2024-2025學(xué)年浙江省聯(lián)盟高三（上）月考數(shù)學(xué)試卷（三）（含答案）

2024-2025學(xué)年浙江省名校聯(lián)盟高三（上）月考數(shù)學(xué)試卷（三）

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求

的。

1.已知集合M=｛（x,y）|y=1-1｝,N=｛（x,y）弓+y2=1｝,則MnN的元素個數(shù)為（）

A.0B.1C.2D.無數(shù)

2.已知z為復(fù)數(shù)，則,2|=1是⑶2=1的（）條件.

A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分又不必要

3.函數(shù)/（x）=sin?久一2cos2%的最小正周期為（）

7137r

A-IB.7TC.—D.27r

4.若P(4)=1芯P(2|1B)=芯2P(B\A)=會則P(4+8)=()

A-tB七C噌D.|

—>_—i2),,—

5.已知向量a,b輛足a-b=b,\a-b\=\b\,則a與b的夾角為()

71B.?C.?D.空

A.4oo3

6.數(shù)歹U?｝滿足an+2=24+1+3M，則下列可，a2的值能使數(shù)列為周期數(shù)列的是（）

A.a】=0,。2=1B.a1——19。2=1

C.。1=0,敢=2D.a1=—2,做=0

7.將100名學(xué)生隨機(jī)分為10個小組，每組10名學(xué)生，則學(xué)生甲乙在同一組的概率為（）

A°BQD-^―

10—11Joo-110

1011

8.設(shè)a=111217=i2io\b=1112",c=12,貝1］（）

A.a>c>bB.b>c>aC.c>a>bD.a>b>c

二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。

9.關(guān)于函數(shù)f（X）=a%3+6/+?久+d（aH0）,下列說法正確的有（）

A.函數(shù)/（比）可能沒有零點(diǎn)B.函數(shù)人比）可能有一個零點(diǎn)

C.函數(shù)"久）一定是中心對稱圖形D.函數(shù)八久）可能是軸對稱圖形

10.已知點(diǎn)M是拋物線C：必=8%與圓E：（萬一2）2+y2=>0）的交點(diǎn)，點(diǎn)尸為拋物線。的焦點(diǎn)，則下列

結(jié)論正確的有（）

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A.|MF|的最小值為2

B.圓E與拋物線C至少有兩條公切線

C.若圓E與拋物線C的準(zhǔn)線相切，則MF1x軸

D.若圓E與拋物線C的準(zhǔn)線交于P,Q兩點(diǎn)，且MP1PQ,貝什=8

11.設(shè)點(diǎn)P為正方體4BCD-4再修1。1的上底面4道停1。1上一點(diǎn)，下列說法正確的有（）

TT

A.存在點(diǎn)P,使得4Ci與平面PBD所成角為2

B.存在點(diǎn)P,使得點(diǎn)4的分別到平面PBD的距離之和等于4Q

C.存在點(diǎn)P,使得點(diǎn)4的分別到平面PBD的距離之和等于14cl

D.存在點(diǎn)P,使得與平面PBD所成角為養(yǎng)

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.若函數(shù)/（%）=s譏%-3cos%在X=%o處取得最大值，則加幾%0=.

13.已知：當(dāng)幾無窮大時，（l+3n的值為e,記為lim（l+》n=e.運(yùn)用上述結(jié)論，可得xM嘰士也

（%>0）=.

14.㈤表示不超過X的最大整數(shù)，設(shè)M=（1一避）15,N=（1+避）15,N=（1+73）15,貝”（1一避）15]=

；[（1+避）15]=（用M,N表示）.

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

15.（本小題13分）

在一次聯(lián)考中，經(jīng)統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)，甲乙兩個學(xué)校的考生人數(shù)都為1000人，數(shù)學(xué)均分都為94,標(biāo)準(zhǔn)差都為12,

并且根據(jù)統(tǒng)計密度曲線發(fā)現(xiàn)，甲學(xué)校的數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù)服從正態(tài)分布，乙學(xué)校的數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù)不服從正態(tài)分布.

（1）甲學(xué)校為關(guān)注基礎(chǔ)薄弱學(xué)生的教學(xué)，準(zhǔn)備從70分及以下的學(xué)生中抽取10人進(jìn)行訪問，學(xué)生小4考分為68

分，求他被抽到的概率大約為多少；

（2）根據(jù)統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)學(xué)校乙得分不低于130分的學(xué)生有25人，得分不高于58分的有1人，試說明乙學(xué)校教學(xué)的

特點(diǎn)；

參考數(shù)據(jù)：若X?囚（出。2）,則P（〃一。<X<fl+。）?0.68,P（ji-2。<X<fi+2a）?0.95,

尸（〃一3。<X<[i+3d）?0.99,,尸（〃一3。<X<+3cr）?0.99.

16.（本小題15分）

設(shè)%,尸2分別為雙曲線:4=l（a〉0力>0）的左、右焦點(diǎn)，過&的直線交雙曲線于4B兩點(diǎn),且麗；

二3取.

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(1)求A&的長(用a，b表示)；

TT

(2)若雙曲線的離心率e>2,求證：NF遇&<不.

17.(本小題15分)

設(shè)函數(shù)/(久)=ln(x+m)—mx.

(1)求函數(shù)f(x)在(1-機(jī))(1一機(jī)))處的切線方程；

(2)若/(x)<0恒成立，求證：小的最大值與最小值之差大于今

18.(本小題17分)

在四棱錐P—4BCD中，AB1BC,AD1CD,P01底面力BCD,點(diǎn)。在AC上，且PB=PC.

(2)若NC。。=*,AB=BC,點(diǎn)E在PB上，PD//平面EOC,求器的值；

⑶若P。=48=BC=1,二面角P—2D—B的正切值為2",求二面角D—AP—B的余弦值.

19.(本小題17分)

在數(shù)列｛斯｝中，a】=a,a2=b,對滿足m+n=p+q的任意正整數(shù)m,n,p,q,都有口?1%1++an

—ClpO.q+CLp+Clq成H.

(1)若數(shù)列｛冊｝是等比數(shù)列，求a,。滿足的條件；

(2)若a=l,6=3'設(shè)"=倒：2,念孔.

①求數(shù)列｛④J的通項(xiàng)公式；

②求證：xr=4<|.

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參考答案

l.c

2.C

3.5

4.D

5.4

6.B

7.B

8.D

9.SC

IQ.ACD

11.ABC

12-i

,3

13.2

14.-1M+N

15.解：(1)根據(jù)題意可得校學(xué)生數(shù)學(xué)得分X?N(94,122),

又PQi—2o<X<ii+2cr)《0.95,PQi—3o<X<[i+3。)?0.99,

可得P(70<X<118)~0.95,則P(X<70)~--°95=0.025,

所以分?jǐn)?shù)在70分及以下的學(xué)生有1000x0.025=25人，

所以所求概率為P=||=0.4:

(2)根據(jù)題干所給的參考數(shù)據(jù)可得P(〃-3cr<X<H+3cr)=0.99,

又〃=94,(T=12

所以尸(58<X<130)?0.99,

所以甲校不低于130分的概率為上磬=0.005,

得分不高于58分的概率為上等=0.005,

所以甲校分不低于130分與不高于58分都有1000x0.005=5人

故乙校教學(xué)高分人數(shù)更多，130分以上學(xué)生更多，低分人數(shù)更少.

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16.解：(1)因?yàn)殪?3取，

所以4B兩點(diǎn)均在雙曲線右支上，

設(shè)田尸2|=3

此時|4尸2|=33

易矢口|力尸1|—3t+2a,|BFjJ=t+2a,

因?yàn)橐?尸2尸1+/-BF2FI=7T,

所以COS/LAFZFI+COSZ.BF2FI=0,

由余弦定理得4c2+2a)2+4c2+；29；2a)2=0,

所以|ZF2l=3t=詈;

(2)證明：在△4%F2中，由正弦定理得量為=忐嬴

所以sin/FMF2=隔sin/Z&FiW第=

由(1)知t=等，

2cacetc1

所以sinzFi”2<1

a

因?yàn)閑>2,

所以sin/F遇尸2<1，

\AF\2b2〃一M

因?yàn)?

瓦西一玄ac

又e=*

所以隅=eT>l,

所以任1&|<|4尸2|，

則NFMF2為銳角.

7T

故4尸1所2<6'

17.解：(1).??函數(shù)/(%)=ln(x+m)-mx,

?,1八x)

???切線斜率/c=f(l-m)=l-m,

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又/"(l-zn)=—m(l—m),

:.函數(shù)/(%)在處的切線方程為y+m(l-m)=(l-m)(x-l+m),

???y=(1—m)x—(1—m)；

(2)證明：令X+m=t>0,則％=t-m,

???/(%)<0恒成立等價于/(%)=g(t)=Int-mt+m2<0恒成立，

g'(t)=-m>

當(dāng)m<0,則g'(t)>0,g(t)在(0,+8)上單調(diào)遞增，而g(2)=ln2-2m+m2>0,不符合題意.

當(dāng)m>0,由g'(t)=0得1=、

當(dāng)0<t<、時，g'(t)>0,g(t)在((J,》上單調(diào)遞增，

當(dāng)t時，g'(t)<0,g(t)在(、,+8)上單調(diào)遞減，

=5(-)=In--1+m2=m2-lnm-l<0,

令h(m)=則九(1)=0,

又vhrCm)=2m——=、僮一=0,

即27n2—1=o,

即租2??-m>0,

解得m=#,

若九'(m)<0,貝！jO(字，h(zn)在(0,\)上單調(diào)遞減，

若〃(zn)>0,則zn〉冬八(小)在(孝,+8)上單調(diào)遞增，

而九弓)=[-吟一1<0,*)=1+1>0,：.mmax=l,rnminE

根的最大值與最小值之差大于看

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所以P。1OB,PO1OC,即NPOB=NPOC=p

又PB=PC,PO=PO,所以aPOB三APOC,

所以。B=OC,故NOBC=NOCB,

又AB1BC,

所以NOAB/.OBA,OA=OB=OC,

又4。1CD,所以04=OD,

因?yàn)镻。1底面ABC。，OA,ODu平面4BCD,

所以「。1OA,PO1OD,

又PO=PO,

所以PA=PD；

(2)連接8。交AC于點(diǎn)巴連EF,

因PD〃平面EOC,平面PB。n平面E。。=ED,PDu平面PBO,

所以PD//EF,故需=器，

因?yàn)?81BC,AD1CD,

所以乙4BC+N4DC=TT,故四邊形力BCD是圓內(nèi)接四邊形，

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又(COD=%所以乙。8。=￡，

oiz

因ZB=BC,AB18C,點(diǎn)。為AC的中點(diǎn)，

所以z_80CZ.CBO=彳，

Z4

故NOBD=瑩,設(shè)。B=OD=避,

則。尸=1,BF=2,

在△BOD中，乙BOD=g+?=冬，

Zt)3

由余弦定理可得8。=JOB2+OD2-2OB.ODcos^-=3,

所以“=L于是將=黑號；

(3)以點(diǎn)。為原點(diǎn)，BA,~BC,方為久，y,z軸正方向建立如圖所示的坐標(biāo)系,

則8(一右一加,謁,一加,C(一3,0),P(0,0,l),

所以B力=(1,0,O'),PA=

設(shè)再=(Xi,%/。為平面PAB的法向量，

所以再=(0,2,—1)為平面PA8的一個法向量，

過點(diǎn)。作。M1AD于M,

因?yàn)镻。1.底面4BCD,ADu平面ABCD,

所以P。1AD,OMCiP。=0,OM,POu平面PM。,

所以4。J.平面PM。，PMu平面PM。，

所以PM1AD,

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故二面角P-4D-B的平面角為NPMO,

由已知tan/PM。=焉=2",

所以。M=膽,于是CD=史，AD=范，

422

又“。1CD,所以乙CAD=￡又4B4C=9,

64

所以ZJ1。％=74,1Z故Z_M。％=77,

所以點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為序cosg縱坐標(biāo)為*sinG

4iz4u

所以點(diǎn)M的坐標(biāo)為（小。，

88

所以D心一呼+1,0）,麗=心_中+1,-1）,

4444

設(shè)放=（汽2〃2/2）平面尸4。的法向量，

<1：^所以聿;2-,2.。，

兩式相減得(^/5-1)%2=(V^+1)、2,

令%2=避+1，則丫2=1/2=1，

所以布=（避+1,4一1,1）為平面PAO的一個法向量,

2J15-3-\/5

所以cos<■何>=+i

15，

觀察可得二面角0-4尸-8的平面角為銳角，

所以二面角D—4P—8的余弦值為2"3汽

19.解：⑴在數(shù)列｛冊｝中，fli=a,a2=b,對滿足m+九=p+q的任意正整數(shù)m,n,p,q,

都有Gm冊+am+an=apaq+即+%成立，又?jǐn)?shù)列｛&J是等比數(shù)列，

設(shè)其公比為3由等比數(shù)列的性質(zhì)可得。小品=apaq,即有。租+冊=Qp+%,

可令zn=1,p=2,q=71—1,則a1+=做+31-1，。一人=tn-2（a—6）,

故a=b,t=1,即a,b滿足的條件為a=b。0；

（2）①由。僅冊+Qm+a九=OpOq+Qp+Qq,可令7H=1,p=2,q=H—1,

得@1。九++CLn=。2。九一1+。2+。九一