2024-2025學年浙江省杭州某中學九年級（上）期中數(shù)學試卷

2024-2025學年浙江省杭州十三中九年級（上）期中數(shù)學試卷

一、選擇題（每小題3分，共30分，每小題給出的四個選項中，只有一個正確選項）

1.（3分）下列事件是必然事件的是（）

A.明天早上會下雨

B.擲一枚硬幣，正面朝上

C.任意一個三角形，它的內(nèi)角和等于180。

D.一個圖形旋轉(zhuǎn)后所得的圖形與原圖形不全等

2.（3分）已知平面內(nèi)有兩點尸，O,。。的半徑為5,如果PO=6（）

A.點尸在。。外B.點尸在。。上C.點P在OO內(nèi)D.無法判斷

3.（3分）從甲、乙、丙三人中任選一人參加育年志愿者活動，甲被選中的概率是（）

A.-1B.AC..1D.2

9323

4.（3分）如圖，△048繞點。順時針旋轉(zhuǎn)80°到△OCD的位置，已知//O3=45°（）

A.55°B.45C.40°D.35°

5.（3分）二次函數(shù)>=（x-3）（x+5）的圖象的對稱軸是（）

A.直線x=3B.直線x=~5C.直線x=-1D.直線x=1

6.（3分）如圖，四邊形48CD內(nèi)接于如果它的一個外角/DCE=64°（）

tE

A.128°B.100°C.64°D.32°

7.（3分）二次函數(shù)^=加，+如（：（m<0）的圖象大致是（

第1頁（共24頁）

8.（3分）某項目化研究小組只用一張矩形紙條和刻度尺，來測量一次性紙杯杯底的直徑.小敏同學想到

了如下方法：如圖，將紙條拉直并緊貼杯底，然后利用刻度尺量得該紙條的寬為3.5cm,43=4cm（

A.4.8cmB.5cmC.5.2cmD.6cm

9.（3分）已知函數(shù)y=ax2+2ax-1（a是常數(shù)，aWO）,下列結(jié)論正確的是（）

A.當a=l時，函數(shù)圖象過點（-1,1）

B.函數(shù)圖象與x軸必有兩個交點

C.不論。取何值，函數(shù)圖象都經(jīng)過點（-2,-1）

D.若。<0,則當xW-1時，〉隨x的增大而減小

10.（3分）已知。。為A/BC的外接圓，AB=BC.過/作CO的垂線交C。延長線于點。，則下列選項

一定成立的是（）

A.ZBCA=ZDCAB.ZDAC=2ZBAC

C.AB>2ADD.AAB-<AD1+CD1

二、填空題（每小題3分，共18分）

11.（3分）如表是某種植物的種子在相同條件下發(fā)芽率試驗的結(jié)果.

第2頁（共24頁）

種子個數(shù)100400900150025004000

發(fā)芽種子個數(shù)92352818133622513601

發(fā)芽種子頻率0.920.880.910.890.900.90

球的概率相同.

14.（3分）己知二次函數(shù)y=7-2x-3.當0WxW3時，則y的取值范圍.

15.（3分）如圖，四邊形4BCD內(nèi)接于OO,對角線AD是的直徑.￡為OO內(nèi)一點,CEL4B,若BD=4%,

AE=4.

16.（3分）二次函數(shù)y=ax2+6x+c（a,b,c是常數(shù)，aWO）圖象的對稱軸是直線x=1,其圖象一部分如

圖所示；②2c>36；③方程ax2+（b蔣）x+c=O；?a^am2+b（m-1）（機為任意實數(shù)）.其中正確

的是.（填寫序號）

第3頁（共24頁）

三、解答題（本題有8小題，共72分.解答應寫出文字說明，證明過程或推演步驟.）

17.（8分）已知二次函數(shù)的圖象頂點坐標是（0,0）,且經(jīng)過（1,-2）.

（1）求這個二次函數(shù)的表達式；

（2）判斷點P（-2,-8）是否在這條拋物線的圖象上.

18.（8分）如圖，是。。的直徑，點C是。。上一點，AC.OD_LBC于E,交。。于點D

（1）求證：OD〃AC；

（2）若3C=8,DE=2,求。。的半徑.

19.（8分）作圖題，根據(jù)要求作出以下圖形：

（1）在圖1網(wǎng)格中直接畫出△48C繞點/逆時針旋轉(zhuǎn)90°的圖形；

（2）在圖2中，己知線段/￡尺規(guī)作圖作出經(jīng)過/（要求保留作圖痕跡）

圖1圖2

20.（8分）睡眠管理作為“五項管理”中的重要內(nèi)容之一，也是學校教育電點關(guān)注的內(nèi)容.某校為了解學

生平均每天睡眠時間，隨機抽取該校部分學生進行問卷調(diào)查，繪制成如下統(tǒng)計表和不完整的統(tǒng)計圖.

學生類別學生平均每天睡眠時

間X（單位：小時）

A74V7.5

B7.5?8

C8?8.5

D8.5?9

Ex29

第4頁（共24頁）

（1）扇形統(tǒng)計圖中表示C類學生平均每天睡眠時間的扇形的圓心角度數(shù)為.

（2）請補全條形統(tǒng)計圖.

（3）被抽取調(diào)查的E類4名學生中有2名女生，2名男生.從這4人中隨機抽取2人進行電話回訪,

21.（8分）某商店購進一種商品，每件商品進價20元，規(guī)定該商品的售價不低于進價（件）與每件銷售

價x（元）的關(guān)系數(shù)據(jù)如下：

X30323436

y40363228

（1）已知y與x滿足一次函數(shù)關(guān)系，根據(jù)上表，求出y與x之間的關(guān)系式：

（2）設(shè)該商店每天銷售這種商品所獲利潤為w（元），求出每件商品銷售價定為多少元時利潤最大，并

求出最大利潤？

22.（10分）某地欲搭建一橋，橋的底部兩端間的距離/2=工稱跨度，橋面最高點到的距離稱

拱高，有兩種設(shè)計方案可供選擇：①拋物線型；②圓弧型.已知這座橋的跨度￡=20米

（1）如圖1,若設(shè)計成拋物線型，以所在直線為x軸，求此函數(shù)表達式；

（2）如圖2,若設(shè)計成圓弧型，求該圓弧所在圓的半徑；

（3）現(xiàn)有一艘寬為15米的貨船，船艙頂部為方形，并高出水面2.2米.從以上兩種方案中，判斷此貨

船能否順利通過你所選方案的橋？并說明理

第5頁（共24頁）

23.(10分)已知二次函數(shù)-(2m-1)x+m1-m.。〃是常數(shù)，且mWO)

(1)證明：不論比取何值時，該二次函數(shù)圖象總與x軸有兩個交點；

(2)若/(n-3,yi),B(-n+l,y2)是該二次函數(shù)圖象上的兩個不同點，當yi=”時，求二次函數(shù)

表達式；

(3)若二次函數(shù)圖象與X軸兩個交點的橫坐標分別為XI，X2(其中XI>X2),才是關(guān)于"的函數(shù)，且t=l-二",

X1

當t<m時

24.(12分)如圖，在RtZX/BC中，ZACB^9Q°,。。與邊N2交于點。，E為3。的中點，與4B交于

點尸.

(1)若求NEC8的大小；

(2)求證：AC=AF；

(3)若3C=6,里』，求△，/C的面積.

FC2

c

第6頁(共24頁)

2024-2025學年浙江省杭州十三中九年級（上）期中數(shù)學試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題（每小題3分，共30分，每小題給出的四個選項中，只有一個正確選項）

1.（3分）下列事件是必然事件的是（）

A.明天早上會下雨

B.擲一枚硬幣，正面朝上

C.任意一個三角形，它的內(nèi)角和等于180°

D.一個圖形旋轉(zhuǎn)后所得的圖形與原圖形不全等

【解答】解：/、明天早上會下雨，不符合題意；

3、擲一枚硬幣，是隨機事件；

。、任意一個三角形，是必然事件；

。、一個圖形旋轉(zhuǎn)后所得的圖形與原圖形不全等，不符合題意；

故選：C.

2.（3分）已知平面內(nèi)有兩點尸，O,。。的半徑為5,如果尸。=6（）

A.點尸在外B.點尸在上C?點P在。。內(nèi)D.無法判斷

【解答】解：的半徑為5,PO=6,

.,.點P在O。外.

故選：A.

3.（3分）從甲、乙、丙三人中任選一人參加育年志愿者活動，甲被選中的概率是（）

A.AB.A.C.工D.2

9323

【解答】解：根據(jù)題意畫圖如下：

開始

甲乙丙

共有3種等可能的結(jié)果數(shù)，其中甲被選中的結(jié)果有1種，

則甲被選中的概率為旦.

3

故選：B.

4.（3分）如圖，△048繞點。順時針旋轉(zhuǎn)80°到△OCD的位置，已知//O3=45°（）

第7頁（共24頁）

A.55°B.45°C.40°D.35°

【解答】解：,??△045繞點。順時針旋轉(zhuǎn)80°到△OC。的位置，

AZAOC=SO°,

而N4O6=45°,

：.ZBOC=SO°-45°=35°.

故選：D.

5.（3分）二次函數(shù)歹=（x-3）（x+5）的圖象的對稱軸是（）

A.直線x=3B.直線1=5C.直線x=~1D.直線x=1

【解答】解：?.?歹=（x-3）（x+5）,

???函數(shù)圖象與工軸的交點坐標為（6,0）,0）,

函數(shù)圖象的對稱軸為直線了=立生=-3,

2

故選：C.

6.（3分）如圖，四邊形Z5C。內(nèi)接于。。，如果它的一個外角NQCE=64°（

A.128°B.100°C.64°D.32°

【解答】解：???四邊形45CQ內(nèi)接于

AZA=ZDCE=64°,

ZBOD=2ZA=12S°.

故選：A.

7.（3分）二次函數(shù)）；=加，+加工（m<0）的圖象大致是（）

第8頁（共24頁）

【解答】解：4因為二次函數(shù)＞=加/+…（機＜0）,所以，對稱軸-q_,即：拋物線對稱軸在了軸的

4a

左側(cè)，函數(shù)圖象開口向下，符合題意；

B、圖象開口向下；

C、對稱軸在y軸左邊；

D、圖象開口向下；

故選：A.

8.（3分）某項目化研究小組只用一張矩形紙條和刻度尺，來測量一次性紙杯杯底的直徑.小敏同學想到

了如下方法：如圖，將紙條拉直并緊貼杯底，然后利用刻度尺量得該紙條的寬為3.5cm,AB=4cm（）

A.4.8cmB.5cmC.5.2cmD.6cm

【解答】解：如圖，MNLAB,連接0。，

:?MN=35cm,

'：CD//AB,紙條的寬為5.5cw,CD=4cm,

：.MN±CD,

：.DM^^-CD=L,3N=_1^X3=5.5(cm),

2722

設(shè)OM=xcm,

：.0N=MN-OM=(3.8-x)cm,

"：OAf+MD^-^OD5,ON2+BN2^OB&,

：.OAf+MD2=ON^BN2,

第9頁（共24頁）

.*.X2+62=(3.4-x)2+1.72,

??x=1.5,

.\OM=1.5（cm）,

0￡）=VOM2+MD2=V1.82+25=2-5（cm），

紙杯的直徑為2.5X2=8（cm）.

故選：B.

nm

9.（3分）已知函數(shù)y=ax2+2ax-1（a是常數(shù)，aWO）,下列結(jié)論正確的是（）

A.當a=l時，函數(shù)圖象過點（-1,1）

B.函數(shù)圖象與x軸必有兩個交點

C.不論。取何值，函數(shù)圖象都經(jīng)過點（-2,-1）

D.若。＜0,則當xW-1時，y隨x的增大而減小

【解答】解：4、當。=1時2+7x7,

當x=-1時，＞=-5,1）,不符合題意；

B、△=4/+4a=（2a+5）2-1.無法判斷與x軸交點個數(shù)，不符合題意；

C、當x=-4時，原說法正確；

D、a＜0,對稱軸為x=-1,y隨x的增大而增大，不符合題意；

故選：C.

10.（3分）已知為△NBC的外接圓，AB=BC.過/作CO的垂線交C。延長線于點D,則下列選項

一定成立的是（）

NBCA=/DCAZDAC=2ZBAC

AB>2ADD.4AB2<AD2+CD2

第10頁（共24頁）

【解答】解：如圖，延長/D,交。O分別為￡、F,

:定不一定等于余，

/BCA不一定等于ZDCA,故A選項不符合題意;

?；AB=BC,

：?AB=BC>

U：ADA.CD,

.*.CE=2BC，

；?/DAC=2NBAC,故5選項符合題意；

:定不一定等于AS,

：.AB與SAD無法比較大小，故C選項不符合題意；

?：ADLCD,

：.在RtA^DC中,根據(jù)勾股定理可得AD2+CD2=AC6,

,:AB=BC,AC<AB+BC,

：.AC<2AB,

：.（248）2>AD2+CD2,

即74g2>/。2+?！辏?,故D選項不符合題意.

故選：B.

E

二、填空題（每小題3分，共18分）

11.（3分）如表是某種植物的種子在相同條件下發(fā)芽率試驗的結(jié)果.

種子個數(shù)100400900150025004000

發(fā)芽種子個數(shù)92352818133622513601

第11頁（共24頁）

發(fā)芽種子頻率0.920.880.910.890.900.90

根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，可估計該植物的種子發(fā)芽的概率為0.9.

【解答】解：?.?觀察表格，發(fā)現(xiàn)大量重復試驗發(fā)芽的頻率逐漸穩(wěn)定在0.9左右,

，該植物的種子發(fā)芽的概率為6.9,

故答案為：0.2.

12.（3分）如圖在平面直角坐標系中，過格點/,B,C作一圓?。?,平.

【解答】解：根據(jù)垂徑定理的推論：弦的垂直平分線必過圓心,

可以作弦和5c的垂直平分線，交點即為圓心.

如圖所示，則圓心是（2.

故答案為：（2,8）.

13.（3分）一只盒子中有紅球加個，白球8個，黑球〃個，從中任取一個球，取得白球的概率與不是白

球的概率相同加+〃=8.

【解答】解：根據(jù)概率公式，摸出白球的概率,

m+8+n

摸出不是白球的概率」

m+2+n

由于二者相同，故有」—=上2_,

m+8+nm+5+n

整理得m+n=S.

故答案為：m+n=8.

14.（3分）已知二次函數(shù)y=7-2x-3.當0WxW3時，則y的取值范圍-40WO.

【解答】解：y=x2-lx-7=x2-2x+4-4=（x-1）5-4.

y=（x-1）8-4,

第12頁（共24頁）

拋物線開口向上，對稱軸為直線x=l,-5）,

將x=3代入y=x2-3x-3得y=0,

；.7WxW3時，-40W7,

故答案為：-4WyW0.

15.（3分）如圖，四邊形/BCD內(nèi)接于對角線5D是。。的直徑.￡為。。內(nèi)一點,若BD=4?，

AE=4_M_.

【解答】解：延長/￡交于M,延長CE交于N,

"JAELBC,CELAB,

：.ZAMB=ZCNB=90°,

是OO的直徑，

?.ZBAD=ZBCD=90°,

ZBAD=ZCNB,ZBCD=ZAMB,

J.AD//NC,CD//AM,

，四邊形/EC。是平行四邊形，

：.AE=CD=4,

BC=7BD2-DC7=7（4V3）2-42=8加?

故答案為：4聲.

16.（3分）二次函數(shù)yuqf+bx+c（q,b,c是常數(shù)，"W0）圖象的對稱軸是直線X=1,其圖象一部分如

圖所示；②2c>36；③方程&x?+（b］）x+c=0；④。2汴+/?（冽-1）（冽為任意實數(shù)）.其中正確

的是①③⑷.（填寫序號）

第13頁（共24頁）

【解答】解：由所給圖形可知，

a<09b>0,

所以abc<.7.

故①正確.

因為拋物線的對稱軸為直線x=l,

即a=-l-u.

2

因為當x=5時，函數(shù)值小于零，

所以9a+3b+c<6,

即得b+3b+c<0

整理得，2c<2b.

故②錯誤.

方程ax2+(b.)x+c=0的根可看成拋物線丁=辦2+區(qū)+0與直線y="x圖象交點的橫坐標，

32

顯然拋物線y=ox2+6x+c與直線>=2乂有兩個不同的交點，

2

所以方程ax2+(b-1)x+c=0有兩個不相等的實數(shù)根.

故③正確.

因為拋物線的對稱軸為直線x=6,且開口向下，

所以當x=l時，函數(shù)取得最大值。+6+c,

則對于拋物線上的任意一點(橫坐標為加)，其函數(shù)值不大于a+6+c,

所以am^+bm+ca+b+c,

第14頁(共24頁)

即a^ami+b（m-1）.

故④正確.

故答案為：①③④.

三、解答題（本題有8小題，共72分.解答應寫出文字說明，證明過程或推演步驟.）

17.（8分）已知二次函數(shù)的圖象頂點坐標是（0,0）,且經(jīng)過（1,-2）.

（1）求這個二次函數(shù)的表達式；

（2）判斷點P-2,-8）是否在這條拋物線的圖象上.

【解答】解：（1）頂點坐標過原點，則可設(shè)夕二辦2,

把（1,-7）代入y="2,得：a—-2,

...拋物線解析式為：y=-7x2,

（2）當x=-2時，y=-5,

...點P（-2,-8）是在這條拋物線的圖象上.

18.（8分）如圖，是。。的直徑，點C是。。上一點，AC.ODLBC于E,交。。于點D.

（1）求證：OD〃AC；

（2）若3c=8,DE=2,求。。的半徑.

【解答】（1）證明：是。。的直徑,

.'.ZC=90°,

"：OD±BC,

：.ZOEB=ZC=90°,

：.OD//AC；

（2）解：令。。的半徑為廠，

根據(jù)垂徑定理可得：BE=CE=LBC=3,

2

由勾股定理得：戶=47+（r-2）2,

解得：r=4,

所以。。的直徑為10.

第15頁（共24頁）

19.（8分）作圖題，根據(jù)要求作出以下圖形:

（1）在圖1網(wǎng)格中直接畫出△/2C繞點/逆時針旋轉(zhuǎn)90°的圖形；

（2）在圖2中，已知線段/瓦尺規(guī)作圖作出經(jīng)過/（要求保留作圖痕跡）

圖1圖2

【解答】解：（1）如圖1,△/9。即為所求.

（2）如圖2,作線段N3的垂直平分線，再以點。為圓心,

則O。即為所求.

圖1圖2

20.（8分）睡眠管理作為“五項管理”中的重要內(nèi)容之一，也是學校教育電點關(guān)注的內(nèi)容.某校為了解學

生平均每天睡眠時間，隨機抽取該校部分學生進行問卷調(diào)查，繪制成如下統(tǒng)計表和不完整的統(tǒng)計圖.

學生類別學生平均每天睡眠時

間X（單位：小時）

A7?7.5

B7.54<8

C84<8.5

D8.5?9

Ex29

（1）扇形統(tǒng)計圖中表示C類學生平均每天睡眠時間的扇形的圓心角度數(shù)為144。

（2）請補全條形統(tǒng)計圖.

第16頁（共24頁）

(3)被抽取調(diào)查的E類4名學生中有2名女生，2名男生.從這4人中隨機抽取2人進行電話回訪,

360°X-^-=144°;

bU

故答案為：144。；

開始

ZN/N/N/N2

男2女1女2男1女I女2男1男2女2男1男2女1

共有12種等可能結(jié)果，其中兩人恰好是2名男生的結(jié)果有2種.

==

P（抽到5里）^22

第17頁(共24頁)

21.(8分)某商店購進一種商品，每件商品進價20元，規(guī)定該商品的售價不低于進價(件)與每件銷售

價x(元)的關(guān)系數(shù)據(jù)如下:

X30323436

y40363228

(1)已知夕與x滿足一次函數(shù)關(guān)系，根據(jù)上表，求出y與x之間的關(guān)系式：

(2)設(shè)該商店每天銷售這種商品所獲利潤為w(元)，求出每件商品銷售價定為多少元時利潤最大，并

求出最大利潤？

【解答】解：(1)設(shè)該函數(shù)的表達式為了=b+6,根據(jù)題意得：

[30k+b=40,

l32k+b=36，

解得,

lb=100

與x之間的關(guān)系式為＞=-2x+100；

(2)根據(jù)題意，得卬=(-6x+100)(x-20)

=-2/+140x-2000

=-2(x-35)2+450,

"：a=-2<2,

當x=35時，w的值最大，

/.當銷售單價為35元時，獲得利潤最大.

22.(10分)某地欲搭建一橋，橋的底部兩端間的距離/2=工稱跨度，橋面最高點到43的距離8=/?稱

拱高，有兩種設(shè)計方案可供選擇：①拋物線型；②圓弧型.已知這座橋的跨度￡=20米

(1)如圖1,若設(shè)計成拋物線型，以所在直線為x軸，求此函數(shù)表達式；

(2)如圖2,若設(shè)計成圓弧型，求該圓弧所在圓的半徑；

(3)現(xiàn)有一艘寬為15米的貨船，船艙頂部為方形，并高出水面2.2米.從以上兩種方案中，判斷此貨

船能否順利通過你所選方案的橋？并說明理

圖2

由.圖1

第18頁(共24頁)

【解答】解：(1)；48=20,

：.A(-10,0),0),

,:h=8,

：.C(0,5),

設(shè)拋物線的解析式為y=a(x+10)(x-10),

-100?=3,

解得a=-

20

...拋物線的解析式為＞=--17+5；

20

(2)設(shè)圓心為O,連接。C交N5于￡點，

，/￡=10,

：〃=5,

:.CE=4,

在R&EO44,AO2=AE2+OE6,

：.A02^100+COA-5)5,

解得/。=12.5,

,該圓弧所在圓的半徑12.5米；

(3)拋物線型方案貨船不能順利通過該橋；圓弧型方案貨船能順利通過該橋

①在拋物線型上時，當x=5.5時，

：2.19米＜4.2米，

???貨船不能順利通過該橋；

②在圓弧型時，設(shè)EG=7.2米，

過點G作FHL4B交弧BC于點F,過點O作OH1FH交于H點，

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：.OH=EG=7.5米，

在RtZ\O〃F中，OF2=Olf+Flf,

/.12.62=7.52+F772,

:.FH=10米，

■：GH=OE=n.6-5=7.8(米)，

:.FG=25米，

：4.5米>2.3米，

貨船能順利通過該橋.

23.(10分)已知二次函數(shù)-(2m-1)x+m2-m.(加是常數(shù)，且mWO)

(1)證明：不論“取何值時，該二次函數(shù)圖象總與x軸有兩個交點；

(2)若/(〃-3,>1),B(-n+1,>2)是該二次函數(shù)圖象上的兩個不同點，當時，求二次函數(shù)

表達式；

(3)若二次函數(shù)圖象與X軸兩個交點的橫坐標分別為X1，X2(其中Xl>X2),f是關(guān)于根的函數(shù)，且t=l.....—>

X1

當t<m時

【解答】(1)證明：在二次函數(shù)-(2〃？-4)-%中，

VA=[-(2m-7)]2-4X6X(m2-m)=1>4,

不論加取何值時，該二次函數(shù)圖象總與x軸有兩個交點；

(2)解：：("-3,#)，B(-"+3,72)是該二次函數(shù)圖象上的兩個不同點，

，當?shù)?y6時，點4

二次函數(shù)對稱軸為nT+Jn+1)=一i,

6

對稱軸為直線X=-(2m-8)=-1,

2

解得加=-生

2

二次函數(shù)解析式為：>=/-[3X(-1)-1]x+(-1)3-(-1)=?+2X+3；

'