湖北省市級(jí)示范高中智學(xué)聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期12月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題 含解析

湖北省市級(jí)示范高中智學(xué)聯(lián)盟2024年秋季高三年級(jí)12月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.設(shè)集合，，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域求法化簡(jiǎn)集合A，再利用集合的交集運(yùn)算即可得解.【詳解】因?yàn)椋?又，所以.故選：B.2.若復(fù)數(shù)，在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，且，則復(fù)數(shù)（）A.1 B. C.i D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)對(duì)稱(chēng)性求出，再利用復(fù)數(shù)除法求解作答.【詳解】因?yàn)閺?fù)數(shù)，在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，且，所以，所以故選：C3.已知等差數(shù)列的公差為，若，，成等比數(shù)列，是的前項(xiàng)和，則等于（）A.8 B.6 C. D.0【答案】D【解析】【分析】由，，成等比數(shù)列，可得，再利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式即可得出.【詳解】，，成等比數(shù)列，，，化為，解得，則.故選：D.4.已知隨機(jī)變量，且，則的最小值為（）A.9 B.3 C. D.【答案】B【解析】【分析】利用正態(tài)分布密度曲線的對(duì)稱(chēng)性可求得，代數(shù)式與相乘，展開(kāi)后利用基本不等式可求得所求代數(shù)式的最小值.【詳解】因?yàn)殡S機(jī)變量，且，可得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為3.故選：B.5.已知的三個(gè)角的對(duì)邊分別是，若，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用正弦定理將邊化為角，利用題設(shè)將B換為A，從而求出，再利用二倍角公式求出.【詳解】因?yàn)?，，所以，因?yàn)?，所以，所以，即，又，得，所?故選：D.6.將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后與函數(shù)的圖象重合，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求出，根據(jù)可得，從而可求其最小值.【詳解】將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到的圖象，又，，由題可知，，，解得，，又，當(dāng)時(shí)，取得最小值.故選：B.7.已知函數(shù)，若，則的單調(diào)遞減區(qū)間為（）A.或 B.C.或 D.【答案】C【解析】【分析】先根據(jù)題目條件求出的值，再利用導(dǎo)函數(shù)求單調(diào)性即可..【詳解】圖象如下，所以，解得，故，，令，解得或，所以在或上單調(diào)遞減.故選：C.8.如圖，底面同心的圓錐高為，A，B在半徑為1的底面圓上，C，D在半徑為2的底面圓上，且，，當(dāng)四邊形面積最大時(shí)，點(diǎn)O到平面的距離為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)給定條件，確定四邊形的形狀，再求出四邊形面積最大時(shí)，圓心O到邊BC的距離，然后在幾何體中作出點(diǎn)O到平面的垂線段，借助直角三角形計(jì)算作答.【詳解】如圖，設(shè)直線AB交大圓于點(diǎn)F，E，連接CE，DF，由，知四邊形為等腰梯形，取AB，CD的中點(diǎn)M，N，連接MN，則，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以四邊形是矩形，因此四邊形為矩形，過(guò)O作于，連接OB，OC，OA，OD，從而四邊形的面積，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，此時(shí)，如圖，在幾何體中，連接PQ，PO，因?yàn)槠矫?，平面，所以，又，，，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以平面平面，顯然平面平面，在平面內(nèi)過(guò)作于，從而平面，即OR長(zhǎng)即為點(diǎn)到平面的距離，在中，，，所以，所以點(diǎn)O到平面的距離是.故選：C【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求點(diǎn)到平面的距離可以利用幾何法，作出點(diǎn)到平面的垂線段求解；也可以用向量法，求出平面的法向量，再求出這一點(diǎn)與平面內(nèi)任意一點(diǎn)確定的向量在法向量的投影即可.二、多選題：本題共三小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列說(shuō)法中正確的有（）A.函數(shù)在上單調(diào)遞增B.函數(shù)的定義域是，則函數(shù)的定義域?yàn)镃.不等式的解集為D.函數(shù)關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)【答案】BD【解析】【分析】由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可判斷A；由函數(shù)的定義域的定義可判斷B；對(duì)討論，分，，，可判斷C；由函數(shù)的圖象平移可判斷D.【詳解】對(duì)于A，函數(shù)在上單調(diào)遞減，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，函數(shù)的定義域是，可得，解得，所以函數(shù)的定義域?yàn)?，故B正確；對(duì)于C，不等式，當(dāng)時(shí)解集為；當(dāng)時(shí)解集為；當(dāng)時(shí)解集為，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，的圖象可由向左平移1個(gè)單位，再向上平移2個(gè)單位得到，可得關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)，故D正確.故選：BD.10.在四棱錐中，底面是矩形，，，平面平面，點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)（不含端點(diǎn)），則（）A.存在點(diǎn)使得B.四棱錐外接球的表面積為C.直線與直線所成角為D.當(dāng)動(dòng)點(diǎn)到直線的距離最小時(shí)，過(guò)點(diǎn)作截面交于點(diǎn)，則四棱錐的體積是【答案】BD【解析】【分析】取的中點(diǎn)，利用面面垂直的性質(zhì)定理及線面垂直的判斷定理證明平面，然后由線面垂直的性質(zhì)定理判斷A，把四棱錐補(bǔ)形成一個(gè)如圖2的正方體，根據(jù)正方體的性質(zhì)判斷B，C，由平面，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)到直線的距離最小時(shí)，從而得為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，再由體積公式計(jì)算后判斷D.【詳解】如圖1，取的中點(diǎn)，連接，，則，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，所以平面，平面，則又因?yàn)?，所以，又，，平面，所以平?因?yàn)槠矫?，平面，所以不成立，A錯(cuò)誤.圖1圖2圖3因?yàn)闉榈妊苯侨切?，將四棱錐的側(cè)面作為底面一部分，補(bǔ)成棱長(zhǎng)為的正方體.如圖2，則四棱錐的外接球即為正方體的外接球，其半徑，即四棱錐外接球的表面積為，B正確.如圖2，直線與直線所成角即為直線與直線所成角，而是正三角形，故該夾角為，C錯(cuò)誤.如圖1，因?yàn)槠矫?，?dāng)動(dòng)點(diǎn)到直線的距離最小時(shí)，由上推導(dǎo)知，，，，，，，因此為的中點(diǎn)，如圖3，由為的中點(diǎn)，即為中點(diǎn)，平面即平面與的交點(diǎn)也即為與的交點(diǎn)，可知為的中點(diǎn)，故，D正確.故選：BD.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：空間幾何體的外接球問(wèn)題，（1）直接尋找球心位置，球心都在過(guò)各面外心用與該面垂直的直線上；（2）對(duì)特殊的幾何體，常常通過(guò)補(bǔ)形（例如把棱錐）補(bǔ)成一個(gè)長(zhǎng)方體或正方體，它們的外接球相同，而長(zhǎng)方體（或正方體）的對(duì)角線即為外接球的直徑，由此易得球的半徑或球心位置.11.設(shè)函數(shù)，，則下列結(jié)論正確的是（）A.，在上單調(diào)遞減B.若且，則C.若在上有且僅有2個(gè)不同的解，則的取值范圍為D.存在，使得的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到的函數(shù)為奇函數(shù)【答案】ACD【解析】【分析】由，選項(xiàng)A：利用正弦函數(shù)的單調(diào)性判斷；選項(xiàng)B：利用正弦函數(shù)的最值、周期判斷；選項(xiàng)C：利用正弦函數(shù)的圖象判斷；選項(xiàng)D：利用三角函數(shù)的圖象變換判斷.【詳解】，對(duì)于A，，當(dāng)時(shí)，，由復(fù)合函數(shù)、正弦函數(shù)單調(diào)性可知在上單調(diào)遞減，故A正確；對(duì)于B，若且，則，故B不正確；對(duì)于C，若，則，若在上有且僅有2個(gè)不同的解，如圖所示：可得，解得，也就是的取值范圍為，故C正確；對(duì)于D，，可知當(dāng)時(shí)，是奇函數(shù)，故D正確.故選：ACD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查正弦函數(shù)的性質(zhì)，考查三角函數(shù)恒等變換公式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)三角函數(shù)恒等變換公式將函數(shù)化簡(jiǎn)變形為，再利用正弦函數(shù)的性質(zhì)分析即可，考查計(jì)算能力，屬于較難題.三、填空題：本題3小題，每小題5分，共15分.12.已知函數(shù)為偶函數(shù)，則______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)，即可得到對(duì)均成立，從而求出參數(shù)的值，檢驗(yàn)成立即可.【詳解】由題設(shè)，，所以，得，得對(duì)均成立.所以，解得.經(jīng)檢驗(yàn)，滿(mǎn)足要求.故答案為：.13.若為一組從小到大排列的數(shù)，1，3，5，7，9，11，13的第六十百分位數(shù)，則的展開(kāi)式中的系數(shù)為_(kāi)_________.【答案】【解析】【分析】利用第百分位數(shù)的定義求出，再利用組合的應(yīng)用列式計(jì)算作答.【詳解】由，得，于是展開(kāi)式中含的項(xiàng)為，所以的展開(kāi)式中的系數(shù)為.故答案為：14.已知，，若關(guān)于x的不等式在上恒成立，則的最小值為_(kāi)_____.【答案】8【解析】【分析】結(jié)合一次函數(shù)與二次函數(shù)的圖象性質(zhì)，由不等式可得兩函數(shù)有共同零點(diǎn)，由此得是方程的根，可得的關(guān)系，消b再利用基本不等式求解最值可得.【詳解】設(shè)，又，所以在單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，由圖象開(kāi)口向上，，可知方程有一正根一負(fù)根，即函數(shù)在有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，且為異號(hào)零點(diǎn)；由題意知，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以是方程的根，則，即，且，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，則的最小值是8，故答案為：8四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.15.已知數(shù)列滿(mǎn)足.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求的前項(xiàng)和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意先求出，然后當(dāng)時(shí)，由已知可得，兩式相減即可得解；（2）利用錯(cuò)位相減法即可得解.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，?dāng)時(shí)，得，當(dāng)時(shí)，由，得，兩式相減得：，則，檢驗(yàn)：滿(mǎn)足上式，故；【小問(wèn)2詳解】由（1）知，則，故，兩式相減可得：，故.16.在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊長(zhǎng)分別為a，b，c，.（1）若，求面積的最大值；（2）若，在邊AC的外側(cè)取一點(diǎn)D（點(diǎn)D在外部），使得，，且四邊形的面積為，求的大小.【答案】（1）（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，利用正弦定理化簡(jiǎn)得，由余弦定理求得，得到，再由余弦定理和基本不等式求得ac的最大值，進(jìn)而求得面積的最大值；（2）設(shè)，利用余弦定理和正三角形，求得，列出方程，即可求解.【小問(wèn)1詳解】由因?yàn)?，可得，又由正弦定理得，即，由余弦定理得，因?yàn)?，可得，所以，在中，由余弦定理得，即，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以，所以面積的最大值為.【小問(wèn)2詳解】設(shè)，則，在中，由余弦定理得，由（1）知，且，所以為正三角形，所以，可得，故，因?yàn)?，所以，可?17.若OA為平面的一條斜線，O為斜足，OB為OA在平面內(nèi)的射影，OC為平面內(nèi)的一條直線，其中為OA與OC所成的角，為OA與OB所成的角，即線面角，為OB與OC所成的角，那么簡(jiǎn)稱(chēng)為三余弦定理.如圖，在三棱柱中，底面是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，，，，D在上且滿(mǎn)足.（1）求證：平面平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）過(guò)點(diǎn)D作交于，連接CE，BE，設(shè)，連接，則根據(jù)題意利用線面垂直的判定定理可證得平面，再由面面垂直的判定定理證明即可；（2）由已知可證得平面，然后建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由空間向量法求解即可.【小問(wèn)1詳解】證明：如圖，過(guò)點(diǎn)D作交于，連接CE，BE，設(shè)，連接，，，∵D在上且滿(mǎn)足，∴，∵，，四邊形為正方形，，，，，，，為CE的中點(diǎn)，，因?yàn)椋?，平面，平面，又平面，平面平?【小問(wèn)2詳解】在中，，，又，，，，又，，，平面，平面，故建立如圖空間直角坐標(biāo)系，則，，，，.，，，.設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，得，設(shè)平面一個(gè)法向量為，則，令，得，所以，故平面與平面夾角的余弦值為.18.已知函數(shù)，.（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）設(shè)函數(shù)，若存在，對(duì)任意的，總有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為.（2）【解析】【分析】（1）先求出，再求出其導(dǎo)數(shù)，討論其符號(hào)后可得的單調(diào)區(qū)間.（2）原不等式等價(jià)于，利用導(dǎo)數(shù)可求，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得，從而得到的取值范圍.【小問(wèn)1詳解】，令，則，故且.當(dāng)時(shí)，，故在為增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，故在為減函數(shù).故的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為.【小問(wèn)2詳解】，因?yàn)椋?，所以在上為增函?shù)，故，圖像的對(duì)稱(chēng)軸為，故當(dāng)時(shí)，.因?yàn)榇嬖?，?duì)任意的，總有成立，故，即，故19.黃岡地處湖北省東部，以山帶水，勝跡如云.為了合理配置旅游資源，管理部門(mén)對(duì)首次來(lái)黃岡旅游的游客進(jìn)行了問(wèn)卷調(diào)查，據(jù)統(tǒng)計(jì)，其中的人計(jì)劃只參觀羅田天堂寨，另外的人計(jì)劃既參觀羅田天堂寨又游覽東坡赤壁.每位游客若只參觀羅田天堂寨，則記1分；若既參觀羅田天堂寨又游覽東坡赤壁，則記2分.假設(shè)每位首次來(lái)黃岡旅游的游客計(jì)劃是否游覽東坡赤壁相互獨(dú)立，視頻率為概率.（1）從游客中隨機(jī)抽取2人，記這2人的合計(jì)得分為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（2）從游客中隨機(jī)抽取人，記這人的合計(jì)得分恰為分的概率為，求；（3）從游客中隨機(jī)抽取若干人，記這些人的合計(jì)得分恰為分的概率為，隨著抽取人數(shù)的無(wú)限增加，是否趨近于某個(gè)常數(shù)？若是，求出這個(gè)常數(shù)；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】（1）分布列見(jiàn)解析，（2）（3）趨近于常數(shù).【解析】【分析】（1）根據(jù)題意得到變量X的可能取值為2，3，4，結(jié)合獨(dú)立事件的概率乘法公式，求得相應(yīng)的概率，列出分布列，利用期望的公式，求得期望；（2）由這人的合計(jì)得分為分，得到，結(jié)合乘公比錯(cuò)位相減法求和，即可求解；（3）記“合計(jì)得分”為事件A，“合計(jì)得分”為事件，得到，結(jié)合數(shù)列的遞推關(guān)系式，進(jìn)而求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，得到答案.【小問(wèn)1詳解】由題意得，隨機(jī)變量的可能取值為2，3，4，可得，，.所以的分布列如下表所示：X234