2.5 有理數(shù)的混合運算（5大題型提分練）（原卷版）

七年級上冊數(shù)學《第2章有理數(shù)及其運算》2.5有理數(shù)的混合運算知識點一知識點一有理數(shù)的混合運算◆有理數(shù)的混合運算：（1）有理數(shù)混合運算順序：先算乘方，再算乘除，最后算加減；同級運算，應按從左到右的順序進行計算；如果有括號，要先做括號內(nèi)的運算．（2）進行有理數(shù)的混合運算時，注意各個運算律的運用，使運算過程得到簡化．知識點二知識點二“24點”游戲技巧技巧1:將給定的四張牌面上的數(shù)字湊成兩數(shù)之積:3×8=24，4×6=24，2×12=24；技巧2:將給定的四張牌面上的數(shù)字湊成兩數(shù)之和:21+3=24，20+4=24，18+6=24，16+8=24，15+9=24，14+10=24；技巧3:將給定的四張牌面上的數(shù)字湊成兩數(shù)之差:25?1=24，30?6=24，27?3=24，35?11=24，28?4=24，36?12=24.題型一有理數(shù)的混合運算解題技巧提煉（1）有理數(shù)混合運算順序：先算乘方，再算乘除，最后算加減；同級運算，應按從左到右的順序進行計算；如果有括號，要先做括號內(nèi)的運算．（2）進行有理數(shù)的混合運算時，注意各個運算律的運用，使運算過程得到簡化．1．（2023秋?二道區(qū)校級期末）下列四個式子中，計算結(jié)果最小的是（）A．﹣3+12 B．﹣3-12 C．﹣3×12．（2023秋?鄞州區(qū)期末）下列四個式子中，計算結(jié)果最大的是（）A．﹣23+（﹣1）2 B．﹣23﹣（﹣1）2 C．﹣23×（﹣1）2 D．﹣23÷（﹣1）23．（2024?高州市校級模擬）下列式子計算正確的是（）A．（﹣1）6×32＝6 B．8÷（-110）×5＝8×（-1C．﹣32×19D．4﹣（﹣8）÷2＝4﹣4＝04．下列各式中．計算結(jié)果得0的是（）A．﹣22+（﹣2）2 B．﹣22﹣22 C．﹣22﹣（﹣2）2 D．（﹣2）2+225．（2023秋?濟寧期中）下列運算錯誤的是（）A．﹣8﹣2×6＝﹣20 B．（﹣1）2016+（﹣1）2015＝0 C．﹣（﹣3）2＝﹣9 D．2÷46．（2023秋?金東區(qū)期末）計算：（1）（﹣2）2×5﹣（﹣2）3÷4；（2）-17．（2024?肇源縣開學）計算：（1）-2（2）(-1)8．（2023秋?隆回縣期末）計算：（1）4×(-1)2024-13+(-12)-（2）-19．（2023?館陶縣二模）淇淇在計算：(-1)解：原式＝﹣2022﹣（﹣6）+6÷12-＝﹣2022+6+12﹣18………②＝﹣2048…………………③（1）淇淇的計算過程中開始出現(xiàn)錯誤的步驟是；（填序號）（2）請給出正確的解題過程．10．計算：（1）2×（﹣3）3﹣4×（﹣3）+15；（2）|1（3）﹣|﹣9|÷（﹣3）2+（12-23）（4）﹣14﹣（1﹣0.5）×13-|1﹣（﹣5）題型二含乘方的程序圖運算題解題技巧提煉利用有理數(shù)的加減乘除乘方混合運算解決程序計算題的關鍵就是弄清楚題圖給出的計算程序，根據(jù)程序列出算式解答即可．1．如圖是一個簡單的數(shù)值運算程序圖，當輸入x的值為﹣1時，輸出的數(shù)值為．2．（2023秋?藍山縣期中）如圖所示的運算程序中，若開始輸入的值為﹣2，則輸出的結(jié)果為．3．（2023秋?潮州期末）如圖是一個計算程序，若輸入a的值為﹣1，則輸出的結(jié)果b為（）A．﹣5 B．﹣6 C．5 D．64．（2023春?承德期末）根據(jù)圖所示的程序計算，若輸入x的值為2，則輸出y的值為；若輸入x的值為﹣1，則輸出y的值為．5．按照以下程序圖輸入x的值為﹣3，則輸出的y值為．6．（2023?襄陽模擬）按照如圖所示的計算程序，若輸入結(jié)果是﹣3，則輸出的結(jié)果是．7．如圖，是一個有理數(shù)運算程序的流程圖，請根據(jù)這個程序回答問題：當輸入的x為﹣2時，最后輸出的結(jié)果y是．8．（2023秋?朝陽區(qū)月考）如圖是一個有理數(shù)運算程序的流程圖，請根據(jù)這個程序回答問題：當輸入的x為﹣2時，最后輸出的結(jié)果y是．9．按如圖所示的程序進行計算，如果把第一次輸入的數(shù)是18；而結(jié)果不大于100時，就把結(jié)果作為輸入的數(shù)再進行第二次運算，直到符合要求為止，則最后輸出的結(jié)果為（）A．72 B．144 C．288 D．576題型三含乘方的新定義運算問題解題技巧提煉新定義運算問題主要是運用題目中所給的新定義的運算方式進行計算即可，注意計算時的運算順序，也是對有理數(shù)的混合運算的考查.1．（2024?瀘縣二模）從n個不同元素中取出m個元素的所有不同組合的個數(shù)，叫做從n個不同元素中取出m個元素的組合數(shù)，用符號Cnm表示．已知“!”是一種數(shù)學運算符號，且1!＝1，2!＝2×1＝2，3!＝3×2×1＝6，4!＝4×3×2×1＝24…，若公式Cnm=n!m!(n-m)!（n≥mA．21 B．35 C．42 D．702．（2024?甘肅）定義一種新運算*，規(guī)定運算法則為：m*n＝mn﹣mn（m，n均為整數(shù)，且m≠0）．例：2*3＝23﹣2×3＝2，則（﹣2）*2＝．3．（2024?杭錦后旗模擬）我們規(guī)定：x?y＝（x+2）2﹣y，例如：3?5＝（3+2）2﹣5＝20，則1?（﹣2）的值為（）A．4 B．7 C．8 D．114．（2023秋?重慶期末）定義一種新運算：a※b＝b2﹣ab，則（﹣2）※（﹣1）的是（）A．﹣1 B．1 C．3 D．25．（2023秋?潢川縣校級期末）用“*”定義一種新運算：對于任意有理數(shù)a和b，規(guī)定a*b＝ab2+2a，則3*（﹣2）＝．6．用“☆”定義一種新運算：對任意給定的兩個有理數(shù)a，b，有a☆b＝3ab2+2ab+a，如：1☆3＝3×1×32+2×1×3+1，則（﹣2）☆3＝．7．（2023秋?肥城市期末）用“☆”定義一種新運算：對于任意有理數(shù)x和y，x☆y＝a2x+ay+1（a為常數(shù)），如：2☆3＝a2?2+a?3+1＝2a2+3a+1．若1☆2＝3，則3☆6的值為（）A．7 B．8 C．9 D．138．（2024?新華區(qū)校級三模）劉謙的魔術表演風靡全國，嘉琪也學劉謙發(fā)明了一個魔術盒，當數(shù)對（a，b）（a，b為有理數(shù)）進入其中時，會得到一個新的有理數(shù)：a2+2b+1，例如把（1，2）放入其中，就會得到12+2×2+1＝6．（1）把（﹣1，﹣2）放入其中，求得到的新有理數(shù)．（2）若把（﹣2，﹣n）放入其中，得到的新有理數(shù)為﹣1，則求n的值．9．規(guī)定一種新運算法則：a※b＝ab﹣2a+b2.例如：1※2＝1×2﹣2×1+22＝4．請用上述運算法則回答下列問題．（1）求3※（﹣1）的值；（2）求（﹣4）※（12※2（3）若m※5的值為40，求m的值．10．（2023秋?朝陽區(qū)校級期中）探究規(guī)律，完成相關題目．定義“*”運算：（+2）*（+4）＝+（22+42）；（﹣4）*（﹣7）＝+[（﹣4）2+（﹣7）2]；（﹣2）*（+4）＝﹣[（﹣2）2+（+4）2]；（+5）*（﹣7）＝﹣[（+5）2+（﹣7）2]；0*（﹣5）＝（﹣5）*0＝（﹣5）2；（+3）*0＝0*（+3）＝（+3）2．0*0＝02+02＝0（1）歸納*運算的法則：兩數(shù)進行*運算時，．（文字語言或符號語言均可）特別地，0和任何數(shù)進行*運算，或任何數(shù)和0進行*運算，．（2）計算：（+1）*[0*（﹣2）]＝．（3）是否存在有理數(shù)m，n，使得（m﹣1）*（n+2）＝0，若存在，求理由．題型四含乘方的探究規(guī)律題解題技巧提煉乘方運算中的數(shù)或數(shù)列呈現(xiàn)一定的規(guī)律性，可以從符號和絕對值兩個方面考慮數(shù)的變化規(guī)律，由特殊到一般，由得到的規(guī)律來解決問題．1．（2023秋?淮南期末）觀察下面三行數(shù)．﹣2，4，﹣8，16，﹣32，…﹣1，5，﹣7，17，﹣31，…﹣4，8，﹣16，32，﹣64，…（1）求第一行的第n個數(shù)；（n為正整數(shù)）（2）求第二行的第6個數(shù)、第三行的第7個數(shù)；（3）取每一行的第k個數(shù)，這三個數(shù)的和能否是﹣127？若能，求出k的值，若不能，請說明理由．2．觀察下列等式，找出規(guī)律然后在空格處填上具體的數(shù)字．1+3＝4＝22，1+3+5＝9＝32，1+3+5+7＝16＝42，1+3+5+7+9＝25＝52，根據(jù)規(guī)律填空1+3+5+7+9+…+2021＝．3．觀察下面三行數(shù)：﹣2，4，﹣8，16，﹣32，64，…；①0，6，﹣6，18，﹣30，66，…；②﹣2，1，﹣5，7，﹣17，31，…．③（1）按第①行數(shù)的規(guī)律，分別寫出第7和第8個數(shù)；（2）請你分別寫出第②③行的第7個數(shù)；（3）取每行數(shù)的第9個數(shù)，計算這三個數(shù)的和．4．觀察下面三行數(shù)：﹣1，5，﹣9，13，﹣17，21，…；﹣2，4，﹣8，16，﹣32，64，…；﹣1，4，﹣9，16，﹣25，36，…．（1）第一行第十個數(shù)是；（2）第二行第n個數(shù)是（n為正整數(shù)）；（3）取每行的第十個數(shù)，計算這三個數(shù)的和．5．觀察下列運算過程：S＝1+3+32+33+…+32016+32017，①①×3，得3S＝3+32+33+…+32017+32018，②②﹣①，得2S＝32018﹣1，S=3用上面的方法計算：1+5+52+53+…+52017．6．（2024春?邗江區(qū)期中）（1）填空：31﹣30＝3（?）×2；32﹣31＝3（??）×2；33﹣32＝3（??）×2；（2）探尋（1）中式子的規(guī)律，試寫出第n個等式，并說明第n個等式成立；（3）計算：30+31+32+…+32024．7．已知13＝1=14×12×22，13+23＝9=14×22×32，13+23+33＝36=（1）13+23+33+43+53＝=14×2×（2）猜想：13+23+33+…+n3＝14×（3）利用（2）中的結(jié)論計算：（寫出計算過程）113+123+133+143+153+163+…+393+403．8．（2023秋?永定區(qū)期中）觀察下面算式的演算過程：1+11+11+11+1…（1）根據(jù)上面的規(guī)律，直接寫出下面結(jié)果：1+15×7=1+16×8=1+12n×(2n+2)=(2n+1)（2）根據(jù)規(guī)律計算：（1+11×3）×（1+12×4）×（1+13×5）×（1+19．【概念學習】規(guī)定：求若干個相同的有理數(shù)（均不等于0）的除法運算叫做除方．例如2÷2÷2，記作2③，讀作“2的圈3次方”；再例如（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3），記作（﹣3）④，讀作“﹣3的圈4次方”；一般地，把a÷a÷a÷?÷a︸n個a（a≠0，n為大于等于2的整數(shù)）記作a?，記作a?，讀作“a的圈【初步探究】（1）直接寫出計算結(jié)果：2③＝，（-12）⑤＝（2）關于除方，下列說法錯誤的是；A．任何非零數(shù)的圈2次方都等于1；B．對于任何大于等于2的整數(shù)c，1的圈c次方＝1；C．7⑨＝8⑧；D．負數(shù)的圈奇數(shù)次方結(jié)果是負數(shù)，負數(shù)的圈偶數(shù)次方結(jié)果是正數(shù)；【深入思考】我們知道，有理數(shù)的減法運算可以轉(zhuǎn)化為加法運算，除法運算可以轉(zhuǎn)化為乘法運算，有理數(shù)的除方運算如何轉(zhuǎn)化為乘方運算呢？（1）試一試：仿照上面的算式，將下列運算結(jié)果直接寫成乘方的形式．（﹣3）④＝；5⑥＝；（-12）⑩＝（2）想一想：將一個非零有理數(shù)a的圈n次方寫成乘方的形式等于．（3）算一算122÷（-13）④×（-12）⑧﹣（13）?×題型五“24點”游戲解題技巧提煉技巧1:將給定的四張牌面上的數(shù)字湊成兩數(shù)之積:3×8=24，4×6=24，2×12=24；技巧2:將給定的四張牌面上的數(shù)字湊成兩數(shù)之和:21+3=24，20+4=24，18+6=24，16+8=24，15+9=24，14+10=24；技巧3:將給定的四張牌面上的數(shù)字湊成兩數(shù)之差:25-1=24，30?6=24，27?3=24，35?11=24，28?4=24，36?12=24.1．（2023秋?棲霞市期中）小新玩“24點”游戲，游戲規(guī)則是對數(shù)進行加、減、乘、除混合運算（每張卡片只能用一次，可以加括號）使得運算結(jié)果是24或﹣24．小新已經(jīng)抽到前3張卡片上的數(shù)字分別是﹣1，5，8，若再從下列4張中抽出1張，則其中不能與前3張算出“24點”的是（）A．2 B．3 C．4 D．52．（2023秋?寧遠縣期中）“算24點”的游戲規(guī)則是：用“+﹣×÷”四種運算符號把給出的4個數(shù)字連接起來進行計算，要求最終算出的結(jié)果是24．例如，給出2，2，2，8這四個數(shù)，可以列式（2÷2+2）×8＝24．以下的4個數(shù)用“+﹣×÷”四種運算符號不能算出結(jié)果為24的是（）A．1，6，8，7 B．1，2，3，4 C．4，4，10，10 D．6，3，3，83．有一次小明在做24點游戲時抽到的四張牌分別是7、7、1、2，每張牌只能用一次，可以用加、減、乘、除等運算，請寫出一個成功的算式：＝24．4．（2023秋?順德區(qū)校級月考）在玩“24點”游戲時，小明抽到的數(shù)字是4，﹣6，3，10，運用所學過的有理數(shù)混合運算，使得運算結(jié)果為24，你的算法是（寫出一種即可，每個數(shù)字都要用到并且只能用一次）．5．（2023秋?山亭區(qū)期末）有一種24點的游戲，游戲規(guī)則是：任取四個1～13之間的自然數(shù)，將這四個數(shù)（每個數(shù)只用一次）進行加減乘除四則運算，使其結(jié)果等于24，例如對1、2、3、4可做運算：（1+2+3）×4＝24．現(xiàn)有四個有理數(shù)7，﹣2，3，﹣4，運用上述規(guī)則寫出算式，使其運算結(jié)果等于24，你的算式是．6．（2023秋?長安區(qū)期末）嘉嘉和琪琪在玩24點游戲，游戲規(guī)則是：從一副撲克牌中抽去大小王剩下52張，任意抽取4張牌，把牌面上的數(shù)運用你所學過的運算（可以使用括號）得出24．每張牌都必須使用一次，但不能重復使用．嘉嘉抽到的四張牌如下，請幫他寫出一個計算結(jié)果為24的算式．7．（2023秋?成華區(qū)校級期中）你會玩“24點”游戲嗎？從一副撲克牌（去