數(shù)學(xué)課堂探究：向量數(shù)量積的運(yùn)算律

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精課堂探究探究一向量數(shù)量積的計(jì)算求平面向量的數(shù)量積時(shí)，常用到以下結(jié)論：（1）a2＝|a|2;（2）（xa＋yb)·(mc＋nd)＝xma·c＋xna·d＋ymb·c＋ynb·d，其中x，y，m，n∈R，類(lèi)似于多項(xiàng)式的乘法法則；(3）(a＋b）2＝a2＋2a·b＋b2；(4）(a＋b＋c）2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2a·c．同時(shí)還要注意幾何性質(zhì)的應(yīng)用，將向量適當(dāng)轉(zhuǎn)化,轉(zhuǎn)化的目的是用上已知條件．【例1】已知兩個(gè)單位向量e1與e2的夾角為60°，求:(1）e1·e2；（2)(2e1－e2)·（－3e1＋2e2）；（3)(e1＋e2）2．解：（1）e1·e2＝｜e1｜|e2|cos60°＝．（2)由（1）可知e1·e2＝,|e1|＝｜e2|＝1，所以（2e1－e2）·（－3e1＋2e2)＝－6＋3e2·e1＋4e1·e2－2＝－6｜e1｜2＋3×＋4×－2｜e2｜2＝－6＋－2＝－．(3）（e1＋e2）2＝（e1＋e2)·（e1＋e2)＝＋e1·e2＋e2·e1＋＝＋2e1·e2＋＝1＋1＋1＝3．誤區(qū)警示利用(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2時(shí)，不要將式中的a·b寫(xiě)成|a｜|b｜．探究二求向量的模利用數(shù)量積求解長(zhǎng)度問(wèn)題是數(shù)量積的重要應(yīng)用,要掌握此類(lèi)問(wèn)題的處理方法：（1）a2＝a·a＝|a|2或|a|＝；（2)|a±b｜＝＝．【例2】已知向量a，b滿足｜a|＝|b|＝1，且｜3a－2b｜＝3，求｜3a＋b|的值．分析：通過(guò)數(shù)量積a·b來(lái)探求已知條件｜3a－2b｜＝3與目標(biāo)式|3a＋b|之間的關(guān)系．解：因?yàn)閨a｜＝|b|＝1，所以｜a｜2＝｜b｜2＝1．又因?yàn)椋?a－2b|＝3，所以(3a－2b）2＝9,所以9｜a|2－12a·b＋4|b|2＝9，將｜a｜2＝|b｜2＝1,代入有a·b＝，而（3a＋b)2＝9|a|2＋6a·b＋｜b|2＝9＋6×＋1＝12，所以|3a＋b|＝．探究三向量在幾何中的應(yīng)用向量作為一種工具在解決幾何問(wèn)題中有著廣泛的應(yīng)用，將幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題是極其關(guān)鍵的一步，同時(shí)注意向量的數(shù)量積及向量的運(yùn)算律的運(yùn)用;在應(yīng)用時(shí)還要注意向量的相關(guān)概念與一些幾何概念的區(qū)別，如，向量的夾角與直線的夾角．【例3】在等腰直角三角形ABC中，∠C是直角，CA＝CB，D是CB中點(diǎn),E是AB上一點(diǎn)，且AE＝2EB，求證：AD⊥CE．證明：如圖．·=（+）·（+)=·+·+·+·=-＋·＋·＝－＋｜｜·||·＋||·||·＝－＋｜|·eq\r(2)·｜｜·＋|｜·eq\r（2）·|｜·＝－＋＋＝0,所以⊥，即AD⊥CE．【例4】△ABC三邊長(zhǎng)為a，b，c，以A為圓心，r為半徑作圓，如圖所示，PQ為直徑,試判斷P，Q在什么位置時(shí),·有最大值？分析：由三角形法則構(gòu)造與的數(shù)量積,然后轉(zhuǎn)化為在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)求最大值．解：因?yàn)椋剑?，＋＝，即＝－－＝－－，所以·?－）·(－－)＝－·＋·－＋·＝·－r2＋·（－)＝·－r2＋·＝|｜·｜|cos∠BAC－r2＋·＝bccos∠BAC－r2＋·．當(dāng)與同向時(shí)，·最大且最大值為｜|·｜｜＝ra．即當(dāng)與共線且同方向時(shí)，·有最大值bccos∠BAC＋ar－r2．探究五易錯(cuò)辨析易錯(cuò)點(diǎn)：向量與實(shí)數(shù)的混用【例5】已知a，b都是非零向量，且a＋3b與7a－5b垂直，a－4b與7a－2b垂直．求a與b的夾角．錯(cuò)解:由題意，得即①－②得46a·b＝23b2．因?yàn)閎≠0，所以a＝，把它代入②得a2＝b2，則|a｜＝|b|，設(shè)a與b的夾角為θ，則cosθ＝＝＝，因?yàn)?°≤θ≤180°,所以θ＝60°．錯(cuò)因分析：在求出2a·b＝b2之前是正確的，此式子說(shuō)明a·b與是兩個(gè)相等的數(shù)，兩邊同時(shí)約去b，即兩邊同除以b是錯(cuò)誤的，因?yàn)橄蛄繘](méi)有除法，結(jié)果正確只是巧合．正解:因?yàn)閍＋3b與7a－5b垂直，所以(a＋3b)·(7a－5b)＝0,即7|a｜2＋16a·b－15|b|2＝0．同理由a－4b與7a－2b垂直可得7｜a|2－3