廣東省部分重點高中2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題【含答案解析】

高二年級期中考試試卷數(shù)學(xué)注意事項：1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.4.本試卷主要考試內(nèi)容：人教A版必修第二冊第六章6.4.3，第八章8.4至8.6，選擇性必修第一冊第一章至第二章.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知點，，則直線的斜率為（）A. B. C.3 D.2【答案】C【解析】【分析】由斜率公式計算．【詳解】根據(jù)題意可得直線的斜率.故選：C．2.在正方體中，為的中點，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)空間向量的線性運算求得正確答案.【詳解】.故選：B3.已知直線過點，且與直線垂直，則直線的方程為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由條件可得直線的斜率，再由直線的點斜式方程即可得到結(jié)果.【詳解】由題意可得直線的斜率為1，則直線的方程為，即.故選：D4.一艘輪船北偏西方向上有一燈塔，此時二者之間的距離為海里，該輪船以海里時的速度沿南偏西的方向直線航行，行駛半小時后，輪船與燈塔之間的距離為（）A.18海里 B.16海里 C.14海里 D.12海里【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意作出圖示，然后利用余弦定理求解出結(jié)果.【詳解】記輪船的初始位置為，燈塔的位置為，半小時后輪船的位置為，如圖所示.依題意得海里，海里，.在中，由余弦定理得，所以海里，即行駛半小時后，輪船與燈塔之間的距離為海里.故選：C.5.若方程表示一個圓，則的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】將方程化為圓的一般方程，利用列式即可求.【詳解】若方程表示一個圓，則，方程可化為，所以，解得，且不等于0，所以或.故選：D6.已知點在直線上，則的最小值為（）A. B. C.3 D.【答案】D【解析】【分析】由點關(guān)于直線的對稱點方法求出，再有三點共線求出最小值即可；【詳解】如圖，設(shè)關(guān)于直線對稱的點為，則解得，則，所以.故選：D.7.已知點，，，則點到直線的距離為（）A. B. C.1 D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)點線距離的向量法公式即可求解.【詳解】,故點到直線的距離為,故選：B8.若圓上恰有兩個點到直線的距離為1，則m的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】分析可知，結(jié)合點到直接的距離公式運算求解即可.【詳解】圓的圓心為，半徑，且圓心到直線的距離，由題意可知：，則，即，解得或，所以m的取值范圍為.故選：A.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知圓：的半徑為2，則（）A.B.點在圓的外部C.圓與圓外切D.當(dāng)直線平分圓的周長時，【答案】ABC【解析】【分析】由已知圓半徑確定參數(shù)，判斷A，由點與圓心的距離與半徑的關(guān)系判斷B，由圓心距與兩圓半徑和差關(guān)系判斷C，由直線過圓心求得參數(shù)判斷D．【詳解】根據(jù)題意可得，所以，A正確.圓：，因為1?12+4?12>4，所以點1,4在圓的外部，B圓的圓心為，半徑為8，因為，所以圓與圓外切，C正確.圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為2，若直線平分圓的周長，則直線過點，則，得，D錯誤.故選：ABC．10.在空間直角坐標(biāo)系中，已知，則（）A.為質(zhì)數(shù)B.為直角三角形C.與所成角的正弦值為D.幾何體的體積為【答案】BCD【解析】【分析】對于ABC：根據(jù)空間向量坐標(biāo)運算分析求解即可；對于D：分析可知幾何體為三棱臺，且與該三棱臺的底面垂直，結(jié)合臺體的體積公式運算求解.【詳解】對于選項A：因為，所以不是質(zhì)數(shù)，A錯誤；對于選項B：因為，則，所以為直角三角形，B正確；對于選項C：因為，所以與所成角的正弦值為，C正確；對于選項D：根據(jù)已知6個點空間直角坐標(biāo)可得幾何體為三棱臺，且與該三棱臺的底面垂直，，所以幾何體的體積為，D正確.故選：BCD.11.“曼哈頓距離”用以標(biāo)明兩個點在標(biāo)準(zhǔn)坐標(biāo)系上的絕對軸距總和，其定義如下：在直角坐標(biāo)平面上的任意兩點的曼哈頓距離.下列命題是真命題的是（）A.若點，，則的值可能是B.若點，，則在軸上存在點，使得C.若點，，，則在線段上存在點，使得D.若點在圓上，點在直線上，則的值可能為【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)曼哈頓距離的定義和絕對值三角不等式可判斷出AB正誤；通過討論點與點是否重合的情況，可得恒成立，知C錯誤；通過實際例子可說明D正確.【詳解】對于A，，不可能為，A錯誤；對于B，設(shè)，則，（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號），，在軸上存在點，使得，B正確；對于C，當(dāng)點與點不重合時，作，垂足為，則，，直線斜率，，即，，；當(dāng)點與點或點重合時，；恒成立，C錯誤；對于D，若點，點，則滿足點在圓上，點在直線上，此時，D正確.故選：BD.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查對于“曼哈頓距離”的理解與應(yīng)用能力，解題關(guān)鍵是能夠?qū)Χx進(jìn)行充分理解，將所求問題轉(zhuǎn)化為對于含絕對值的方程或者不等式的求解問題，進(jìn)而可通過分類討論或幾何意義來進(jìn)行求解.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.直線：與直線：平行，則______，的傾斜角為______.【答案】①.②.【解析】【分析】由斜率相等求得，注意檢驗是否滿足題意，再由斜率求得傾斜角．【詳解】根據(jù)題意可得，解得，經(jīng)驗證，符合題意，則斜率為1，故的傾斜角為.故答案為：；．13.若直線：與：相交于點，，則______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)直線與圓相交的弦長公式求解即可.【詳解】因為圓心到的距離為，所以.故答案為：14.已知M，E，F(xiàn)均為圓柱表面上的動點，直線EF經(jīng)過圓柱的中心O，，圓柱的底面圓的半徑為5，則的最大值為________.【答案】144【解析】【分析】分析可知，結(jié)合圓柱的結(jié)合性質(zhì)分析求解即可.【詳解】因為，又因為O為圓柱的中心，且M，E，F(xiàn)均為圓柱表面上的動點，則，當(dāng)且僅當(dāng)為底面圓周上時，等號成立，且，當(dāng)且僅當(dāng)為過O且與底面平行的圓周上時，等號成立，可得，所以的最大值144.故答案為：144.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別是，，.已知，，.（1）求；（2）求的值；（3）求的面積.【答案】（1）7；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）由題設(shè)可得，應(yīng)用余弦定理求邊長；（2）由正弦定理有，，即可求結(jié)果；（3）應(yīng)用三角形面積公式求面積即可.【小問1詳解】由，得，因為，所以，根據(jù)余弦定理得.【小問2詳解】根據(jù)正弦定理，得，則，，故.【小問3詳解】的面積.16.已知圓：，直線過點.（1）若在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，求的方程；（2）若與圓相切，求的方程；（3）若與圓相交于，兩點，且（其中為圓的圓心）為直角三角形，求的方程.【答案】（1）或.（2）（3）或.【解析】【分析】（1）按直線過原點，不過原點分兩類求解；（2）確定在圓上，軸，易得切線方程；（3）確定直線斜率存在，由直角三角形可得圓心到直線的距離，設(shè)出直線方程，由點到直線距離公式求得參數(shù)得直線方程．【小問1詳解】若經(jīng)過原點，設(shè)方程為，由得，則的方程為.若不經(jīng)過原點，則可設(shè)的方程為，因為過點，所以，解得，所以的方程為，即.故的方程為或.【小問2詳解】由圓：，可得圓心，半徑為2.因為點在圓上，軸，所以直線的方程為.【小問3詳解】因為為直角三角形，且，所以，則圓心到的距離為.由題意易得的斜率一定存在，所以可設(shè)的方程為，即.由，解得或，故的方程為或.17.如圖，在三棱柱中，平面，，（1）證明：平面.（2）求平面與平面的夾角.【答案】（1）證明見解析（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)線面垂直的判定定理證明即可；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面與平面的的法向量，再利用空間向量的夾角公式求解即可.【小問1詳解】因為平面，平面，所以.因為，所以.在菱形中，.因為，所以平面.【小問2詳解】如圖，取的中點，連接，.取的中點.連接.因為平面，所以，易得為等邊三角形.所以.因為，所以平面.以為原點，以，，的方向分別為，，軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則，B1,0,0，，，.設(shè)平面的法向量為，因為，，所以令，得.由（1）知平面的一個法向量為，因為，所以平面與平面的夾角為.18.如圖，在四棱錐中，，，，，，，平面平面ABCD，E為AD的中點.（1）證明：平面PAB.（2）證明：.（3）試問在線段PE上是否存在點M，使得直線CM與平面PBC所成角的正弦值為？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析（3）存在；答案見解析【解析】【分析】（1）由線面平行的判定定理證明即可；（2）作交于，利用幾何關(guān)系在中，由余弦定理求出，再由勾股定理證明，然后由面面垂直的性質(zhì)定理證明即可；（3）建立如圖所示坐標(biāo)系，求出平面的法向量和，代入空間線面角公式求解即可；【小問1詳解】因為，所以，因為平面，平面，所以平面PAB【小問2詳解】作交于，因為，所以，又，所以，又，，所以四邊形為平行四邊形，所以，因為，即，所以，又E為AD的中點，所以，在中，由余弦定理可得，即，所以，所以，又平面平面ABCD，且平面平面ABCD，平面，所以平面，平面，所以.【小問3詳解】設(shè)存在，作交與，由（2）可得兩兩垂直，所以以為原點，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，則，，，設(shè)平面的法向量為，則，即，取，則，設(shè)直線CM與平面PBC所成角的為，則，解得，所以在線段PE上存在點，此時.19.若圓與圓相交于P，Q兩點，，且為線段PQ的中點，則稱是的m等距共軛圓.已知點，均在圓上，圓心在直線上.（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）若圓是圓的8等距共軛圓，設(shè)圓心的軌跡為.（i）求的方程.（ii）已知點，直線l與曲線交于異于點H的E，F(xiàn)兩點，若直線HE與HF的斜率之積為3，試問直線l是否過定點？若過定點，求出該定點坐標(biāo)；若不過定點，請說明理由.【答案】（1）（2）（i）；（ii）直線過定點【解析】【分析】（1）設(shè)，根據(jù)解得，即可得圓心和半徑，進(jìn)而可得圓的方程；（2）（i）分析可知，可知圓心的軌跡為是以為圓心，半徑的圓；（ii）分類討論直線l的斜率是否存在，根據(jù)斜率公式以及韋達(dá)定理分析求解即可.【小問1詳解】因為圓心在直線上，設(shè)，且點，均在圓上，則，可得，解得，即圓心為，半徑，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.小問2詳解】（i）因為，由題意可得：，可知圓心的軌跡為是以為圓心，半徑的圓，所以的方程為；（ⅱ）若直線l的斜率存在