第04章 分式不等式-假期晉級利器之初升高數(shù)學(xué)銜接教材（解析版）

第4章分式不等式【知識銜接】————初中知識回顧————分式方程：分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程．(1)分式方程的解法①一般解法：去分母法，即方程兩邊同乘以最簡公分母．②特殊解法：換元法．學(xué)-科網(wǎng)(2)驗根：由于在去分母過程中，當(dāng)未知數(shù)的取值范圍擴(kuò)大而有可能產(chǎn)生增根．因此，驗根是解分式方程必不可少的步驟，一般把整式方程的根的值代人最簡公分母，看結(jié)果是不是零，使最簡公分母為零的根是原方程的增根，必須舍去．說明：解分式方程，一般先考慮換元法，再考慮去分母法．分式不等式的解法：

分母恒為正時可去分母；分母不恒為正時不能去分母，應(yīng)先移項使右邊為0再通分并將分子分母分解因式，最后用標(biāo)根法求解。解分式不等式的主旨是化分式不等式為整式不等式，進(jìn)行求解．————高中知識鏈接————可化為一元二次方程的分式方程1．去分母化分式方程為一元二次方程 2．用換元法化分式方程為一元二次方程簡單分式不等式的解法【經(jīng)典題型】初中經(jīng)典題型1．已知關(guān)于x的分式方程的解是非負(fù)數(shù)，那么a的取值范圍是（）A．a(chǎn)＞1B．a(chǎn)≥1C．a(chǎn)≥1且a≠9D．a(chǎn)≤1【答案】C．【分析】根據(jù)分式方程的解法即可求出a的取值范圍；點睛：本題考查分式方程的解法，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用分式方程的解法，本題屬于基礎(chǔ)題型．2．若關(guān)于的分式方程有增根，則實數(shù)的值是．【答案】1．【解析】試題分析：方程兩邊同乘以x-2，可得m=x-1-3（x-2），解得m=-2x+5，因分式方程有增根，可得x=2，所以m=1．學(xué)-科網(wǎng)3．解不等式：．【答案】【解析】試題分析：不等式等價于，解之即可．試題解析：不等式等價于，∴，故不等式的解集是．4．不等式的解是__________．【答案】【解析】試題分析：原不等式化為，解得．高中經(jīng)典題型【例1】解方程．分析：去分母，轉(zhuǎn)化為整式方程．解：原方程可化為：方程兩邊各項都乘以：即， 整理得：解得：或．檢驗：把代入，不等于0，所以是原方程的解；把代入，等于0，所以是增根．所以，原方程的解是．說明：(1)去分母解分式方程的步驟：①把各分式的分母因式分解；②在方程兩邊同乘以各分式的最簡公分母；③去括號，把所有項都移到左邊，合并同類項；④解一元二次方程；⑤驗根． (2)驗根的基本方法是代入原方程進(jìn)行檢驗，但代入原方程計算量較大．而分式方程可能產(chǎn)生的增根，就是使分式方程的分母為0的根．因此我們只要檢驗一元二次方程的根，是否使分式方程兩邊同乘的各分式的最簡公分母為0．若為0，即為增根；若不為0，即為原方程的解．【例2】解方程分析：本題若直接去分母，會得到一個四次方程，解方程很困難．但注意到方程的結(jié)構(gòu)特點，設(shè)，即得到一個關(guān)于的一元二次方程．最后在已知的值的情況下，用去分母的方法解方程．解：設(shè)，則原方程可化為：解得或．(1)當(dāng)時，，去分母，得；(2)當(dāng)時，．檢驗：把各根分別代入原方程的分母，各分母都不為0．所以，，都是原方程的解．說明：用換元法解分式方程常見的錯誤是只求出的值，而沒有求到原方程的解，即的值．【例3】解方程．(1)當(dāng)時，；(2)當(dāng)時，．檢驗：把把各根分別代入原方程的分母，各分母都不為0．所以，原方程的解是，，．說明：解決分式方程的方法就是采取去分母、換元等法，將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程，體現(xiàn)了化歸思想．【例4】解下列不等式： (1) (2)分析：(1)類似于一元二次不等式的解法，運(yùn)用“符號法則”將之化為兩個一元一次不等式組處理；或者因為兩個數(shù)(式)相除異號，那么這兩個數(shù)(式)相乘也異號，可將分式不等式直接轉(zhuǎn)化為整式不等式求解．(2)注意到經(jīng)過配方法，分母實際上是一個正數(shù)．解：(1)解法(一)原不等式可化為：解法(二)原不等式可化為：．(2)∵原不等式可化為：【例5】解不等式解：原不等式可化為： 說明：(1)轉(zhuǎn)化為整式不等式時，一定要先將右端變?yōu)?．(2)本例也可以直接去分母，但應(yīng)注意討論分母的符號：【實戰(zhàn)演練】————先作初中題——夯實基礎(chǔ)————A組1．分式方程的解為：（）A、1B、2C、D、0【答案】A【解析】試題分析：根據(jù)分式方程的解法：去分母，得2-3x=x-2，移項后解得x=1，檢驗x=1是原分式方程的根．答案為A2．若關(guān)于x的分式方程的解為正數(shù)，則滿足條件的正整數(shù)m的值為（）A．1，2，3B．1，2C．1，3D．2，3【答案】C．【分析】根據(jù)等式的性質(zhì)，可得整式方程，根據(jù)解整式方程，可得答案．點睛：本題考查了分式方程的解，利用等式的性質(zhì)得出整式方程是解題關(guān)鍵，注意要檢驗分式方程的根．3．方已知關(guān)于x的分式方程的解為負(fù)數(shù)，則k的取值范圍是．【答案】k＞且k≠0．4．關(guān)于x的兩個方程與有一個解相同，則m=．【答案】﹣8．【解析】解方程得：x=﹣2或3；把x=﹣2或3分別代入方程，當(dāng)x=﹣2時，得到，解得m=﹣8．故答案為：﹣8．5．解方程：．【答案】x=15．【解析】試題分析：分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經(jīng)檢驗即可得到分式方程的解．試題解析：去分母得：x+1=2x﹣14，解得：x=15，經(jīng)檢驗x=15是分式方程的解．6．若關(guān)于x的分式方程的解為負(fù)數(shù)，則k的取值范圍為．【答案】k＜3且k≠1．【分析】分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，表示出整式方程的解，根據(jù)解為負(fù)數(shù)確定出k的范圍即可．【解析】去分母得：k﹣1=2x+2，解得：x=，由分式方程的解為負(fù)數(shù)，得到＜0，且x+1≠0，即≠﹣1，解得：k＜3且k≠1，故答案為：k＜3且k≠1．點睛：此題考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．7．不等式的解是__________．【答案】【解析】不等式等價于或解得8．不等式的解為____________．【答案】【解析】不等式化為，解一元二次不等式即可．詳解：不等式化為，解得，∴不等式的解集為，故答案為．學(xué)-科網(wǎng)點睛：本題考查了分式不等式轉(zhuǎn)化為一元二次不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題9．不等式的解為______．【解析】．點睛：解分式不等式的方法是：移項，通分化不等式為，再轉(zhuǎn)化為整式不等式，然后利用二次不等式或高次不等式的結(jié)論求解．————再戰(zhàn)高中題——能力提升————B組1．用換元法解方程時，設(shè)，則原方程可化為（）A．B．C．D．【答案】B．【分析】直接利用已知將原式用y替換得出答案．【解析】∵設(shè)，∴，可轉(zhuǎn)化為：，即．故選B．點睛：此題主要考查了換元法解分式方程，正確得出y與x值間的關(guān)系是解題關(guān)鍵．2．分式方程的解是．【答案】．【解析】試題分析：去分母得：，解得：，經(jīng)檢驗是分式方程的解．故答案為：．3．如果關(guān)于x的分式方程有負(fù)分?jǐn)?shù)解，且關(guān)于x的不等式組的解集為x＜﹣2，那么符合條件的所有整數(shù)a的積是（）A．﹣3B．0C．3D．9【答案】D．【分析】把a(bǔ)看做已知數(shù)表示出不等式組的解，根據(jù)已知解集確定出a的范圍，分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，將a的整數(shù)解代入整式方程，檢驗分式方程解為負(fù)分?jǐn)?shù)確定出所有a的值，即可求出之積．【解析】，由①得：x≤2a+4，由②得：x＜﹣2，由不等式組的解集為x＜﹣2，得到2a+4≥﹣2，即a≥﹣3，分式方程去分母得：a﹣3x﹣3=1﹣x，把a(bǔ)=﹣3代入整式方程得：﹣3x﹣6=1﹣x，即，符合題意；把a(bǔ)=﹣2代入整式方程得：﹣3x﹣5=1﹣x，即x=﹣3，不合題意；把a(bǔ)=﹣1代入整式方程得：﹣3x﹣4=1﹣x，即，符合題意；把a(bǔ)=0代入整式方程得：﹣3x﹣3=1﹣x，即x=﹣2，不合題意；把a(bǔ)=1代入整式方程得：﹣3x﹣2=1﹣x，即，符合題意；把a(bǔ)=2代入整式方程得：﹣3x﹣1=1﹣x，即x=1，不合題意；把a(bǔ)=3代入整式方程得：﹣3x=1﹣x，即，符合題意；把a(bǔ)=4代入整式方程得：﹣3x+1=1﹣x，即x=0，不合題意，∴符合條件的整數(shù)a取值為﹣3；﹣1；1；3，之積為9，故選D．點睛：此題考查了解一元一次不等式組，以及解分式方程，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．4．不等式的解集是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】時，不成立，可排除，時，不成立，可排除，故選B．5．不等式的解集是A．{x|-1＜x＜1}B．{x|0＜x＜1}C．{x|－1＜x＜0或x＞1}D．