高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)考點(diǎn)38 正態(tài)分布和條件概率（講解）（解析版）

考點(diǎn)38正態(tài)分布與條件概率【思維導(dǎo)圖】【常見(jiàn)考法】考點(diǎn)一條件概率1．從1，2，3，4，5，6，7，8，9中不放回地依次取2個(gè)數(shù)，事件A為“第一次取到的是奇數(shù)”，B為“第二次取到的是3的整數(shù)倍”，則（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意事件為“第一次取到的是奇數(shù)且第二次取到的是3的整數(shù)倍”：若第一次取到的為3或9，第二次有2種情況；若第一次取到的為1，5，7，第二次有3種情況，故共有個(gè)事件由條件概率的定義：故選：B2．將三枚骰子各擲一次，設(shè)事件為“三個(gè)點(diǎn)數(shù)都不相同”，事件為“至少出現(xiàn)一個(gè)6點(diǎn)”，則概率的值為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】∵P（A|B）=P（AB）÷P（B），P（AB）==P（B）=1-P（）=1-=1-=∴P（A/B）=P（AB）÷P（B）==故選A．3．已知某同學(xué)在高二期末考試中，A和B兩道選擇題同時(shí)答對(duì)的概率為，在A題答對(duì)的情況下，B題也答對(duì)的概率為，則A題答對(duì)的概率為()A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)事件A：答對(duì)A題，事件B：答對(duì)B題，則，..故選：B.4．已知隨機(jī)事件，且，，，則______.【答案】【解析】因?yàn)?，，所以，所?故答案為：.考點(diǎn)二正態(tài)分布1．已知，且，則（）A． B． C． D．【答案】D【解析】∵，∴，所以．故選：D．2．已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，且，則（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題可知，，由于，所以，，因此，，故選:B.3．“過(guò)大年，吃水餃”是我國(guó)不少地方過(guò)春節(jié)的一大習(xí)俗，2020年春節(jié)前夕，市某質(zhì)檢部門(mén)隨機(jī)抽取了100包某種品牌的速凍水餃，檢測(cè)其某項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)．（1）求所抽取的100包速凍水餃該項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）；（2）①由直方圖可以認(rèn)為，速凍水餃的該項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值服從正態(tài)分布，利用該正態(tài)分布，求落在內(nèi)的概率；②將頻率視為概率，若某人從某超市購(gòu)買(mǎi)了4包這種品牌的速凍水餃，記這4包速凍水餃中這種質(zhì)量指標(biāo)值位于內(nèi)的包數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望及方差．附：①計(jì)算得所抽查的這100包速凍水餃的質(zhì)量指標(biāo)的標(biāo)準(zhǔn)差為；②若，則，．【答案】（1）26.5；（2）①0.1359；②分布列見(jiàn)解析，數(shù)學(xué)期望為2，方差為1．【解析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖可得各組的頻率為：，的頻率為：，，的頻率為：，，的頻率為：，，的頻率為：，，的頻率為：，所以所抽取的100包速凍水餃該項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù)為：．（2）①服從正態(tài)分布，且，，落在內(nèi)的概率是0.1359．②根據(jù)題意得每包速凍水餃的質(zhì)量指標(biāo)值位于內(nèi)的概率為，，的可能取值分別為：0，1，2，3，4，，，，，，的分布列為：01234，，．4．某公司采購(gòu)了一批零件，為了檢測(cè)這批零件是否合格，從中隨機(jī)抽測(cè)120個(gè)零件的長(zhǎng)度（單位：分米），按數(shù)據(jù)分成，，，，，這6組，得到如圖所示的頻率分布直方圖，其中長(zhǎng)度大于或等于1.59分米的零件有20個(gè)，其長(zhǎng)度分別為1.59，1.59，1.61，1.61，1.62，1.63，1.63，1.64，1.65，1.65，1.65，1.65，1.66，1.67，1.68，1.69，1.69，1.71，1.72，1.74，以這120個(gè)零件在各組的長(zhǎng)度的頻率估計(jì)整批零件在各組長(zhǎng)度的概率.（1）求這批零件的長(zhǎng)度大于1.60分米的頻率，并求頻率分布直方圖中，，的值；（2）若從這批零件中隨機(jī)選取3個(gè)，記為抽取的零件長(zhǎng)度在的個(gè)數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（3）若變量滿足且，則稱變量滿足近似于正態(tài)分布的概率分布.如果這批零件的長(zhǎng)度（單位：分米）滿足近似于正態(tài)分布的概率分布，則認(rèn)為這批零件是合格的將順利被簽收；否則，公司將拒絕簽收.試問(wèn)，該批零件能否被簽收？【答案】（1），，；（2）分布列見(jiàn)解析，2.1；（3）能被該公司簽收.【解析】（1）由題意可知120件樣本零件中長(zhǎng)度大于1.60分米的共有18件，則這批零件的長(zhǎng)度大于1.60分米的頻率為，記為零件的長(zhǎng)度，則，，，故，，.（2）由（1）可知從這批零件中隨機(jī)選取1件，長(zhǎng)度在的概率.且隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，則，，，故隨機(jī)變量的分布列為01230.0270.1890.4410.343（或）.（3）由題意可知，，則；，因?yàn)?，，所以這批零件的長(zhǎng)度滿足近似于正態(tài)分布的概率分布.應(yīng)認(rèn)為這批零件是合格的，將順利被該公司簽收.5．某網(wǎng)購(gòu)平臺(tái)為幫助某貧困縣脫貧致富，積極組織該縣農(nóng)民制作當(dāng)?shù)靥禺a(chǎn)——臘排骨，并通過(guò)該網(wǎng)購(gòu)平臺(tái)銷(xiāo)售，從而大大提升了該縣農(nóng)民的經(jīng)濟(jì)收入.年年底，某單位從通過(guò)該網(wǎng)購(gòu)平臺(tái)銷(xiāo)售臘排骨的農(nóng)戶中隨機(jī)抽取了戶，統(tǒng)計(jì)了他們年因制作銷(xiāo)售臘排骨所獲純利潤(rùn)（單位：萬(wàn)元）的情況，并分成以下五組：、、、、，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下表所示：所獲純利潤(rùn)（單位：萬(wàn)元）農(nóng)戶戶數(shù)（1）據(jù)統(tǒng)計(jì)分析可以認(rèn)為，該縣農(nóng)戶在該網(wǎng)購(gòu)平臺(tái)上銷(xiāo)售臘排骨所獲純利潤(rùn)（單位：萬(wàn)元）近似地服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數(shù)，近似為樣本方差.若該縣有萬(wàn)戶農(nóng)戶在該網(wǎng)購(gòu)平臺(tái)上銷(xiāo)售臘排骨，試估算所獲純利潤(rùn)在區(qū)間內(nèi)的戶數(shù).（每區(qū)間數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中間值表示）（2）為答謝該縣農(nóng)戶的積極參與，該網(wǎng)購(gòu)平臺(tái)針對(duì)參與調(diào)查的農(nóng)戶舉行了抽獎(jiǎng)活動(dòng)，每人最多有次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，每次抽獎(jiǎng)的中獎(jiǎng)率均為.每一次抽獎(jiǎng)，若中獎(jiǎng)，則可繼續(xù)進(jìn)行下一次抽獎(jiǎng)，若未中獎(jiǎng)，則活動(dòng)結(jié)束，每次中獎(jiǎng)的獎(jiǎng)金都為元.求參與調(diào)查的某農(nóng)戶所獲獎(jiǎng)金的數(shù)學(xué)期望.參考數(shù)據(jù)：若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則，.【答案】（1）；（2）元.【解析】（1）由題意知：中間值頻率樣本的平均數(shù)為，所以，所以，而.故萬(wàn)戶農(nóng)戶中，落在區(qū)間內(nèi)的戶數(shù)約為；（2）設(shè)中獎(jiǎng)次數(shù)為，則的可能取值為、、、、、，則，所以.令，①，②由①②得：，，所以（元）.所以參與調(diào)查的某農(nóng)戶所獲獎(jiǎng)金的數(shù)學(xué)期望為元.6．2020年，新冠狀肺炎疫情牽動(dòng)每一個(gè)中國(guó)人的心，危難時(shí)刻眾志成城，共克時(shí)艱，為疫區(qū)助力．福建省漳州市東山縣共101個(gè)海鮮商家及個(gè)人為緩解武漢物質(zhì)壓力，募捐價(jià)值百萬(wàn)的海鮮輸送武漢．東山島，別稱陵島，形似蝴蝶亦稱蝶島，隸屬于福建省漳州市東山縣，是福建省第二大島，中國(guó)第七大島，介于廈門(mén)市和廣東省汕頭之間，東南是著名的閩南漁場(chǎng)和粵東漁場(chǎng)交匯處，因地理位置發(fā)展海產(chǎn)品養(yǎng)殖業(yè)具有得天獨(dú)厚的優(yōu)勢(shì)．根據(jù)養(yǎng)殖規(guī)模與以往的養(yǎng)殖經(jīng)驗(yàn)，某海鮮商家的海產(chǎn)品每只質(zhì)量（克）在正常環(huán)境下服從正態(tài)分布．（1）隨機(jī)購(gòu)買(mǎi)10只該商家的海產(chǎn)品，求至少買(mǎi)到一只質(zhì)量小于265克該海產(chǎn)品的概率；（2）2020年該商家考慮增加先進(jìn)養(yǎng)殖技術(shù)投入，該商家欲預(yù)測(cè)先進(jìn)養(yǎng)殖技術(shù)投入為49千元時(shí)的年收益增量．現(xiàn)用以往的先進(jìn)養(yǎng)殖技術(shù)投入（千元）與年收益增量（千元）．的數(shù)據(jù)繪制散點(diǎn)圖，由散點(diǎn)圖的樣本點(diǎn)分布，可以認(rèn)為樣本點(diǎn)集中在曲線的附近，且，，其中．根據(jù)所給的統(tǒng)計(jì)量，求y關(guān)于x的回歸方程，并預(yù)測(cè)先進(jìn)養(yǎng)殖技術(shù)投入為49千元時(shí)的年收益增量．附：若隨機(jī)變量，則;對(duì)于一組數(shù)據(jù)，其回歸線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為．【答案】（1）0.0129．（2），年收益增量為576.6千元．【解析】（1）由已知，單只海產(chǎn)品質(zhì)量，則，由正態(tài)分