2024-2025學(xué)年人教版八年級數(shù)學(xué)上冊復(fù)習(xí)：全等三角形高頻考點(diǎn)-截長補(bǔ)短（解析版）

特訓(xùn)08全等三角形高頻考點(diǎn)一一截長補(bǔ)短

【特訓(xùn)過關(guān)】

1.己知：如圖，四邊形/BCD中，4C平分NB4D,CELAB于E,且N5+ND=180°,判斷ZE、

和的關(guān)系，并說明理由.

【答案】AE=AD+BE,理由見解析.

【解析】解：AE=AD+BE.理由如下:

在/￡上截取=連接CW,

???幺。平分/52。，

/.Zl=Z2,

在AZMC和440。中，

AC=AC

<Z1=Z2,

AM=AD

：.AAMC^AADC(SAS),

：.Z3=ZD,

?：ZB+ZD=180°,Z3+Z4=180°,

/.Z4=ZB,

：.CM=CB,

CE1AB,

：.ZCEM=ZCEB,CE=CE,

：.ACEMACEB(AAS),

ME=EB,

*.*AE=AM+ME,

2.如圖，/￡>是的角平分線，NB=26。,ZADC=77°.

(1)求NC的度數(shù)；

(2)求證：AC+CD=AB.

【解析】(1)解：NADC=ZB+ZBAD,

/BAD=ZADC—NB=77。-26°=51°,

'：AD平分ABAC,

：.ZCAD=ZBAD=51°,

：.ZC=180°-ZADC-ACAD=180°-77°-51°=52°；

(2)證明：在上取一點(diǎn)7,使得ZT=/C.

在AADT和Aaoc中，

AT=AC

</DAT=NDAC,

AD=AD

J.^ADT^ADC(SAS'),

：.DT=CD,ZATD=ZC=52°,

?：NATD=ZB+ZTDB=52°,

ZB=ZTDB=26°,

：.TB=TD=CD,

：.AC+CD=AT+TB=AB.

A

3.如圖，四邊形45CD中，AC平分NB4D,CE工AB于點(diǎn)、E,Z5+ZD=180°,求證:

AE=AD+BE.

【答案】見解析.

【解析】解：過點(diǎn)C作CH_LZ。，交的延長線于點(diǎn)X,如圖所示:

則NC7￡4=90。，

?：4C平分NB4D,CEA.AB,

：.CE=CH,ZCEB=ZCEA=90°,ABAC=ADAC,

：NB+ND=180°,ZCDH+ZADC=180°,

ZCDH=ZB,

在△CDE■和ACEB中,

ZCDH=ZB

<ZCHD=ZBEC,

CH=CE

：.ACDH'CEB(AAS),

：.BE=DH,

在ACEZ和ACE為中，

ACEA=NCHA

<NEAC=NHAC,

AC=AC

：.ACEA^ACHA(AAS),

AE=AH,

：.AE=AD+DH=AD+EB.

H

ZC=90°,ZD是A48C的角平分線.求證:=AC+CD；

【答案】見解析.

【解析】證明：作。ELZ8于點(diǎn)E,則NN￡D=/C=N8E￡)=90°,

是NBZC的平分線，DELAB,DCLAC,

：.DE=CD,

在MAEAD和Rt^,CAD中,

AD=AD

DE=DC'

MAEAD2MACAD(HL),

AE=AC,

'：AC=BC,ZC=90°,

：.ZB=ZCAB=45°,

ZEDB=ZB=45°,

EB=ED=CD,

：.AB=AE+EB=AC+CD.

5.如圖，AB//CD,BE平分/ABC,CE平分/BCD,若￡在40上.

求證：(1)BE±CE；(2)BC=AB+CD.

【答案】見解析.

【解析】證明：如圖所示：

(1),:BE、CE分別是NZBC和N5C。的平分線,

Zl=Z2,Z3=Z4,

又：AB//CD,

：.Zl+Z2+Z3+Z4=180°,

Z2+Z3=90°,

/.ZBEC=90°,

BELCE.

(2)在8c上取點(diǎn)F，使BF=BA,連接E7L

在&ABE和AFBE中，

AB=FB

<Z1=Z2,

BE=BE

:.AABE'FBE(SAS),

/LA=N5.

?/AB//CD,

：.ZA+ZD=180°,

：.Z5+ZZ>=180°,

???Z5+Z6=180°,

N6=ND,

在ACDE和ACFE中,

ZD=N6

?/<Z4=Z3,

CE=CE

：.ACDE'CFE(AAS),

：,CF=CD.

?：BC=BF+CF,

BC=AB+CD.

6.已知Z。是AZ5c的角平分線，ZB=2ZC.求證:AB+BD=AC.

【答案】見解析.

【解析】證明：在邊NC上截取4P=4B,

???4D是A4BC的角平分線，

ZBAD=ZPAD,

在AABD和AAPD中，

AB=AP

?：<ZBAD=ZPAD,

AD=AD

：.AABD^AADP(SAS),

：.ZAPD=ZB,PD=BD,

ZB=2ZC,

ZPDC=ZC,

PD=PC,

：.AB+BD=AC.

7.在△48C中，AA=a,BD,CE是△48C的兩條角平分線，且AD,CE交于點(diǎn)尸.

(1)用含a的式子表示ZBFC,則NBFC=:

(2)當(dāng)a=60。時(shí)，用等式表示8￡,BC,CD這三條線段之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

【答案】(1)90°+-?；(2)BE+CD=BC.

2

【解析】解：(1)VBD,CE是△48C的兩條角平分線,

ZDBC=ZDBA=-ZABC,ZECB=ZECA=-ZACB,

22

ZBFC=180°-ZDBC-ZECB=180°-；(NZ3C+NACB)=180°—g(180°—NZ)=90°+gNZ,

*.*NA=a,

ZBFC=90°+-a,

2

故答案為：900+-a.

2

(2)BE+CD=BC,

證明：當(dāng)a=60°時(shí)，如圖，在8c上截取8G=8E,連接尸G,

?/NBFC=90°+^a=90°+^x60°=120°,

22

ZBFE=ZCFD=180°-ZBFC=60°,

在ABGF和ABEF中，

BG=BE

<ZFBG=ZFBE,

BF=BF

：.ABGF'BEF(SAS),

ZBFG=ZBFE=60°,

ZCFG=ZCFD=60°,

在ACGF和ACD9中,

ZFCG=ZFCD

<CF=CF

ZCFG=ZCFD

：,ACGF/ACDF(ASA),

：.CG=CD,

：.BE+CD=BG+CG=BC.

8.已知AZBC中，ZA=60°,BD,CE分別平分NZBC和NNC5,BD、CE交于點(diǎn)O,試判斷BE,

CD,5c的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

理由見解析.

【解析】解：在BC上取點(diǎn)G使得CG=CD,

,/ZBOC=180?！?NZ5C+NZC5)=180。—gx(180。—60。)=120°,

ZBOE=ZCOD=60°,

在AC。。和ACOG中,

co=co

ZDCO=AGCO,

CD=CG

：.ACOD^ACOG(SAS),

ZCOG=ZCOD=60°,

ZBOG=120°-60°=60°=NBOE,

在ABOE和ABOG中，

ZBOE=ZBOG

<BO=BO,

NEBO=ZGBO

：.ABOE^ABOG(ASA),

：.BE=BG,

：.BE+CD=BG+CG=BC.

A

9.如圖，△48C是等邊三角形，。是AABC外一點(diǎn)，且N5QC=60°,判斷D4、DB、。。的數(shù)量關(guān)

系.

【答案】BD=DA+DC,理由見解析.

【解析】解：結(jié)論：BD=DA+DC.

理由：如圖，在上截取一點(diǎn)使得=

,/NBDC=60°,

△QMC是等邊三角形，

AABC是等邊三角形，

DC=CM=DM,ZDCM=ZACB=60°,CA=CB,

：.ZACD=ZBCM,

在ACID和ACBAf中,

CD=CM

?：<ZACD=ZBCM,

CA=CB

：.ACADWCBM,

BM=AD,

：.BD=BM+DM=AD+DC.

10.如圖，在△NBC中，NA4c=60°,ZD是N8ZC的平分線，且NC=Z5+8。，求NZBC的度數(shù).

【答案】ZABC=80°.

【解析】解：如圖，在NC上截取ZE=4B,

,/AD平分/氏4C,

ZBAD=ZCAD,

在AABD和&AED中，

AB=AE

,/<ABAD=ACAD,

AD=AD

：.AABD^AAED(SAS),

：.BD=DE,NB=NAED,

VAC=AE+CE,AC=AB+BD,

：.CE=BD,

：.CE=DE,

；.NC=NCDE,即N8=2NC,

在△48C中，

ZBAC+ZB+ZC=180°,

：.60°+2ZC+ZC=180°,解得NC=40°,

：.ZABC=2x40°=80°.

11.如圖，已知AZBC為等腰三角形，AB=AC,。為線段C8延長線上一點(diǎn)，連接/￡),DE平分

ZADC

3

交AC、4B于點(diǎn)￡、F,且N4DC+—N45C=180°.

2

(1)猜想ND4c與NZC。的數(shù)量關(guān)系，并證明；

(2)求證AD=QC+EC.

【答案】（1）ZACD=2ZDAC,證明見解析；（2）見解析.

【解析】（1）解：ZACD=2ZDAC,證明如下：

,/AB=AC,

：.ZABC=ZACD,

3

：N4DC+巳N48C=180°,

2

3

?.ZADC+-ZACD=180°,

2

,/ZADC=1800-ZACD-ZDAC,

3

Al80°—NACD—ADAC=180°——ZACD,

2

化簡，得：ZACD=2ZDAC；

（2）證明：延長。C至點(diǎn)K,使CK=CE,

?/CK=CE,

：.NK=ZCEK,

/.ZACD=2NK,

?/ZACD=2ZDAC,

：.ADAC=NK,

?:DE平分NADC,

：.ZADE=ZKDE,

在AaOE和AKDE中,

ZADE=ZKDE

<ZDAC=ZK,

DE=DE

:.AADE'KDE(AAS),

：.DA=DK,

?：DK=DC+CK=DC+EC,

AD=DC+EC.

12.如圖所示，在五邊形48CQE中，AB=AE,BC+DE=CD,N48C+NNE。=180°,求證：DA

平分NCDE.

【答案】見解析.

【解析】解：連接ZC,延長到使￡F=8C,連接4F,

VBC+DE=CD,EF+DE=DF,

：.CD=FD,

'：ZABC+ZAED=180°,NAEF+ZAED=180°,

ZABC=NAEF,

在ANBC和△ZEE中，

AB=AE

'：<ZABC=ZAEF,

BC=EF

：.AABC^AAEF(SAS),

：.AC=AF,

在△ZCD和△AFD中，

AC=AF

?：＜CD=FD,

AD=AD

：.AACD^AFD(SSS),

ZADC=ZADF,

即AD平分NCDE.

13.如圖，△NBC中，ZBAC=90°,以直角邊ZC為腰，向外作等腰直角三角形/CD,AC=CD,

//CD=90°,點(diǎn)￡是5c邊上一點(diǎn)，且CE=CD,ZABC=2ZCED.

（1）探究：ZCDE與ZACB的數(shù)量關(guān)系;

（2）求證：BC=CF+AB.

備用圖

【答案】（1）ZACB+2ZCDE=90°,理由見解析；（2）見解析.

【解析】（1）解：ZACB+2ZCDE=90°,理由如下：

,/CE=CD,

：.NCED=ZCDE,

△COE中，ZCDE+ZCED+ZECD=180°,

,/ZACD=90°,

ZCED+ZCDE+ZACB=90°,

：.ZACB+2ZCDE=90°；

(2)證明：如圖1,延長A4至G,使NG=CE,連接CG,

圖1

?：AC=CD,ZCAG=ZDCF=90°,AG=CF,

：.AGAC^AFCD（SAS）,

AG=ZCFD,ZACG=ZCDF,

,/ZCED=ZCDE,

ZACG=ZCED,

???ZCFD=ZCED+ZACB,

/.ZCFD=ZG=ZACG+ZACB=ZBCG,

：.BC=BG,

,/BG=AB+AG=AB+CF,

/.BC=CF+AB.

14.如圖，CA=CB,CD=CE,ZACB=ZDCE=60°,AD,BE交于點(diǎn)、P,若點(diǎn)C在區(qū)D上.

（1）NE=35°,求NC4D的度數(shù)；

【答案】（1）25°；（2）見解析.

【解析】（1）解：?.?NZC5=NDCE,

?.ZACB+ZACE=ZDCE+ZACE,

即ZBCE=NACD,

在△ZC￡>和ABCE中,

CA=CB

<ZACD=ZBCE,

CD=CE

：.AACD^A^CE(SAS),

ND=NE=35°,

'：ZACB=60°,

：.ZCAD=ZACB-ZD=60°-35°=25°；

(2)證明：如圖，在AP上取8b=Z尸，連接CF,

由(1)知，ABCE'ACD,

：.ZA=ZB,

CB=CA,BF=AP,

：.ABCF^AACP(SAS),

CF=PC,ZBCF=ZACP,

ZACB=ZPCF=60°,

△尸C尸是等邊三角形，

PF=PC,

：.PB-PA=PC.

15.如圖，AZBC和都是等腰三角形，AB=AC,DE=DF,NBAC=NEDF,點(diǎn)、E在ABE

點(diǎn)下在射線ZC上，連結(jié)Z。，若AD=AB.

求證：(1)ZAED=ZAFD；(2)AF=AE+BC.

【答案】見解析.

【解析】證明：(1)ABAC=AEDF,ZANE=ZDNF,

ABAC+ZANE+ZAED=NDNF+NEDF+ZAFD=180°,

/.ZAED=ZAFD；

(2)如圖，在E4上截取W=連接。河，

在AAED和AMFD中,

'AE=MF

<ZAED=NMFD,

DE=DF

：.△ZEQ%〃FQ(SAS),

DA=DM=AB=AC,ZADE=ZMDF,

ZADE+ZEDM=ZMDF+NEDM,

ZADM=NEDF=ZBAC,

在ANBC和△'四中，

AB=DA

<ABAC=NADM,

AC=DM

：.AABC^ADAM(SAS),

：.AM=BC,

：.AE+BC=FM+AM=AF,

AF=AE+BC.

16.如圖，在AZBC中，AC=BC,AD平分NC4B.

(1)如圖1,若NZC8=90°,求證：AB=AC+CD；

(2)如圖2,若AB=AC+BD,求NZC3的度數(shù)；

(3)如圖3,若NZC8=100°,求證：AB=AD+CD.

【答案】（1）見解析；（2）108°；（3）見解析.

【解析】（1）如圖1,過。作。河，48于跖

...在4力臺(tái)。中，AC=BC,

：.NABC=45°,

?/ZACB=90°,是角平分線,

CD=MD,

：.ZBDM=ZABC=45°,

BM=MD,

...BM=CD,

在Rt^ADC和Rt^ADM中,

CD=MD

AD=AD

RMADC沿RMADM(HL)，

：.AC=AM,

：.AB=AM+BM=AC+CD,

即AB=AC+CD；

(2)設(shè)N/C8=a,則NG48=NC"=90°—,

2

在48上截取ZK=ZC,連結(jié)。K，如圖2,

?；AB=AC+BD，AB=AK+BK，

?*-BK=BD，

是角平分線，

ACAD=NKAD，

在ACID和AKN。中，

AC=AK

<ACAD=NKAD,

AD=AD

ACAD^AKAD(SAS)，

：.ZACD=ZAKD=a,

ZBKD=180°-a,

BK=BD，

Z8QK=180°—a,

:.在ABDK中，180°—a+180°—1+90°-工1=180°，

2

，a=108°,

NZC8=108°；

（3）如圖3,在48上截取N8=4D,連接。H,

圖3

VZ^C5=100°,AC=BC,

：.NCAB=ZCBA=40°,

：4D是角平分線，

ZHAD=ZCAD=20°,

ZADH=ZAHD=80°，

在45上截取ZK=NC,連接。K,

由（1）得，ACAD名AKAD，

ZACB=ZAKD=100°-CD=DK，

ZDKH=80°=ZDHK，

；?DK=DH=CD，

'：ZCBA=40°,

ZBDH=ZDHK-ZCBA=40°,

DH=BH,

：.BH=CD,

,/AB=AH+BH,

：.AB=AD+CD.

17.在四邊形中，C是AD邊的中點(diǎn).若AC平分NBAE,ZACE=90°,則判斷線段/￡、

48、的長度滿足的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

【答案】AE=AB+DE,理由見解析.

【解析】解：AE=AB+DE-,

理由：在ZE上取一點(diǎn)F，使=.

?；4C平分NB4E,

：.ABAC=ZFAC.

在ANCB和△ZCF中，

AB=AF

<ABAC=ZFAC,

AC=AC

：.AACB^AACF(SAS),

：.BC=FC,ZACB=ZACF.

是BD邊的中點(diǎn).

/.BC=CD,

：.CF=CD.

,/ZACE=90°,

ZACB+ZDCE=90°,ZACF+ZECF=90°,

ZECF=ZECD.

在ACEE和ACED中，

CF=CD

<ZECF=NECD,

CE=CE

：.ACEFACEDISAS),

EF=ED.

?/AE=AF+EF,

/.AE=AB+DE；

故答案為：AE=AB+DE.

18.如圖，△48C是等邊三角形，△ADC是頂角N5DC=120。的等腰三角形，〃是48延長線上一點(diǎn),

N是C4延長線上一點(diǎn)，且NM)N=60。.試探究W、MN、CN之間的數(shù)量關(guān)系，并給出證明.

【答案】CN=MN+BM,理由見解析.

【解析】解：CN=MN+BM；

證明：在CN上截取點(diǎn)￡,使=,連接?！?

為等邊三角形，

/.ZACB=ZABC=60°,

又△BQC為等腰三角形，且N5QC=120。，

BD=DC,NDBC=/BCD=30°,

NABD=ZABC+ZDBC=ZACB+ZBCD=ZECD=90°,

在AMBD和AECD中，

BD=CD

<ZMBD=ZECD,

BM=CE

：.AMBDmAECD(SAS),

：.MD=DE,ZMDB=ZEDC,

又ZMDN=60°,ZBDC=120°,

/.ZEDN=ZBDC-(ZBDN+ZEDC)=ZBDC-(ZBDN+ZMDB)=ZBDC-NMDN=60°,

：.ZMDN=ZEDN,

在.AMND與AEND中，

'ND=ND

'：＜ZMDN=ZEDN,

MD=DE

：.AMND^AEND(SAS),

：.MN=NE,

：.CN=NE+CE=MN+BM.

19.【問題初探】

(1)如圖1,在四邊形45CD中，AB=AD,ZB=ZADC=90°.E、尸分別是BC、CD上的點(diǎn)，且

￡尸=5￡+尸￡),探究圖中/區(qū)IF,ZBAE,NE4。之間的數(shù)量關(guān)系.甲同學(xué)探究此問題的方法：延長ED

到點(diǎn)G,使DG=BE.連接NG.先證明AZBE等AZOGI"S),再證△NEEm△ZGP(SSS),請你根

據(jù)甲同學(xué)的解題思路直接寫出NE4F,NBAE,NE4。之間的數(shù)量關(guān)系.

【類比分析】

像(1)題一樣，當(dāng)己知(或求證)一條線段等于另外兩條線段的和(或差)時(shí)，經(jīng)常用到這種方法一截

長補(bǔ)短法構(gòu)造全等三角形來完成證明過程，這樣可以利用轉(zhuǎn)化思想，把兩條線段的和(或差)轉(zhuǎn)化成一條

線段，從而降低解題難度.請你用這種方法解答(2).

(2)如圖2,若在四邊形48CD中，AB=AD,N8+N4D9=180°,E,尸分別是5C,CD上的

點(diǎn).且EF=BE+FD,上述結(jié)論是否仍然成立？請說明理由.

【學(xué)以致用】

(3)如圖3,在四邊形/BCD中，AB=AD,ZABC+ZADC=130°.若點(diǎn)￡在CB的延長線上，點(diǎn)尸

在C。的延長線上，且跖=8￡+ED,請直接寫出/EXF與/。48之間的數(shù)量關(guān)系.

G

八

【答案】【問題初探】NEAF=NFAD+NBAE，理由見解析；【類比分析】結(jié)論仍然成立，理由見解析;

【學(xué)以致用】2ZEAF+ZDAB=360°,理由見解析.

【解析】解：【問題初探】延長ED到點(diǎn)G,使DG=BE,如圖：

,/ZB=ZADC=90°,

?.ZB=NADG=90°,

,:BE=DG,AB=AD,

；.AABE^AADG（SAS）,

：.NBAE=NDAG,AE=AG,

■：EF=BE+FD,DG=BE,

：.EF=DG+FD=GF,

'：AF=AF,

：.^AEF^AGF{SSS）,

/.NEAF=ZFAG,

,/ZFAG=ZFAD+ZDAG,ZBAE=ZDAG,

ZEAF=ZFAD+ZBAE；

故答案為：ZEAF=ZFAD+ZBAE；

【類比分析】上述結(jié)論仍然成立，理由如下:

延長ED到點(diǎn)G,使DG=BE,連接ZG,如圖:

,/ZB+ZADF=180。，ZADG+ZADF=180°,

ZB=ZADG,

在AZBE和A4DG中，

AB=AD

<ZB=ZADG

BE=DG

:.AABEAADG(SAS),

：.ZBAE=ZDAG,AE=AG,

,:EF=BE+FD,

：.EF=DG+FD=GF,

在AAEF和AAGF中,

AE=AG

<AF=AF

EF=GF

:.AAEFWAGF(SSS),

ZEAF=NGAF=ZDAG+NDAF=NBAE+ZDAF,

即ZEAF=NGAF=ZBAE+ZDAF；

【學(xué)以致用】2NEAF+NDAB=360°,理由如下：

延長。。到K,使。K=8E,連接ZK,如圖：

K

c/!

NABC+ZADC=1