山東專用2024新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第十章計數(shù)原理概率隨機變量及其分布10.8離散型隨機變量的均值與方差學(xué)案含解析

PAGE第八節(jié)離散型隨機變量的均值與方差課標要求考情分析1.理解取有限個值的離散型隨機變量的均值、方差的概念．2．能計算簡潔離散型隨機變量的均值、方差，并能解決一些實際問題.1.主要考查離散型隨機變量的數(shù)學(xué)期望與方差的求解及應(yīng)用，常與排列、組合、概率、統(tǒng)計交匯命題．2．題型以解答題為主，要求較高，解題時要求有較強的綜合實力以及分析問題、解決問題的實力.學(xué)問點一離散型隨機變量的均值與方差1．均值一般地，若離散型隨機變量X的分布列為：Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn則稱E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn為隨機變量X的均值或數(shù)學(xué)期望．它反映了離散型隨機變量取值的平均水平．(1)期望是算術(shù)平均值概念的推廣，是概率意義下的平均．(2)E(X)是一個實數(shù)，由X的分布列唯一確定，即作為隨機變量，X是可變的，可取不同值，而E(X)是不變的，它描述X取值的平均狀態(tài)．(3)E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn干脆給出了E(X)的求法，即隨機變量取值與相應(yīng)概率分別相乘后相加．2．方差設(shè)離散型隨機變量X的分布列為：Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn則(xi－E(X))2描述了xi(i＝1,2，…，n)相對于均值E(X)的偏離程度．而D(X)＝eq\i\su(i＝1,n,)(xi－E(X))2pi為這些偏離程度的加權(quán)平均，刻畫了隨機變量X與其均值E(X)的平均偏離程度．稱D(X)為隨機變量X的方差，并稱其算術(shù)平方根eq\r(DX)為隨機變量X的標準差．學(xué)問點二均值與方差的性質(zhì)1．兩個特別分布的期望與方差分布期望方差兩點分布E(X)＝pD(X)＝p(1－p)二項分布E(X)＝npD(X)＝np(1－p)2.均值與方差的性質(zhì)若Y＝aX＋b，其中a，b是常數(shù)，X是隨機變量，則(1)E(k)＝k，D(k)＝0，其中k為常數(shù)；(2)E(aX＋b)＝aE(X)＋b，D(aX＋b)＝a2D(X)；(3)E(X1＋X2)＝E(X1)＋E(X2)；(4)D(X)＝E(X2)－(E(X))2；(5)若X1，X2相互獨立，則E(X1·X2)＝E(X1)·E(X2)．(6)若X～N(μ，σ2)，則X的均值與方差分別為：E(X)＝μ，D(X)＝σ2.1．思索辨析推斷下列結(jié)論正誤(在括號內(nèi)打“√”或“×”)(1)隨機變量的均值是常數(shù)，樣本的均值是隨機變量．(√)(2)隨機變量的方差和標準差都反映了隨機變量取值偏離均值的平均程度，方差或標準差越小，則偏離均值的平均程度越小．(√)(3)均值與方差都是從整體上刻畫離散型隨機變量的狀況，因此它們是一回事．(×)2．小題熱身(1)已知X的分布列為：X－101Peq\f(1,2)eq\f(1,3)eq\f(1,6)設(shè)Y＝2X＋3，則E(Y)的值為(A)A.eq\f(7,3) B．4C．－1 D．1(2)已知ξ～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(1,3)))，并且η＝2ξ＋3，則方差D(η)＝(A)A.eq\f(32,9) B.eq\f(8,9)C.eq\f(43,9) D.eq\f(59,9)(3)設(shè)隨機變量X聽從正態(tài)分布N(0,1)，若P(X>1)＝p，則P(－1<X<0)＝(D)A.eq\f(1,2)＋p B．1－pC．1－2p D.eq\f(1,2)－p(4)甲、乙兩工人在一天生產(chǎn)中出現(xiàn)的廢品數(shù)分別是兩個隨機變量X，Y，其分布列分別為：X0123P0.40.30.20.1Y012P0.30.50.2若甲、乙兩人的日產(chǎn)量相等，則甲、乙兩人中技術(shù)較好的是乙．(5)有一批產(chǎn)品，其中有12件正品和4件次品，從中有放回地任取3件，若X表示取到次品的次數(shù)，則D(X)＝eq\f(9,16).解析：(1)∵E(X)＝－eq\f(1,2)＋eq\f(1,6)＝－eq\f(1,3)，∴E(Y)＝E(2X＋3)＝2E(X)＋3＝－eq\f(2,3)＋3＝eq\f(7,3).(2)由題意知，D(ξ)＝4×eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))＝eq\f(8,9)∴η＝2ξ＋3，∴D(η)＝4·D(ξ)＝4×eq\f(8,9)＝eq\f(32,9).(3)因為隨機變量X聽從正態(tài)分布N(0,1)，所以正態(tài)分布曲線關(guān)于直線x＝0對稱，所以P(X>0)＝P(X<0)＝eq\f(1,2)，P(X>1)＝P(X<－1)＝p，所以P(－1<X<0)＝P(X<0)－P(X<－1)＝eq\f(1,2)－p.(4)E(X)＝0×0.4＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.1＝1.E(Y)＝0×0.3＋1×0.5＋2×0.2＝0.9，∵E(Y)<E(X)．∴乙技術(shù)好．(5)∵X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(1,4)))，∴D(X)＝3×eq\f(1,4)×eq\f(3,4)＝eq\f(9,16).考點一離散型隨機變量的均值與方差【例1】某品牌汽車4S店，對最近100位采納分期付款的購車者進行統(tǒng)計，統(tǒng)計結(jié)果如下表所示．已知分9期付款的頻率為0.2.4S店經(jīng)銷一輛該品牌的汽車，顧客分3期付款，其利潤為1萬元；分6期或9期付款，其利潤為1.5萬元；分12期或15期付款，其利潤為2萬元．用η表示經(jīng)銷一輛汽車的利潤.付款方式分3期分6期分9期分12期分15期頻數(shù)4020a10b(1)求上表中的a，b值；(2)若以頻率作為概率，求事務(wù)A“購買該品牌汽車的3位顧客中，至多有1位采納分9期付款”的概率P(A)；(3)求η的分布列及均值E(η)．【解】(1)由eq\f(a,100)＝0.2，得a＝20.又40＋20＋a＋10＋b＝100，所以b＝10.(2)記分期付款的期數(shù)為ξ，ξ的可能取值是3,6,9,12,15.依題意，得P(ξ＝3)＝eq\f(40,100)＝0.4，P(ξ＝6)＝eq\f(20,100)＝0.2，P(ξ＝9)＝0.2，P(ξ＝12)＝eq\f(10,100)＝0.1，P(ξ＝15)＝eq\f(10,100)＝0.1.則“購買該品牌汽車的3位顧客中，至多有1位分9期付款”的概率為P(A)＝0.83＋Ceq\o\al(1,3)×0.2×(1－0.2)2＝0.896.(3)由題意，可知ξ只能取3,6,9,12,15.而ξ＝3時，η＝1；ξ＝6時，η＝1.5；ξ＝9時，η＝1.5；ξ＝12時，η＝2；ξ＝15時，η＝2.所以η的可能取值為1,1.5,2，且P(η＝1)＝P(ξ＝3)＝0.4，P(η＝1.5)＝P(ξ＝6)＋P(ξ＝9)＝0.4，P(η＝2)＝P(ξ＝12)＋P(ξ＝15)＝0.1＋0.1＝0.2.故η的分布列為η11.52P0.40.40.2所以η的均值E(η)＝1×0.4＋1.5×0.4＋2×0.2＝1.4.方法技巧離散型隨機變量的均值和方差的求解，一般分兩步：一是定型，即先推斷隨機變量的分布是特別類型，還是一般類型，如兩點分布、二項分布、超幾何分布等屬于特別類型；二是定性，對于特別類型的均值和方差可以干脆代入相應(yīng)公式求解，而對于一般類型的隨機變量，應(yīng)先求其分布列然后代入相應(yīng)公式計算，留意離散型隨機變量的取值與概率的對應(yīng).為迎接2024年北京冬奧會，推廣滑雪運動，某滑雪場開展滑雪促銷活動．該滑雪場的收費標準是：滑雪時間不超過1小時免費，超過1小時的部分每小時收費標準為40元(不足1小時的部分按1小時計算)．有甲、乙兩人相互獨立地來該滑雪場運動，設(shè)甲、乙不超過1小時離開的概率分別為eq\f(1,4)，eq\f(1,6)；1小時以上且不超過2小時離開的概率分別為eq\f(1,2)，eq\f(2,3)；兩人滑雪時間都不會超過3小時．(1)求甲、乙兩人所付滑雪費用相同的概率；(2)設(shè)甲、乙兩人所付的滑雪費用之和為隨機變量ξ，求ξ的分布列與均值E(ξ)，方差D(ξ)．解：(1)兩人所付費用相同，相同的費用可能為0,40,80元，甲、乙兩人2小時以上且不超過3小時離開的概率分別為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,4)－\f(1,2)))＝eq\f(1,4)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,6)－\f(2,3)))＝eq\f(1,6).兩人都付0元的概率為P1＝eq\f(1,4)×eq\f(1,6)＝eq\f(1,24)，兩人都付40元的概率為P2＝eq\f(1,2)×eq\f(2,3)＝eq\f(1,3)，兩人都付80元的概率為P3＝eq\f(1,4)×eq\f(1,6)＝eq\f(1,24)，則兩人所付費用相同的概率為P＝P1＋P2＋P3＝eq\f(1,24)＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,24)＝eq\f(5,12).(2)設(shè)甲、乙所付費用之和為ξ，ξ的可能取值為0,40,80,120,160，則P(ξ＝0)＝eq\f(1,4)×eq\f(1,6)＝eq\f(1,24)，P(ξ＝40)＝eq\f(1,4)×eq\f(2,3)＋eq\f(1,2)×eq\f(1,6)＝eq\f(1,4)，P(ξ＝80)＝eq\f(1,4)×eq\f(1,6)＋eq\f(1,2)×eq\f(2,3)＋eq\f(1,4)×eq\f(1,6)＝eq\f(5,12)，P(ξ＝120)＝eq\f(1,2)×eq\f(1,6)＋eq\f(1,4)×eq\f(2,3)＝eq\f(1,4)，P(ξ＝160)＝eq\f(1,4)×eq\f(1,6)＝eq\f(1,24).所以ξ的分布列為ξ04080120160Peq\f(1,24)eq\f(1,4)eq\f(5,12)eq\f(1,4)eq\f(1,24)E(ξ)＝0×eq\f(1,24)＋40×eq\f(1,4)＋80×eq\f(5,12)＋120×eq\f(1,4)＋160×eq\f(1,24)＝80.D(ξ)＝(0－80)2×eq\f(1,24)＋(40－80)2×eq\f(1,4)＋(80－80)2×eq\f(5,12)＋(120－80)2×eq\f(1,4)＋(160－80)2×eq\f(1,24)＝eq\f(4000,3).考點二二項分布的均值與方差【例2】甲、乙兩名運動員參與“選拔測試賽”，在相同條件下，兩人6次測試的成果(單位：分)記錄如下：甲867792727884乙788288829590(1)用莖葉圖表示這兩組數(shù)據(jù)，現(xiàn)要從中選派一名運動員參與競賽，你認為選派誰參賽更好？說明理由(不用計算)．(2)若將頻率視為概率，對運動員甲在今后3次測試中的成果進行預(yù)料，記這3次測試的成果高于85分的次數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望E(X)及方差D(X)．【解】(1)莖葉圖如圖：由圖可知乙的平均水平比甲高，故選派乙參賽更好．(2)由題意得，甲運動員每次測試的成果高于85分的概率是eq\f(1,3)，3次測試的成果高于85分的次數(shù)X聽從二項分布，X全部可能的取值為0,1,2,3，P(X＝0)＝Ceq\o\al(0,3)×(eq\f(1,3))0×(eq\f(2,3))3＝eq\f(8,27)，P(X＝1)＝Ceq\o\al(1,3)×(eq\f(1,3))1×(eq\f(2,3))2＝eq\f(4,9)，P(X＝2)＝Ceq\o\al(2,3)×(eq\f(1,3))2×(eq\f(2,3))1＝eq\f(2,9)，P(X＝3)＝Ceq\o\al(3,3)×(eq\f(1,3))3×(eq\f(2,3))0＝eq\f(1,27)，X的分布列為X0123Peq\f(8,27)eq\f(4,9)eq\f(2,9)eq\f(1,27)E(X)＝3×eq\f(1,3)＝1，D(X)＝3×eq\f(1,3)×eq\f(2,3)＝eq\f(2,3).方法技巧二項分布的期望與方差,1假如ξ～Bn，p，則用公式Eξ＝np；Dξ＝np1－p求解，可大大削減計算量.2有些隨機變量雖不聽從二項分布，但與之具有線性關(guān)系的另一隨機變量聽從二項分布，這時，可以綜合應(yīng)用Eaξ＋b＝aEξ＋b以及Eξ＝np求出Eaξ＋b，同樣還可求出Daξ＋b.某工廠的檢驗員為了檢測生產(chǎn)線上生產(chǎn)零件的狀況，現(xiàn)從產(chǎn)品中隨機抽取了80個零件進行測量，依據(jù)測量的數(shù)據(jù)作出如圖所示的頻率分布直方圖．注：尺寸數(shù)據(jù)在[63.0,64.5)內(nèi)的零件為合格品，頻率作為概率．(1)從產(chǎn)品中隨機抽取4個，記合格品的個數(shù)為ξ，求ξ的分布列與期望．(2)從產(chǎn)品中隨機抽取n個，全是合格品的概率不小于0.3，求n的最大值．(3)為了提高產(chǎn)品合格率，現(xiàn)提出A，B兩種不同的改進方案進行試驗．若按A方案進行試驗后，隨機抽取15個產(chǎn)品，不合格品個數(shù)X的期望是2；若按B方案進行試驗后，隨機抽取25個產(chǎn)品，不合格品個數(shù)Y的期望是4.你會選擇哪種改進方案？解：(1)由頻率分布直方圖可知，抽取的產(chǎn)品為合格品的頻率為(0.75＋0.65＋0.2)×0.5＝0.8，即抽取1個產(chǎn)品為合格品的概率為eq\f(4,5)，從產(chǎn)品中隨機抽取4個，合格品的個數(shù)ξ的全部可能取值為0,1,2,3,4，則P(ξ＝0)＝(eq\f(1,5))4＝eq\f(1,625)，P(ξ＝1)＝Ceq\o\al(1,4)×eq\f(4,5)×(eq\f(1,5))3＝eq\f(16,625)，P(ξ＝2)＝Ceq\o\al(2,4)×(eq\f(4,5))2×(eq\f(1,5))2＝eq\f(96,625)，P(ξ＝3)＝Ceq\o\al(3,4)×(eq\f(4,5))3×eq\f(1,5)＝eq\f(256,625)，P(ξ＝4)＝(eq\f(4,5))4＝eq\f(256,625).所以ξ的分布列為ξ01234Peq\f(1,625)eq\f(16,625)eq\f(96,625)eq\f(256,625)eq\f(256,625)ξ的數(shù)學(xué)期望E(ξ)＝4×eq\f(4,5)＝eq\f(16,5).(2)從產(chǎn)品中隨機抽取n個產(chǎn)品，全是合格品的概率為(eq\f(4,5))n，依題意得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))n≥0.3，故n的最大值為5.(3)設(shè)按A方案進行試驗后，隨機抽取1個產(chǎn)品是不合格品的概率是a，則隨機抽取15個產(chǎn)品，不合格品個數(shù)X～B(15，a)；設(shè)按B方案進行試驗后，隨機抽取1個產(chǎn)品是不合格品的概率是b，則隨機抽取25個產(chǎn)品，不合格品個數(shù)Y～B(25，b)．依題意得E(X)＝15a＝2，E(Y)＝25b所以a＝eq\f(2,15)，b＝eq\f(4,25).因為eq\f(2,15)<eq\f(4,25)，所以應(yīng)選擇方案A.考點三均值與統(tǒng)計的綜合應(yīng)用【例3】中共十九大以來，某貧困地區(qū)扶貧辦主動實行國家精準扶貧的要求，帶領(lǐng)廣闊農(nóng)村地區(qū)人民群眾脫貧奔小康．經(jīng)過不懈的奮力拼搏，新農(nóng)村建設(shè)取得巨大進步，農(nóng)夫年收入也逐年增加．為了更好地制定2024年關(guān)于加快提升農(nóng)夫年收入，力爭早日脫貧的工作支配，該地扶貧辦統(tǒng)計了2024年50位農(nóng)夫的年收入(單位：千元)并制成如下頻率分布直方圖：(1)依據(jù)頻率分布直方圖，估計50位農(nóng)夫的年平均收入eq\x\to(x)(單位：千元)(同一組數(shù)據(jù)用該組數(shù)據(jù)區(qū)間的中點值表示)．(2)由頻率分布直方圖，可以認為該貧困地區(qū)農(nóng)夫年收入X聽從正態(tài)分布N(μ，σ2)，其中μ近似為年平均收入eq\x\to(x)，σ2近似為樣本方差s2，經(jīng)計算得s2＝6.92.利用該正態(tài)分布，解決下列問題：①在2024年脫貧攻堅工作中，若使該地區(qū)約有占總農(nóng)夫人數(shù)的84.14%的農(nóng)夫的年收入高于扶貧辦制定的最低年收入標準，則最低年收入大約為多少千元？②為了調(diào)研“精準扶貧，不落一人”的落實狀況，扶貧辦隨機走訪了1000位農(nóng)夫．若每個農(nóng)夫的年收入相互獨立，問：這1000位農(nóng)夫中年收入不少于12.14千元的人數(shù)最有可能是多少？附：參考數(shù)據(jù)與公式eq\r(6.92)≈2.63，若X～N(μ，σ2)，則①P(μ－σ<X≤μ＋σ)≈0.6827；②P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)≈0.9545；③P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)≈0.9973.【解】(1)eq\x\to(x)＝12×0.04＋14×0.12＋16×0.28＋18×0.36＋20×0.10＋22×0.06＋24×0.04＝17.40(千元)．(2)由題意，X～N(17.40,6.92)．①P(X>μ－σ)≈eq\f(1,2)＋eq\f(0.6827,2)≈0.8414，μ－σ≈17.40－2.63＝14.77，即最低年收入大約為14.77千元．②由P(X≥12.14)＝P(X≥μ－2σ)≈0.5＋eq\f(0.9545,2)≈0.9773，得每個農(nóng)夫的年收入不少于12.14千元的事務(wù)的概率為0.9773，記這1000位農(nóng)夫中年收入不少于12.14千元的人數(shù)為ξ，則ξ～B(103，p)，其中p＝0.9773，于是恰好有k位農(nóng)夫的年收入不少于12.14千元的事務(wù)的概率是P(ξ＝k)＝Ck103pk(1－p)103－k，從而由eq\f(Pξ＝k,Pξ＝k－1)＝eq\f(1001－k×p,k×1－p)>1，得k<1001p，而1001p＝978.2773，所以，當(dāng)0≤k≤978時，P(ξ＝k－1)<P(ξ＝k)，當(dāng)979≤k≤1000時，P(ξ＝k－1)>P(ξ＝k)，由此可知，在所走訪的1000位農(nóng)夫中，年收入不少于12.14千元的人數(shù)最有可能是978.方法技巧概率與統(tǒng)計作為考查考生應(yīng)用意識的重要載體，已成為近幾年高考的一大亮點和熱點．它與其他學(xué)問融合、滲透，情境新奇，充分體現(xiàn)了概率與統(tǒng)計的工具性和交匯性．經(jīng)銷商經(jīng)銷某種農(nóng)產(chǎn)品，在一個銷售季度內(nèi)，每售出1t該產(chǎn)品獲得利潤500元，未售出的產(chǎn)品，每1t虧損300元．依據(jù)歷史資料，得到銷售季度內(nèi)市場需求量的頻率分布直方圖，如圖所示．經(jīng)銷商為下一個銷售季度購進了130t該農(nóng)產(chǎn)品．以X(單位：t,100≤X≤150)表示下一個銷售季度內(nèi)的市場需求量，T(單位：元)表示下一個銷售季度內(nèi)經(jīng)銷該農(nóng)產(chǎn)品的利潤．(1)將T表示為X的函數(shù)；(2)依據(jù)直方圖估計利潤T不少于57000元的概率；(3)在直方圖的需求量分組中，以各組的區(qū)間中點值代表該組的各個值，需求量落入該區(qū)間的頻率作為需求量取該區(qū)間中點值的概率(例如：若需求量X∈[100,110)，則取X＝105，且X＝105的概率等于需求量落入[100,110)的頻率)，求T的均值．解：(1)當(dāng)X∈[100,130)時，T＝500X－300(130－X)＝800X－39000.當(dāng)X∈[130,150]時，T＝500×130＝65000.所以T＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(800X－39000，100≤X<130，,65000，130≤X≤150.))(2)由(1)知利潤T不少于57000元，當(dāng)且僅當(dāng)120≤X≤150.由直方圖知需求量X∈[120,150]的頻率為0.7，所以下一個銷售季度內(nèi)的利潤T不少于57000元的概率的估計值為0.7.(3)依題意可得T的分布列為T45000530006100065000P0.10.20.30.4所以E(T)＝45000×0.1＋53000×0.2＋61000×0.3＋65000×0.4＝59400.考點四均值與函數(shù)、不等式、數(shù)列的交匯問題【例4】(2024·全國卷Ⅰ)為治療某種疾病，研制了甲、乙兩種新藥，希望知道哪種新藥更有效，為此進行動物試驗．試驗方案如下：每一輪選取兩只白鼠對藥效進行對比試驗．對于兩只白鼠，隨機選一只施以甲藥，另一只施以乙藥．一輪的治療結(jié)果得出后，再支配下一輪試驗．當(dāng)其中一種藥治愈的白鼠比另一種藥治愈的白鼠多4只時，就停止試驗，并認為治愈只數(shù)多的藥更有效．為了便利描述問題，約定：對于每輪試驗，若施以甲藥的白鼠治愈且施以乙藥的白鼠未治愈則甲藥得1分，乙藥得－1分；若施以乙藥的白鼠治愈且施以甲藥的白鼠未治愈則乙藥得1分，甲藥得－1分；若都治愈或都未治愈則兩種藥均得0分．甲、乙兩種藥的治愈率分別記為α和β，一輪試驗中甲藥的得分記為X.(1)求X的分布列；(2)若甲藥、乙藥在試驗起先時都給予4分，pi(i＝0,1，…，8)表示“甲藥的累計得分為i時，最終認為甲藥比乙藥更有效”的概率，則p0＝0，p8＝1，pi＝api－1＋bpi＋cpi＋1(i＝1,2，…，7)，其中a＝P(X＝－1)，b＝P(X＝0)，c＝P(X＝1)．假設(shè)α＝0.5，β＝0.8.①證明：{pi＋1－pi}(i＝0,1,2，…，7)為等比數(shù)列；②求p4，并依據(jù)p4的值說明這種試驗方案的合理性．【解】(1)X的全部可能取值為－1,0,1.P(X＝－1)＝(1－α)β，P(X＝0)＝αβ＋(1－α)(1－β)，P(X＝1)＝α(1－β)．所以X的分布列為X－101P(1－α)βαβ＋(1－α)(1－β)α(1－β)(2)①由(1)得a＝0.4，b＝0.5，c＝0.1.因此pi＝0.4Pi－1＋0.5pi＋0.1pi＋1，故0.1(pi＋1－pi)＝0.4(pi－pi－1)，即pi＋1－pi＝4(pi－pi－1)．又因為p1－p0＝p1≠0，所以{pi＋1－pi}(i＝0,1,2，…，7)為公比為4，首項為p1的等比數(shù)列．②由①可得p8＝p8－p7＋p7－p6＋…＋p1－p0＋p0＝(p8－p7)＋(p7－p6)＋…＋(p1－p0)＝eq\f(48－1,3)p1.由于p8＝1，故p1＝eq\f(3,48－1)，所以p4＝(p4－p3)＋(p3－p2)＋(p2－p1)＋(p1－p0)＝eq\f(44－1,3)p1＝eq\f(1,257).p4表示最終認為甲藥更有效的概率．由計算結(jié)果可以看出，在甲藥治愈率為0.5，乙藥治愈率為0.8時，認為甲藥更有效的概率為p4＝eq\f(1,257)≈0.0039，此時得出錯誤結(jié)論的概率特別小，說明這種試驗方案合理．方法技巧1.本題的解題思路是：(1)先求出X的全部可能取值，再用α，β表示出X取各個值時的概率，即可得X的分布列．(2)①由(1)得a，b，c的值，再利用等比數(shù)列的定義，證明數(shù)列{pi＋1－pi}是等比數(shù)列；②利用①的結(jié)論，將p8用p1表示，再依據(jù)p8＝1，可求出p1，從而得p4的值，即可對方案的合理性做出推斷．2．均值與函數(shù)、不等式、數(shù)列等跨學(xué)科學(xué)問的交匯問題是當(dāng)前高考的一大命題趨勢，成為高考壓軸題的命題生長點．已知A1，A2，A3，…，A10等10所高校實行自主招生考試，某同學(xué)參與每所高校的考試獲得通過的概率均為p(0<p<1)．(1)假如該同學(xué)10所高校的考試都參與，恰有m(1≤m≤10)所通過的概率為f(p)，當(dāng)p為何值時，f(p)取得最大值；(2)若p＝eq\f(1,2)，該同學(xué)參與每所高?？荚囁璧馁M用均為a元，該同學(xué)確定按A1，A2，A3，…，A10依次參與考試，一旦通過某所高校的考試，就不再參與其他高校的考試，否則，接著參與其他高校的考試，求該同學(xué)參與考試所需費用ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望．解：(1)因為該同學(xué)通過各?？荚嚨母怕示鶠閜，所以該同學(xué)恰好通過m(1≤m≤10)所高校自主招生考