2024-2025學(xué)年人教版八年級數(shù)學(xué)上冊 第13章 軸對稱 單元測試培優(yōu)卷

第13章軸對稱（單元測試-培優(yōu)卷）

一、單選題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）

1.下列圖形中是軸對稱圖形的是（）

2.如圖，點(diǎn)N在直線/上，△NBC與夕C關(guān)于直線/對稱，連接A8L分別交NC,于點(diǎn)D,血

連接CC,下列結(jié)論不一定正確的是（）

A.NBAC=NB'AC'B.CC||BB'

C.BD=B'D'D.AD=DD'

3.我們知道光的反射是一種常見的物理現(xiàn)象.如圖，某憶型路口放置如圖所示的兩個(gè)平面鏡34,兩個(gè)

平面鏡所成的夾角為N1,位于點(diǎn)。處的甲同學(xué)在平面鏡4中看到位于點(diǎn)/處的乙同學(xué)的像，其中光的

路徑為入射光線48經(jīng)過平面鏡4反射后，又沿2c射向平面鏡/?，在點(diǎn)C處再次反射，反射光線為C/）,

已知入射光線/2〃4,反射光線8〃/「則N1等于（）

A.40°B.50°C.60°D.70°

4.如圖，已知?！?,直線/與直線0,6分別交于點(diǎn)N,B,分別以點(diǎn)/,5為圓心，大于長為半徑

畫弧，兩弧相交于點(diǎn)N,作直線"N分別交直線0,6于點(diǎn)。、C,連接/C,若Nl=35。，則N34D的

度數(shù)是（）

5.如圖，在等腰RtA43C,ZBAC=90°,AB=AC,8。為VNBC的角平分線，過點(diǎn)C作CE交8。

的延長線與點(diǎn)E,若CE=2,則AD的長為（）

A

6.如圖，ZACB=ZAED=9（F,NCAE=/BAD,BC=DE,若BD〃AC,則/48C與/。E間的數(shù)

量關(guān)系為（）

A.2ZABC=NCAEB.ZABC=ZCAE

C.ZABC+2ZCAE=9Q°D.2ZABC+ZCAE=1^0°

7.某平板電腦支架如圖所示，其中/8=CD,EA=ED,為了使用的舒適性，可調(diào)整//EC的大小.若

N/EC增大16。，則N8DE的變化情況是（）

A.增大16。B.減小16。C.增大8。D.減小8。

8.如圖，在V4BC中，ZBAC=80°,邊力B的垂直平分線交BC于點(diǎn)E,邊NC的垂直平分線交NC于點(diǎn)尸，

連接AE,AG.則ZEAG的度數(shù)為（）

C.25°D.20°

9.如圖，在中，ZACB=90°,AC=3,BC=4,ND是△NBC的角平分線，若尸，0分別是ND

和/C邊上的動(dòng)點(diǎn)，則PC+PQ的最小值是（）

10.如圖，在VN2C中，ZBAC=90°,4D是高，BE是中線，CF是角平分線，CF交4D于G,交,BE于H,

下面說法：①Lw=S'Bc.；②N/FG=N/GF；③/以G=2乙4CF；④=其中正確的是（）

A.①②③④B.①③C.②③D.①③④

二、填空題（本大題共8小題，每小題4分，共32分）

11.如圖，在V48c中，分別以點(diǎn)8和點(diǎn)。為圓心，大于1臺(tái)。的長為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)M、N,

作直線&W,交4B于點(diǎn)D,連接CD,若V4BC的周長為24,BC=9,則△4DC的周長為.

12.如圖，直線機(jī)〃〃，點(diǎn)N是直線加上一點(diǎn)，點(diǎn)2是直線"上一點(diǎn)，48與直線機(jī)，”均不垂直，點(diǎn)尸

為線段的中點(diǎn)，直線/分別與加，〃相交于點(diǎn)C,D,若NCPD=9Qo,CD=^,m,〃之間的距離為2,

則PC-PD的值為

13.如圖，ZA=NEGF,F為BE,CG的中點(diǎn)，DB=5,DE=3,則40的長為.

14.如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，丫/2(7滿足/氏4。=45。,/位/=90。，點(diǎn)/,C的坐標(biāo)分別是

(-2,0),(-3,5),點(diǎn)3在y軸上，在坐標(biāo)平面內(nèi)存在一點(diǎn)。(不與點(diǎn)。重合)，使"BC四A4BD,且NC

與AD是對應(yīng)邊，請寫出點(diǎn)。的坐標(biāo).

15.如圖，ZAOB=60°,C是80延長線上一點(diǎn)，OC=12cm,動(dòng)點(diǎn)”從點(diǎn)C出發(fā)沿射線C3以2cm/s的

速度移動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)N從點(diǎn)。出發(fā)沿射線CM以lcm/s的速度移動(dòng)，如果點(diǎn)M、N同時(shí)出發(fā)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為

ts,那么當(dāng)年s時(shí)，△MON是等腰三角形.

A

'N

CMOB

7

16.如圖，銳角A48C中，//=30。，BC=-,A4BC的面積是6,D,E,尸分別是三邊上的動(dòng)點(diǎn)，則

2

/周長的最小值是.

17.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)4,4,4,4在X軸正半軸上，點(diǎn)用，鳥，鳥，…在直線y=\-x(x20)

上，若4(1,0),且△4瑪4,△&與4，星4，...均為等邊三角形，則線段4。214。22的長度為.

方AIA2AAsx

18.如圖，將長方形紙片48CD沿跖折疊(折線跖交4D于￡,交BC于F),點(diǎn)、C、。的對應(yīng)點(diǎn)分別是

￡、2,E2交8c于G,再將四邊形CRGF沿FG折疊，點(diǎn)G、2的對應(yīng)點(diǎn)分別是G、2,GD2交EF

于H,給出下列結(jié)論：

BG；F>C

I\

①ZEGD2=ZEFG

②2ZEFC=ZEGC+180°

③若ZFEG=26°,則ZEFC2=102。

④ZFHD2=32EFB

上述正確的結(jié)論是.

三、解答題（本大題共6小題，共58分）

19.（8分）在V48c中，ZACB=90°,AC=BC=BE,AD1EC,交EC延長線于點(diǎn)D.

求證：CE=2AD.

20.(8分)如圖，點(diǎn)尸是//OB外的一點(diǎn)，點(diǎn)E與點(diǎn)尸關(guān)于CM對稱，點(diǎn)尸與點(diǎn)尸關(guān)于。2對稱，直線正￡

分別交。4、03于。、。兩點(diǎn)，連接尸C、PD、PE、PF.

(1)若/00=/尸=2),求/CPD的度數(shù)；

(2)若求C尸=。尸，CF=13,DE=3,求CP的長.

21.(10分)如圖，在V4BC中，平分ZA4C,點(diǎn)￡為NC中點(diǎn)，40與BE相交于點(diǎn)尸.

(1)若//BC=38o,N/C2=82。，求的度數(shù)；

(2)過點(diǎn)8作3〃1/。交/。延長線于點(diǎn)H,作關(guān)于對稱的A/GH,設(shè)ABFH,△/￡■廠的面

積分別為H，邑，若加c°=6,試求H-邑的值.

A

E

C

G

22.(10分)已知：。尸平分/MON,點(diǎn)48分別在邊OM,ON±.,且/CU尸+/。3尸=180。.

(1)如圖1,當(dāng)AP〃(W時(shí)，求證：OB=PB.

(2)如圖2,當(dāng)/O4P<90。時(shí)，作尸C_L(W于點(diǎn)C.求證：OA-OB=2AC.

圖1圖2

23.(10分)已知，在V/3C中，ZCAB=90°,/DI3c于點(diǎn)。，點(diǎn)E在線段8。上，且CD=OE,點(diǎn)尸

在線段45上，且/BE尸=45。

(1)如圖1,求證：NDAE=NB

(2)如圖1,若NC=2,且/尸=25尸，求V48c的面積

(3)如圖2,若點(diǎn)尸是的中點(diǎn)，求沁的值.

3Azec

圖1圖2

24.(12分)如圖，在V48c中，ZACB=90°,ZABC=30°,ACDE是等邊三角形，點(diǎn)。在邊NB上.

(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)E在邊3c上時(shí)，求證。石=仍

(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)E在VN8C內(nèi)部時(shí)，猜想EZ)和EB數(shù)量關(guān)系，并加以證明；

(3)如圖3,當(dāng)點(diǎn)E在V/BC外部時(shí)，EH—B于點(diǎn)、H,過點(diǎn)E作GE||4B,交線段NC的延長線于點(diǎn)G,

AG=5CG,BH=3,求CG的長.

參考答案：

1.B

【分析】此題主要考查了軸對稱圖形的概念.軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，折疊后對稱軸兩旁的圖形

重合.

根據(jù)軸對稱圖形的意義：如果一個(gè)平面圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形就

叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸.據(jù)此判斷即可.

【詳解】解：A、該圖形不是軸對稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意；

B、該圖形是軸對稱圖形，故此選項(xiàng)符合題意；

C、該圖形不是軸對稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意；

D、該圖形不是軸對稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意.

故選：B.

2.D

【分析】利用軸對稱的性質(zhì)和全等三角形的性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可.

【詳解】解：???△A8C與關(guān)于直線/對稱，

:必ABC三△ABC,BB'LI,CC'LI,AB=AB',ACAC,

；.ABAC=ZB'AC,CC'\\BB',即選項(xiàng)A、B正確；

由軸對稱的性質(zhì)得：OD=OD；OB=OB，,

:.OB-OD=OB'-OD',即8。=9。，選項(xiàng)C正確；

由軸對稱的性質(zhì)得：40=/￡），，但40不一定等于DDL即選項(xiàng)D不一定正確；

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了軸對稱的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)，熟練掌握軸對稱的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

3.C

【分析】本題考查了光的反射定律，平行線的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)是解題的

關(guān)鍵.由光的反射定律以及平行線的性質(zhì)，推出4=N3=N5,再結(jié)合三角形內(nèi)角和，推出N1的度數(shù).

【詳解】如圖所示，由光的反射定律，可以知道N5=/2,/3=/4

A

VAB//l2,CD//1,

、k

Z1=Z2,Z1=Z4

Z1=Z3=Z5

?/Zl+Z3+Z5=180°

/.Zl=60°

故選：C.

4.B

【分析】本題考查尺規(guī)作圖-垂直平分線、三角形內(nèi)角和定理、平行線的性質(zhì)，由題意得，是直線/的

垂直平分線，可得〃乂，/,根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求得NC以=55。，再根據(jù)平行線的性質(zhì)求解即可.

【詳解】解：由題意得，“N是直線/的垂直平分線，

：.MNll,

NCBA=180。一90。-35。=55。,

?：a"b、

：.ABAD=ZCBA=55°,

故選：B.

5.B

【分析】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，延長CE交"的延長線于

點(diǎn)尸，證明用AC4F（ASA）,得BD=CF,再證NBFC=/BCF,得BC=BF,然后由等腰三角形的

性質(zhì)得產(chǎn)E=CE=2,即可得出結(jié)論.掌握等腰三角形三線合一性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：如圖，延長CE交A4的延長線于點(diǎn)尸，

?；NBAC=90。,CEYBD,

JZCAF=ABAC=ZDEC=90°,

ZADB=ZCDE,

???ZABD=90°-/ADB=90°-ZCDE=ZACF,

在△540和VC4廠中，

/BAD=ZCAF

<AB=AC,

ZABD=ZACF

：.出ACAF（ASA）,

：.BD=CF,

?：CE_LDB,

；?/BEF=/BEC=9U。,

9：ABC,CE=2,

：.AFBE=/CBE,

???ZBFC=90°-ZFBE=90°-ZCBE=/BCF,

JBC=BF,

：.FE=CE=2,

；.BD=CF=2CE=4,

???助的長為4.

故選：B.

6.A

【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握全等

三角形的對應(yīng)邊相等，等邊對等角.

易得/ABD=90。-/ABC,通過證明△/BC四△/Z）￡（AAS）得出4。=,貝U//皿==90?！?45C,

最后根據(jù)在△45。中，AABD+ZADB+ABAD=180°,即可得出結(jié)論.

【詳解】解：???瓦）〃4C,

???NCBD=180°-NACB=90°,

JZABD=900-ZABC,

9：/CAE=/BAD,

：./CAE+NBAE=/BAD+/BAE,即ABAC=NDAE,

ABC和V/。石中，

ZACB=ZAED

<NBAC=NDAE,

BC=DE

：.AABC絲AAS),

JAD=AB,

：.ZABD=ZADB=90°-/ABC,

在△45。中，AABD+AADB+ABAD=2(90°-ZABC)+ZCAE=180

整理得：2/4BC=/CAE,

故選：A.

7.D

【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)，設(shè)設(shè)原來乙(EC=x。，求出此時(shí)

/%加=(180-"。，然后類似求出變化后4少￡=(172-小。，然后兩角作差即可得出結(jié)論.

【詳解】解：設(shè)原來44EC=x。，則44ED=(180-x)。

,/EA=ED,

：.NEAD=ZEDA=1(18(F-ZAED)=臣，

ZBDE=180°-NEDA=，80-j,

//EC增大16。后，NHE'C'=(x+16)。，

ZE'A'D'=ZE'D'A'=1(180°-ZA'E'D)+8]c,

ZB'D'E'=lS(f-ZE'D'A'=,72-,

ZB'D'E'-NBDE=(172--(180-1^°=-8°,

，ZBDE的變化情況是減小8。,

故選：D.

8.D

【分析】先根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到EB=EA,GA=GC,再利用等腰三角形的性質(zhì)得到NB=AEAB,

ZC=ZGAC,接著利用三角形內(nèi)角和定理得到NB+/C=100。，然后利用

NEAB+ZGAC=ABAC+ZGAE=ZB+ZC可計(jì)算出NGAE的度數(shù).本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，

三角形的內(nèi)角和，角的和差關(guān)系，等腰三角形的性質(zhì)掌握線段垂直平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：垂直平分4B,

EB=EA,

：.NB=NEAB,

尸垂直平分/C,

GA=GC,

：.ZC^ZGAC,

,/ABAC=80°,

.?.在A/BC中，Z5+ZC=180°-ZSy4C=100°,

NEAB+AGAC=ZBAC+NGAE=ZB+ZC,

：.80°+/G/￡=100°,

NGAE=20°.

故選：D.

9.C

【分析】過點(diǎn)C作CM_LAB交AB于點(diǎn)M,交AD于點(diǎn)P,過點(diǎn)P作PQ_LAC于點(diǎn)Q,由AD是/BAC的平分

線.得出PQ=PM,這時(shí)PC+PQ有最小值，即CM的長度，運(yùn)用面積法即可求得答案.

【詳解】

如圖，過點(diǎn)C作CMLAB交AB于點(diǎn)M,交AD于點(diǎn)P,過點(diǎn)P作PQLAC于點(diǎn)Q,

VADMZBAC的平分線.

；.PQ=PM,這時(shí)PC+PQ有最小值，即CM的長度，

VAC=3,BC=4,ZACB=90°,

AB=A/AC2+BC2=A/32+42=5，

■:s撬BC=；AB-CM=；AC-BC,

.…ACBC3x412

..CM=----------=------=—,

AB55

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了軸對稱■最短問題以及角平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用軸對稱的性質(zhì)找出

滿足PC+PQ有最小值時(shí)點(diǎn)P和Q的位置.

10.C

【分析】①無法證明是否同底等高的兩個(gè)三角形面積相等即可判斷；②根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出

ZABC=NCAD,根據(jù)三角形外角性質(zhì)即可推出；③根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出4=根據(jù)角平

分線定義即可判斷；④根據(jù)等腰三角形的判定方法即可判斷.

【詳解】解：,??無法證明4尸=8尸，

故無法證明=S.BCF，

故①錯(cuò)誤；

???CF是角平分線，

/.ZACF=ZBCF,

,?*AD是高，

ZADC=90%

NBAC=90。,

:.ZABC+ZACB=90\ZACB+ZCAD=90°,

/.ZABC=ZCAD,

???ZAFG=ZABC+ZBCF,ZAGF=ZCAD+ZACF,

:.ZAFG=ZAGFf故②正確；

,?*AD是IWJ，

/./ADB=90°,

ZBAC=90°，

ZABC+ZACB=90°,ZABC+ZBAD=90°,

ZACB=ABAD,

???%是角平分線，

ZACB=2ZACF,

ABAD=2NACF,

即/E4G=24CF,故③正確；

根據(jù)已知條件不能推出/HBC=AHCB,

因此不能證明Ba=CH,故④錯(cuò)誤；

綜上可知，②③結(jié)論正確，

故選C.

【點(diǎn)睛】此題考查了三角形的角平分線、中線和高性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)等知識(shí)，

難度一般，解題的關(guān)鍵是綜合運(yùn)用上述知識(shí).

11.15

【分析】本題考查作圖一基本作圖、線段垂直平分線的性質(zhì)，熟練掌握線段垂直平分線的性質(zhì)是解答本題的

關(guān)鍵.

由作圖過程可知，直線為線段8c的垂直平分線，則。B=Z)C.由題意可得，AB+AC=15,則△4DC

的周長為4D+CD+/C=4D+AD+/C=4B+/C求解.

【詳解】解：由作圖過程可知，直線"N為線段的垂直平分線，

：.DB=DC.

?.,V/8C的周長為24,BC=9,

：.AB+AC=15.

：.AADC的周長為AD+CZ?+HC=/D+BD+NC=A8+4C=15.

故答案為：15.

12.V6

【分析】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，中垂線的判定和性質(zhì)，延長CP交BD于點(diǎn)G,過點(diǎn)尸作跖，〃，

證明會(huì)AGPB,得到CP=PG,進(jìn)而得到CD=Z)G,證明A/E尸名ABFP,得到取=尸尸，再根據(jù)等積

法，得到尸。?尸G=DG?尸尸，等量代換，即可得出結(jié)果.

【詳解】解：延長C尸交AD于點(diǎn)G,過點(diǎn)尸作成_L〃，

AC/Em

/DFGB

*.*m//n,

：.EFlm,ZACP=/BGP,

:?EF=2,NAEP=NBFP=9。。,

???點(diǎn)P為線段45的中點(diǎn)，

/.AP=BP,

?.?/APE=4BPF,ZAEP=/BFP=90°,

J^AEPWBFP,

：.EP=FP=-EF=1,

2

?：AP=BP,ZACP=/BGP,ZAPC=ABPG,

J^CPA^GPB,

：.CP=PG,

NCPD=90。,

J.DPLCG,

：.DP垂直平分CG,

:,CD=DG=E

?：DP1GP,PFIDG,

：.S=-DPPG=-DGPF,

△DPPGC22

ADPPG=DGPF=46xl=屈，

■:CP=PG,

?9-DPPC=46;

故答案為：V6.

13.1.5

【分析】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的判定，熟練掌握全等三角形的判定方法是解決

問題的關(guān)鍵.先證明△/DG和V/5C是等腰三角形，再證明AEG尸名A8CF（SAS）,設(shè)4D=X,則。G=X,

根據(jù)。E=8,列方程可得結(jié)論.

［詳解】解：?.?//=NEGF,ZAGD=ZEGF,

ZA=ZAGD,

/.AD=DG,

設(shè)=x,則。G=x,

在AEG尸和VBC廠中，

EF=BF

</EFG=/BFC,

FG=FC

:AEGFaBC%A0,

:.BC=EG,ZE=ZEBC,

/.EG//BC,

AAGD=NC=N4,

.，.BC=AB=x+5=EG,

?;DE=8,

x+x+5=8,

??x=1.59

AD=1.5.

故答案為：1.5.

14.（3,1）

【分析】本題考查了平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)的特征，三角形全等的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性

質(zhì)，熟練掌握三角形全等的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.過C作軸于“，過。作DNLy軸于N,根

據(jù)已知可得V/3C是等腰直角三角形，得到BC=/3,利用等量代換，進(jìn)而可證AC3M%A4O（AAS）,由

此得到BM=A0-2,OB=CM-3,再證明^DBN=^CBM（AAS）,即可得到DN—CM=3,BN—MB=2,

ON=OB-NB=\,由此可求點(diǎn)。的坐標(biāo).

【詳解】解：過C作CMLy軸于過。作。軸于N,

???點(diǎn)A,C的坐標(biāo)分別是(-2,0),(-3,5),

:.OA=2,CM=3,OM=5,

???NBAC=45。,/CBA=90。,

.?.△4BC是等腰直角三角形,

二.BC=AB,

???/BCM+/CBM=AABO+/CBM=90°,

/BCM=/ABO,

???/CMB=/AOB=9(T,

「.△CW也△BZO(AAS),

：.BM=AO=2,OB=CM=3,

???△ABC咨AABD,

/.BD=BC,

???ZDBN=NCBM,ZDNB=ZCMB=90°,

:.^DBN^CBM(AAS),

DN=CM=3,BN=MB=2,,

:.ON=OB—NB=3—2=1,

.:。的坐標(biāo)是(3,1).

故答案為：(3,1).

15.4或12

【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，一元一次方程的應(yīng)用.熟練掌握等腰

三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，一元一次方程的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵.

由題意知，當(dāng)0</46時(shí)，0M=12-2/；當(dāng)6<f時(shí)，OM=2t-U,ON=t,由△MCW是等腰三角形，可

知當(dāng)0<區(qū)6時(shí)，OM=ON,即12-2f=f,計(jì)算求解即可；當(dāng)6</時(shí)，證明△MCW是等邊三角形，貝U

OM=ON,即21-12=/,計(jì)算求解即可.

【詳解】解：由題意知，當(dāng)0<絲6時(shí)，（W=12-2f；

當(dāng)6</時(shí)，OM=2t-U,

ON=t,

：△MON是等腰三角形，

.?.當(dāng)0</46時(shí)，OM=ON,即12-2/=/,

解得，，=4,

當(dāng)6</時(shí)，△MON是等腰三角形，

△MCW是等邊二角形，

：.OM=ON,即2/-12=/,

解得，t=12,

綜上所述，』的值為4或12,

故答案為：4或12.

24,3

16.—/3-

77

【分析】根據(jù)對稱性質(zhì)，將斯周長轉(zhuǎn)換為一條直線，如圖所示（見詳解），作點(diǎn)E關(guān)于43的對稱點(diǎn)

作點(diǎn)E關(guān)于NC的對稱點(diǎn)N,連接NM,AE,AN,三角形/MN是等邊三角形，SE尸周長

7

DE+DF+EF=MN,即MN最小就是4E的值最小，V4BC的面積是6,BC=~,由此即可求解.

2

【詳解】解：如圖所示，作點(diǎn)￡關(guān)于48的對稱點(diǎn)作點(diǎn)E關(guān)于NC的對稱點(diǎn)N,連接0W,AD,AN,

：.AM=AE=AN,即48是瓦0的垂直平分線，/C是EN的垂直平分線，且NM4B=NBAE,ZCAE=ZCAN

,/ABAC=NBAE+ZEAC=30°,

：.ZMAN=NMAB+ZBAE+ZEAC+ZCAN,即AMAN=2(ZB4E+Z￡4C)=2x30°=60°,

三角形/MN是等邊三角形,

AM=AN=MN=AE,

，當(dāng)點(diǎn)在一條直線上時(shí)，QEF周長DE+DF+EF=MN,即MN最小就是40的值最小，

根據(jù)點(diǎn)到直線垂線段最短，可知當(dāng)/E，3c時(shí)，NE最小，即9跖周長最小，

117

?；V/BC的面積是6,BC=6,即S^gc=ZE=QXQ/Z)=6,

2424

AD=-y,即iJJEF周長最小亍,

故答案為：-

【點(diǎn)睛】本題主要考查點(diǎn)的對稱性找最短路徑，垂直平分線的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，理解和掌握垂直

平分線的性質(zhì)，對稱軸的性質(zhì)找最短路徑的方法是解題的關(guān)鍵.

17.22020

【分析】

本題主要考查了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征及點(diǎn)的坐標(biāo)變化規(guī)律，能根據(jù)題意得出4,4,+i=2"rn為正整

數(shù))是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)所給一次函數(shù)解析式得出直線與x軸正半軸的夾角為30°,再依次求出44+1的長度，發(fā)現(xiàn)規(guī)律即可解

決問題.

【詳解】

解：?.?一次函數(shù)的解析式為y=fx，

,此直線與X軸正半軸的夾角為30。.???△44片是等邊三角形，

Z.BXAXA2=60°,44=AXBX,

/.NOB]4=NBQ4=30°,

/.OAX=A[B[.

?.?點(diǎn)4的坐標(biāo)為(i,o),

44=—1.

同理可得，

1

A2A3=2=2

2

A3A4=4=2,

3

A4A5=8=2,

所以44用=2"7（〃為正整數(shù)），

當(dāng)〃=2021時(shí)，

AA-嚴(yán)°

^2021^2022-4-

故答案為：22020.

18.②③④

【分析】由折疊性質(zhì)得到/DEF=NGEF,ZDfiF=ZDpF,根據(jù)平行線性質(zhì)得到ZDEF=ZGEF=NEFG,

再由三角形外角性質(zhì)確定=尸+/G尸E,"EGD〔=a,』EFG=/3,則a+4尸=180。，只有當(dāng)

。=夕=36。時(shí)結(jié)論①才成立；由尸G，得到/EGC=NGRS一結(jié)合折疊性質(zhì)求證即可得到②正確；

在①的求證過程中可知/GEF=/EFG=26。，設(shè)NEFJ=a,則/GFC?=26。+a=/GFC1，從而由折疊

性質(zhì)表示出角度關(guān)系列方程求解即可得到③正確；在①的證明過程中

ZFGH=ZDtGF=ZGEF+ZGFE=2ZEFB,結(jié)合外角性質(zhì)即可得到④正確；從而得到答案.

【詳解】解:由折疊性質(zhì)得/DEF=/GEF,ZDfiF=ZDpF,

ZEGD2+ZD2GF+ZDfiF=18G,

AD//BC,

ZDEF=ZEFG,則ZDEF=ZGEF=ZEFG,

SGF是4EGF的一個(gè)外角,

ZDfiF=ZGEF+ZGFE,

沒NEGD[=a,ZEFG=/3,則a+4￡=180°,

當(dāng)/EG。?=NE『G時(shí)，a=〃=36。，

；?題中并未明確/EG?、/MG的度數(shù)，故①錯(cuò)誤；

VED}//FCX,

ZEGC=ZGFCl,

由折疊性質(zhì)可知/MC=NMG，則2/E尸C=N8尸C+/G尸。=/￡GC+180。，故②正確；

由折疊性質(zhì)得NEFQ=ZEFC,ZGFC2-ZGFCV

由①的證明過程可知，NGEF=NEFG=26。,

設(shè)ZEFC2=a,貝I]ZGFC2=26°+a=ZGFC,,

ZEFC=ZEFQ=26。+（26。+a）=a+52。,

;NEFG+NEFC=180。,

26°+a+52°=180°,解得a=102。，即/E/C?=102。，故③正確；

由①知ZFGH=ND\GF=ZGEF+ZGFE=2ZEFB,

NFHD］是AHGF的一個(gè)外角，

ZFHD2=ZFGH+ZEFB=MEFB,故④正確；

綜上所述，題中正確的結(jié)論是②③④，

故答案為：②③④.

【點(diǎn)睛】本題考查折疊求角度關(guān)系，涉及折疊性質(zhì)、鄰補(bǔ)角定義、三角形外角性質(zhì)、平行線性質(zhì)等知識(shí)，

數(shù)形結(jié)合，利用相關(guān)幾何性質(zhì)準(zhǔn)確表示出各個(gè)角度之間的關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵.

19.證明見解析

【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，過B作瓦FEC于點(diǎn)尸，則2BFC=90°,

根據(jù)等腰三角形的"三線合一"定理得8尸=PC=g￡C,再證明ACB尸也A/CZ)(ASA),根據(jù)全等三角形的性

質(zhì)即可求證，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵.

【詳解】如圖，過8作此，EC于點(diǎn)尸，則N8FC=90。，

BF=FC=-EC,

2

ADLEC,

：.ZCDA=NBFC=90°,

NBCF+ZCBF=NBCF+乙4CD=90。,

NCBF=NACD,

在VC8/和A/CD中，

ZBFC=ZCDA=90P

<BC=CA,

ZCBF=ZACD

.??尸絲△/CO(ASA),

：.CF=AD,

：.AD=-EC,

2

EC=2AD.

20.(l)ZCPD=100°

(2)CP=5

【分析】本題考查了軸對稱的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理等知識(shí).熟練掌握軸對稱的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定

理是解題的關(guān)鍵.

(1)由點(diǎn)￡與點(diǎn)尸關(guān)于。4對稱，點(diǎn)廠與點(diǎn)P關(guān)于05對稱，ZOCP=ZF=2(f，可得/0CE=/0b=2QP,

ZDPF=ZF=20°,則/尸CF=40。，ZCPF=180°-Z.F-ZPCF=120°,ZCPD=ZCPF-ZDPF,

求解作答即可；

(2)由點(diǎn)E與點(diǎn)尸關(guān)于04對稱，點(diǎn)尸與點(diǎn)尸關(guān)于05對稱，CP=DP,可得CE=CP=DP,DP=DF,

即b，由CF=CE+QE+。9=2CE+3=13,可求C￡=5,進(jìn)而可得CP的長.

【詳解】(1)解：???點(diǎn)E與點(diǎn)尸關(guān)于CM對稱，點(diǎn)方與點(diǎn)尸關(guān)于05對稱，ZOCP=ZF=20°f

：.Z0CE=Z0CP=2(f,/DPF=/F=20。,

：.ZPCF=40°,ZCPF=180°-ZF-ZPCF=120°,

???ZCPD=/CPF-ZDPF=10(P,

???ZCPD=100°；

(2)解：???點(diǎn)￡與點(diǎn)尸關(guān)于CM對稱，點(diǎn)方與點(diǎn)尸關(guān)于05對稱，CP=DP,

：.CE=CP=DP,DP=DF,

：.CE=DF,

:?CF=CE+DE+DF=ME+3=\3,

解得C￡=5,

：.CP=5.

21.(1)112°

(2)3

【分析】本題是三角形綜合題，考查了軸對稱，三角形的中線，與角平分線有關(guān)的三角形內(nèi)角和定理、三

角形外角的性質(zhì)等知識(shí)，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行推理是本題的關(guān)鍵.

(1)由三角形內(nèi)角和定理可求NB/C=60。，由角平分線的性質(zhì)和外角的性質(zhì)可求解；

(2)根據(jù)對稱的性質(zhì)得到A8=/G,BH=HG,S^ABH=SAAGH,由面積的和差關(guān)系可得

SABFH—SAAEF=S“BH—S.ABE=AABG一企AABC，從而得到S]—S?。

【詳解】(1)解：???乙48。=38。,44。5=82。，

ABAC=60°,

平分/A4C,

J/BAD=NCAD=30。，

：.ZADB=ADAC+ZACB=30°+82°=112c；

(2)關(guān)于4〃對稱的△ZGH,

；?4B=AG,BH=HG,S“BH=S.AGH，

?S.BFH-S、AEF=^^ABH-S4AsES"BO

=

?-E—S2=-S^ABG--S^ABC=-(S"G—S"c)2ZBCG=3.

22.⑴詳見解析

⑵詳見解析

【分析】本題考查了角平分線的定義，平行線的性質(zhì)，等角對等邊，全等三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)

鍵是理解題意并掌握這些知識(shí)點(diǎn).

(1)根據(jù)O尸平分/MON得4。尸=/8。尸，根據(jù)8尸〃(W得乙4。尸=48尸。，利用等角對等邊即可得;

(2)作PD_LON于點(diǎn)。，利用AAS可證明,得到4。=以)，然后證明出

RSPOC也RtA尸。。(HL),得至IJOC=O￡>,進(jìn)而求解即可.

【詳解】(1)證明：平分/MON,

ZAOP=ZBOP,

"BP//OM,

：.ZAOP=NBPO,

：.ZBOP=ZBPO,

OB=PB-

(2)解：如圖所示，作尸0LON于點(diǎn)Q,

???PC_LOM于點(diǎn)C,0P平分4M0N,

：.PC=PD,ZPCA=ZPDB=ZOCP=90°,

???/CMP+/OBP=180。，NDBP+/OBP=180。,

：.ZOAP=ZDBP,

在△尸4C和APBD中,

ZCAP=ZDBP

<ZPCA=/PDB=90P

PC=PD

：.^PAC^APBD(AAS),

JAC=BD

?：OP=OP,PC=PD,

：.RtdO&R"O0(HL),

JOC=OD,

u：OA=OC+AC,OB=OD-BD,

：.OA-OB=OC+AC-(OD-BD)=AC+BD=2AC.

23.⑴證明見解析

⑵3

【分析】(1)根據(jù)題意可得=證明△/。。?△/瓦)，即可得證；

(2)設(shè)N5=x,貝l」/C=90?！獂,利用三角形內(nèi)角和定理得乙4防=44月E,繼而得到4E=4尸,

AB-AF+BF=3,再利用面積公式可得答案；

(3)過尸作尸于點(diǎn)G,連接ZG,可得EG=bG,設(shè)EG=FG=a,證明△ZCQ會(huì)AS尸G和

△EAG學(xué)AFAG,繼而得到5G=2*BE=BG+EG=3a,即可得解.

【詳解】(1)證明：???NC45=90。，

???ZCAD+ZBAD=90°,

??,ADIBC,

：?NADB=NADC=90。,

：.NBAD+NB=9b,

ZCAD=ZB,

在△ZCQ和△人助中，

CD=ED

</ADC=/ADE,

AD=AD

：.△4CD7"E￡>(SAS),

ZDAC=ZDAE,

ZDAE=ZB；

(2)解:VZCAB=90°,

：.Z5+ZC=90°,

設(shè)N5=x,則/C=90?！?,

由(1)知：LACD必AED,

：.ZCEA=ZC=90°-x,

*：ZBEF=45°,

：.ZAFE=ZB+ZBEF=x+45),

Z^EF=180°-ZC^-Z5EF=180o-(90o-x)-45o=x+45°,

???ZAEF=ZAFE,

AE=AF,

VAC=2,AF=2BF,

由(1)可知：LACDm乙AED,

：.AC=AE,

：.2BF=AF=AC=2f