又，故、、兩兩垂直，以為原點，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則有、、、，則，有、，由平面，故平面的法向量可為，設(shè)平面的法向量為，則有，即，令，則、，故平面的法向量可為，則，即二面角的余弦值為.若選條件②：，由平面，且平面，故，又是的中點，故，由，故，故，由平面，且平面，故，又，，、平面，故平面，又平面，故，連接點與中點，由，則，又，，故四邊形為矩形，故，故，則，即，則，由平面，平面，故，又，，故、、兩兩垂直，以為原點，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則有、、、，則，有、，由平面，故平面的法向量可為，設(shè)平面的法向量為，則有，即，令，則、，故平面的法向量可為，則，即二面角的余弦值為.21.已知橢圓的上頂點為，圓.對于圓，給出兩個性質(zhì)：①在圓上存在點，使得直線與橢圓相交于另一點，滿足；②對于圓上任意點，圓在點處的切線與橢圓交于，兩點，都有.（1）當(dāng)時，判斷圓是否滿足性質(zhì)①和性質(zhì)②；（直接寫出結(jié)論）（2）已知當(dāng)時，圓滿足性質(zhì)①，求點和點的坐標(biāo)；（3）是否存在，使得圓同時滿足性質(zhì)①和性質(zhì)②，若存在，求出的值；若不存在，說明理由.【答案】（1）當(dāng)時，圓滿足性質(zhì)①