2024-2025學年新疆烏魯木齊市高二年級上冊期中聯(lián)考數(shù)學檢測試卷（含解析）

2024-2025學年烏魯木齊市高二上學期期中聯(lián)考數(shù)學檢測試卷

注意事項：

1.答題前，考生務必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上.

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需

改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫

在本試卷上無效.

3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.

4.本試卷主要考試內容：人教A版選擇性必修第一冊第一章到第三章3.1.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一

項是符合題目要求的.

1.已知直線/過點尸（2,G），0（5，—26），則直線/的傾斜角（

)

兀712兀5兀

A.6B.4C.3D.6

平行線》—與)

2.2P+3=04x—2+7=0間的距離為（）

V5Vio475

而B.TC.而

AD.5

3.已知圓—"+19=°的圓心為C,0為坐標原點，則以℃為直徑的圓的標

準方程為（）

222

A(x-2)2+(V+1)=5b(x-2)+(y+1)=20

22

C(x+2)2+(了-1)2=20D(X+2)+(J-1)=5

4.已知向量"=G4°/)石=&，、回，3),則&在B方向上的投影向量的模為()

_5_57_9_

A16B.4C,4D.16

22

」+上=1

5.“2〈加＜4，，是，，方程4-加m-2表示橢圓”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分

也不必要條件

6.在空間四邊形。43c中，OA=a,OB=b9OC=c,且4A/=2MC,BN=2NO,

貝UMN二()

1一2-2-

——a+—b——c

333B.333

2-1一2-1-12-

——a+—b——c——a+—b7——c

C.333D.333

7.某手機信號檢測設備的監(jiān)測范圍是半徑為200m的圓形區(qū)域，一名人員持手機以每分鐘

50m的速度從設備正東200百m的A處沿西偏北30°方向走向位于設備正北方向的2處,

則這名人員被持續(xù)監(jiān)測的時長約為()

A.2分鐘B.3分鐘C.4分鐘D.5分鐘

-7+^5"=1(。〉b〉0)2212

8.已知橢圓。b的右焦點為尸，過點尸的直線與圓x+了="相切于點

E且與橢圓相交于“、N兩點，若￡、/恰為線段"N的三等分點，則橢圓的離心率為

()

V5V52

A3B.5c,4D.5

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合

題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.已知橢圓927，則()

A.橢圓o的長軸長為6gB.橢圓°的一個焦點為G&，°)

C.橢圓C的短半軸長為6D.橢圓°的離心率為3

10.空間內有四點P(9,8,5),E(2,1,1)I(121),N(1,1,2),則()

A.點尸到直線EF的距離為B.點尸到直線所的距離為3夜

C.點尸到平面的距離為5百D.點P到平面￡網的距離為

11.已知圓°：/+/—4》+2>+1=0與直線/:4x—3y+機=0,點2在圓c上，點0在

直線/上，則下列說法正確的是()

A.若加=9,則直線/與圓C相切

B,若圓°上存在兩點關于直線/對稱，則機=-11

C.若則1尸。京=3

D.若"。14,從。點向圓C引切線，則切線長的最小值是回

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.已知直線/垂直于直線x+2y-l=°,且過點尸(-2,3),則直線/的斜截式方程為

；在x軸上的截距為.

cUi

13.經過橢圓,324的左焦點片的直線交橢圓C于48兩點，8是橢圓°的右焦

點，則△48乙的周長為.

14.在直三棱柱ABC—481G中，ZBCA=90°，M,N分別是4片,4G的中點，

BC=CA=^CC[

2,則BM與AN所成角的余弦值為.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.求符合下列條件的橢圓的標準方程：

(1)一個焦點為(6°),長軸長是短軸長的2倍；

⑵經過尸&"2道)。(2,3到兩點.

16.如圖，在四棱錐/一BCE。中，底面8CE。為直角梯形，DE^BC,DELCE,

AD=BD=CD=BC,AC=41AE=GCE

(1)判斷直線48與C。是否垂直，并說明理由;

(2)求平面4DE與平面4CD的夾角的余弦值.

17已知直線‘：("—4)'+(。+l)jv—3"+7=0,"eR

(1)證明直線/過定點，并求出該定點的坐標；

(2)若直線/'過(1)中的定點，且在歹軸上的截距與在％軸上的截距的絕對值相等，求直

線/'的方程.

18.如圖，在棱長為2的正方體48co—481G2中，￡為8C的中點，尸為底面

48CD內一動點(包括邊界)，且滿足4尸，口￡

(1)是否存在點P,使得男尸〃平面,QB?

(2)求1的取值范圍.

(3)求點尸到直線A6的距離的最小值.

19.已知圓沙經過，(3,3)，8(2,2/),C(2,-2V2)三點

(1)求圓沙的方程.

(2)已知直線/與圓獷交于M,N(異于/點)兩點，若直線/"MN的斜率之積為2,試

問直線/是否經過定點？若經過，求出該定點坐標；若不經過，請說明理由。

2024-2025學年烏魯木齊市高二上學期期中聯(lián)考數(shù)學檢測試卷

注意事項：

1.答題前，考生務必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上.

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需

改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫

在本試卷上無效.

3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.

4.本試卷主要考試內容：人教A版選擇性必修第一冊第一章到第三章3.1.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一

項是符合題目要求的.

1.己知直線/過點尸（2,揚，0（5，-2回，則直線/的傾斜角a=（）

兀7Z"2兀5兀

A.6B.4C.3D.6

【正確答案】C

【分析】由兩點求出直線斜率，由斜率求傾斜角.

k__2^3-V3_

【詳解】設直線/的斜率為左，則5—2，即tana=一百.

2兀

a=—

因為"HO,兀），所以3.

故選：C

2.平行線2x—J+3=°與4x-2y+7=°間的距離為（）

出45V10逑

A.10B,5C.1°D,5

【正確答案】A

【分析】由平行線間的距離公式求解即可.

【詳解】方程2x7+3=。變形為4x-2歹+6=0

由平行線間的距離公式可得所求距離V42+2210.

故選：A.

3.已知圓廠+V+8x-4>+19=°的圓心為C,0為坐標原點，則以℃為直徑的圓的標

準方程為（）

A（X-2）2+（y+l）2=5B.32）2+（y+l）2=20

（x+2y+3-1）2=20（X+2）2+（J-1）2=5

【正確答案】D

【分析】求出圓心C的坐標以及II,并求出線段℃的中點的坐標，由此可得出所求圓

的標準方程.

【詳解】因為圓/+/+"-4了+19=0的圓心為°（工2）,

所以=7（-4-0）2+（2-0）2=2亞,

所以以℃為直徑的圓的圓心為（一2」），半徑為2

故所求圓的標準方程為（X+2）2+3T>=5.

故選：D.

4,已知向量?一I'。'。']=G，局）,則方在3方向上的投影向量的模為（）

_5_579

A.16B.4c,4D.16

【正確答案】B

【分析】根據(jù)給定條件，利用投影向量的定義，結合向量模的意義求解即得.

【詳解】由5=(-4,0,1),B=(2,后3),得比留+g)+3,=4

5-6=-4x2+0x73+1x3=-5

所以不在B方向上的投影向量的模為出「

故選：B

上+上=1

5.“2〈加<4”是“方程4一機m-2表示橢圓”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分

也不必要條件

【正確答案】B

4—m>0

<m-2>0

【分析】由方程表示橢圓可得〔4一加,加—2,求解可判斷結論.

4—m>0

9<m-2>0

XI廣二］

［詳解］若方程4-加m-2表示橢圓，則［4一加力加—2,解得2（加<4且掰片3,

「上=1

所以“2<加<4”是，，方程4-加m-2表示橢圓”的必要不充分條件.

故選：B.

6.在空間四邊形。/8C中，OA=a,OB=btOC=c,且4A/=2MC,BN=2NO,

則=（）

1-2-2-

二G+與+2"—a-\—b—c

A.333B.333

2-1一2-

——a+—b—c-匕+4-工

C.333D.333

【正確答案】D

【分析】以。4=口，OB-b,℃=c為基底，根據(jù)空間向量的加減運算，表示出曲，即

得答案.

【詳解】由題意知在空間四邊形中，°4=a,OB=b,°C=c,且而=2標，

BN=2NO

__2__i__

MNk=MA+1Dk+ONk=——~ACk-OAk+-OB

則33

=~-（0C-O4）-0A+-0B=--0A+-dB--0C

3v73333

1-12-

=——a+—b7——c

333,

故選:D

7.某手機信號檢測設備的監(jiān)測范圍是半徑為200m的圓形區(qū)域，一名人員持手機以每分鐘

50m的速度從設備正東200百m的A處沿西偏北30°方向走向位于設備正北方向的2處，

則這名人員被持續(xù)監(jiān)測的時長約為（）

A.2分鐘B.3分鐘C.4分鐘D.5分鐘

【正確答案】C

【分析】根據(jù)給定條件，建立平面直角坐標系，求出直線幺5及圓的方程，利用點到直線的

距離公式及圓的弦長公式求解即得.

【詳解】以設備的位置為坐標原點°,其正東、正北方向分別為％軸、V軸的正方向建立平

面直角坐標系，

則直線"：'=一§"-2°°”即x+島一2°°百=°,圓0:八科=40000,

記從N處開始被監(jiān)測，到M處監(jiān)測結束，點。到直線48的距離為

KJ1MNl=2^\MO\2-\001I2=200,所以被監(jiān)測的時長為50—4分鐘,

-7+^5"=1（。〉辦〉0）22,2

8.已知橢圓。b，的右焦點為尸，過點尸的直線與圓x+V=6一相切于點

E且與橢圓相交于河、N兩點，若￡、廠恰為線段"N的三等分點，則橢圓的離心率為

【正確答案】A

【分析】不妨設切點E在第一象限，點M在第一象限，記橢圓的左焦點為G,連接MG、

OE,利用中位線的性質可求出小俗］可得出MG,"/,利用橢圓的定義求出利

b_

用勾股定理可求得。的值，進而利用橢圓的離心率公式可求得該橢圓的離心率的值.

【詳解】不妨設切點E在第一象限，點M在第一象限，記橢圓的左焦點為G,連接MG、

OE

由圓的幾何性質可知OE1MN,

易知°、E分別為尸G、尸河的中點，則OE//MG,且|MG|=2|O￡|=26,

所以，MGLMF,由橢圓的定義可得W卜2"|MG|=2a-2b,

由勾股定理可得+眼殲=M,即止+（2a-26）2="=4/一舊

b_2

整理可得3bl=2ab,可得a3,

因此，該橢圓的離心率為

故選：A.

方法點睛：求解橢圓或雙曲線的離心率的方法如下：

（1）定義法：通過已知條件列出方程組，求得。、。的值，根據(jù)離心率的定義求解離心率

e的值；

（2）齊次式法：由已知條件得出關于°的齊次方程，然后轉化為關于e的方程求解；

（3）特殊值法：通過取特殊位置或特殊值，求得離心率.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合

題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.已知橢圓927，則（）

A.橢圓c的長軸長為6GB.橢圓C的一個焦點為（31，°）

V6

C.橢圓o的短半軸長為6D.橢圓C的離心率為3

【正確答案】AD

【分析】利用橢圓的標準方程分析其性質即可得解.

【詳解】因為a=3狗,b=3,c=3C,且橢圓C的焦點在歹軸上，

_c_V6

所以橢圓C的長軸長為6君，焦點坐標為(°，±3啦)，短半軸長為3,離心率a3.

故選：AD.

10.空間內有四點尸(9,8,5),E(2,1,1),E(1,2,1),N(1,1,2),則()

A.點尸到直線EF的距離為而4B.點尸到直線防的距離為3夜

C.點尸到平面E/W的距離為5百D.點夕到平面￡兩的距離為6G

【正確答案】AD

【分析】利用空間向量的坐標運算求點到直線、點到平面的距離.

—?u=10)

【詳解】因為EF=(T/，°),所以環(huán)的一個單位方向向量為2.

因為"=(-8,-6,-4),所以點P到直線EF的距離為GF-印")2=V116-2=

VT14.

設平面EFN的法向量為"=("Z,因為￡尸=(T』,0),EN=(-1,0,1),

EF?力=-%+y=0,

<

所以〔EN?萬=T+2=0,令x=],得3=(1,1,1).

因為麗=(-8,-6「4),

\PF-n\_18

所以點P到平面￡網的距離為

故選:AD.

11.已知圓C：Y+/—4x+2y+l=0與直線/:4x—3y+機=0,點尸在圓c上，點0在

直線/上，則下列說法正確的是()

A.若加=9,則直線/與圓C相切

B.若圓C上存在兩點關于直線/對稱，則機=-U

C.若，14,貝，尸。京=3

D.若〃。14,從。點向圓C引切線，則切線長的最小值是J萬

【正確答案】BC

【分析】利用圓心到直線的距離與半徑的關系可判斷A錯誤；由圓°上存在兩點關于直線

/對稱可得直線/過圓心，圓心坐標代入直線方程可得選項B正確；由題意可知的最小

值為圓心到直線的距離減去半徑，選項C正確；由切線得垂直，根據(jù)勾股定理表示切線長，

可知當最小時，切線長最小，結合點到直線的距離求解可知選項D錯誤.

【詳解】A.由題意得，圓。的標準方程為a",'。十］)？=勺圓心為C(2，—1),半徑

r=2

|4x2-3x(-l)+9|

tZ=J~I,,1=4>2

???圓心C到直線1的距離,4-+(―3)2,

???直線/與圓C相離，故A不正確.

B.若圓°上存在兩點關于直線/對稱，則直線/經過圓°的圓心，

4X2—3X(_1)+加=0._11,,-r--rit.

???v7，解得z加m一一11,故B正確.

■■--IP-

|4x2-3x(-l)+14|

d==5

22

若7.14,則圓心C到直線I的距離A/4+(-3)

「PQImin=5-2=3,故C正確

D.若/—14,從。點向圓。引切線，設-個切點為也連接CW,則“M。，如圖

所示，

222

IWI=7K2I-|CM|=^\cQ\-4t

當C。，/時，31取得最小值5,此時取得最小值，即也0k=加2-4=同,

故D不正確.

故選：BC.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.已知直線/垂直于直線》+2^—1=°,且過點尸（一2,3）,則直線/的斜截式方程為

；在x軸上的截距為.

_7

【正確答案】①.N=2X+7②.2

【分析】根據(jù)互相垂直直線之間的斜率關系，求出斜率，點斜式得出直線方程，求截距即可.

【詳解】因為直線x+2j—1=°的斜率為2,所以直線/的斜率為2.

因為直線/過點尸（一2,3）,所以直線/的方程為y—3=2（x+2）,即2x—y+7=0,

故直線I的斜截式方程為＞=2x+7,

77

X=——

令＞=°,解得2,所以在X軸上的截距為2.

_7

用y=2x+7.2

13.經過橢圓-324的左焦點片的直線交橢圓C于48兩點，鳥是橢圓C的右焦

點，則的周長為.

【正確答案】16及

【分析】根據(jù)橢圓定義即可得結果.

【詳解】由題意可知：。=4行,

因為上周+[4閭=2a=8&，忸周+忸閭=2a=80

所以的周長為16虛.

故答案為.16五

14.在直三棱柱"BC—451G中，/8C4=90°,M,N分別是4昂4G的中點,

BC=CA=—CC

2.,則BM與AN所成角的余弦值為.

亞工而

【正確答案】30##30

【分析】根據(jù)給定條件，建立空間直角坐標系，利用空間向量求出線線角的余弦值.

【詳解】如圖，以0】為坐標原點，G4，G4，GC的方向分別為X//軸的正方向，建立空

間直角坐標系，

不妨設8C=0=9CG=2,則40,2,26,5(2,0,2V2),M(l,l,0),N(0,1,0),

AN=（0,-1,-2V2）,=1,-2V2）,于是

/~7Tf~DA7\ANBM77^10

cos〈AN,BM）=_>「=-j==-----

1^11wI3A/W30

所以與4N所成角的余弦值為30.

7回

故答案為：30

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.求符合下列條件的橢圓的標準方程：

（1）一個焦點為0，°）,長軸長是短軸長的2倍；

（2）經過叩"26）。（2,3百）兩點.

22

工+歹-1

【正確答案】（1）4812

22

-------1--------1

（2）2416

【分析】（1）根據(jù)題意可得c=6,口=2b,結合/=〃+°2求得即可得方程;

（2）設橢圓的方程為機x+ny=1,代入點運算即可.

【小問1詳解】

由題意知c=6，a=26,

因為/=62+°2,即4/=/+36,解得b=26,a=4A萬，

一—1

且焦點在X軸上，所以橢圓的標準方程為4812.

【小問2詳解】

設橢圓的方程為機X+股=1.

因為橢圓經過魄原2⑸。（2,30）兩點，

mQj"+〃Q切=1m=16,

m-22+n(342^=1〃=(，

則〔V7，解得〔24

22

乙+土=1

故橢圓的標準方程為2416.

16.如圖，在四棱錐力—8C即中，底面8CE。為直角梯形，DE^BC,DEVCEt

AD=BD=CD=BC,AC=6AE=?CE.

(1)判斷直線4s與CD是否垂直，并說明理由；

(2)求平面與平面AC。的夾角的余弦值.

【正確答案】(1)幺5和C。不垂直，理由見詳解；

V5

(2)5

【分析】(1)根據(jù)已知條件可設計算出幺。的值，從而證明

到再由OE,CE可證￡>￡,平面NCE；所以建立空間直角坐標系，用坐標表

示向量方和函，將判斷直線是否垂直轉化為判斷向量是否垂直，即可得證.

(2)在第一問的基礎上，分別求出平面40E與平面48的法向量，利用公式計算可得平

面ADE與平面ACD的夾角的余弦值.

【小問1詳解】

N8和C。不垂直，理由如下：

設4E=CE=a(a>°),則/0=缶,

在△80中，BD=CD=BC,所以△BCD為等邊三角形，所以/BCD=60°,

因為DELCE,D—BC,所以5CJ.CE,從而NDC￡=30。，

CE2\/3V3

CD=-------=-----aDE-CExtan30=—a

所以在直角AOEC中，cos30°3,3,

m_2百

AD—----ci00

又因為NO=CD,所以3，所以在△￡＞口中，滿足?！暌?=NO,

故△〃口為直角三角形，則。

又因為WCE,CEC4E=E,所以平面NCE；

因為ZC=夜4&=后?！?所以AC?=幺￡2+慮2,所以CEL4E,

故以點E為坐標原點，EC,EA,ED所在直線分別為％軸，y軸，z軸，建立如圖所示的

空間直角坐標系.

設。E=l,則AE=CE=6AC=娓;

所以E（0,0,0）/?,G,0）5（73,0,2）C2,0,0）Z）（0,0,1）

所以/5=g,-6,2）。。=6后0,1）所以方.5=_3+o+2wO,

所以48,而不成立，故4g和CQ不垂直.

【小問2詳解】

由（1）可知CE上DE,AEp\DE=Et所以CE,平面/QE,

故EC=（五°，°）為平面ADE的-個法向量；

又注G8T），反=（百，0，—1）,設平面皿的法向量萬=（"，）

n-DA=0VJjv—z=0

所以1心次=°,即［&-z=0,取2=百，則》=1,y=l,故〃=［』'"）,

設平面ADE與平面ACD的夾角為8,

nEC\

COS。=COS五,EC\

|H|X|EC|

所以

V5

所以平面NQE與平面/CD的夾角的余弦值為5

17已知直線l：（?！?）x+（a+l）jv—3,+7=0,"GR

（1）證明直線/過定點，并求出該定點的坐標；

（2）若直線/'過（1）中的定點，且在歹軸上的截距與在x軸上的截距的絕對值相等，求直

線/'的方程.

【正確答案】（1）證明見解析，（2」）

（2）x_2y=0或x+y-3=0或x-y-l=0

x+y-3=0

<

【分析】（1）整理方程為（x+y_3）a_4x+y+7=0,然后解方程組Nx—y-7=0可得

答案；

（2）分截距為0與截距不為0兩種情況計算可求得直線/'的方程.

【小問1詳解】

將直線I的方程整理為（x+N—3）?！?x+y+7=0,

所以直線/過直線x+V-3=0與4x-y-7=0的交點，

x+y-3=0[x-2

<<

聯(lián)立方程組〔4x—y—7=0,解得U=l,

所以直線/過定點，其坐標為（2,1）.

【小問2詳解】

-y—_1%

①當截距為0時，直線/'的方程為"2,即x—2y=0.

,—

②當截距不為0時，設直線/的方程為。b,

<aba=3,a=l,

則1同=打，解得i'=3或'=-1.

?=3x-

7_2--1=1

若〔"="則直線/'的方程為33,即x+y—3=o；

a—\

<

若〔'=T,則直線/'的方程為x_yT=0.

故直線/'的方程為X—2歹=0或x+y_3=0或x_y_l=O.

18.如圖，在棱長為2的正方體"CD—中，E為8c的中點，尸為底面

Z6CD內一動點（包括邊界），且滿足4「工。后

⑴是否存在點夕，使得片P〃平面少?！?

（2）求此0的取值范圍.

（3）求點「到直線2"的距離的最小值.

【正確答案】⑴存在，吟》

咯2后

⑵L

2#>

(3)5

【分析】（1）如圖建立空間直角坐標系，求出平面D'E的法向量加，設尸（羽八°）,利用

BF上*,及4尸，能即可求出點尸坐標;

(2)由(1)知男尸=(一2歹/-2,-2),利用模長公式結合二次函數(shù)求值域即可求解；

(3)取中點為尸，則P點軌跡為線段㈤7,所以點尸到直線2"的距離的最小值就是

異面直線AF與*的距離，利用向量法求出異面直線AF與2"的距離即可.

【小問1詳解】

如圖，以。為原點，所在直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系,

由題意得用(2,2,2),。(0,0,0),2(0,0,2),￡(1,2,0),

西=(0,0,2),瓦=(1,2,0),屏=(1,2,—2)

設平面DQE的法向量為切=(再，%，4),

DD-m=2Z]=0

<l

則[詼.成=石+2%=0,可取￡=(—2,1,0),

設尸(x,y,0)(04xW2,0VyV2),所以率=(x_2j_2,—2),

又B]PLRE,所以x-2+2y-4+4=0,

即x+2y-2=0,所以與尸=(一2y,y—2,—2),

設存在點P,使得男尸〃平面DQE,

2ccc2c6

則印方=4f-2=0,解得"￡貝J*2*2=—2*丁2),

則嚙⑼

所以存在點尸，使得片P〃平面DQE

【小問2詳解】

由⑴知與尸=(-2了/-2,-2),

所以的=即+3-2)2+4=4+8,

「21「2〕

_0,--,2

函數(shù)7=5〉2—4y+8在15」上單調遞減，在15」上單調遞增,

_2_36

=

當y5時，^min5,當Pv_2O時，，fmax_—'OUf),

所以L5

所以III的取值范圍是

【小問3詳解】

由⑴知點尸(居八°)滿足x+2y-2=0,

取CD中點為尸，則「點軌跡為線段

所以點P到直線的距離的最小值就是異面直線/尸與