數(shù)學課堂探究：向量的概念

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精課堂探究探究一有關向量概念的問題解有關向量的基本概念的題,首先,要清楚向量的兩要素:大小和方向；其次，要對共線向量、相等向量、零向量有深入的理解,分別掌握它們的特征,共線向量又稱平行向量,前提是兩非零向量方向相同或相反，并規(guī)定，零向量與任一向量平行；相等向量是兩向量大小相等且方向相同;零向量的大小為零，它的方向是任意的．【例1】給出下列六個命題:①兩個向量相等，則它們的起點相同,終點相同;②若|a|＝｜b｜，則a＝b；③若＝，則四邊形ABCD是平行四邊形；④在平行四邊形ABCD中，一定有＝;⑤若m＝n，n＝k，則m＝k;⑥若a∥b，b∥c，則a∥c．其中不正確的命題的個數(shù)為()A．2B．3C．4D．5解析：兩個向量起點相同、終點相同，則兩個向量相等；但兩個向量相等,卻不一定有起點相同，終點相同，故①不正確．根據(jù)向量相等的定義，要保證兩向量相等，不僅模相等，而且方向相同，而②中方向不一定相同，故不正確．③也不正確，因為A,B，C，D可能落在同一條直線上．零向量方向不確定，它與任一向量都平行，故⑥中若b＝0,則a與c就不一定平行了．因此⑥也不正確．答案:C反思對向量的有關概念的理解要全面、準確．要注意相等向量與共線向量(或平行向量)之間的區(qū)別和聯(lián)系;零向量的長度為零，方向不確定，解題時一定要注意這一特殊向量．探究二向量的表示(1）準確畫出向量的方法是先確定向量的始點，再確定向量的方向，然后根據(jù)向量的大小確定向量的終點．（2)畫圖時可以按比例畫圖，要注意題中是否規(guī)定有向線段的始點和終點．【例2】一輛汽車從A點出發(fā)向西行駛了100千米到達點B,然后又改變方向向北偏西40°行駛了200千米到達點C，最后又改變方向，向東行駛了100千米到達點D．(1）作出向量，，；(2)求｜｜．解：（1)如圖所示．(2）由題意，易知與方向相反，故與共線，即AB∥CD．又因為|｜＝||，所以在四邊形ABCD中,AB綉CD．所以四邊形ABCD為平行四邊形．所以｜|＝｜｜＝200（千米)．探究三相等向量和共線向量向量有兩個要素：一是大小，二是方向．兩個向量只有當它們的模相等同時方向相同時才稱為相等的向量，即a＝b就意味著|a|＝|b|，且a與b的方向相同，還要注意到0與0是相等的向量．【例3】如圖所示，四邊形ABCD是平行四邊形，四邊形ABDE是矩形．(1）找出與向量相等的向量;(2)找出與向量共線的向量．解:(1）由四邊形ABCD是平行四邊形，四邊形ABDE是矩形，知，與的長度相等且方向相同，所以與向量相等的向量為和．(2)由圖可得：,，與方向相同，,，，與方向相反，所以與向量共線的向量有，，，,，，．警示誤區(qū)找一個向量的共線向量時，易忽視找出與其方向相反的向量，尤其是與本身方向相反的向量，如本題中易把漏掉．探究四易錯辨析易錯點：因忽視與本身相反的向量而致錯【例4】如右圖，A1，A2,…,A8是⊙O上8個等分點,則在以A1,A2，…，A8及圓心O9個點中任意兩點為起點與終點的向量中,模等于半徑的向量有多少個？模等于半徑倍的向量有多少個？錯解:（1)模等于半徑的有（i＝1，2，3,…，8）共8個．(2）模等于半徑倍的向量為正方形A1A3A5A7和A2A4A6A8的邊共8個．錯因分析：忽略了向量的方向．正解：（1)模等于半徑的向量只有兩類：一類是（i＝1，2，…，8)共8個，另一類是(i＝1，2，…，8)也有8個，兩類合計16個．(2)以A1,A2,…A8為頂點的⊙O的內(nèi)接正方形有兩個，一是正方形A1A3A5A7,另一個正方