藝考生專題講義27 遞推公式求通項(xiàng)

考點(diǎn)27遞推公式求通項(xiàng)知識(shí)梳理公式法求通項(xiàng)使用特征：前n項(xiàng)和與項(xiàng)數(shù)或項(xiàng)的關(guān)系公式為：通項(xiàng)=前n項(xiàng)和-前n-1項(xiàng)和解題思路累加法求通項(xiàng)1.使用特征：2.解題思路累乘法求通項(xiàng)1.使用特征：2.解題思路構(gòu)造法求通項(xiàng)倒數(shù)法求通項(xiàng)精講精練題型一公式法求通項(xiàng)【例1】(1)數(shù)列的前n項(xiàng)和，則它的通項(xiàng)公式是__________.(2)設(shè)是數(shù)列的前n項(xiàng)和，且，則的通項(xiàng)公式為_(kāi)_________．(3)已知數(shù)列滿足，則________，________．【答案】(1)(2)(3)3【解析】(1)時(shí)，；且時(shí)，，易見(jiàn)，也適合該式.故.故答案為：.(2)當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，∴，∴，∵，∴，∴．故答案為：.(3)當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，由題意可得：，，兩式作差可得：，故，因?yàn)?，不滿足，所以.故答案為：3；.【方法總結(jié)】【方法總結(jié)】數(shù)列的前n項(xiàng)和，當(dāng)已知求時(shí)，按照兩者關(guān)系，由計(jì)算，當(dāng)也適合通項(xiàng)公式時(shí)，合并作答，否則寫(xiě)出分段形式.【舉一反三】1．已知數(shù)列的前項(xiàng)和，則＝________.【答案】【解析】由于數(shù)列的前項(xiàng)和.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.滿足.因此，對(duì)任意的，.故答案為：.2．?dāng)?shù)列的前項(xiàng)和為，則_________________.【答案】【解析】當(dāng)時(shí)，;而不適合上式，.故答案為：.3．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，則______.【答案】【解析】因?yàn)?，故，故?又，故當(dāng)時(shí)，，故.故答案為：.4．若數(shù)列的前項(xiàng)和，則的通項(xiàng)公式是________．【答案】【解析】當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，，∴，是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，．故答案為：5．若數(shù)列是正項(xiàng)數(shù)列，且，則_______．【答案】【解析】數(shù)列是正項(xiàng)數(shù)列，且所以，即時(shí)兩式相減得，所以()當(dāng)時(shí)，適合上式，所以題型二累加法求通項(xiàng)【例2】設(shè)數(shù)列滿足，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為【答案】【解析】，所以當(dāng)時(shí)，，，，，將上式累加得：，，即，又時(shí)，也適合，．【舉一反三】1．已知數(shù)列滿足：，，則【答案】【解析】∵數(shù)列滿足：，，∴，∴當(dāng)n≥2時(shí)，an＝a1+a2﹣a1+a3﹣a2+…+an﹣an﹣1＝=，2．)已知在數(shù)列的前項(xiàng)之和為，若，則_______．【答案】【解析】..3．已知數(shù)列滿足，，則?！敬鸢浮俊窘馕觥坑?，可得，所以，題型三累乘法求通項(xiàng)【例3】設(shè)數(shù)列{an}中，a1＝2，an＋1＝an，則an＝________.【答案】【解析】∵an＋1＝an，a1＝2，∴an≠0，∴.∴當(dāng)n≥2時(shí)，an＝，a1＝2也符合上式，則an＝.故答案為：.【舉一反三】1．已知在數(shù)列中，，則=【答案】【解析】，即，，2．已知，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式是【答案】【解析】由得：，即，則，，，……..，，由累乘法可得，又因?yàn)?，所?題型四構(gòu)造法求通項(xiàng)【例4】若，，則_______________.【答案】【解析】原式可化為()，因?yàn)?，所以是首?xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，所以，即.故答案為：.【舉一反三】1．已知數(shù)列中，，(且)，則數(shù)列通項(xiàng)公式為【答案】【解析】由，知：且()，而，，∴是首項(xiàng)、公比都為3的等比數(shù)列，即，2．已知數(shù)列滿足，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為_(kāi)__________.【答案】【解析】因?yàn)椋?，所以，所以?shù)列是一個(gè)以為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，所以.所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.故答案為：3．若數(shù)列滿足，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式________.【答案】【解析】由，可得，設(shè)則，則所以是以1為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列.則，則，所以故答案為：題型五倒數(shù)法求通項(xiàng)【例5】已知數(shù)列滿足：，．則【答案】【解析】因?yàn)椋詢蛇吶〉箶?shù)得，則，所以數(shù)列為等比數(shù)列，則，【舉一反三】1．在數(shù)列中，已知，，，則等于【答案】【解析】，所以是以為首