2024-2025學年高中數(shù)學第一章常用邏輯用語1.1.1命題學案含解析新人教A版選修1-1

PAGE1-第一章常用邏輯用語世界文學名著《唐·吉訶德》中有這樣一個故事：唐·吉訶德的仆人桑喬·潘薩跑到一個小島上，成了這個島的國王．他頒布了一條驚奇的法律：每一個到達這個島的人都必需回答一個問題：“你到這里來做什么？”假如回答對了，就允許他在島上游玩，而假如答錯了，就要把他絞死．對于每一個到島上來的人，或者是盡興地玩，或者是被吊上絞架．有多少人敢冒死到這島上去玩呢？一天，有一個膽大包天的人來了，他按例被問了這個問題，而這個人的回答是：“我到這里來是要被絞死的．”請問桑喬·潘薩是讓他在島上玩，還是把他絞死呢？假如應當讓他在島上游玩，那就與他說“要被絞死”的話不相符合，這就是說，他說“要被絞死”是錯話．既然他說錯了，就應當被處絞刑．但假如桑喬·潘薩要把他絞死呢？這時他說的“要被絞死”就與事實相符，從而就是對的，既然他答對了，就不該被絞死，而應當讓他在島上玩．小島的國王發(fā)覺，他的法律無法執(zhí)行，因為不管怎么執(zhí)行，都使法律受到破壞．他思索一再，最終讓衛(wèi)兵把他放了，并且宣布這條法律作廢.1.1命題及其關系1.1.1命題自主預習·探新知情景引入聞名的“理發(fā)師悖論”是伯特納德·羅素提出的：一個理發(fā)師的招牌上寫著：“城里全部不自己刮臉的男人都由我給他們刮臉，我也只給這些人刮臉．”日常生活中也常常出現(xiàn)類似的邏輯錯誤，因此邏輯用語的學習是很有必要的．我們接下來就從命題起先學習.新知導學1．一般地，我們把用語言、符號或式子表達的，可以__推斷真假__的陳述句叫做命題．2．推斷為真的語句叫__真命題__，推斷為假的語句叫__假命題__.3．數(shù)學中的定義、公理、公式、定理都是命題，但命題不肯定都是定理，因為命題有__真假__之分，而定理是__真__命題．4．命題常寫成“__若p，則q__”的形式，其中命題中的p叫做命題的__條件__，q叫做命題的__結論__.預習自測1．下列語句不是命題的是(A)A．今日的天真藍呀！B．100101是整數(shù)C．方程9x2－1＝0的解是x＝eq\f(1,3)D．2024年10月1日是中華人民共和國成立70周年的日子[解析]依據(jù)命題的定義知，選項A不是命題．2．語句“若a>b，則a＋c>b＋c”是(B)A．不是命題 B．真命題C．假命題 D．不能推斷真假[解析]a>b?a＋c>b＋c成立，故選B．3．由命題“能被6整除的整數(shù)，肯定能被3整除”改寫的等價命題是(B)A．若一個數(shù)不能被6整除，則這個數(shù)不肯定能被3整除B．若一個數(shù)能被6整除，則這個數(shù)肯定能能被3整除C．若一個數(shù)能被6整除，則這個數(shù)不肯定能被3整除D．若一個數(shù)不能被6整除，則這個數(shù)肯定能被3整除[解析]由命題“能被6整除的整數(shù)，肯定能被3整除”改寫為“若p，則q”的形式為：若一個數(shù)能被6整除，則這個數(shù)肯定能被3整除，故選B．4．命題“其次象限角的余弦值小于0”的條件是(C)A．余弦值 B．其次象限C．一個角是其次象限角 D．沒有條件[解析]命題可改寫為：若一個角是其次象限角，則它的余弦值小于0，故選C．5．下列語句中是命題的有__①④__.(填序號)①一個數(shù)不是正數(shù)就是負數(shù)；②0是自然數(shù)嗎？③22020是一個很大的數(shù)；④若兩個平面平行，則這兩個平面無公共點．[解析]②是疑問句，不是命題；③是陳述句，但“很大”無法說明究竟多大，不能推斷真假，不是命題．互動探究·攻重難互動探究解疑命題方向?命題概念的理解典例1推斷下列語句是否是命題，并說明理由．(1)求證：eq\r(3)是無理數(shù)；(2)x2＋4x＋4≥0；(3)你是高一的學生嗎？(4)并非全部的人都喜愛蘋果．[思路分析]由題目可獲得以下主要信息：①給定一個語句，②判定其是否為命題并說明理由．解答本題要嚴格驗證該語句是否符合命題的概念．[解析](1)是祈使句，不是命題．(2)x2＋4x＋4＝(x＋2)2≥0，對于x∈R，可以推斷為真，它是命題．(3)是疑問句，不涉及真假，不是命題．(4)是命題，可以推斷為真．人群中有的人喜愛蘋果，也存在著不喜愛蘋果的人．『規(guī)律方法』判定一個語句是否為命題，主要把握以下兩點：1．必需是陳述語句．祈使句、疑問句、感嘆句都不是命題．2．其結論可以判定真或假．含義模糊不清，不能辨其真假的語句，不是命題．另外，并非全部的陳述語句都是命題，凡是在陳述語句中含有比方、形容等詞的詞義模糊不清的，都不是命題．┃┃跟蹤練習1__■推斷下列語句是不是命題，并說明理由．(1)函數(shù)f(x)＝3x(x∈R)是指數(shù)函數(shù)；(2)x2－3x＋2＝0；(3)函數(shù)y＝cosx是周期函數(shù)嗎？(4)集合{a，b，c}有3個子集．[解析](1)是命題，滿意指數(shù)函數(shù)的定義．(2)不是命題，不能推斷真假．(3)不是命題，是疑問句．(4)是命題．符合命題的定義．命題方向?命題真假的推斷典例2推斷下列命題的真假：(1)形如a＋eq\r(2)b的數(shù)是無理數(shù)；(2)負項等差數(shù)列的公差小于零；(3)關于x的方程ax＋1＝x＋2有惟一解．[思路分析]運用數(shù)學中的定義、定理、公理、公式等學問進行推斷．[解析](1)假命題．如當a＝1，b＝eq\r(2)時，a＋eq\r(2)b是有理數(shù)．(2)假命題．如數(shù)列－10，－8，－6，－4，－2，它的公差是2.(3)假命題．關于x的方程ax＋1＝x＋2即(a－1)x＝1，當a＝1時，方程無解；當a≠1時，方程有惟一解，所以是假命題．『規(guī)律方法』1.命題真假的判定方法真命題的判定過程實際就是利用命題的條件，結合正確的邏輯推理方法進行正確邏輯推理的一個過程．可以依據(jù)已學過的定義、定理、公理，已知的正確結論和命題的條件進行正確的邏輯推理進行推斷．要說明一個命題是假命題，只需舉一個反例即可．2．一個命題的真假與命題所在環(huán)境有關．對其進行推斷時，要留意命題的前提條件，如“若a⊥c，b⊥c，則a∥b”在平面幾何中是真命題，而在立體幾何中卻是假命題．3．從集合的觀點看，我們建立集合A、B與命題中的p、q之間的一種聯(lián)系：設集合A＝{x|p(x)成立}，B＝{x|q(x)成立}，就是說，A是能使條件p成立的全體對象x所構成的集合，B是能使條件q成立的全體對象x所構成的集合，此時，命題“若p，則q”為真，當且僅當A?B時滿意．┃┃跟蹤練習2__■給出下列命題：①函數(shù)y＝sinx的最小正周期是π；②函數(shù)y＝2x3是指數(shù)函數(shù)；③一次函數(shù)y＝x＋1的圖象與x軸的交點坐標為(－1,0)；④f(x)＝x2在R上是偶函數(shù)，也是增函數(shù)．其中假命題的個數(shù)為(C)A．1 B．2C．3 D．4[解析]函數(shù)y＝sinx的最小正周期T＝eq\f(2π,1)＝2π，所以①是假命題；易知②是假命題；令x＋1＝0，得x＝－1，所以一次函數(shù)y＝x＋1的圖象與x軸的交點坐標為(－1,0)，所以③是真命題；f(x)＝x2在R上是偶函數(shù)，但不是增函數(shù)，所以④是假命題．故假命題的個數(shù)為3，故選C．命題方向?命題結構分析典例3指出下列命題的條件與結論．(1)負數(shù)的平方是正數(shù)；(2)正方形的四條邊相等．[思路分析]由題目可獲得以下主要信息：①給出了命題的一般簡略形式．②找出命題的條件和結論．解答本題的關鍵是正確變更命題的表述形式．[解析](1)可表述為“若一個數(shù)是負數(shù)，則這個數(shù)的平方是正數(shù)”條件為：“一個數(shù)是負數(shù)”；結論為：“這個數(shù)的平方是正數(shù)”．(2)可表述為：“若一個四邊形是正方形，則這個四邊形的四條邊相等”．條件為：“一個四邊形是正方形”；結論為：“這個四邊形的四條邊相等”．『規(guī)律方法』1.數(shù)學中的命題大多是：“若p，則q”的形式，其中p叫做命題的條件，q叫做命題的結論．而數(shù)學中的有些命題從形式上看，不是“若p，則q”的形式，但是將它的表述作適當變更，也可以寫成“若p，則q”的形式，因此，在探討命題時，不要受其形式的影響．2．“若p，則q”形式的命題中，p和q本身也可為一個簡潔命題．3．并非全部的命題都可寫成“若p，則q”型，如“eq\f(1,3)是有理數(shù)”，“5>3”．┃┃跟蹤練習3__■把下列命題表示為“若p，則q”的形式，并推斷真假．(1)相像三角形的面積相等；(2)平行于同一個平面的兩平面平行；(3)正弦函數(shù)是周期函數(shù)．[解析](1)若兩個三角形相像，則它們的面積相等．假命題．(2)若兩個平面平行于同一個平面，則這兩個平面平行．真命題．(3)若一個函數(shù)為正弦函數(shù)，則它是周期函數(shù)．真命題．學科核心素養(yǎng)命題的真假與其他學問的綜合應用命題的概念中有兩個要點：①陳述句；②可以推斷真假．利用這兩點可借助于函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、對稱關系來解決一些開放性問題．典例4把下面不完整的命題補充完整，并使之成為真命題．若函數(shù)f(x)＝3＋log2x(x>0)的圖象與g(x)的圖象關于__x軸__對稱，則函數(shù)g(x)＝__－3－log2x(x>0)__.(注：填上你認為可以成為真命題的一種情形即可，不必考慮全部可能的情形)[思路分析]本題答案不惟一．空中可以依次填入x軸，－3－log2x(x>0)．[解析]若函數(shù)f(x)與g(x)的圖象關于x軸對稱，則可將函數(shù)y＝f(x)＝3＋log2x(x>0)中的(x，y)用(x，－y)代換，得－y＝3＋logx(x>0)，所以g(x)＝－3－log2x(x>0)．『規(guī)律總結』解答此類題目，首先要審清題意，弄明白求什么，然后依據(jù)所學學問選擇合適的答案．┃┃跟蹤練習4__■已知p：5x－1>a，q：x>1，請選擇適當?shù)膶崝?shù)a，若命題“若p，則q”為真命題，則a的取值范圍為__[4，＋∞)__.[解析]命題“若p，則q”為“若x>eq\f(1＋a,5)，則x>1”，由命題